1、第第1 1章章 函数、极限和连续函数、极限和连续1.3.3 连续函数的性质连续函数的性质1.3.4 初等函数的连续初等函数的连续性性1.3.5 闭区间上连续函数的性闭区间上连续函数的性质质1.3 函数的连续性函数的连续性1.3.3 连续函数的性质连续函数的性质1.基本初等函数的连续性基本初等函数在其定义域内都是连续的.2.连续函数的和、差、积、商的连续性00(),(),f x g xxx 若函数在点 处皆连续则它们的和差积,商(分母不为零)也都在点 连续.3.反函数的连续性定理 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数且单调性不变.4.复合函数的连续性0000(),()(),().yf uu
2、uxxuxyfxx设函数在 处连续函数在 处连续,且则复合函数在 处也连续 定理 连续函数的复合函数仍为连续函数1lim sin 1.nnn 求例 1 1lim 1,sin11lim sin 1sin lim 1sinnnnneuuennnenn 因 为而在时 连 续,所 以解：1.3.4 初等函数的连续性初等函数的连续性一切初等函数在定义区间内都是连续的.02limlncos.xx求例 0()lncos,02limlncoslncos0 0 xf xxxx 设函数它的一个定义区间为-而在该2区间内,所以解：解：解：2ln(1 cos)3lim.sinxxx求例 2ln(1 cos)(),si
3、n2ln(1 cos)ln(1 0)ln(1 cos)2,lim0sin1sin2xxf xxxxx 因为函数是初等函数且属于其定义区间所以1.3.5 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质1.最大值与最小值性质定理 在闭区间上连续的函数，在该区间上至少取得它的最大值和最小值各一次.此定理中有两点需要注意：闭区间与函数连续，即在开区间（a,b）内连续，或在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上不一定有最值或最小值.2(),f xx 例如,在开区间(0,2)上考察连续函数如图所示,显然在此区间内既无最大值也无最小值.2(0,2)yx 在内的图形2yx2xy4O注意：注意：(1),10()0,
4、02,2()(13 31)xxf xxxxf x 再如,函数 在闭间-1,2 上有间断点,容易 0看出,在区间-1,2 上既无最大值也无最小值 见图1122xyO.0 2.介值性(),()(),()()()()f xa bf af bf af ba,bf 若函数在闭区间上连续且则每个介于与之间的数,在()内至少存在一点,使得不一定惟一.定理,()(),(,)()0f af ba bf 特别若和异号那么在开区间内至少存在一点,使得 发散发散;3272 0(0,3).xxx 证明方程在内到少有一个根例 证明：32()72,0,3,(0)2 0,(3)13 0.f xxxxff 显然它在闭区间上是连续的并在区间端点的函数值.32,(0,3)()0.72 0(0,3)fxxx 根据介值性质可知内至少有一点,使得说明方程在内至少有一个根.
