1、第第1 1章章 函数、极限和连续函数、极限和连续 1.1.1 1.1.1 基本知识基本知识1.1.2 1.1.2 函数的概念函数的概念1.1.3 1.1.3 函数的简单性质函数的简单性质1.1 1.1 函数的概念及其性质函数的概念及其性质1.1.1 基本知识基本知识1）常量与变量 在观察过程中保持不变的量，这种量称为常量，通常用字母 来表示；在观察过程中会起变化的量，这种量称为变量，通常用字母 来表示.例如，自由落体的下降时间和下降距离是变量，而落体的质量在这个过程中是常量.,.a b c,.x y z2）区间 任何变量都有一定的变化范围，有时变量可取任意实数值，有时又要受到某种条件的限制，若
2、变量的变化范围是连续的，我们常用区间来表示.,axba,b设两个实数a,b且a b则满足的实数的全体称为闭区间，记作：axb,则满足的实数的全体称为开区间，记作：a b3)邻域邻域是在微积分中经常用到的一个概念.在数轴上，以点为中心的任何开区间称为点的邻域，记作：.设 为任意一个正数（），则开区间 就是点的一个邻域，这个邻域称为点 的 邻域，记作：，即，其中点 称为邻域的中心，称为邻域的半径.0()U x000(,)xx0 x0(,)U x0 x1.1.2 函数的概念函数的概念 设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数集。如果对于每一个数 xD，变量 y 按照 一定的法则总有确定的数值与
3、之对应，则称 y 是 x 的函数，记作y=f(x)，其中 x 为自变量，y为因变量。，f1=+=(-,+),R=(-,+),f例.函数y 2x 1的定义域为D值域是其图形是一条直线。有的函数要用几个式子来表示.这种在其定义域的不同范围内，对应法则用不同的式子来表示的一个函数，称为分段函数分段函数.需要注意的是，分段函数是一个函数,而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集；分段函数的函数值是用自变量所在区间所对应的式子来计算的.通过对函数定义的分析不难发现，确定一个函数，起作用的两要素是：定义域和对应法则.若两个函数的定义域相同且对应法则也相同，则这两个
4、函数就相同，否则就不同.212()1xf xx例.与()1g xx 是否是相同函数，为什么？(,1)(1,)fD (,)gD 而，()f x()g x解：不相同.因为，显然两个函数的定义域不相同，所以与不相同.=-有界函数的图形必须位于两条直线y M和yM之间1.1.2 函数的简单性质函数的简单性质1）函数的有界性）函数的有界性=(x),(x),=(x)Dy ffMy f设函数在D上有定义，若存在正数M，使对于任何xD 都有则称函数在 上有界；否则，称为无界。注意：注意：2）函数的单调性）函数的单调性2212212y=f(x)D,()()()D()()Dx xDxxf xf xyf xxxf
5、xf xyf x111设函数在 上有定义，任取当时，有，则称函数在 上是单调增加的；当时，有，则称函数在 上是单调减少的。3）函数的奇偶性）函数的奇偶性y=f(x)D,(-)()()DxDfxf xyf x设函数在 上关于原点对称，若任取都有，则称函数是 上的偶函数；.0 4）函数的周期性）函数的周期性y=f(x)DT,()()()()T()xTDf xTf xyf xf x 设函数的定义域为，若存在正数使任何xD 有且，则称函数为周期函数，称为的周期。发散发散;2222()lg(9)14050240550 5,2)(2,2)(2,)fxf xxxxxxxxxD 解：要使有意义，必须且，即，解得，所以该函数的定义域为223()lg(9)1xf xxx例.求的定义域。
