1、 2.3幂函数幂函数 问题引入问题引入(1)如果张红购买了每千克如果张红购买了每千克1元的蔬菜元的蔬菜w千克千克,那么那么她需要支付她需要支付p=元元(2)如果正方形的边长为如果正方形的边长为a,那么正方形的面积那么正方形的面积 (3)如果立方体的边长为如果立方体的边长为a,那么立方体的体积那么立方体的体积 (4)如果一个正方形场地的面积为如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方那么这个正方形的边长形的边长(5)如果人如果人t s内骑车行进了内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均那么他骑车的平均速度速度 S我们先看几个具体问题我们先看几个具体问题:V 若将它们的自变量全部用若将它们的自变量全
2、部用x来表示来表示,函数值用函数值用y来来表示表示,则它们的函数关系式将是则它们的函数关系式将是:xy 21xy 1 xy xy w2a3a a21SskmV/1 t2xy 3xy 定义几点说明几点说明:.,是常量是常量是自变量是自变量其中其中叫做幂函数叫做幂函数函数函数一般地一般地 xxy 21 式子式子 名称名称 a x y 指数函数指数函数:y=a x 幂函数幂函数:y=x a 底数底数指数指数指数指数底数底数幂值幂值幂值幂值幂函数与指数函数的对比判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点看看未知数看看未知数x是是指数指数还是还是底数底数幂函数幂函数函数
3、函数例1:判断下列函数是否为幂函数判断下列函数是否为幂函数.(1)y=x4 21)2(xy (3)y=-x2 21)4(xy(5)y=2x2(6)y=x3+2 1 1、幂函数的解析式必须是、幂函数的解析式必须是y=y=的形式，的形式，其特征可归纳为其特征可归纳为“两个两个系数为系数为，只有，只有项项2 2、定义域定义域与与k k的值有关系的值有关系.4321-1-2-3-4-2246作出下列函数的图象：作出下列函数的图象：yx2yx3yx12yx(1,1)(2,4)(-2,4)(-1,1)(-1,-1)从图象能得出他从图象能得出他们的性质吗们的性质吗?(4,2)几个幂函数的性质:定义域定义域值
4、域值域奇偶性奇偶性单调性单调性公共点公共点RR奇函数奇函数增函数增函数(0,0),(1,1)R偶函数偶函数(0,0),(1,1)RR奇函数奇函数增函数增函数(0,0),(1,1)非奇非偶非奇非偶 增函数增函数(0,0),(1,1)奇函数奇函数(1,1)yx2yxyx2yx3yx12yx1yx3yx12yx1yx0y0 x 0 x 0y0y 幂函数的性质幂函数的性质:.所有的幂函数在所有的幂函数在(0,+)(0,+)都有定义都有定义,并且函数并且函数图象都通过点图象都通过点(1,1(1,1);幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式中中k k的不同而各异的
5、不同而各异.如果如果k0,k0,则幂函数的图象过点则幂函数的图象过点(1,1),(1,1),并在并在(0,+)(0,+)上为减函数上为减函数;K0,k0,则幂函数的图象过点则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)并在并在(0,+)(0,+)上为增函数上为增函数;k10k1练习练习:如图所示，曲线是幂函数如图所示，曲线是幂函数 y=xk 在第一象限在第一象限内的图象，已知内的图象，已知 k分别取分别取 四个值，四个值，则相应图象依次为则相应图象依次为:_ 11,1,22一般地，幂函数的图象一般地，幂函数的图象 在直线在直线x=1的右侧，大指的右侧，大指数在上，小指数在下，在
6、数在上，小指数在下，在Y轴与直线轴与直线x=1之间正好相反。之间正好相反。C4C2C3C111、求下列幂函数的定义域：、求下列幂函数的定义域：（1）y=x （2）y=x （3）y=x （4）y=x-2练习31.),2()(22式式试试求求出出这这个个函函数数的的解解析析的的图图象象过过点点、已已知知幂幂函函数数xfy .212log2log,22),2,2(,:212122xyxy 故故所所求求的的幂幂函函数数为为所所以以所所以以因因为为函函数数过过点点设设所所求求幂幂函函数数为为解解 524 43 3练习练习:如果函数如果函数 是幂函数，且在是幂函数，且在区间（区间（0，+）内是减函数，求满
7、足条件的实）内是减函数，求满足条件的实数数m的集合。的集合。2m 1m 舍去32221mmxmmxf)()(.),0)(.2上是增函数上是增函数在在证明幂函数证明幂函数例例 xxf则则且且任任取取证证明明,),0,:2121xxxx 2121212121)()()(xxxxxxxxxfxf 2121xxxx ,0,0,0212121 xxxxxx所所以以因因为为.),0)()()(21上上的的增增函函数数在在即即幂幂函函数数所所以以 xxfxfxf例例3.利用单调性判断下列各值的大小。利用单调性判断下列各值的大小。（1）5.20.8 与与 5.30.8 （2）0.20.3 与与 0.30.3
8、(3)2.5-25与 2.7-25解解:(1)y=x0.8在在(0,)内是增函数内是增函数,5.25.3 5.20.8 5.30.8(2)y=x0.3在在(0,)内是增函数内是增函数0.20.3 0.20.3 0.30.3(3)y=x-2/5在在(0,)内是减函数内是减函数2.52.7-2/53432321.1710)22)(4(、）（、练习练习1）0.51.30.51.525.125.092）3）141.79141.814）223(2)a232小结小结1 1、幂函数的定义、幂函数的定义及图象特征及图象特征?2 2、幂函数的性质、幂函数的性质3、思想与方法、思想与方法 k0,k0,在在(0,+)(0,+)上为增函数上为增函数;k0,k0,在在(0,+)(0,+)上为减函数上为减函数 图象过定点图象过定点(1,1)
