1、启用前 绝密 江苏省连云港市 2019 2020 学年度第一学期期末考试试卷 高 二 数 学 2020.01 一. 单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有个是符合题目 要求的.) 1. 命题“x R，x2x+1 0”的否定是() A. x R，x2x+1 0B. x R，x2x+1 0)，直线 x = a 2 与椭圆 E 交于 A，B 两点，且 OAOB （O 为坐标原点） ， 则椭圆 E 的离心率是() A. 6 6 B. 2 3 C. 3 3 D. 6 3 二. 多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给
2、出的四个选项中，少有两个是符合题目 要求的.） 9. 已知等比数列 an 中，满足 a1= 1，公比 q = 2，则() A. 数列 2an+an+1 是等比数B. 数列 an+1an 是等比数列 C. 数列 anan+1 是等比数列D. 数列 log2|an| 是递减数列 10. 已知点 P 是 ABC 所在的平面外一点，若 # AB = (2，1，4)，# AP =(1，2，1)，# AC =(4，2，0)，则 () A. APABB. APBPC. BC 53 D. APBC 11. 已知 p，q 都是 r 的充分条件，s 是 r 的必要条件，q 是 s 的必要条件，则() A. p 是
3、 q 的既不充分也不必要条件B. p 是 s 的充分条件 C. r 是 q 的必要不充分条件D. s 是 q 的充要条件 12. 设 P 是椭圆C：x 2 2 +y2= 1 上任意一点，F1，F2是椭圆 C 的左、右焦点，则() A. PF1+PF2= 22B. 2 0) 的焦距为 2准线方程为 x3，则该椭圆的标准方程是；直 线 y = x 2 与该椭圆交于 A，B 两点，则 AB = . 16. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，a1= 9，Sn+Sn+1= 3 2n 2+3 2n+1(n N )，则 S52 =. 四. 解答题（本题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出字说明、证
4、明过程或演算步骤） 17. (本小题满分 10 分) 已知命题 p： “方程 x2 2m y2 m+2 = 1 表示的曲线是焦点在 x 轴上的双曲线” ；命题 q： “a m a+2” (1) 若命题 p 为真，求实数 m 的取值范围； (2) 若命题 p 是 q 的必要条件，求实数 a 的取值范围 18. (本小题满分 12 分) 河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面 8 m，拱 圈内水面宽 24 m，一条船在水面以上部分高 6.5 m，船顶部宽 6 m (1) 试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程； (2) 近日水位暴涨了 1.54 m，为此，必须加重船载
5、，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多 少? （精确到 0.1 m） 江苏 2020 届考备考系列试卷第 2 页 (共 4 页) AB CD E F A1 B1 C1D119. (本小题满分 12 分) 如图，已知点 E，F 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 BC 和 CD 的 中点，求： (1) AD 与 EF 所成角的大小； (2) A1F 与平面 B1CD1所成角的正弦值 20. (本小题满分 12 分) 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，满足 Sn= 3+2an(n N)；数列 bn 为等差数列且 a1+b1= 1， a2b3= 48 (1) 求数列 an
6、和 bn 的通项公式； (2) 若 Tn为数列 1 Sn+1 3 SnSn+1 的前 n 项和，求满足不等式 Tn 1023 3210 的 n 的最大值 江苏 2020 届考备考系列试卷第 3 页 (共 4 页) x A B P C 21. (本小题满分 12 分) 如图，在三棱锥 PABC 中，PA = 3，PB = PC = 5，AB = AC = 2， BC = 211 3 (1) 求二面角 BAPC 大小的余弦值； (2) 求点 P 到底面 ABC 的距离 x y A B O P F 22. (本小题满分 16 分) 如图， 点 F 为椭圆C：x 2 a2 + y2 b2 =1(ab0
7、) 的左焦点， 点 A， B 分别为椭 圆C 的右顶点和上顶点，点 P(-2， 6 2 ) 在椭圆C 上，且满足 OPAB (1) 求椭圆C 的方程； (2) 若过点 F 的直线 l 交椭圆C 于 D，E 两点（点 D 位于 x 轴上方） ，直线 AD 和 AE 的斜率分别为 k1和 k2， 且满足 k1k2= 2，求直线 l 的方程 江苏 2020 届考备考系列试卷第 4 页 (共 4 页) 1 x 20192020 学年度第一学期期末考试学年度第一学期期末考试 高二数学参考答案高二数学参考答案及评分标准及评分标准 一、单项选择题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 1.A 2.B
8、3.C 4.C 5.D 6.C 7.C 8.D 二、多项选择题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 9.BC 10.AC 11.BD 12.ACD 三、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 2 8yx ； 14112； 15 22 1 32 xy ； 12 5 ； 162020. 17解： （1）因为方程 22 1 22 xy mm 表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线， 所以 20, +20, m m 解得0m ，所以命题p为真时实数m的取值范围为(0,) 5 分 （2）因为p是q的必要条件，所以qp，所以,20,a a ，故0a 综上，实数a的取值范围为(0,)10
9、 分 18 解： （1） 设抛物线型拱桥与水面两交点分别为A，B， 以AB 垂直平分线为y轴，拱圈最高点O为坐标原点，建立平面直角坐标 系，则( 12, 8)A ，(12, 8)B， 设拱桥所在的抛物线方程为 2 2(0)xpy p ，3 分 因点( 12, 8)A 在抛物线上，代入解得9p ， 故拱桥所在的抛物线方程是 2 18xy 6 分 （2）因 2 18xy ，故当3x 时，0.5y ， 故当水位暴涨 1.54m 后，船身至少应降低 6.5 1.54(80.5)0.54，.11 分 因精确到 0.1m，故船身应降低 0.6m 答：船身应降低 0.6m，才能安全通过桥洞12 分 19解：
10、不妨设正方体的棱长为 1，以 1 ,DA DC DD为单位正交基 底， 建立如图所示空间直角坐标系Dxyz， 则各点坐标为(1,0,0)A， (0,1,0)C， 1(0,1,1) C， 1(1,0,1) A， 1(1,1,1) B， 1(0,0,1) D， 1 ( ,1,0) 2 E， 1 (0,0) 2 F2 分 （1）因为 1 ( 1,0, 1)AD ， 11 (,0) 22 EF ，所以 2 22 1 ( 1)0( 1)2AD ， 22 112 ()()0 222 EF ， 1 11 00 22 A D EF，4 分 由 1 1 1 1 cos, 2 AD EF AD EF AD EF
11、，因 1 ,AD EF0, 故向量 1 A D与EF夹角为 3 ，因此， 1 A D与EF所成角的大小为 3 6 分 （2） 1 1 ( 1, 1) 2 A F ， 1 ( 1,1,1)AC ， 11 (1,1,0)D B ， 1 (0,1, 1)DC ， 因为 111 1 1+1 1+1 0=0ACD B ， 11 1 0+1 1+1 ( 1)=0ACDC ， 所以 111 ACD B， 11 ACDC， 又 1111 DCDCD，所以 1 AC 平面 11 D BC，因此 1 AC是平面 11 D BC的法向量；8 分 因为 222 1 13 ( 1)( )( 1) 22 AF ， 222
12、 1 ( 1)113AC ， 11 11 1 ( 1)1( 1) 1 22 A F AC ，10 分 所以， 11 11 11 3 cos, 9 AF AC AF AC AF AC ，11 分 综上， 1 A F与平面 11 D BC所成角的正弦值为 3 9 12 分 20解： （1）因为32 nn Sa，所以当1n 时， 11 32Sa，解得 1 3a 当n2时， 11 (32)(32) nnnnn aSSaa ，化简得 1 2 nn aa 又 1 30a ，所以0 n a ，因此 1 2 n n a a ， 所以 n a是首项为3公比为 2 的等比数列，即 1 3 2n n a ；3 分
13、又 11 1ab ， 23 48a b ，即 1 31b ， 3 648b ，所以 1 2b ， 3 8b ， 因为数列为等差数列，所以公差 31 1 ()3 2 dbb，故31 n bn；5 分 （2）由（1）知 n a是首项为3公比为 2 的等比数列，所以 1(1 ) 33 2 1 n n n aq S q ， 所以 11 13 nnn SSS 11 13 33 2(33 2 ) (33 2) nnn 11 11 3(12)3(12 ) (12) nnn 11 121111 () 3(12 ) (12)3 2121 n nnnn ，8 分 故 n T 1223341 111111111 (
14、)()() 32121212121212121 nn n b 3 1 11 (1) 321 n 10 分 若 10 1023 32 n T ，即 110 111023 (1) 32132 n ，即 110 111 2110242 n ， 可得 110 212 n ，所以9n， 综上，使得的最大的的值为 912 分 21解： （1）在ABP中作BDAP，垂足为D， 因为5PBPC，2ABAC，AP为公共边， 所以ABPACP，又BDAP，所以CDAP， 所以BDC为二面角BAPC的平面角；2 分 又 222 PBABPA，所以90PBA， 故ABP的面积 11 22 ABP SAB PBPA B
15、D ， 所以 2 5 3 AB PB BD PA ，同理 2 5 3 CD ， 在BCD中， 222 1 cos 210 BDCDBC BDC BD CD ，4 分 所以，二面角BAPC大小的余弦值为 1 10 5 分 （2） （法一）取BC中点E，连结AE，PE，在平面PAE中作POAE，垂足为O 因为ABAC，所以AEBC同理PEBC 又AEPEE，AE 平面PAE，PE 平面PAE，所以BC 平面PAE 因为PO 平面PAE，所以POBC 又POAE，BCAEE，BC 平面ABC，AE 平面ABC， 所以PO 平面ABC， 因此，点P到底面ABC的距离即为PO的长；8 分 在Rt ABE
16、中， 2222 15 () 23 AEABBEABBC， 在Rt PBE中， 2222 134 () 23 PEPBBEPBBC， 在PAE中， 222 4 cos 25 PAAEPE PAE PA AE ，10 分 所以， 2 3 sin1cos 5 PAEPAE， 在Rt PAO中， 9 sin 5 POPAPAE，11 分 综上，点P到底面ABC的距离为 9 5 12 分 （法二）由（1）知BDAP，CDAP，又BDBCD面，CDBCD面，BDCDD 10 1023 32 n T n P A B C D E O 4 所以APBCD面，则 1 3 PABCP BCDA BCDBCD VVV
17、PA S ， 在BCD中， 2 5 3 BDCD， 1 cos 10 BDC ， 故 1 sin 2 BCD SDB DCBDC 2 2 12 5111 1 23103 . 则 111 33 PABCBCD VPA S . 在ABC中，2ABAC， 2 11 3 BC ，则 5 11 9 ABC S. 设点P到底面ABC的距离为h，则 111 33 P ABCABC VhS ，故 9 5 h . 22解： （1）由 6 (2,) 2 P 在椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab上得 22 23 1 2ab ； 如图，由A为C的右顶点B为C的上顶点可知( ,0)A a，(0, )Bb
18、 因OPAB，所以 OPAB kk，则 3 2 b a ； 2 分 联立得方程组 22 23 1, 2 3 , 2 ab b a 解得 2, 3. a b 故所求椭圆C的方程为 22 1 43 xy 4 分 （2） （法一）因椭圆C的方程为 22 1 43 xy ，所以( 1,0)F ，(2,0)A 因直线l的斜率不为 0，可设直线l的方程为1xky，设 11 (,)D x y， 22 (,)E x y， 联立方程组 22 1, 43 1, xy xky 消去x得 22 (34)690kyky，6 分 解得 2 1,2 2 6121 2(34) kk y k ，故 12 2 6 34 k yy
19、 k ， 12 2 9 34 y y k ， 2 12 2 121 34 k yy k 因2 ADAE kk ， 则 12 12 2 22 yy xx ， 则 12 12 2 33 yy kyky ， 即 21 2 1212 3() 2 3 ()9 yy k y yk yy ， 化简得 2 12k ，故3k ，10 分 所以直线l的方程为31xy ，即310xy .12 分 （法二）因椭圆C的方程为 22 1 43 xy ，所以( 1,0)F ，(2,0)A 当直线l的斜率不存在时1 ADAE kk 6 分 当直线l的斜率存在时，设l的方程为(1)yk x，设 11 (,)D x y， 22
20、(,)E x y， 联立方程组 22 1, 43 (1), xy yk x 消去y得 2222 (43)84120kxk xk， 5 解得 22 1,2 2 8121 2(43) kk x k ，故 2 12 2 8 43 k xx k ， 2 12 2 412 43 k x x k ， 2 12 2 121 43 k xx k 因2 ADAE kk ，则 12 12 2 22 yy xx ，由(1)yk x得 12 12 (1)(1) 2 22 k xk x xx ，即 21 12 3 () 2 (2)(2) k xx xx ，8 分 21 1212 3 () 2 2()4 k xx x xxx ， 2 2 22 22 121 3() 43 41216 4 4343 k k k kk kk 2 ， 化简得 2 12kk ，解得 3 3 k ， 所以直线l的方程为 3 (1) 3 yx ，即310xy 12 分
