1、 经济数学基础函数的极值衡阳电大信息网络工程学院衡阳电大信息网络工程学院 沈玲芝沈玲芝 教学教学目的目的 v了解函数的极值概念v掌握函数极值的必要条件v掌握函数极值的第一充分条件v掌握求函数极值的方法与步骤 教学教学重点重点v函数的极值概念v求函数极值的方法与步骤 教学难教学难点点v函数极值的必要条件v函数极值的第一充分条件 教学教学方法方法探究交流式 教学教学手段手段多媒体教学 .x3教学过程之一教学过程之一:创设情境、导入新创设情境、导入新课课abx4x2x5x6x1yx.观察上述图形，图像在观察上述图形，图像在x1 左左边边上升（函上升（函数递数递增），增），经过经过x1 点，改点，改变
2、变了升降性，了升降性，图像在图像在x1 右边右边改为下降（函数递减），即（改为下降（函数递减），即（x1，f(x1)）处处在在曲曲线线的的“峰峰顶顶”，而点，而点（x3，f(x3)）、）、（x5，f(x5)）也具有同样特点。）也具有同样特点。而图像在而图像在x2 左边下降（函数递减），经过左边下降（函数递减），经过x2 点，点，改在了升降性，图像在改在了升降性，图像在x2 右边改为上升（函数递右边改为上升（函数递增），即（增），即（x2，f(x2)）处在曲线的）处在曲线的“谷底谷底”，而，而点（点（x4，f(x4)）、）、（x6，f(x6)）也具有同样特）也具有同样特点。点。教学过程之一教学过
3、程之一:创设情境、导入新创设情境、导入新课课 具有这些特点的点在应用上有着重要意义，给出具有这些特点的点在应用上有着重要意义，给出定义：定义：定义：设函数定义：设函数f(x)在点在点x0的某邻域内有定义，如的某邻域内有定义，如果对该邻域内的所有的点果对该邻域内的所有的点,都有都有f(x)=f(x0),则称则称f(x0)是函数是函数f(x)的极小值，的极小值，称称 x0 为函数的极小值为函数的极小值点点。教学过程之二教学过程之二:合作交流、探究新知合作交流、探究新知 函数的极大值与极小值统称为函数的极值函数的极大值与极小值统称为函数的极值极大值点与极小值点统称为极值点极大值点与极小值点统称为极值
4、点注意：注意：1、函数的极值是局部概念，只是极值点附近、函数的极值是局部概念，只是极值点附近的局部的最大的局部的最大或或最小值，并不一定是整个定最小值，并不一定是整个定义域上的最大义域上的最大或或最小值。最小值。2、极值不、极值不能能在区间的端点取得。在区间的端点取得。教学过程之二教学过程之二:合作交流、探究新知合作交流、探究新知 .x3教学过程之二教学过程之二:合作交流、探究新知合作交流、探究新知abx4x2x5x6x1yx.教学过程之二教学过程之二:合作交流、探究新知合作交流、探究新知xy0Y=x.观察前面观察前面两个两个图形发现：图形发现：第一个图第一个图 在极值点处曲线都有水平的切线，
5、在极值点处曲线都有水平的切线，由此由此得出：得出：函数的极值在导数为函数的极值在导数为0的点取得的点取得第二图形第二图形 极值点为尖点（导数不存在点），极值点为尖点（导数不存在点），由此得出：函数的极值在不可导点取得由此得出：函数的极值在不可导点取得因此想到：因此想到：函数的极值在导数为函数的极值在导数为0的点的点或导或导数不存在的点数不存在的点取得取得 教学过程之二教学过程之二:合作交流、探究新知合作交流、探究新知 使f(x)=0的点称为函数的点称为函数f(x)的驻点的驻点定理定理3.2 （极值的必要条件）如果点（极值的必要条件）如果点x0是函是函数数的的极值极值点点,且且f(x0)存在存在
6、,则则f(x0)=0即：可导函数的极值点必定是它的驻点即：可导函数的极值点必定是它的驻点但反过来，函数的驻点不一定是极值点但反过来，函数的驻点不一定是极值点 教学过程之二教学过程之二:合作交流、探究新知合作交流、探究新知 结论：函数的极值在它的驻点及导数不存在结论：函数的极值在它的驻点及导数不存在的点取得，但是驻点和导数不存在的点不一的点取得，但是驻点和导数不存在的点不一定就是函数的极值点。定就是函数的极值点。如何判断一个函数的驻点和导数不存在的点如何判断一个函数的驻点和导数不存在的点是不是极值点呢？是不是极值点呢？教学过程之二教学过程之二:合作交流、探究新知合作交流、探究新知 定理定理3.3
7、(极值的第一充分条件极值的第一充分条件):设设f(x)在点在点x0的的邻邻域域内连续并内连续并且可且可导导(f(x0)可以不存在可以不存在)1.如果在点如果在点x0的左邻域内的左邻域内f(x)0,在在x0的的右右邻域邻域 f(x)0,那么那么X0是是f(x)的极大值点的极大值点,f(x0)是是f(x)极大极大值值.2.如果在点如果在点x0的左邻域内的左邻域内f(x)0,那么那么X0是是f(x)的极小值点的极小值点,f(x0)是是f(x)极小极小值值.教学过程之二教学过程之二:合作交流、探究新知合作交流、探究新知3.如果在点如果在点x0的左右邻域内的左右邻域内f(x)不变号不变号,那么点那么点x
8、0不是不是f(x)的极值点的极值点 左正右负（左增右减）为极大左正右负（左增右减）为极大教学过程之二教学过程之二:合作交流、探究新知合作交流、探究新知 左负右正（左减右增）为极小左负右正（左减右增）为极小教学过程之二教学过程之二:合作交流、探究新知合作交流、探究新知 求极值的步骤：求极值的步骤：1.确定函数的定义域确定函数的定义域,并求导数并求导数f(x)；2.解方程解方程f(x)=0,求出求出f(x)在其定义域内的所有在其定义域内的所有驻点驻点；4.讨论讨论f(x)在所有驻点在所有驻点及不可导点及不可导点左、右两侧附左、右两侧附近符号变化近符号变化的情况的情况,确定函数的极值点确定函数的极值
9、点；教学过程之二教学过程之二:合作交流、探究新知合作交流、探究新知3.找找出出f(x)连续但导数不存在的所有连续但导数不存在的所有点点；5.求出函数的极值。求出函数的极值。解解:函数的定义域为函数的定义域为(-,+)y=-4x3+8x2-4x=-4x(x-1)2令令y=0,得得x1=0.x2=1,列表讨论如下列表讨论如下xy (-,0)0(0,1)1(1,+)+00y2极大极大值值非极值非极值递递增增递递减减递减递减教学过程之教学过程之三三:应用迁移应用迁移、巩固提高巩固提高例例1、求函数、求函数f(x)=-x4+8/3x3-2x2+2的极值的极值 当当x=0时，时，y有极大值，有极大值，y极
10、大值极大值2 注意注意:x=1函数的驻点，但不是函数的极值点函数的驻点，但不是函数的极值点教学过程之教学过程之三三:应用迁移应用迁移、巩固提高巩固提高 学生随堂练习学生随堂练习(教材教材134页）：页）：求函数求函数f(x)=x3-3x2-9x+1的极值的极值教学过程之教学过程之三三:应用迁移应用迁移、巩固提高巩固提高答案：答案：当当x=-1时时,函数有极大值函数有极大值f(-1)=6，当当x=3时时,函数有极小值函数有极小值f(3)=-26 （1 1）本节从函数图象出发阐述了函数的极大）本节从函数图象出发阐述了函数的极大 值、极小值、极值、极小值、极大大值值点点、极、极小小值点的意义；值点的
11、意义；（2 2）本节讲述了函数极值的必要条件，函数本节讲述了函数极值的必要条件，函数极值的第一充分条件；极值的第一充分条件；（3 3）本节归纳了本节归纳了利用导数求函数的极大值和利用导数求函数的极大值和极小值的极小值的一般步骤与一般步骤与方法。方法。教学过程之教学过程之四四:小结反思、拓展升华小结反思、拓展升华 重申：重申：对于可导函数，其一点是极值点的必对于可导函数，其一点是极值点的必要条件是这点的导数为要条件是这点的导数为0；其一点是极值点的；其一点是极值点的充分条件是这点两侧的导数异号。充分条件是这点两侧的导数异号。教学过程之教学过程之四四:小结反思、拓展升华小结反思、拓展升华 1、思考：、思考：是不是导数等于是不是导数等于0的点都是极值的点都是极值点？点？不是不是 是不是极值点都是导数等于是不是极值点都是导数等于0的点的点？不是不是教学过程之教学过程之五五:布置课外作业布置课外作业 2、求函数求函数y=(x2-1)3+1的极值的极值 再再 见见
