1、6 陪集与拉格朗日定理陪集与拉格朗日定理定义定义 令是群的子群且aG，则把下面集合：a H=a h|hH称为由元素a所确定的群中的H的左陪集，或简称为左陪集并简记aH。定义定义 令是群的子群且aG，则把下面集合：H a=h a|hH称为由元素a所确定的群中的H的右陪集，或简称为右陪集并简记Ha。显然，若是Abel群，并且是其子群，则aH=Ha，即任意元素的左陪集等于其右陪集。例：例：设是群的子群，其中H=0,2，则群中的H的左陪集有：0H=0+40，2=0+40，0+42=0，21H=1+40，2=1+40，1+42=1，32H=2+40，2=2+40，2+42=2，03H=3+40，2=3+
2、40，3+42=3，1因此，H的左陪集有2个，它们是0，2和1，3。由于是Abel群，故H的右陪集同样也是0，2和1，3。根据左陪集的定义，可得到下列结论：(1)若为群的子群，则H为中的左陪集。因为若e是的幺元，则e H=e h|hH|=H。(2)若是群的子群，对任意aG，则aaH。因为eH，故a=a eaH。根据右陪集的定义，可得到下列结论：(1)若为群的子群，则H为中的右陪集。因为若e是的幺元，则H e=h e|hH|=H。(2)若是群的子群，对任意aG，则aHa。因为eH，故a=e aHa。定理定理 ：若是群的子群，aH，则aH=H。证明证明 ：先证 aHH若 xaH，则 hH，x=a
3、h，因为aH，是群的子群，运算在集合H上满足封闭性，所以a h H，则xH，因此aHH。再证HaH 若 hH，则h=e h=(a a-1)h=a(a-1 h)，因为是群的子群且a,hH，所以a-1 hH。由此导出haH。因此，HaH。综上所述，故aH=H。拉格朗日拉格朗日定理定理 定理定理:若若H 是有限群是有限群G 的子群，且的子群，且|G|=n|G|=n，|H|=m|H|=m，则则n=n=mkmk，其中，其中k kI I+，I I+是正整数集合。是正整数集合。本定理表明，任何有限群的阶均可被其子群的阶所整除。本定理表明，任何有限群的阶均可被其子群的阶所整除。推论推论:(1)(1)一个素数阶
4、的群必为循环群，并且除幺元一个素数阶的群必为循环群，并且除幺元e e外外,每个元素每个元素都是其生成元；都是其生成元；(2)(2)素数阶的群只有平凡子群。素数阶的群只有平凡子群。定义：对两个同类型代数系统定义：对两个同类型代数系统，其，其中中 与与*都是二元运算。如果存在双射都是二元运算。如果存在双射f：UV，使，使得对得对 x1，x2 U，都有，都有 f（x1 x2）=f（x1）*f（x2），），就称就称f是一个从是一个从到到的同构映射，或说的同构映射，或说与与是同构的。是同构的。记作：记作：1、同构、同构同态和同构是讨论二个代数系统之间的关系。7 同构与同态同构与同态 例：例：设设A=aA
5、=a，b b，c c，dd，在，在 A A 上定义一个二元运算上定义一个二元运算“”，又，又设设B=B=，在，在 A A 上定义一个二元运算上定义一个二元运算“*”，如下表：如下表：证明：证明：和和是同构。是同构。证明：考察映射证明：考察映射 f(a)=,f(b)=,f(c)=,f(d)=，显然，显然，f 是一是一个从个从A到到B的双射，由表容易验证的双射，由表容易验证 f 是从是从到到的同构映射，的同构映射，所以所以和和是同构的。是同构的。abcdaabcdbbaaccbddcdabcd*例：例：设设A=aA=a，b b，c c，dd，在，在 A A 上定义一个二元运算上定义一个二元运算“”
6、，又，又设设B=B=，在，在 A A 上定义一个二元运算上定义一个二元运算“*”，如下，如下表：表：证明：证明：和和是同构是同构证明：考察映射证明：考察映射 g，使得，使得 g(a)=,g(b)=,g(c)=,g(d)=，g也也是从是从到到的同构映射。所以的同构映射。所以和和是是同构的。同构的。注：两个代数系统是同构，他们之间的同构映射可以是不唯一的。注：两个代数系统是同构，他们之间的同构映射可以是不唯一的。abcdaabcdbbaaccbddcdabcd*解：解：作映射作映射 f：I2I，f(x)=2x，则则 f 是双射。是双射。对任何对任何a，b I，f(a+b)=2(a+b)=2a+2b
7、=f(a)+f(b)因此，因此，V1 和和 V2 同构同构例：例：设代数系统设代数系统V1=，V2=，其中，其中I是整是整数集合，数集合，+运算是一般的加运算，运算是一般的加运算，V1 和和 V2 是否同构？是否同构？定理定理2：如果：如果满足交换律，且满足交换律，且 则则也满足交换律。也满足交换律。定理1：如果满足结合律，且，则也满足结合律。定理定理3：如果：如果满足分配律，且满足分配律，且 则则也满足分配律。也满足分配律。定理定理4：如果：如果存在单位元，且存在单位元，且 ，则则也存在单位元。也存在单位元。定理定理5：设：设存在零元素，且存在零元素，且 ，则则也存在零元素。也存在零元素。定
8、理定理6：若：若对每个对每个x U，存在逆元素，存在逆元素x-1，且，且 ，则，则中任一元素中任一元素 y 必存在逆元必存在逆元素素y-1。定理定理7：代数系统间的同构关系是等价关系。：代数系统间的同构关系是等价关系。2 2、同态、同态如果将同构的条件放宽一点，则可以得到比同构范如果将同构的条件放宽一点，则可以得到比同构范围更广的关系，为此引入同态、满同态，单一同态围更广的关系，为此引入同态、满同态，单一同态概念。概念。定义定义设设U=A,U=和和V=B,V=是二个代数系统，是二个代数系统，设设U U到到V V存在一个映射存在一个映射f f :A:AB B，对任意，对任意a1,a2a1,a2
9、A A，若，若有有f(a1f(a1 a2)=f(a1)a2)=f(a1)*f(a2)f(a2)，则称，则称 f f是从代数系是从代数系统统U U到到V V的同态映射。称的同态映射。称U U同态于同态于V V。讨论定义：讨论定义：（1）对同态来说，二个代数系统的基数可以不相等，）对同态来说，二个代数系统的基数可以不相等，只要满足函数的条件就行；只要满足函数的条件就行；（2）一个代数系统到另一个代数系统可能存在多于一个同态。例：设集合例：设集合A=a，b，c，在，在A上定义运算。如下表，那上定义运算。如下表，那么，么，V1=（I+，+），），V2=（A，），其中），其中 I 是正整数集是正整数集合
10、，合，+运算是普通的加法。运算是普通的加法。V1 和和V2是否同态？是否同态？解：解：作映射作映射 f：I+A abcaabcbbabcacb,(),axf xbx 是偶数是偶数是奇数是奇数同构与同态同构与同态定义定义若若 f:AB 是从是从U=到到 V=的同态，的同态，于是有：于是有：（1）若）若 f 是满射函数，则称是满射函数，则称 f 是从是从U到到V的满同态；的满同态；（2）若）若 f 是入射函数，则称是入射函数，则称 f 是从是从U到到V的单一同态；的单一同态；（3）若）若 f 是双射函数，则称是双射函数，则称 f 是从是从U到到V的同构。的同构。定义定义设设V是一个代数系统，如果是
11、一个代数系统，如果f是由是由V到到V的同态，则称的同态，则称f为自同态。如果为自同态。如果g是是V到到V的同构，则称的同构，则称g为自同构。为自同构。8 环与域环与域1、环的环的定义定义对具有两个二元运算的代数系统对具有两个二元运算的代数系统，如果，如果（1）是交换群（阿贝尔群）；是交换群（阿贝尔群）；（2）是半群是半群;（3）“*”对对“”满足分配律，即对满足分配律，即对 a,b,c U,a*(b c)=(a*b)(a*c)(b c)*a=（b*a）（c*a）成立成立 则称则称是环。是环。例：在数系中，整数、有理数、实数对普通的加法及乘法运算构例：在数系中，整数、有理数、实数对普通的加法及乘
12、法运算构成的代数系统是环吗？正整数对普通的加法及乘法运算构成的成的代数系统是环吗？正整数对普通的加法及乘法运算构成的代数系统是环吗？代数系统是环吗？q、都是环都是环q不是环。不是环。约定：约定：(1)在环在环中运算符中运算符“”及及“*”通常称为通常称为“加加”与与“乘乘”，中的幺元称作加法幺元，中的幺元称作加法幺元，并记为并记为，而用，而用 a 表示表示 a 的加法逆元。的加法逆元。(2)加法幺元加法幺元，对，对 a U，有：，有：+a=a，对，对 a U，存在，存在-a U，使得，使得a+（-a）=。(3)如果如果是含幺半群，则把运算是含幺半群，则把运算“*”的幺元称为的幺元称为乘法幺元，
13、并记为乘法幺元，并记为e，如果，如果U中的元素存在乘法逆元，就中的元素存在乘法逆元，就用用a-1表示。表示。定理：在一个环中，加法的幺元必是对乘法的零元。定理：在一个环中，加法的幺元必是对乘法的零元。证明：对环证明：对环，a，b，c U，有：，有：a（b+c）=a b+a c （b+c）a=b a+c a（U，+）是群，故必存在幺元，）是群，故必存在幺元，U，使得，使得 a （b+）=a b=a b+=a b+a 由于群满足消去律，故由于群满足消去律，故=a （b+）a=b a=b a+=b a+a =a a =a=故加法幺元故加法幺元“”是乘法的零元，是乘法的零元，中有零元。中有零元。定理：
14、设定理：设是一个环，则对任意的是一个环，则对任意的a,b,c U，有：，有：（1）a =a=（2）a （-b）=(-a)b=-(a b)（3）(-a)(-b)=a b （4）a (b-c)=a b-a c（5）(b-c)a=b a-c a其中其中是加法幺元、是加法幺元、-a 是是 a 的加法逆元，并记的加法逆元，并记a+（-b）=a-b证明：证明：是加法幺元是加法幺元 是乘法零元，故是乘法零元，故a =a=a b+a （-b）=a (b+(-b)=a =a （-b）=-(a b)同理可证：（同理可证：（-a）b=-（a b）（-a）（-b）=-a (-b)=-(a b)=a ba （b-c）=a （b+(-c)）=a b+a (-c)=a b-a c(b-c)a=b+(-c)a=b a+(-c)a=b a-c a环环2、域的域的定义定义对具有两个二元运算的代数系统（对具有两个二元运算的代数系统（A，+，.，如果，如果（1）是交换群；是交换群；（2）是交换群是交换群;（3）“.”对对“+”满足分配律满足分配律则称则称是域。是域。有理数、实数、复数集合对普通的加法及乘法运算有理数、实数、复数集合对普通的加法及乘法运算构成的代数系统是域。构成的代数系统是域。、都是都是域域
