1、2022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅1单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析2022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅2一、一、1.方差分析方差分析（Analysis of VarianceAnalysis of Variance，ANOVAANOVA）是一种检验多）是一种检验多 个个正态正态的统计方法。的统计方法。2.：指试验因素的某种特定状态或数量等级，简：指试验因素的某种特定状态或数量等级，简 称水平。称水平。3.：衡量实验结果好坏程度的试验数据：衡量实验结果好坏程度的试验数据。n 在单因素方差分析中，将因素的任何一个水平看作是在单因素方差分析中，将因素的任何
2、一个水平看作是一个总体，该水平下试验得到的数据可看成是从总体中抽一个总体，该水平下试验得到的数据可看成是从总体中抽出的一个样本。出的一个样本。2022-8-5版权所有版权所有 BY 统计学课程组统计学课程组3n2022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅4因素A水平A1水平A2水平As12:2022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅51.jni jijjXXnX.jX11jnsi jijXXni jX2022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅6三、方差分析中的三个基本假设三、方差分析中的三个基本假设n（1）各个总体都服从正态分布；）各个总体都服从正态分布；n（2）各
3、个总体的方差都相等；）各个总体的方差都相等；n（3）各个观测值之间是相互独立的。）各个观测值之间是相互独立的。2022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅7由于由于 22(,),(0,)ijjijijjxNxN 2(0,),各相互独立。ijjijijijxN2022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅8记记 ，n 为为 Aj 的效应。的效应。11=,sjjjjjnn 2(0,),各相互独立。ijjijijijxNj2022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅9从散点图上可以看出：从散点图上可以看出：不同的水平的数据是有明不同的水平的数据是有明显差异的；同一个显差异的；同
4、一个水平水平的的数据数据也明显不同；也明显不同；不同水平的观察值与试验指标值之间可能有一定不同水平的观察值与试验指标值之间可能有一定的关系。的关系。3.仅从散点图上观察还不能提供充分的证据证明仅从散点图上观察还不能提供充分的证据证明不同水平与试验指标值之间有显著差异。这种差不同水平与试验指标值之间有显著差异。这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的异可能是由于抽样的随机性所造成的,也有可能也有可能是系统性影响因素造成的。是系统性影响因素造成的。五、方差分析的基本思想五、方差分析的基本思想2022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅104.需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著，也需要有
5、更准确的方法来检验这种差异是否显著，也就是进行方差分析。就是进行方差分析。因素的同一水平因素的同一水平(总体总体)下，样本各观察值之间的下，样本各观察值之间的差异，可以看成是随机因素的影响，称为随机误差差异，可以看成是随机因素的影响，称为随机误差6.系统误差系统误差 因素的不同水平因素的不同水平(不同总体不同总体)下，各观察值之间的差下，各观察值之间的差异可能是由于异可能是由于抽样的随机性抽样的随机性所造成的，也可能是由于所造成的，也可能是由于水平本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因水平本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差。素造成的，称为系统误差。2022-8
6、-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅11方差分析的基本思想方差分析的基本思想7.若不同水平对试验指标值没有影响，则组间误差中只若不同水平对试验指标值没有影响，则组间误差中只包含随机误差，没有系统误差。这时，组间误差与包含随机误差，没有系统误差。这时，组间误差与组内误差经过平均后的数值就应该很接近，它们的组内误差经过平均后的数值就应该很接近，它们的比值就会接近比值就会接近1；8.若不同水平对试验指标值有影响，则在组间误差中除若不同水平对试验指标值有影响，则在组间误差中除了包含随机误差外，还会包含有系统误差，这时组了包含随机误差外，还会包含有系统误差，这时组间误差平均后的数值就会大于组内误差平
7、均后的数间误差平均后的数值就会大于组内误差平均后的数值，它们之间的比值就会大于值，它们之间的比值就会大于1；9.当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在着显著差异，也就是自变量对因变量有影响。存在着显著差异，也就是自变量对因变量有影响。（sum of squares for total）ijXX211 jnsTijijSXXTS 22.111jnssjjAjijjSXXnXX.(1,2,)jXjsXAS组内离组内离ES2.11 jnsjEijijSXX222.11111jnssknjjijjijijjijTAEXXn XXXXSSS1(1
8、)()TAEdfdfdfnsn s(,(1或）或）AEAEAESSMSSMSSsns2022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅17n根据概率论与数理统计学知识根据概率论与数理统计学知识：1）是总体方差是总体方差 的无偏估计量，且与原假设成的无偏估计量，且与原假设成立与否无关。立与否无关。即即 2）是否是总体方差是否是总体方差 的无偏估计量，与原假设的无偏估计量，与原假设成立与否有关成立与否有关。当且仅当原假设成立时，。当且仅当原假设成立时，才是才是总体方差总体方差 的无偏估计量。的无偏估计量。2EEMSEMS222111sAjjjEM SnsAMS2AMS2，AESS通常将上述计算过
9、程列成一张表格，称为方差分析表通常将上述计算过程列成一张表格，称为方差分析表。变差源变差源平方和平方和自由度自由度均方均方F比比因素因素A（组间）（组间）s-1误差（组内）误差（组内）n-s-总和总和n-1-ASESTS/(1)ASs/()ESns/AESS=/(1)=/()，。AAEESSsSSns2022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅19例例9.1 热带雨林热带雨林一份研究伐木业对热带雨林影响的统计研究报告指出，“环保主义者对于林木采伐、开垦和焚烧导致的热带雨林的破坏几近绝望”。这项研究比较了类似地块上树木的数量，这些地块有的从未采伐过，有的1年前采伐过，有的8年前采伐过。根
10、据数据，采伐对树木数量有显著影响吗？显著性水平=0.05。2022-8-520n2、提出零假设和备择假设、提出零假设和备择假设nH0：u1=u2=u3nH1：u1,u2,u3不全相等。不全相等。从未采从未采伐过伐过1年前采年前采伐过伐过8年前采年前采伐过伐过2712182212429152221915192018331819161722201412241412272281719192022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅21n方差分析表方差分析表n结论结论:nF值值=11.433.32，p-值值=0.00020.05，因此检验，因此检验的结论是采伐对林木数量有显著影响。的结论是采伐
11、对林木数量有显著影响。变差源变差源SSdfMSFP-valueF crit组间组间625.162312.5811.430.00023.32组内组内820.723027.36总计总计1445.88322022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅22n【例例9.2】某市消费者协会为了评价该地旅游业、居民服务某市消费者协会为了评价该地旅游业、居民服务业、公路客运业和保险业的服务质量，从这业、公路客运业和保险业的服务质量，从这4 4个行业中分别抽取个行业中分别抽取了不同数量的企业。经统计，最近一年消费者对这了不同数量的企业。经统计，最近一年消费者对这2323家企业投家企业投诉的次数资料如下表所
12、示。这诉的次数资料如下表所示。这4 4个行业之间服务质量是否有显著个行业之间服务质量是否有显著差异？如果有，究竟是在哪些行业之间？差异？如果有，究竟是在哪些行业之间？解解(1)建立假设建立假设 n n(2)列方差分析表列方差分析表n（3）统计决策）统计决策n因为因为 ，所以拒绝，所以拒绝 。即有。即有99%的把握的把握n认为不同行业之间的服务质量有高度显著的差异。认为不同行业之间的服务质量有高度显著的差异。0.015.01AFF0H0123411234:,HH 不全相等2022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅24第二节第二节 两因素试验数据的方差分析两因素试验数据的方差分析n一、无
13、交互作用的双因素方差分析一、无交互作用的双因素方差分析2022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅25无交互作用的双因素方差分析数据结构无交互作用的双因素方差分析数据结构2022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅26双因素无交互作用的方差分析，又称为双因素无双因素无交互作用的方差分析，又称为双因素无重复试验的方差分析；双因素有交互作用的方差重复试验的方差分析；双因素有交互作用的方差分析，又称为双因素等重复试验的方差分析；分析，又称为双因素等重复试验的方差分析；n判断因素判断因素A的影响是否显著等价于检验假设：的影响是否显著等价于检验假设：n判断因素判断因素B的影响是否显著等价
14、于检验假设：的影响是否显著等价于检验假设：n其中，其中，表示表示A的第的第i个水平所构成的总体均值，个水平所构成的总体均值，表示的表示的B第第j个水平所构成的总体均值。个水平所构成的总体均值。011.2.:rH02.1.2.:sH.i.jn 对离差总平方和进行分解对离差总平方和进行分解。与单因素情况类。与单因素情况类似，能够证明下列公式成立：似，能够证明下列公式成立：n总离差平方和的自由度分解为：总离差平方和的自由度分解为：TABedfdfdfdf=+()()11111111总的观测值个数的水平数的水平数TABedfrsdfArdfBsdfrs=-=-=-=-=-=-=-AAeMSFMS=BB
15、eMSFMS=TABESSSS2022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅28n 例例9.3 为提高某种产品的合格率，考察原料来源为提高某种产品的合格率，考察原料来源地和用量对其是否有影响。原料来源地有三个：甲、地和用量对其是否有影响。原料来源地有三个：甲、乙、丙；原料用量有三种：现有量、增加乙、丙；原料用量有三种：现有量、增加5%、增加、增加8%。每个水平组合各作一次试验，得到的数据如下。每个水平组合各作一次试验，得到的数据如下表所示。试分析原料来源地和用量对产品合格率的影表所示。试分析原料来源地和用量对产品合格率的影响是否显著？响是否显著？2022-8-5版权所有版权所有 BY 张
16、学毅张学毅30【例题例题】n解解:(1)建立假设建立假设2022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅31 (3)统计决策统计决策n对于显著性水平对于显著性水平 0.05，查表得临界值，查表得临界值n因为因为 ，故不拒绝，故不拒绝 ，n拒绝拒绝 。即根据现有数据，有。即根据现有数据，有95%的把握可以推断的把握可以推断原料来源地对产品合格率的影响不大，而原料用量对合原料来源地对产品合格率的影响不大，而原料用量对合格率有显著影响。格率有显著影响。n由于由于 为最优水平。既然原料来源地对产为最优水平。既然原料来源地对产品合格率的影响不显著，在保证质量的前提下，可以选品合格率的影响不显著，在保
17、证质量的前提下，可以选择运费最省的地方作为原料来源地选择时的首选。如果择运费最省的地方作为原料来源地选择时的首选。如果丙地的运费最省，则最优方案为丙地的运费最省，则最优方案为 。n 0.05(2,4)6.94F1.866.94,10.436.94ABFF01H02H.2.3.1270.xxx B23B A2022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅32n【例例9.4】某种火箭使用了四种燃料，三种推进某种火箭使用了四种燃料，三种推进器做试验。每种燃料和每种推进器的组合各做一器做试验。每种燃料和每种推进器的组合各做一次试验，得火箭射程数据如下表所示。试问不同次试验，得火箭射程数据如下表所示
18、。试问不同的燃料、不同的推进器分别对火箭射程有无显著的燃料、不同的推进器分别对火箭射程有无显著影响？影响？2022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅33n列方差分析表：列方差分析表：2022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅342022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅352022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅36n 所谓交互作用，简单来说就是不同因素对所谓交互作用，简单来说就是不同因素对试验指标的复合作用，因素试验指标的复合作用，因素A和和B的综合效应的综合效应不是二因素效应的简单相加。为了能分辨出两不是二因素效应的简单相加。为了能分辨出两个因素的
19、交互作用，一般每组试验至少作两次。个因素的交互作用，一般每组试验至少作两次。2022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅37 有交互作用的双因素方差分析数据结构有交互作用的双因素方差分析数据结构2022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅382建立假设建立假设2022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅39n这就是有交互作用的双因素方差分析的数学模这就是有交互作用的双因素方差分析的数学模型。型。2022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅40n对这一模型可设如下三个假设：对这一模型可设如下三个假设：01120212031112:0:0:0rsrsHHH2022-
20、8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅413方差分析方差分析n与单因素方差分析的平方和分解类似，有与单因素方差分析的平方和分解类似，有 22.111122.111(),(),(),()其 中，TABA BErstrijiEijkAijkisrsjijijBA BjijSSSSSSXXSstXXSrtXXStXXXX2022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅422022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅43双因素（有交互作用）方差分析表双因素（有交互作用）方差分析表2022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅44n 例例9.5 某公司想将橡胶、塑料和软木的板某公司
21、想将橡胶、塑料和软木的板材冲压成密封垫片出售。市场上有两种不同材冲压成密封垫片出售。市场上有两种不同型号的冲压机可供选择。为了能对冲压机每型号的冲压机可供选择。为了能对冲压机每小时所生产的垫片数进行比较，并确定哪种小时所生产的垫片数进行比较，并确定哪种机器使用何种材料生产垫片的能力更强，该机器使用何种材料生产垫片的能力更强，该公司使用每台机器对每一种材料分别运行三公司使用每台机器对每一种材料分别运行三段时间，得到的试验数据（每小时生产的垫段时间，得到的试验数据（每小时生产的垫片数）如下表所示，试运用方差分析确定最片数）如下表所示，试运用方差分析确定最优方案。优方案。2022-8-5版权所有版权
22、所有 BY 张学毅张学毅452022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅46n解解n(1)建立假设：建立假设：n(2)计算相应的均值和平方和：计算相应的均值和平方和：2022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅472022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅48(3)列方差分析表列方差分析表2022-8-5版权所有版权所有 BY 张学毅张学毅49n(4)统计决策统计决策n由于由于 n ,n说明不仅冲压机的型号和垫片材料对垫片数量说明不仅冲压机的型号和垫片材料对垫片数量有显著影响，而且其交互作用也是显著的。由有显著影响，而且其交互作用也是显著的。由结构均值表可知，在冲压机
23、中结构均值表可知，在冲压机中,第一种的均值较第一种的均值较大；垫片材料中大；垫片材料中,软木的均值较大，故最优方案软木的均值较大，故最优方案是是 。13A B0.0 59 2.2 5(2,1 2)3.8 9,BFF0.0588.41(2,12)3.89ABFF0.0523.01(1,12)4.75,AFF2022-8-550第三节第三节 一元线性回归一元线性回归线线 性性 回回 归归非非 线线 性性 回回 归归一一 元元 回回 归归线线 性性 回回 归归非非 线线 性性 回回 归归多多 元元 回回 归归回回 归归 模模 型型只涉及一个自变量的回归；只涉及一个自变量的回归；因因变量变量y与自变量
24、与自变量x之间为线性关系。之间为线性关系。n被预测或被解释的变量称为因变量被预测或被解释的变量称为因变量(dependent variable)，用，用y表示；表示；n用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量为自变量(independent variable)，用，用x表示。表示。因变量与自变量之间的关系用因变量与自变量之间的关系用一个线性方程来表示。一个线性方程来表示。描述因变量描述因变量 y 如何依赖于自变量如何依赖于自变量 x 和和误差项误差项 的方程的方程称为称为一元线性一元线性回归模型可表示为回归模型可表示为ny 是是 x 的线性函
25、数的线性函数(部分部分)加上随机误差项加上随机误差项n线性部分反映了由于线性部分反映了由于 x 的变化而引起的的变化而引起的 y 的的变变化；误差化；误差项项 是随机变量是随机变量(未纳入模型但对未纳入模型但对y有影响有影响的诸多因素的综合影响的诸多因素的综合影响)，反映反映了除了除 x 和和 y 之间的线之间的线性关系之外的随机因素对性关系之外的随机因素对 y 的影响，是不能由的影响，是不能由 x 和和 y 之间的线性关系所解释的之间的线性关系所解释的变异性变异性。na和和 b称为称为模型的参数模型的参数2,(0,),各 相互独立 iiiiiyabxN Y的条件期望的条件期望E（Y/xi）与
26、之对应）与之对应xi，代表这，代表这些些Y的条件期望的点的轨迹所形成的直线或曲线。的条件期望的点的轨迹所形成的直线或曲线。随机误差项随机误差项 来描述模型数据点来描述模型数据点.iXiXxy回归线回归线()iiE yabx回归模型的基本假设回归模型的基本假设假设假设1：误差项的期望值为：误差项的期望值为0，即对所有的，即对所有的i有有假设假设2：误差项的方差为常数，即对所有的：误差项的方差为常数，即对所有的i有有假设假设3：误差项之间不存在自相关关系，其协方差为：误差项之间不存在自相关关系，其协方差为0，即当即当 时，有时，有 ；假设假设4：自变量是给定的变量，与随机误差项线性无关；：自变量是
27、给定的变量，与随机误差项线性无关；假设假设5：随机误差项服从正态分布。：随机误差项服从正态分布。即即N(0,2)以上这些基本假设是德国数学家高斯最早提出的，故也以上这些基本假设是德国数学家高斯最早提出的，故也称为称为高斯假定或标准假定。高斯假定或标准假定。()0iE22var()()iiEijcov(,)0ij 描描述述 y 的的如何依赖于如何依赖于 x 的方程称的方程称为回归方程为回归方程一元一元线性回归方程的形式如下线性回归方程的形式如下:方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程。方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程。a是回归直线在是回归直线在 y 轴上的截距，是当轴上的截距，是当 x
28、=0 时时 y 的的期望值；期望值；b是直线的斜率，称为回归系数，表示当是直线的斜率，称为回归系数，表示当 x 每变每变动一个单位时，动一个单位时，y 的平均变动值。的平均变动值。yabx.用用样本统计量样本统计量 ,代替回归方程中的未知参代替回归方程中的未知参数数 和和 ，就得到了估计的回归方程，就得到了估计的回归方程.abab总体总体回归参数回归参数 和和 是未知的，必须利用样本是未知的，必须利用样本数据去估计数据去估计;abyabx其中：其中：是估计的回归直线在是估计的回归直线在 y 轴上的截距，轴上的截距，是直线是直线的斜率，它表示对于一个给定的的斜率，它表示对于一个给定的 x 的值，
29、的值，是是 y 的估的估计值，也表示计值，也表示 x 每变动一个单位时，每变动一个单位时，y 的平均变动值的平均变动值。aby.二、二、普通最小二乘估计法普通最小二乘估计法）(ordinary least squares estimators)2211()()最小值nniiiiiyyyabx用最小平方法拟合的直线来代表用最小平方法拟合的直线来代表x与与y之间之间的的关系与实际数据的误差比其他任何直线的误关系与实际数据的误差比其他任何直线的误差都小。差都小。ab2022-8-559参数的最小二乘估计参数的最小二乘估计P246-247222()()()()()()nxyxyxxyybnxxxxay
30、bx2022-8-560例例9.6【例10.7】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、固定资产投要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、固定资产投资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平稳增长，但资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大比例的增长，这给银行业务的发展带不良贷款额也有较大比例的增长，这给银行业务的发展带来较大压力。为弄清不良贷款形成的原因，管理者希望利来较大压力。为弄清不良贷款形成的原因，管理者希望利用银行业务的有关数据进行定量分析，以便找出控制不良用银行业务的有
31、关数据进行定量分析，以便找出控制不良贷款的办法。下面是该银行所属的贷款的办法。下面是该银行所属的25家分行家分行2019年的有关年的有关业务数据业务数据 2022-8-5612022-8-562不良贷款对其他变量的散点图不良贷款对其他变量的散点图2022-8-563n用Excel计算相关系数SUMMARYOUTPUT回归统计MultipleR0.849736RSquare0.722051AdjustedRSquare0.709966标准误差4.45116观测值25方差分析dfSSMSFSignificanceF回归分析11183.7951183.79559.748967.69E-08残差234
32、55.694919.81282总计241639.49Coefficients标准误差tStatP-valueLower95%Upper95%下限95.0%上限95.0%Intercept-1.384731.625488-0.851890.40306-4.747311.977845-4.747311.977845XVariable10.0874110.0113087.7297457.69E-080.0640180.1108040.0640180.1108042022-8-5642022-8-565经验回归方程的求法经验回归方程的求法1b2022-8-566估计回归方程的求法估计回归方程的求法不良
33、贷款对贷款余额回归方程的图示不良贷款对贷款余额回归方程的图示不良贷款对贷款余额的回归直线不良贷款对贷款余额的回归直线-2024681012140100200300400贷款余额不良贷款2022-8-567用用Excel进行回归分析进行回归分析第第1步：步：选择“工具工具”下拉菜单第第2步：步：选择“数据分析数据分析”选项第第3步：步：在分析工具中选择“回归回归”，然后选择“确定确定”第第4步：步：当对话框出现时 在“Y值输入区域值输入区域”设置框内键入Y的数据区域在“X值输入区域值输入区域”设置框内键入X的数据区域在“置信度置信度”选项中给出所需的数值 在“输出选项输出选项”中选择输出区域 在
34、“残差残差”分析选项中选择所需的选项2022-8-568 称称 为残差平方和，则为残差平方和，则222()()eQyyyabx2,22eeQnQn2022-8-569 四、线性假设的显著性检验四、线性假设的显著性检验P2510122220/20,0(2)(,/),(2),(2)(2),(2).：。当为真时，拒绝域为xxxxxxHbHbnbN bSnbbSt nHbtSt nttn2022-8-570 五、系数五、系数b的置信区间的置信区间P252/2(2)的 置 信 水 平 为 1-的 置 信 区 间 为：（xxbbtnS2022-8-571六、回归函数六、回归函数 函数值函数值的点估计和置信
35、区间的点估计和置信区间n回归函数的点估计值为回归函数的点估计值为n 的置信水平为的置信水平为n的置信区间为的置信区间为()xab x00()yxab x0()xab x1200/2()1(2)xxxxab xtnnS2022-8-572七、七、Y的观测值的点预测和预测区间的观测值的点预测和预测区间000000200/21()1(2)1的点预测值：的置信水平为的预测区间为xxYabxYabxYxxabxtnnS2022-8-573八、可化为一元线性回归的例子八、可化为一元线性回归的例子P255n自学。自学。2022-8-574 第四节第四节 多元线性回归多元线性回归P257n因为客观现象非常复杂
36、，现象之间的联因为客观现象非常复杂，现象之间的联系方式和性质各不相同，影响因变量变系方式和性质各不相同，影响因变量变化的自变量往往是多个而不只是一个，化的自变量往往是多个而不只是一个，其中既有主要因素也有次要因素。如果其中既有主要因素也有次要因素。如果仅仅进行一元回归分析，不一定能得到仅仅进行一元回归分析，不一定能得到满意的结果。因此，有必要将一个因变满意的结果。因此，有必要将一个因变量与多个自变量联系起来进行分析。量与多个自变量联系起来进行分析。2022-8-575多元线性回归多元线性回归n 在线性相关条件下，研究两个和两个以上在线性相关条件下，研究两个和两个以上自变量对一个因变量的数量变化关系，称为多自变量对一个因变量的数量变化关系，称为多元线性回归分析，表现这一数量关系的数学表元线性回归分析，表现这一数量关系的数学表达式则称为多元线性回归方程或多元线性回归达式则称为多元线性回归方程或多元线性回归模型。模型。2022-8-576多元线性回归多元线性回归201 1011,(0,)多元线性回归模型：多元线性回归方程：ppppYbbxb xNybb xb x
