1、2022-8-5Xian University of Science and Technology主要内容主要内容4.1 4.1 微机保护算法概述微机保护算法概述4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法4.3 4.3 基于周期信号模型的傅立叶算法基于周期信号模型的傅立叶算法4.4 4.4 基于非周期信号模型的基于非周期信号模型的R-LR-L模型算法模型算法4.5 4.5 基于随机数学模型的递推最小二乘算法基于随机数学模型的递推最小二乘算法4.6 4.6 移相算法及滤序算法移相算法及滤序算法4.7 4.7 相位比较器算法相位比较器算法4.8 4.8 突变量电流算法突变量电流算法4.9
2、 4.9 微机保护算法选择微机保护算法选择1/862022-8-5Xian University of Science and Technology4.1 4.1 微机保护算法概述微机保护算法概述4.1.1 算法的含义算法的含义对采集的数据进行对采集的数据进行处理、分析、判断处理、分析、判断以便实现保护功能的方法以便实现保护功能的方法称为算法。称为算法。Xian University of Science and Technology4.1.2 微机保护算法类型微机保护算法类型1.1.直接计算信号特征值的算法直接计算信号特征值的算法该算法直接由采样值经过某种运算，求出实际值，再与定值比该算法直
3、接由采样值经过某种运算，求出实际值，再与定值比较，实现保护。较，实现保护。2.2.判断继电动作方程的算法判断继电动作方程的算法该类算法依据继电器的动作方程，将采样值直接代入动作方程，该类算法依据继电器的动作方程，将采样值直接代入动作方程，转换为运算式的判断。转换为运算式的判断。4.1.2微机保护算法类型微机保护算法类型2/862022-8-5Xian University of Science and Technology4.1 4.1 微机保护算法概述微机保护算法概述4.1.3 衡量算法的指标衡量算法的指标1.1.算法的精度算法的精度指的是时计算出的结果信号与实际值的指的是时计算出的结果信号
4、与实际值的逼近程度逼近程度。2.2.算法的速度算法的速度包括两个方面：包括两个方面：1 1、算法所要求的、算法所要求的采样点数采样点数；2 2、算法的、算法的运算工作量运算工作量。3.3.算法的精度与速度的关系算法的精度与速度的关系精度和速度总是精度和速度总是矛盾的矛盾的。若要计算精确，则往往要利用更多的。若要计算精确，则往往要利用更多的采样点和进行更多的计算工作量。采样点和进行更多的计算工作量。Xian University of Science and Technology4.1.3衡量算法的指标衡量算法的指标3/862022-8-5Xian University of Science a
5、nd Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology4.2.1 4.2.1 半周内取最大绝对值算法半周内取最大绝对值算法1.1.算法原理算法原理要计算有效值，最直接的方法是在任意半周期内取各采样值的要计算有效值，最直接的方法是在任意半周期内取各采样值的绝对值，然后寻求最大值，将最大值除以绝对值，然后寻求最大值，将最大值除以 即得到有效值。即得到有效值。2如图如图4-14-1所示，有：所示，有：=max()sUunT(4-2)其中，其中，为半周波内的采样值。为半周波内的采样值。snTu4.
6、2.1绝对值算法绝对值算法4/862022-8-5Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology2.2.算法指标算法指标数据窗为数据窗为半个周波。半个周波。当采样时刻刚好落在最大值，则此算法本身当采样时刻刚好落在最大值，则此算法本身没有误差没有误差。但当采样时刻落在任意其它时刻，这种算法本身但当采样时刻落在任意其它时刻，这种算法本身会产生误差会产生误差。maxsin(90)1 sin(90)22SSmmmTTUUUU最大绝对误
7、差：最大绝对误差：(4-3)最大相对误差：最大相对误差：max100%1 sin(90)100%2SmUTU(4-4)4.2.1绝对值算法绝对值算法5/862022-8-5Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology4.2.2 4.2.2 两点乘积算法两点乘积算法1.1.两点乘积算法原理两点乘积算法原理利用两个间隔一定的采样值计算利用两个间隔一定的采样值计算有效值及相位有效值及相位的方法。的方法。以电流为例，设以电流为例，设
8、 和和 分别为两个电气角度相隔为分别为两个电气角度相隔为 的采样的采样值（如图值（如图4-84-8所示），即：所示），即：1i2i221()2SSn TnT1i1 SnT2i2Sn T图4-8 两点乘积算法示意图t()i t(4-5)根据式（根据式（4-14-1）有：）有：11012 sin()2 sinSIIiInTI22012 sin()2 cosSIIiIn TI(4-6)(4-7)4.2.2两点乘积算法两点乘积算法6/862022-8-5Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian Uni
9、versity of Science and Technology可以利用电压和电流的有效值测量阻抗，有两种方法：可以利用电压和电流的有效值测量阻抗，有两种方法：方法一方法一：利用公式可以得出测量阻抗的：利用公式可以得出测量阻抗的模值模值Z Z 和和阻抗角阻抗角 。(4-9)同理电压也有上述关系：同理电压也有上述关系：11012sin()2sinSUUuUnTU(4-10)(4-11)112tanIii222122Iii(4-8)则有：则有：22012sin()2cosSUUuUn TU(4-13)112tanUuu222122Uuu(4-12)可得：可得：Z22122212uuUZIii(4
10、-14)1122arctanarctanZuiui(4-15)4.2.2两点乘积算法两点乘积算法7/862022-8-5Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology方法二方法二：电流和电压都是正弦量，写成复数形式：电流和电压都是正弦量，写成复数形式1111cossin cossinUUIIUUjUIIjI参照式（参照式（4-64-6）、（）、（4-74-7）、（）、（4-104-10）、（）、（4-114-11）有：）有：2
11、12111()()22UujuIiji2121 ujuUijiI则有：则有：(4-16)式（式（4-164-16）的实部就是电阻分量）的实部就是电阻分量R R，虚部则为电抗分量，虚部则为电抗分量X X：1 12 22212u iu iRii1 22 12212u iu iXii(4-17)(4-18)4.2.2两点乘积算法两点乘积算法8/862022-8-5Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology2 2 两点乘积算法特点
12、两点乘积算法特点（1 1）算法本身所需的数据窗长度为工频的）算法本身所需的数据窗长度为工频的1/41/4个周期个周期。（2 2）此算法基于正弦信号，因此要与带通滤波器）此算法基于正弦信号，因此要与带通滤波器配合使用配合使用。（3 3）算法本身与）算法本身与采样频率无关采样频率无关，因此对采样频率无特殊要求。，因此对采样频率无特殊要求。（4 4）算法本身）算法本身无误差无误差。（5 5）算法中要进行较多的乘除法，运算）算法中要进行较多的乘除法，运算工作量大工作量大。最后必须指出，两点乘积算法中的两点不必一定相隔最后必须指出，两点乘积算法中的两点不必一定相隔1/41/4个周个周期期，其数据窗长度可
13、以取任意值，只是取任意值时的数学模型略微，其数据窗长度可以取任意值，只是取任意值时的数学模型略微复杂一点而已。复杂一点而已。4.2.2两点乘积算法两点乘积算法9/864.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法4.2.3 4.2.3 三点乘积算法三点乘积算法1.1.三点乘积算法原理三点乘积算法原理利用连续利用连续三个采样点三个采样点的数据计算正弦信号特征量的方法的数据计算正弦信号特征量的方法对正弦电压和电流任意取三个连续时刻对正弦电压和电流任意取三个连续时刻 、对应的采样值分别为对应的采样值分别为 、和和 、。电压信号：电压信号：(4-21)(4-23)1 snT2(1)ssn TnT
14、3(2)ssn TnT1u2u3u1i2i3i112sinUuU212sin()sUuUT312sin(2)sUuUT2222132sinSuu uUT因为：因为：所以：所以：2221322sinSuu uUT(4-22)同理有：同理有：2221 322sinSii iIT4.2.3三点乘积算法三点乘积算法2022-8-5Xian University of Science and TechnologyXian University of Science and Technology10/862022-8-5Xian University of Science and Technology4.
15、2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology2.2.三点乘积算法特点三点乘积算法特点（1 1）算法）算法数据窗数据窗为为2 2T Ts s，因此，算法的延时与采样频率有关。，因此，算法的延时与采样频率有关。（2 2）算法本身）算法本身无误差无误差。（3 3）作为基于正弦信号的算法，必须与滤波器）作为基于正弦信号的算法，必须与滤波器配合使用配合使用。（4 4）算法中要进行较多的乘除法，运算）算法中要进行较多的乘除法，运算工作量大工作量大。2222132221 3uu uUZIii i根据电压和电流得到根据电压和
16、电流得到阻抗模值阻抗模值：(4-24)电阻分量：电阻分量：2 2131 3221 322()u iiuu iRiii2 323221 3sin()Su ii uXTiii(4-26)(4-25)电抗分量：电抗分量：4.2.3三点乘积算法三点乘积算法11/862022-8-5Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology4.2.4 4.2.4 导数算法导数算法1.导数算法原理导数算法原理导数算法只需知道输入正弦量在某一时刻导数算
17、法只需知道输入正弦量在某一时刻 的采样值及该时的采样值及该时刻对应的导数，即可算出刻对应的导数，即可算出有效值有效值和和相位相位。假设电压和电流为假设电压和电流为:(4-29)02sin()UuUt02 sin()IiIt则电压和电流的导数为则电压和电流的导数为：(4-30)(4-27)(4-28)02sin()UuUt02sin()IiIt1t4.2.4导数算法导数算法12/862022-8-5Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Te
18、chnology在在 时刻有：时刻有：(4-34)(4-33)1t1102sin()UuUt1102 sin()IiIt1102sin()IiIt1102sin()UuUt(4-31)(4-32)则可以利用正弦函数和余弦函数的平方和等于则可以利用正弦函数和余弦函数的平方和等于1 1得：得：(4-35)(4-36)222112uUu222112iIi4.2.4导数算法导数算法13/862022-8-5Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and T
19、echnology(4-37)于是被采样的电压和电流对应的阻抗为：于是被采样的电压和电流对应的阻抗为：(4-38)以上分析表明，只要知道电压电流某点采样值和在该点的导数，以上分析表明，只要知道电压电流某点采样值和在该点的导数，就可以就可以求出电压电流的大小和相位，求出测量阻抗。就可以就可以求出电压电流的大小和相位，求出测量阻抗。为求导数，可取为求导数，可取 为两个相邻采样时刻为两个相邻采样时刻 和和 的中间的中间时刻（如图时刻（如图4-214-21所示）。然后用差分近似求导，则有：所示）。然后用差分近似求导，则有：111 12211uiu iRii 11112211iuuiXii1tsnT(1
20、)snT111nnSiiiT111nnSuuuT(4-39)(4-40)4.2.4导数算法导数算法14/862022-8-5Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology电流、电压瞬时值用平均值替代，则有：电流、电压瞬时值用平均值替代，则有：(4-41)(4-45)(4-46)mnab图4-21 用差分近似求导示意图 SnT(1)SnT1tSnT1112nniii1112nnuuu(4-42)另外求导数也可以用相邻三个采样点另
21、外求导数也可以用相邻三个采样点 、，取取 ，则有：，则有：1 snT(1)snT(2)snT1(1)stnT1212nnSiiiT1212nnSuuuT11nii11nuu(4-43)(4-44)4.2.4导数算法导数算法15/862022-8-5Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology2.2.导数算法特点导数算法特点（1 1）数据窗短，仅为两个或三个采样点，即时窗为一个或两）数据窗短，仅为两个或三个采样点，即时窗为一个
22、或两个采样间隔，因此算法的时延与采样频率有关。个采样间隔，因此算法的时延与采样频率有关。（2 2）运算工作量与乘积算法相似。）运算工作量与乘积算法相似。（3 3）导数算法存在方法误差。）导数算法存在方法误差。（4 4）算法具有一定的抑制直流分量的能力，但对高次谐波具）算法具有一定的抑制直流分量的能力，但对高次谐波具有放大的作用，因此要求滤波器应有良好的滤除高频分量的能力有放大的作用，因此要求滤波器应有良好的滤除高频分量的能力。4.2.4导数算法导数算法16/862022-8-5Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基
23、于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology4.2.5 半周绝对值积分算法半周绝对值积分算法1.1.半周绝对值积分算法原理半周绝对值积分算法原理算法的依据是一个正弦量在任意半个周期内绝对值的积分为一算法的依据是一个正弦量在任意半个周期内绝对值的积分为一常数常数S S，如图，如图4-284-28所示：所示：(4-48)202 22sin()TSItdtI积分面积积分面积S S为：为：(4-47)若已知积分面积若已知积分面积S S，则有：，则有：2 2IS4.2.5半周绝对值积分算法半周绝对值积分算法17/862022-8-5Xian Univ
24、ersity of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology计算积分时可以用梯形法或矩形法。计算积分时可以用梯形法或矩形法。011221122sNNSiiiiT(4-49)如图如图4-294-29所示，设若干个小梯形面积之和为所示，设若干个小梯形面积之和为 ，则有：，则有：S201(),Niii0,1,2Nn 2 N 式中：式中：为为 时的采样值，时的采样值，N N为采样点数。为采样点数。梯形法求积分梯形法求积分：4.2.5半周绝对值积分算法半周绝对值积分算
25、法18/862022-8-5Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology矩形法求积分：矩形法求积分：矩形法比梯形法公式较简洁，便于编程，但在相同的矩形法比梯形法公式较简洁，便于编程，但在相同的 下，下，精度较梯形法差。精度较梯形法差。2 N210|()|NSkSTi nk(4-50)sT2.2.半周绝对值积分算法特点半周绝对值积分算法特点（1 1）数据窗长度为）数据窗长度为半个周期半个周期。（2 2）由于进行的是积分运算，故
26、）由于进行的是积分运算，故具有滤波功能具有滤波功能，对高频分量，对高频分量有拟制作用，但不能拟制直流分量有拟制作用，但不能拟制直流分量（3 3）本算法的精度与）本算法的精度与采样频率有关采样频率有关。（4 4）由于只有加法运算，计算）由于只有加法运算，计算工作量小工作量小。4.2.5半周绝对值积分算法半周绝对值积分算法19/862022-8-5Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology4.2.6 4.2.6 频率算法频率算
27、法指的是用采样值计算交流信号频率的方法指的是用采样值计算交流信号频率的方法。(4-55)63sinsin6cos 622sin3mskkskmsUttTuufTuUtT设采样频率为设采样频率为600Hz600Hz，则电压的采样值为：，则电压的采样值为：(4-54)则有：则有：sinkmuUt3sin3kmSuUtT6sin6kmSuUtT(4-51)(4-52)(4-53)从而可求出：从而可求出：631arccos62kkSkuufTu4.2.6频率算法频率算法20/862022-8-5Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信
28、号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology(4-56)为使计算更为精确，采样信号最好用线电压。例如，对于一个为使计算更为精确，采样信号最好用线电压。例如，对于一个频率为频率为45Hz45Hz的交流信号按的交流信号按 进行采样，取进行采样，取 ，得得6302kkkuuu 当：当：时，时，f=50Hz 6302kkkuuu 当：当：时，时，f=050Hz之间之间 6302kkkuuu 当：当：时，时，f=50100Hz之间之间 600sfHz00t sin00kmuUt 3sin282.6 30.987kmSmuUtTU 6sin2
29、82.6 60.309kmSmuUtTU 0.3091arccos45620.987SfHzT4.2.6频率算法频率算法21/862022-8-5Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology4.2.7 4.2.7 算法中的平均值、差分值的误差分析算法中的平均值、差分值的误差分析从算法的原理中我们知道，在实际应用的数值计算中，经常会从算法的原理中我们知道，在实际应用的数值计算中，经常会遇到通过采样值求瞬时值、微分值和积分值的。
30、遇到通过采样值求瞬时值、微分值和积分值的。常用方法是：用常用方法是：用平均值代替瞬时值平均值代替瞬时值，用，用差分近似代替微分差分近似代替微分，用，用梯形法或矩形法则近似求积分梯形法或矩形法则近似求积分。设信号为设信号为:sinmx tXt(4-57)4.2.7 算法误差分析算法误差分析经采样后，就可以得到两个采样值经采样后，就可以得到两个采样值 和和 的两个采样值的两个采样值（其中时刻位于（其中时刻位于 和和 采样时刻的中间，如图采样时刻的中间，如图4-364-36所示所示 。()x n(1)x n()x n(1)x n22/862022-8-5Xian University of Scie
31、nce and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology2ST2ST1n ntt x n x t1x n图 4-36 误差分析示意图表达式：表达式：sin2SmTx nXt1sin2SmTx nXt(4-58)(4-59)1 1 由平均值求瞬时值的误差分析由平均值求瞬时值的误差分析 1sincoscos222ssmx nx nTTXtx t(4-60)显然，显然，平均值平均值与与瞬时值瞬时值之间也仅相差一个系数之间也仅相差一个系数 ，且这个系数只与角频率和采样时间有关。可以进行无误
32、差地修正。且这个系数只与角频率和采样时间有关。可以进行无误差地修正。cos2ST4.2.7 算法误差分析算法误差分析23/862022-8-5Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology通过式（通过式（4-604-60）可知，对于单一的纯正弦信号，可以由平均值）可知，对于单一的纯正弦信号，可以由平均值求出准确的瞬时值。具体计算公式为：求出准确的瞬时值。具体计算公式为：1112cos2PSx nx nx tKx nx nT(4
33、-61)式中，式中，为常数。为常数。12cos2pSKT4.2.7 算法误差分析算法误差分析24/86 111sinsin222 sin2SSmmSSSSTTx nx nXtXtTTdx tTTdt2022-8-5Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology2 2 由差分值求微分值的误差分析由差分值求微分值的误差分析设信号表达式为：设信号表达式为：(4-62)sinmx tXt cosmdx tXtdt于是：于是：显然，差分
34、值与微分值之间也仅相差一个系数显然，差分值与微分值之间也仅相差一个系数 ，且这个系数只与角频率和采样时间有关。可以进行无误差地修正。且这个系数只与角频率和采样时间有关。可以进行无误差地修正。2sin2SSTT4.2.7 算法误差分析算法误差分析25/862022-8-5Xian University of Science and Technology4.2 4.2 基于正弦信号的算法基于正弦信号的算法Xian University of Science and Technology由此可以看出，由此可以看出，和和 二者之间仅相差一个系二者之间仅相差一个系数数 。这是一个与时刻。这是一个与时刻t
35、 t和初相角和初相角 无关的参数，仅与角无关的参数，仅与角频率频率 和采样间隔和采样间隔 有关。有关。因此，通过式因此，通过式（4-60）可知，对于单一的纯正弦信号，可以由可知，对于单一的纯正弦信号，可以由平均值求出准确的瞬时值。具体计算公式为平均值求出准确的瞬时值。具体计算公式为：dx tdt 112sin2CSdx tx nx nKx nx nTdt(4-63)1sx nx nT2sin2SSTTsT式中，式中，为常数。为常数。2sin2CSKT4.2.7 算法误差分析算法误差分析26/862022-8-5Xian University of Science and Technology4
36、.3 4.3 基于周期信号的算法基于周期信号的算法Xian University of Science and Technology4.3.1 4.3.1 周期函数的傅立叶级数与各次谐波关系周期函数的傅立叶级数与各次谐波关系傅氏算法假定被采样信号是一个周期性时间函数，除傅氏算法假定被采样信号是一个周期性时间函数，除基波基波外还外还含有不衰减的含有不衰减的直流分量直流分量和和各次谐波各次谐波。(4-65)设该周期信号为：设该周期信号为：012()()()()mx txx tx txt(4-64)m m次谐波为：次谐波为：2sinsincosmmmmmsmcxtXtXm tXm t其中其中 为直流
37、分量，为直流分量，为为m m次谐波，次谐波，m m取自然数。取自然数。0 xmsx2cosmsmmXXc2sinmmmXX其中：其中：(4-67)(4-66)和和 分别为正弦分量和余弦分量系数。分别为正弦分量和余弦分量系数。msXmcX4.3.1傅立叶级数与各次谐波关系傅立叶级数与各次谐波关系27/862022-8-5Xian University of Science and Technology4.3 4.3 基于周期信号的算法基于周期信号的算法Xian University of Science and Technology(4-69)002sin =sincosmmmmmsmcmx t
38、XtXm tXm t(4-68)有了有了 和和 ，就可以计算出，就可以计算出m m次谐波的次谐波的幅值幅值和和相位相位：msX1()2mmsmcXXjXm次谐波分量的复数形式为次谐波分量的复数形式为：(4-70)(4-71)将式将式（4-65）代入式代入式（4-62）中，有：中，有：mcX2222mmsmcXXXtanmcmmsXX4.3.1傅立叶级数与各次谐波关系傅立叶级数与各次谐波关系28/862022-8-5Xian University of Science and Technology4.3 4.3 基于周期信号的算法基于周期信号的算法Xian University of Scien
39、ce and Technology4.3.2 4.3.2 全波傅立叶算法全波傅立叶算法1.全波傅里叶算法的原理全波傅里叶算法的原理当已知周期函数当已知周期函数 时，其时，其m m次谐波的正、余弦系数为：次谐波的正、余弦系数为：(4-74)02sinTmsXx tm tdtT(4-72)基波分量的正、余弦分量的系数为：基波分量的正、余弦分量的系数为：102sinTsXx ttdtT 102cosTcXx ttdtT(4-75)x t 02cosTmcXx tm tdtT(4-73)4.3.2全波全波傅立叶算法傅立叶算法29/862022-8-5Xian University of Science
40、 and Technology4.3 4.3 基于周期信号的算法基于周期信号的算法Xian University of Science and Technology矩形法计算正弦和余弦分量的系数矩形法计算正弦和余弦分量的系数.(4-77)1c12()sin2()cosNmssskNmsskXTx km kTTXTx km kTT(4-76)基波分量基波分量的正、余弦分量的系数为：的正、余弦分量的系数为：111c12()sin2()cosNssskNsskXTx kkTTXTx kkTT则，则，m m次次谐波分量谐波分量的正、余弦分量的系数为：的正、余弦分量的系数为：其中，其中，为采样间隔，为采
41、样间隔，为一个采样时间对应的相角为一个采样时间对应的相角。sTsT4.3.2全波全波傅立叶算法傅立叶算法30/862022-8-5Xian University of Science and Technology4.3 4.3 基于周期信号的算法基于周期信号的算法Xian University of Science and Technology式（式（4-764-76）和式（）和式（4-774-77）可写为另一种形式：）可写为另一种形式：(4-79)1122()sin22()cosNmskNmckXx kmkNNXx kmkNN(4-78)111122()sin22()cosNskNckXx
42、kkNNXx kkNN则基波分量的则基波分量的复数形式复数形式为：为：1111()2scXXjX2211112scXXX(4-81)(4-80)4.3.2全波全波傅立叶算法傅立叶算法31/862022-8-5Xian University of Science and Technology4.3 4.3 基于周期信号的算法基于周期信号的算法Xian University of Science and Technology计算出各基波电流、电压的正弦和余弦系数计算出各基波电流、电压的正弦和余弦系数 、后，后，可以计算可以计算阻抗阻抗。(4-84)111111111122111()()ccsscs
43、sccsU IU Ij U IU IUZIII(4-82)111112211ccsscsU IU IRII1sI1cI1sU1cU111112211cssccsU IU IXII(4-83)4.3.2全波全波傅立叶算法傅立叶算法32/862022-8-5Xian University of Science and Technology4.3 4.3 基于周期信号的算法基于周期信号的算法Xian University of Science and Technology2.2.全波傅立叶算法的滤波特性全波傅立叶算法的滤波特性傅氏方法也是一种傅氏方法也是一种滤波方法滤波方法。根据式（根据式（4-78
44、）和（）和（4-79）基波分量在第）基波分量在第n点傅里叶正弦和余弦点傅里叶正弦和余弦项系数可表示为：项系数可表示为：111122()()sin22()()cosNskNckXnx nNkkNNXnx nNkkNN(4-87)Z Z变换：变换：()1()122(Z)(Z)Zsin22(Z)(Z)ZcosNNkskNNkckXXkNNXXkNN(4-88)4.3.2全波全波傅立叶算法傅立叶算法33/862022-8-5Xian University of Science and Technology4.3 4.3 基于周期信号的算法基于周期信号的算法Xian University of Scie
45、nce and Technology因此，傅立叶正、余弦系数的因此，傅立叶正、余弦系数的单位冲激响应序列单位冲激响应序列为：为：(4-91)22sin (1)ShkkNNN(4-90)c22cos (1)hkkNNN正、余弦系数正、余弦系数频率特性频率特性如图如图4-414-41和图和图4-424-42所示。所示。012345600.20.40.60.81k=f/f0Hs012345600.20.40.60.81k=f/f0Hc 图图4-414-41正弦项系数频率特性正弦项系数频率特性 图图4-424-42余弦项系数频率特性余弦项系数频率特性4.3.2全波全波傅立叶算法傅立叶算法34/8620
46、22-8-5Xian University of Science and Technology4.3 4.3 基于周期信号的算法基于周期信号的算法Xian University of Science and Technology令电压输入信号为：令电压输入信号为：(4-91)()sin()sin()mmmx tXtXm t(4-90)()sin()sin()2 sin()mmsmsmx kXkTXm kTXmkN则第则第k k个采样值为：个采样值为：相对频率相对频率 的的幅频特性幅频特性定义为：定义为：0/ff22111scmmXXXHXX不同初相角时傅立叶算法的幅频特性，如图不同初相角时傅立
47、叶算法的幅频特性，如图4-434-43所示：所示：4.3.2全波全波傅立叶算法傅立叶算法35/862022-8-5Xian University of Science and Technology4.3 4.3 基于周期信号的算法基于周期信号的算法Xian University of Science and Technology可见，此算法可以完全滤除直流分量，但不能滤除非整次谐波分量。可见，此算法可以完全滤除直流分量，但不能滤除非整次谐波分量。不同初相角时，对于基波、直流分量和各整次谐波分量的频率响应相同。不同初相角时，对于基波、直流分量和各整次谐波分量的频率响应相同。024600.51f/
48、f0H a=0*pi024600.51f/f0H a=pi/6024600.51f/f0H a=pi/3024600.51f/f0H a=pi/2图图4-434-43全波傅立叶算法频率特性全波傅立叶算法频率特性4.3.2全波全波傅立叶算法傅立叶算法36/8637/862022-8-5Xian University of Science and Technology4.3 4.3 基于周期信号的算法基于周期信号的算法Xian University of Science and Technology4.3.3 4.3.3 半波傅立叶算法半波傅立叶算法1.1.半波傅立叶算法原理半波傅立叶算法原理仅用
49、半周波的数据计算信号的仅用半周波的数据计算信号的幅值幅值和和相角相角。针对基波分量，计。针对基波分量，计算正弦和余弦系数的矩形方法如下：算正弦和余弦系数的矩形方法如下：212142()sin42()cosNmskNmckXx kmkNNXx kmkNN(4-87)21121142()sin42()cosNskNckXx kkNNXx kkNN(4-88)4.3.3半波半波傅立叶算法傅立叶算法2022-8-5Xian University of Science and Technology4.3 4.3 基于周期信号的算法基于周期信号的算法Xian University of Science a
50、nd Technology当当 N=12 N=12时，上式为：时，上式为：6111()sin36skXx kk(4-87)6111()cos36ckXx kk(4-88)同样，求出同样，求出 和和 后，就可以通过式（后，就可以通过式（4-824-82）式（）式（4-834-83）和）和式（式（4-844-84）求出信号的）求出信号的有效值有效值和和相角相角。1sX1cX2.2.全波傅里叶算法的滤波特性全波傅里叶算法的滤波特性根据式（根据式（4-95）和（）和（4-96）基波分量在第）基波分量在第n点傅里叶正弦和余弦点傅里叶正弦和余弦项系数可表示为：项系数可表示为：4.3.3半波半波傅立叶算法傅
