1、7 经典力学的哈密顿理论经典力学的哈密顿理论内容：内容：哈密顿正则方程哈密顿正则方程 哈密顿原理哈密顿原理 正则变换正则变换 哈密顿哈密顿雅可比方程雅可比方程重点：重点：哈密顿正则方程哈密顿正则方程 正则变换正则变换难点：难点：正则变换正则变换在经典力学中，力学体系的运动可用各种方法来描述。用牛顿运动定律描在经典力学中，力学体系的运动可用各种方法来描述。用牛顿运动定律描述，常常要解算大量的微分方程组，对约束体系更增强了问题的复杂性。述，常常要解算大量的微分方程组，对约束体系更增强了问题的复杂性。1788年拉格朗日用年拉格朗日用s个广义坐标来描述力学体系的运动，导出了用广义坐个广义坐标来描述力学
2、体系的运动，导出了用广义坐标表出的拉格朗日方程，其好处是只要知道体系的动能和所受的广义力，标表出的拉格朗日方程，其好处是只要知道体系的动能和所受的广义力，就可写出体系的动力学方程。就可写出体系的动力学方程。1834年以后哈密顿提出用年以后哈密顿提出用s个广义坐标和个广义坐标和s个广义动量（称为正则共轭坐标）描述体系的运动，导出了三种不同形式个广义动量（称为正则共轭坐标）描述体系的运动，导出了三种不同形式的方程：哈密顿正则方程、哈密顿原理和哈密顿的方程：哈密顿正则方程、哈密顿原理和哈密顿雅可比方程，称为经雅可比方程，称为经典力学的哈密顿理论。哈密顿理论和拉格朗日理论、牛顿理论是等价的。典力学的哈
3、密顿理论。哈密顿理论和拉格朗日理论、牛顿理论是等价的。哈密顿理论的优点在于便于将力学推广到物理学其他领域。哈密顿理论的优点在于便于将力学推广到物理学其他领域。7.1 哈密顿函数和正则方程哈密顿函数和正则方程（1）哈密顿函数）哈密顿函数 qq,),(tqqLL 拉格朗日函数是拉格朗日函数是和和t t的函数：的函数：，它的全微分为，它的全微分为 dttLdqqLqdqLdLss 11 将广义动量和拉格朗日方程：将广义动量和拉格朗日方程：qLp 0 qLqLdtd代入上式，得代入上式，得dttLdqpdqqLqpdsss 111)(（7.1）式中式中),(1tqpHLqphs （7.2），是体系的广
4、义能量。由是体系的广义能量。由),(tqqpqLp 可以解出可以解出),(tqpqq 故故H是是p、q、t的函数，表征体系的状态，称为哈密顿函数。的函数，表征体系的状态，称为哈密顿函数。若若L不显含不显含t，并且约束是稳定的，体系的能量守，并且约束是稳定的，体系的能量守恒，则恒，则 H=E=T+V（2）哈密顿正则方程）哈密顿正则方程哈密顿函数哈密顿函数H=H（p，q，t）的全微分为）的全微分为 dttHdqqHdppHdHss 11 （7.3）比较（比较（7.2）和（）和（7.3）式，得）式，得 sqHppHq,2,1 （7.4）tLtH （7.5）（7.4）式称为保守系哈密顿正则方程，它是）
5、式称为保守系哈密顿正则方程，它是2s个一阶微分方程，形式对个一阶微分方程，形式对称，结构紧凑。称，结构紧凑。对于非保守系，正则方程形式为对于非保守系，正则方程形式为 sQqHppHq,2,1 哈密顿正则方程常用来建立体系的运动方程。哈密顿正则方程常用来建立体系的运动方程。例例1 写出粒子在中心势场写出粒子在中心势场rV 中的哈密顿函数和正则方程。中的哈密顿函数和正则方程。解：粒子在中心势场中运动的特点、自由解：粒子在中心势场中运动的特点、自由度、广义坐标如何？度、广义坐标如何？粒子的粒子的拉格朗日函数拉格朗日函数为为rrrmL )(21222 （1）广义动量广义动量 22,mrpmrLpmpr
6、rmrLprr （2）哈密顿函数哈密顿函数 rrppmrrrmWhyVTHr )(21)()(21?)(222222于是得正则方程于是得正则方程 （径径向向运运动动方方程程）22232)(rrrmrmrprHpmppHrrrr （3）（角角动动量量守守恒恒）常常数数 220mrpHpmrppH（4）例例2 写出粒子在等角速度转动参考系中的写出粒子在等角速度转动参考系中的H函数和正则方程。函数和正则方程。解：取图解：取图7.3所示的转动参考系。粒所示的转动参考系。粒子的子的L函数为（参见函数为（参见5.12式）式）VrmrmmL 22)(21)(21 （1）所以所以)(rmmLp rmp （2
7、2）（3）则哈密顿函数则哈密顿函数VrmmVrmrmmrmmLpH 2222)(2121)(21)(21)(（4）（3）式代入（）式代入（4）式，得）式，得 VrpmpH )(22（5）正则方程为正则方程为 rVprHprmpPH )(（6）将将rmmp 代入上式中的第二式，可得粒子的动力学方程代入上式中的第二式，可得粒子的动力学方程Frmmrmm mrmFam2)(7.2 哈密顿原理哈密顿原理（1）最速落径问题和变分法）最速落径问题和变分法 数学上的变分法是为了解决最速落径这一力学问题而发展起来的。数学上的变分法是为了解决最速落径这一力学问题而发展起来的。如图如图7.4所示，铅直平面内在所有
8、连接两个定点所示，铅直平面内在所有连接两个定点A和和B的曲线中，找出的曲线中，找出一条曲线来，使得初速度为零的质点，在重力作用下，自一条曲线来，使得初速度为零的质点，在重力作用下，自A点沿它无摩擦点沿它无摩擦地滑下时，以最短时间到达地滑下时，以最短时间到达B点。点。设曲线设曲线AB方程为方程为y=y(x)，质点沿曲，质点沿曲线运动速度为线运动速度为dxdtydtdydxdtdsgy2221)()(2 质点自质点自A沿曲线沿曲线y(x)自由滑至自由滑至B点所需的时间点所需的时间 dxgyydtJBABAxxxx 212（7.6）显然显然J的值与函数的值与函数y(x)有关，最速落径问题就是求有关，
9、最速落径问题就是求J的极值问题，即的极值问题，即y(x)取什么函数时，函数取什么函数时，函数Jy(x)取极小值。取极小值。Jy(x)称为函数称为函数y(x)的泛函数。的泛函数。Jy(x)取极值的条件为取极值的条件为J=0（7.6）算符算符称为变分记号。称为变分记号。变分运算法则和微分运算法则相似：变分运算法则和微分运算法则相似：2121)0()()()()()()()()(222112211221212121ttttydtydtxydxddxdyyddyykxyyyyyyyyyyyyyyyyyy （7.8）（2）变分问题的欧拉方程）变分问题的欧拉方程求泛函求泛函Jy(x)的变分的变分J=0的条
10、件：的条件：为普遍起见，将（为普遍起见，将（7.6）式改写）式改写 21),()(xxdxxyyfxyJ （7.9）对上式求变分，令对上式求变分，令J=0：0)()()()(),(),(21212121212121 ydxyfyfdxdydxyfyfdxdyyfdxyyfdxdyyfdxdyyfdxyyfyyfdxxyyfdxxyyfJxxxxxxxxxxxxxx 因此，因此，0 yfyfdxd（7.10）（7.10）是泛函）是泛函Jy(x)取极值时函数取极值时函数y(x)必须满足条件，称为欧拉方程，必须满足条件，称为欧拉方程，思考：欧拉方程形式上与拉格朗日方程有无区别？思考：欧拉方程形式上与
11、拉格朗日方程有无区别？（3）哈密顿原理）哈密顿原理 一个具有一个具有s自由度的体系，它的运动由自由度的体系，它的运动由s个广义坐标个广义坐标)(tq 来描述。来描述。在体系的在体系的s维位形空间中，这维位形空间中，这s个广义坐标的值确定体系的一个位形点，个广义坐标的值确定体系的一个位形点，随着时间的变动，位形点在位形空间描绘出体系的运动轨道。设在时刻随着时间的变动，位形点在位形空间描绘出体系的运动轨道。设在时刻 1t2t和和 体系位于位形空间的体系位于位形空间的 1P2P点和点和点，点，相应的广义坐标为相应的广义坐标为 )(1tq)(2tq 和和)(1tq)(2tq（或缩写为（或缩写为和和），
12、），由由 1P2P点通向和点通向和点有多种可能的轨道（路径），但体系运动的真实点有多种可能的轨道（路径），但体系运动的真实轨道只能是其中的一条。如何从众多的可能轨道中挑选出体系运动的轨道只能是其中的一条。如何从众多的可能轨道中挑选出体系运动的真实轨道？即在真实轨道？即在 21 tt时间内，为何确定体系的时间内，为何确定体系的s个广义坐标个广义坐标？)(tq哈密顿原理提供了确定体系运动真实轨道的方法。哈密顿原理提供了确定体系运动真实轨道的方法。定义：定义：体系的拉格朗日函数在体系的拉格朗日函数在21 tt内的积分内的积分 21),(ttdttqqLs （7.11）为哈密顿作用量（或主函数），是为
13、哈密顿作用量（或主函数），是)(tq的泛函数。的泛函数。哈密顿原理哈密顿原理 1843年哈密顿提出：对于一个保守系年哈密顿提出：对于一个保守系的完整力学体系，其由动力学规律所决定的完整力学体系，其由动力学规律所决定的真实运动轨道可由泛函数的真实运动轨道可由泛函数 21),(ttdttqqLs取极值的条件取极值的条件0),(21 ttdttqqLs （7.12）给出给出哈密顿原理。哈密顿原理。对于非保守系，哈密顿原理的数学表达式为对于非保守系，哈密顿原理的数学表达式为0),(21 dtqQtqqTstt （7.13）式中式中 Q为广义力。为广义力。由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程、正则方程以及各
14、种动力学方程，由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程、正则方程以及各种动力学方程，因此，哈密顿原理是力学的第一性原理或最高原理。在力学中凡能起因此，哈密顿原理是力学的第一性原理或最高原理。在力学中凡能起“几何公里几何公里”作用，可由它导出全部力学定律的原理或假说，称为力学作用，可由它导出全部力学定律的原理或假说，称为力学第一性原理或最高原理，如牛顿运动定律、虚功原理、达朗贝尔原理等第一性原理或最高原理，如牛顿运动定律、虚功原理、达朗贝尔原理等都是力学第一性原理，所以力学第一性原理的表述形式是多种多样的，都是力学第一性原理，所以力学第一性原理的表述形式是多种多样的，各有优缺点，但都是等价的。各有优缺点
15、，但都是等价的。7.3 正则变换正则变换（1）选好广义坐标的重要性选好广义坐标的重要性 选取不同的广义坐标，所得的微分方程的形式不同，求解方程的难易程选取不同的广义坐标，所得的微分方程的形式不同，求解方程的难易程度不同。如果选取的广义坐标使度不同。如果选取的广义坐标使H函数中能多出现一些循环坐标，就能在函数中能多出现一些循环坐标，就能在正则方程中多得出一些积分，对微分方程的求解就更有利，否则微分方程正则方程中多得出一些积分，对微分方程的求解就更有利，否则微分方程的求解就变得十分困难，因此，为何选取广义坐标是理论力学中最富技术的求解就变得十分困难，因此，为何选取广义坐标是理论力学中最富技术性的环
16、节。性的环节。（2）正则坐标变换的目的和条件）正则坐标变换的目的和条件 正则坐标变换（正则变换）的理论，就是寻找最佳坐标，使正则坐标变换（正则变换）的理论，就是寻找最佳坐标，使H函数中函数中出现更多的循环坐标，求解微分方程组变得更容易的方法。出现更多的循环坐标，求解微分方程组变得更容易的方法。设原来的正则变量为设原来的正则变量为p、q，通过变量变换新的正则变量为，通过变量变换新的正则变量为P、Q，它，它们的变换关系为们的变换关系为 sdtpppqqqPPtpppqqqQQssss,2,1);,();,(21212121 （7.14）如果变换后，新的哈密顿函数如果变换后，新的哈密顿函数),(*T
17、QPH仍然满足正则方程仍然满足正则方程sQHPPHQ,2,1,*,*（7.15）满足（满足（7.15）式子的正则坐标变换称为正则变换。）式子的正则坐标变换称为正则变换。满足正则变换（满足正则变换（7.15）式的具体条件（证明见）式的具体条件（证明见P.256-257）是：）是：),()*()(tQqdFdtHHdQPdqp （7.16）式中式中F为正则变换母函数。为正则变换母函数。由（由（7.16）式可得）式可得sQFPqFp,2,1,（7.17）tFHH *（7.18）以上二式表明：由以上二式表明：由 QPqp,Q Q时，时，可任意规定；可任意规定；规定后，规定后，P QFP qFP *Ht
18、FHH *则则由由规定，规定，F由由来选取，来选取，由由来确定。来确定。（3）四种不同类型的正则变换）四种不同类型的正则变换 （7.16）式是正则变换的一种形式，是以（）式是正则变换的一种形式，是以（q，Q）为独立变量的形式，）为独立变量的形式，对应的母函数对应的母函数F（q，Q，t）为第一类正则变换母函数。也可以（）为第一类正则变换母函数。也可以（q，P），），（p，Q），（），（p，P）为独立变量。）为独立变量。第一类正则变换第一类正则变换 tFHHQFPqFptQqdFdtHHdQPdqp2111*,2,1,),()*()(（7.19）第二类正则变换第二类正则变换 tFHHQFPqFpt
19、QqdFdtHHdQPdqp2222*,2,1,),()*()(第二类正则变换第二类正则变换 tFHHQFPqFptQqdFdtHHdQPdqp3333*,2,1,),()*()(第二类正则变换第二类正则变换 tFHHQFPqFptQqdFdtHHdQPdqp3333*,2,1,),()*()(（4）正则变换的关键）正则变换的关键 若变换后新哈密顿函数只是变量若变换后新哈密顿函数只是变量SPPP,21及及t t的函数，即的函数，即 ),(*21tPPPHHS 则由（则由（7.15）式知）式知 0*QHP=常数常数 PdtPHQ *可得力学体系可得力学体系2s个运动积分，于是体系的运动问题就完全
20、解决了。体系个运动积分，于是体系的运动问题就完全解决了。体系能否有能否有2s积分，全靠母函数积分，全靠母函数F规定得如何而定，所以体系的运动微分方程规定得如何而定，所以体系的运动微分方程的积分，从正则变换的眼光看，就变成为何寻找合适的母函数的积分，从正则变换的眼光看，就变成为何寻找合适的母函数F的问题了，的问题了，F规定适当，变换后出现很多循环坐标，问题即可大为简化。规定适当，变换后出现很多循环坐标，问题即可大为简化。例例1 用正则变换法求平面谐振子的运动用正则变换法求平面谐振子的运动yxpp,，振，振 解：设振子沿解：设振子沿x，y方向的动量为方向的动量为动频率为动频率为21,，哈密顿函数为
21、，哈密顿函数为)(21)(2122222122yxmPPmVTHyx 设母函数设母函数),()(212222121 qFctgyctgxmF 由（由（7.19）式，得）式，得 2222221221112211csc21,csc21,ymQFPxmQFPxctgmyFPxctgmxFPyx （2）xPyP将（将（3 3）式中的）式中的及及表示代入（表示代入（1 1）中，得）中，得 )(21)(2222212222212221yxmctgyctgxmH )1(21)1(212222212221 ctgymctgxm 2222212221csc21csc21 ymxm *)(2211HPP （4）（
22、5）由（由（7.15）式，得）式，得 221121,0,0 QQPP （6）积分得积分得 2221112211,tQtQCPCP （7）积分常数积分常数2121,CC由起始条件决定。由起始条件决定。由（由（3）式得振子运动方程）式得振子运动方程 )(csc21)(csc2122222221122111 tymCPtxmCP )sin(22)sin(22221111 tmCytmCx（8）7.4 哈密顿哈密顿雅可比方程雅可比方程 （1）方程的推导）方程的推导通过正则变换可使新的哈密顿函数通过正则变换可使新的哈密顿函数),(*tQPH结构简化，从而使正则方程结构简化，从而使正则方程易于求解。最理想
23、的情况是易于求解。最理想的情况是 0),(*tQPHH，这时这时 （常数），（常数），（常数）。（常数）。P Q*H的结构形式与母函数的结构形式与母函数F有关。在四类正则变换中，母函数和新旧有关。在四类正则变换中，母函数和新旧哈密顿函数的关系为哈密顿函数的关系为tFtqpHtQPH ),(),(*（7.23）取第二类母函数取第二类母函数),(tQPFF ，则由（，则由（7.207.20）式得）式得 qFP （7.24）*H P并根据并根据=0=0的要求，令的要求，令，则（，则（7.237.23）式为）式为0),(),(),(*ttqFtqpHtQPH（7.25）由（由（7.25）式知：如果）式
24、知：如果F（q,t）是方程的解，则）是方程的解，则 AtqFtqS ),(),(（常数）（常数）（7.26）也是方程的解，故（也是方程的解，故（7.25）式可改写成）式可改写成0),(tstqsqH （7.27）（7.27）式称为哈密顿）式称为哈密顿雅可比方程，其中雅可比方程，其中S（q,t）称为哈密顿主函数。）称为哈密顿主函数。从（从（7.27）式求出）式求出S，再由，再由 qSqFP P SPSPFQ求出求出，由，由求出求出 Q，就可得出正则方程的全部积分了。这样，就可得出正则方程的全部积分了。这样，正则方程的求解问题归纳为为何从哈密顿正则方程的求解问题归纳为为何从哈密顿雅可比方程（雅可比
25、方程（7.27）式求）式求S的的问题。问题。（2）方程的解）方程的解 为简单起见，设为简单起见，设H=E（常数），即讨论能量守恒或广义能量守恒（常数），即讨论能量守恒或广义能量守恒问题的求解。问题的求解。哈哈雅方程为雅方程为 0),(Ettq （7.28）由于上式是包含由于上式是包含s个个q和和t的变量的偏微分方程，故对的变量的偏微分方程，故对t积分后得积分后得AqqqWEttqs ),(),(21 （7.29）式中式中),(21sqqqW称为哈密顿特征函数，将称为哈密顿特征函数，将 pqWqs （7.30）代入关系代入关系H=E，得，得EqWqWqWqqqHss ),;,(2121 （7.3
26、1）从（从（7.31）式可解得）式可解得W，再代入（，再代入（7.29）式，就可得到）式，就可得到H=E体系的哈密体系的哈密顿顿雅可比方程的解，于是正则方程的求解又归结到从（雅可比方程的解，于是正则方程的求解又归结到从（7.31）式中）式中求特征函数求特征函数W的问题了。通常采用的问题了。通常采用“分离变量法分离变量法”求（求（7.31）的解。）的解。7.5 解题指导解题指导 （1）习题类型及基本解法）习题类型及基本解法 哈密顿理论的三个重力学方程（正则方程、哈密顿原理、雅可比方程）哈密顿理论的三个重力学方程（正则方程、哈密顿原理、雅可比方程）主要用于建立体系的动力学方程，这是本章习题内容和类
27、型。主要用于建立体系的动力学方程，这是本章习题内容和类型。基本解法：将体系的拉格朗日函数基本解法：将体系的拉格朗日函数L或哈密顿函数或哈密顿函数H代入相应的方程即得代入相应的方程即得 体系的运动微分方程。解起的要点和步骤是：体系的运动微分方程。解起的要点和步骤是：析体系约束类型，主动力性质；析体系约束类型，主动力性质；确定自由度，选择适当的广义坐标；确定自由度，选择适当的广义坐标；正确写出体系的正确写出体系的L函数和函数和H函数；函数；将将L或或H代入相应的哈密顿理论的动力学方程，并进行运算，可代入相应的哈密顿理论的动力学方程，并进行运算，可得出体系的运动微分方程；得出体系的运动微分方程；方程
28、，出要求的量。方程，出要求的量。范例范例 例例1 用哈密顿原用哈密顿原理建立开普问题的动力学方程。理建立开普问题的动力学方程。解：用极坐标描述开普勒问题较方便。自由度为解：用极坐标描述开普勒问题较方便。自由度为2，以，以r，Q为为广义坐标，拉格朗日函数为广义坐标，拉格朗日函数为 rrrmL )(21222代入哈密顿原理表达式，得代入哈密顿原理表达式，得0)2()()2()()()()()()(21)(2122122212212222212222122221222212222121 dtrr rmrdtrrrmmrrrmddtrrr rmrdtdmrmrrrmrrmdtddrrdtdrrrrdt
29、drmdtrrrrrrrmdtrrrmdtrrrmLdtstttttttttttttttttt 0)2()(22221212 dtrr rmrrrrmmrrrmtttt 0)2()(02221 dtrr rmrrmrrmtt 0)2()(22 rrmrrrm 例例2 用哈密顿用哈密顿雅可比方程解开普勒问题。雅可比方程解开普勒问题。解：开普勒问题能量守恒，其哈密顿解：开普勒问题能量守恒，其哈密顿-雅可比方程形式为雅可比方程形式为EqWgH ),(（1）哈密顿函数哈密顿函数rarppmHr )(21222 （2）由由 ),(,),(rWprrWprr，代入（，代入（2 2）和（）和（1 1）得哈密
30、顿）得哈密顿雅可比方程为雅可比方程为 EraWrrWm )(1)(21222（3）求出方程（求出方程（3）的解，代入）的解，代入 2),(),(mrrWprmrrWpr （4）可得可得 0)2()(22 rrmrarrm用用22mr乘（乘（3 3）式两边，并移项得）式两边，并移项得 2222)()(2)(WrraEmrWr （5）用分离变量法求解，令用分离变量法求解，令)()(),(21 WrWrW （6）将（将（6）代入（）代入（5）得）得 22221)()(2)(ddWrraEmdrdW （7）上式左边只是上式左边只是r的函数，右边只是的函数，右边只是的函数，要使其对任意的的函数，要使其对
31、任意的r、都成立，都成立，只有当它们都等于同一个常量时才有可能。这个常量必为正值，因此把它用只有当它们都等于同一个常量时才有可能。这个常量必为正值，因此把它用 2J来表示，由此可得来表示，由此可得 222)(JddW （8）2221)(2)(JrraEmdrdW （9）积分（积分（8）式得）式得 AJW )(2 （10）（9）式可改写为）式可改写为221)(2rJraEmdrdW 所以所以 drrJraEmrW 221)(2)(（11）将（将（10）、（）、（11）代入（）代入（6），最后得方程（），最后得方程（3）的解：）的解：AJdrrJraEmrW 22)(2),(（12）将（将（12）
32、代入（）代入（7.19）得）得 022222)(2)(2 drrJraEmrJdrrJraEmJJW上式中的上式中的 0 为积分常数为积分常数 2，适当选取坐标原点，总可令，适当选取坐标原点，总可令 00 ，于是得，于是得 2222222cos)(2JammEJmarJarrJraEmrJdr （13）令令22221,maEJemaJp ，则（，则（1313）式可改写为）式可改写为 cos1epr （14）这正是开普勒问题的轨道方程。这正是开普勒问题的轨道方程。|2|2)(222220EmJrEarrdrEmrJraEmmdrEWtt （15）这就是开普勒问题的运动方程这就是开普勒问题的运动方程r=r（t）的积分表示式，再将（）的积分表示式，再将（15）和（）和（14）联立起来即可解得联立起来即可解得=（t）。）。
