1、2022-8-51第三章 生命年金的精算现值o 第一节 生命年金概述o 生命年金（生存年金）的概念与种类：生命年金是指按预先约定的金额,以一定的时间为周期绵延不断地进行一系列的给 付,且这些给付必须以原指定的领取人的生存为前提条件,一旦原指定的领取人死亡,或 预先约定给付期届满时,给付即宣告结束 生命年金在人寿保险、退休金体系、残疾保险及抚恤保险中均起着重要作用。如在人 寿保险中保险费通常是以生命年金的方式分期缴纳的,在退休金体系中退休金通常是以生 存年金的方式分期给付的 2022-8-52o 生命年金的种类o 离散型与连续型；期初支付与期末支付；即期与延期；终身与定期以及变额生命年金与生命年
2、金。o 精算现值的计算方法 o 保险金额为 1 个单位的 n 年生存保险,其给付保险金现值的期望，称为趸缴纯保费(这是与保险相联的缘故）。o 而在生命年金中,n 年期生存保险的期望现值 E(Z)(即建缴纯保费)称为精算现值，精算 一词意味着除含利率外,还含有死亡率等 其他因素 2022-8-53o 在生命年金中,保险金额为 1 个单位的 n 年生存保险的精算现值 E(Z)用符号nEx 表示,即o 精算现值的计算方法 对于生命年金的精算现值,其计算方法有两种:其一是现时支付法,其二是总额支付法o 现时支付法的计算步骤是:o 求出时刻 t 时生命年金的给付数额;确定时刻 t 时给付数额的精算现值;
3、对给付年金的精算现值按所有可能的给付时间进行相加或积分。xnnxnpvE 2022-8-54o 总额支付法的计算步骤是:求出从开始支付至死亡或停止支付这段时间 t 内所有年金给付额的现值,这一现值仅与利率有关;将求出的现值乘以相应的死亡概率或概率密度;对第二步得到的结果按所有可能的死亡时间 t 进行相加或积分.o 精算现值的两种计算方法是等价的。2022-8-55 3.1 连续型生命年金o 连续型生命年金是指每时每刻连续不断地进行支付的生命年金。这类生命年金一般地 分为定期生命年金、终身生命年金、延期定期生命年金和延期终身生命年金等o 以终身生命年金为例,考察定额终身生命年金的精算现值。假设(
4、x)按连续方式 支付年金额为 1 元的终身生命年金,其精算现值用符号表示o(x)未来寿命 T=T(x),则 T=T(x)的密度函数是xa txxtTptf2022-8-56 上述两式可以相互转化现时支付法是等价的，利用总额支付法和利用利用现时支付法，则利用总额支付法，则，则其支付年金的现值记作dtpvadtpEaxt0txtxxt0 x0TTTtTaadtvaYY2022-8-57o 为衡量支付连续型的终身生命年金的风险,我们可以考虑支付终身生命年金现值的方差。xxxxxxxxTtTtTAAAAAAAvVarvVardtvVaraVar xxx0 xttxt0ttxxt0t22220a1or,
5、a1a1dtpv1)p(dv-dtpva111表示式得到之间的关系，可以通过与关于ttttdvededdv)()(其中，2022-8-58o 例1 设死力是常值=0.04,利力=0.06,在此假设条件下,求:(1)终身生命年金的精算现值(2)终身生命年金现值的标准差;(3)终身生命年金现值超过其精算现值的概率(所收取的趸缴纯保费将小于支付实际给付年金额为 1 元的终身生命年金的概率)。o 解:101exp1expexp000dttdtttdtpvaxttx利用现时支付法2022-8-59 5429.0texpdttexp2715.15TPrlnvln0.4TPr4.0vPr10v1PraaPr
6、35aVar,25AA1aVar25.02dtt2expt2expA4.01006.01a1A227.1527.15ttxTTx2x22T0 x2xx2022-8-510o 类似地,对于(x)按连续方式领取的年金额为 1 元的 n 年定期生命年金,其精算现值用符号 表示.利用现时支付法,则n:xanTvnT0vZ,Z1nnTanT0aY,Y,dtpvanTnTxtn0tn:x则元的现值为额为年期两全保险，保险金记连续型则为记此项生存年金的现值2022-8-511 2xx222n:xn:xn:xn:xAA1Zvar1Z1varYvarAa1A11ZE11Z1EYEa ，即利用总额支付法，则202
7、2-8-5122022-8-5132022-8-5140nttxvp dt2022-8-5153.1.3 延期生命年金 考虑(x)的延期n年的终身生命年金，这种年金在(x)活过x+n岁的情况下，从x+n岁开始，直到(x)死亡时为止一直以年率1进行支付 2022-8-516o比较“延期n年的终身生命年金”、“终身生命年金”和“n年期定期生命年金”，可以发现：“终身生命年金”=“延期n年的终身生命年金”+“n年期定期生命年金”o 例3-3已知死亡概率在（0.100）上均匀分布，i=4%。年龄为40岁的人购买每年给付额为3000元的连续给付型生命年金，求下列各种生命年金的精算现值。（1）终身生命年金
8、（2）20年定期生命年金（3）延期10年的终身生命年金（4）延期10年的10年定期生命年金2022-8-5172022-8-5183.1.4 n年确定期生命年金 n年确定期生命年金是一种保证在前n年一定有支付的终身生命年金。该年金支付的现值随机变量为：2022-8-519例3-5 某人x岁，购买了一份10年确定期生命年金，以连续方式给付，每年给付金额为1，已知死亡在（0，30）内均匀分布且=x+30，。求该年金精算现值。0.052022-8-5203.1.5 变额年金考虑支付率随时间发生变化的年金。假设连续型生命年金在t时的支付率为g(t)，年金的支付期限为时间区间a，b，那么，由支付模式，知
9、这种年金的精算现值为:（1）如果g(t)1，a=0，b=n时，上述一般年金就变成了连续型等额支付的n年期定期生命年金；（2）如果g(t)1，a=0，b=时，上述一般年金就变成了连续型等额支付的终身生命年金；（3）如果g(t)1，a=n，b=时，上述一般年金就变成了连续型等额支付的n年延期生命年金；（4）如果g(t)=t+1，a=0，b=时，上述一般年金就变成了年度递增的连续支付型终身生命年金。2022-8-521（5）如果g(t)t，a=0，b=时，上述一般年金就变成了连续递增的连续支付型终身生命年金。这种年金的现值随机变量 2022-8-522（6）如果g(t)=n-t，a=0，b=n时，上
10、述一般年金就变成了年度递减的连续支付型n年期定期生命年金。2022-8-523将上述的有关连续型生命年金的讨论小结如下：2022-8-5242022-8-525 3.2 离散型生命年金o 离散型生命年金是指年金的领取人每次领取年金的时间间隔是离散的,如按每年、每 半年、每季度、每月来进行的。o 离散型生命年金还分为“期初付”和“期末付”两种情 形。其中,期初付生命年金在个人寿险中得以广泛应用,大多数个人寿险的保险费就是按 期初付生命年金的方式分期缴纳保险费的。o 3.2.1按年付的定额生命年金 按年付生命年金是以年为时间间隔,每年支付一次,每次支付的金额均相等的生命年金 2022-8-526o
11、 以期初付的定额的终身生命年金为例,考虑其生命年金的精算现值:o 设年龄为x岁的生存者在每个年度初领取年金额为 1 个单位的终身生命年金(即期初付终身生命年金)的精算现值 0kkxkxxxkxxk0kxkkxxlvalllp,pvaia 代入，整理可得将，利用现时支付法得表示，预定年利率为用符号2022-8-527o 上式表明:年龄为 x 岁的 lx个生存者,若每人缴纳 元建立一笔基金(基金总 额为 元),并按预定年利率 i 计息积存,则可使该群体中生存到x+k 岁的 lx+k个人,每人获得 1 元的金额(k=0,1,2,.)o 若利用总额支付法,则期初付年金额为 1 个单位的终身生命年金支付
12、的现值:xa 0101,2,1,0kjxkkxKjjkqaYEavaY 该年金的精算现值为；为该年金的现值随机变量2022-8-528o 交换求和的顺序,则上式可转化为o 这表明现时支付法与总额支付法计算精算现值的结果是相同的。o 若在引入换算函数,则可以得 00111kxkkkxkkxpvpva xxxDNa 2022-8-529o 现在,我们来考察期初付年金额为 1 个单位的终身生命年金现值 的方差o 根据方差的性质，则 22212101111xxkkKjjKAAdvVarddvVarvVaraVar 2022-8-530o 下面,我们考察精算现值与趸缴纯保费之间的关系式 xxxxxkkK
13、xAadorAdaAdvEddvEaEa 1,11111111112022-8-531o 上式表明:年龄为x岁的生存者,在预定年利率为 i 的条件下,只要缴纳金额 1元,便可享受期初付的年金额为 d 元的终身生命年金;而一旦死亡,还可在死亡的年度 末获得 1 元的死亡保险金.o 若从一般的投资角度来解释,即(x)现在投资资金 1元,在年利率 i 的条件下,可在(x)生存时,其每年的年初均可获得回报 d 元,而(x)一旦死亡,则在其死亡的年度末偿 还其投资的本金 1 元 2022-8-532o 例 1 一份金额为 1 元的期初付终生生命年金从 90 岁开始给付,其生存模型为 x90919293l
14、x100 72390 YVarYE,6.0i0.785525A902和方差求该年金的精算现值和且已知2022-8-533 026344.21003906.1111007206.11110010006.1111121009090kkkpva 解：551188.0001766.06106AAd1YVar0.8853012.02634410661ad1AAad12229090229090 xx 可知由式2022-8-5343.2.1 期初付生命年金2022-8-5352.期初付定期生命年金每年支付1的n年期期初付定期生命年金的现值随机变量为2022-8-5362022-8-5373.期初付延期终身生
15、命年金期初付n年延期终身生命年金为：在年金受领人(x)活着的情况下，从x+n岁开始，每年初支付1的年金。2022-8-5384.期初付确定期生命年金n年期期初付确定期生命年金是一种保证至少有n年支付的生命年金。其现值随机变量为2022-8-5393.2.2 期末付生命年金1.期末付终身生命年金这种年金在年金受领人(x)活着的情况下，每年末支付1 该年金的现值随机变量为其精算现值为 表明年龄为x岁的生存者,在预定年利率为 i 的条件下,只要缴纳金额 1元,便可享受期末付的年金额为 i元的终身生命年金;而一旦死亡,还可在死亡的年度 末获得 1+i元的死亡保险金2022-8-5403.2.2 期末付
16、生命年金2022-8-5412022-8-5422.期末付定期生命年金每年末支付1的n年期末付定期生命年金的现值随机变量为111,knjjKKnjjnaKnYavavaKn其精算现值为2022-8-543101KKnnvaKniYvaKni11100Ki vKnZKn()()事实上，因为对于n年期末付定期生命年金，其现值随机变量为 200nKnZvKn2022-8-5442022-8-545 例2 一份于 60 岁签发的年给付额为 1 元并且延期 10 年给付的生命年金,已 知死亡率服从 de moivre 分布且=100、i=0,试计算该年金给付总额超过该年金精算现值 的概率。2022-8-
17、546o 解:由于死亡率服从 de moivre 分布且=100,得到lx=-x=100-x475.04019ll21TPr21Pr63.20Pr63.119Pr,9-K10),0K6063.1140129304040140406081391016010606060KKKkpvpvatllpkxhkxtkhkxtktt所以需要求的是）后实际生存的年数年（延期岁始（于从其年金给付总额应该等 2022-8-5472022-8-5483.2.3 变额生命年金一般地，假设年金的支付期间为c，d，在k时年金的支付金额为h(k)，k=c，c+1，d，相应年金的现值随机变量为Y，则（1）如果h(k)1，c=
18、0，d=n时，上述一般年金就变成了离散型等额支付的n年期定期生命年金；（2）如果h(k)1，c=0，d=时，上述一般年金就变成了离散型等额支付的终身生命年金；（3）如果h(k)1，c=n，d=时，上述一般年金就变成了离散型等额支付的n年延期生命年金；（4）如果h(k)k，c=0，d=时，上述一般年金就变成了离散型期末付年度递增终身生命年金。2022-8-5492022-8-5502022-8-5512022-8-552t支付px+t020.80130.75240.5假设v=0.9，求该生命年金现值随机变量的均值和方差。2022-8-5532022-8-5543.3 每年 m 次支付的生命年金o
19、 每年分 m 次支付的生命年金 在实际上，大多数个人生命年金通常是按月或按季或按每半年等方式来支付的。因此,讨论每年分 m 次支付的定额生命年金有重要的现实意义 o 下面,我们以每年分 m 次支付,每次支付额为 1/m 元的期初付终身生命年金为例,求其精算现值，且根据现时支付法,则 01kxmkmkmxpvma 2022-8-555o 将按上述方式给付年金的现值记作 mxxmmmmmxmmSKxAd1dmd1d1dA1d1dv-1EE,2,1,0;1,2,1,mmSKmmSKaaaKmmmmSaY 故是年贴现率，满足关系式其中，根据总额支付法，则2022-8-556 mm1xmm1mxm1xm
20、mmm1mmxmmmmxmxmxxmmxxmd1saasdad1s-1dad,d1saAaadAdAd1Ad11111 mxxxxxxmmxxxxmaAaAaAadaaAadAada，得出和由式子2022-8-557 mDNmdii-id1sm,diidasm,mamxxxmmmmm1mmmm1xx1mmaa 或其中件下，有在死亡均匀分布假设条从而，式xmmxAiiA则若尾龄服从均匀分布，2022-8-558o 上式在高利率与低死亡率的特殊情况下常被采用,而在一般情况下,通常采用精算现值的传统近似计算公式：mmaaxmx21 下面,我们介绍一下式(*)的来历 2022-8-5592m1mm1m
21、21m1-mm2m1m1m1a1m,2,1k,mka,1,020mxx10m1-mm2m1mkxxxxxxxxxxxxxxxaaaaaaaaaaaaaaa 故算式，即引入线形插值的近似计2022-8-560o 例3 试根据附录 I(C)的生命表和预定年利率 i=6%,并在死亡均匀分布的假设条件下,计算到 60 岁时起退休者每月领取1000元的期初付终身生命年金的精算现值。解，由于年利率 i=6%,则年贴现率d=i/(1+i)=0.0566从而,月利率和月贴现率分别可以得到 468119.012,00028.112,0581.0,0584.011,111212则didmdimimmm2022-8
22、-561 .,(28.1323832411-11.4902712000a100012p(44.132304a100012p11.025370.46819-11.4902700028.112a12a12601260601260值非常近似所求生存年金的精算现得出的结论和利用传统近似计算方法此例表明元）算公式，则如果采用传统的近似计元）现值是故所求生存年金的精算故 2022-8-562o 对于每年分m次支付，每次支付金额相等的年金额为1元的期末付终身生命年金，其精算现值用符号表示为 2m1ma1mm1x mxmxxmxmxmxaamaamaa的传统近似计算公式是件下，上式转化为在死亡均匀分布假设条
23、mxa2022-8-563o 对于每年分 m 次支付、每次等额支付金额为 1 元的延期h年的期初付终身生命年金,其精算现值用符号表示为 ,则 xhxhmxhmxhxhxhmhxxhmxhmhxxhmxhEaaaEaaEaaEa2m1mmmmm 的传统近似计算公式是条件下，上式转化为在死亡均匀分布的假设 mxha 2022-8-564o 对于每年分 m 次支付,每次等额支付的年金额为 1 元的期初付n年定期生命年金,其精算现值用符号表示为 ,o 根据现时支付法，则有 mnxa:)1(2m1m1mm:xnnxmnxmnxxnnxmnxmnxxnmxmxnmxmnxEaaaEaaaEaaaa 的传统
24、近似计算公式是条件下，上式转化为在死亡均匀分布的假设2022-8-565o 例4试根据附录 I(C)生命表与预定年利率 i=6%,并在死亡均匀分布的假设条件下,计算生存者在 45 岁时每月领取 800 元的期初付 25 年定期生命年金的精算现值.o 解:依题意,知 482765.121121217806.0,482765.1246812.012,00028.112,0581.0,0584.0,0566.0452525:451225:4545254524025:451212EaaEpvadidkkk 2022-8-566229.119877124119600p54.11983480012p452
25、525:451225:45Eaa 公式，则若采用传统的近似计算现值是所求的生存年金的精算2022-8-567o 根据现时支付法,则 xxkxkxxkxkxxkxxkkxxxkxxxkxxkxkkkxDSDNDDklvlvvkaIlvlvllppvkaI000011,1 2022-8-5683.3.2 每年分 m 次支付的变额定期生命年金o 考虑每年分 m 次支付,年金额按年变动的期初付的 n 年定期生命年金的估值问题。设生存者自x岁开始,终止于x+n 岁,领取的年金顺序列为bx,bx+1,by+n-1.每年分 m 次等额期初支付,则在 y 岁与 y+1 岁之间的 m 次支付在 y 岁的精算现值
26、是而该项生命年金在x岁时的精算现值记作(apv)x,则 myyab1:xxymynxxyyxEabapv1:1 2022-8-569o 又设生存者在每一个年龄中死亡是均匀分布的,则 1yyymym1ymymyyymy1yyy1x11DDDDNND,DDNDDDD11mmmmmmbapvEEmmbapvnxxyyxxxyynxxyyx记转化为引入换算函数，则上式2022-8-570o 若该项变额年金改为期末支付,并假设生存者在每个年龄中死亡是均匀分布的,记 mnxmxxxymy1nxxyyxx1yyymyNNDbapvbb,DbD1apv)apv)xDD1DD时，特别地，当（岁时的精算现值为（则
27、其在mmm2022-8-571 3.4 完全期末年金与比例期初年金o 在连续生存年金场合,连续直至死亡,不存在调整最后支付问题。o 对于离散型生存 年金,尤其是按年支付的生存年金,会提出根据死亡日期按比例调整的问题。譬如期末按 年提供支付额为 5000 元的生存年金,当年金的领取者在支付日前 1 个月死亡时,可从上 次领取日算起,对其活着的 11 个月按比例加付最后一次不满 5000 元的零头数额.又譬 如,按生存年金方式支付保费 1000 元来购买人寿保险,当被保险人在周年缴费日 1 个月后死亡时,可退还该年度剩下 11 个月的已缴保费。那么,前者属于完全期末年金类型,后者属于比例期初年金类
28、型。2022-8-572o 完全期末年金每年 1 单位按 1/m 年期末支付,再加上根据从上个 1/m 年期末到死亡日这段时间调 整的零数支付,这种完全生存年金的精算现值记为 o 因 1/m 年期末 1/m 等价于按年 支付额它可以作为死亡发生在时刻 t 情况下的调整支付额 mxa0mtssm112022-8-573o 根据这一调整支付定义,完全期末生存年金恰好等价于年支付额为的连续型生存年金o 换句话说,在任何一个 1/m年中,如果(x)始终活着,那么连续生存年金提供的支付在该 1/m 年末的值为mmmiimsm1111111mssmmm1111tmssm11如果(x)在该 l/m 年内死亡
29、,那么连续生存年金所提供的支付在死亡时的值等价于它与完全期末生存年金的调整支付相当.2022-8-574o 因此我们有o 包含利息因素的上式导致更为简单的结论 xmmxaia0 xmxmxxmxmAaiAaai即001112022-8-575单位投资基金。再加上死亡时偿还的 1 111ttmtmissmsi对上式 的解释是,年龄为x岁的人投资 1 单位的资金在每个 1/m 年活着时,期末产生的回报 ,加上死亡时在 1/m 年内的回报调整 mim2022-8-576 mxa mam1113.5.2比例期初年金 对期初付生存年金,假设每年 1 单位按 1/m 年期初支付,并根据从死亡日到下一个 1
30、/m 年期初这段时间长度退还付款者部分己付款,这种比例期初生存年金的精算现值记为 因为在每个 1/m 年期初支付 1/m 的年金等价于以为支付率的连续支付年金,所以死亡发生在时刻 t 时(Ot 1/m),该 1/m 的退款可定义为mtmaam1112022-8-577o 按这样定义的退款,比例期初付生存年金恰好等价于年支付额为 mmmddmam1111111的连续生存年金,即 xmxmxxmxmxmmxAadAaadada 1,11,即而且其解释为，年龄为x岁的人投资 1 单位的资金在每个 1/m 年活着时,期末产生的回报 ,加上死亡时在 1/m 年内的回报调整 mdmmtmaam111再加上
31、死亡时偿还的1单位投资资金 2022-8-578o 试证下列等式成立:mnxmmnxnxmmnxnxmmnxaiaadaaia:1:13;2;1 证明：略试证明下列不等式 1,2,10 xaaaaxxexex2022-8-579 3.5 递推方程式o 考虑序列为 bx,bx+1,bx+n-1的每年分 m 次的期初付生存年金,设(apv)y 是从 y岁支付到 y+n 岁的相应年金在 y 岁时的精算现值 得 111:yymyyyapvEabapv 从(apv)x+n=0 开始,可根据以上递归方程依次算出(apv)x+n-1,(apv)x+n-2,(apv)x2022-8-580例如，对于x=c,c+1,-1,只要借助 值的生存年金表，就可以利用递归方程式进行计算 myymymyaEaa111:mxa 若在每一个年龄中的死亡都服从均匀分布假设 myymymmcmmmmyyymmyymmyavpaamaaaaavpvqmaavqmaa1211111:101.0,，时，公式简化为当，归计算出出发，按照上式可以递从有
