1、第一章 矩阵代数 本章先介绍一些矩阵的基本概念，引入矩阵的基本运算和一些常见矩阵，然后介绍行列式和矩阵的逆，接着介绍作为特殊矩阵向量的线性相关性以及矩阵的秩，最后作为补充介绍克罗内克乘积和矩阵向量化1.1 基本概念 矩阵是元素的矩形组合。用大写字母表示矩形，用下标表示其行数和列数;用小写字母表示其中元素，用元素的下标表示该元素在矩阵中所占据的位置。基本矩阵运算 1、相等 ，当且仅当 时，2、相加 ，则 3、系数相乘 ,其中 为一实数。111212122212nnm nmmmnaaaaaaAaaam nijAa m nijBbijijabABm nijAam nijBbijijABabijAa4
2、 矩阵相乘 令 ，那么 是一个 的矩阵，其中 第个元素为 。注意：1、矩阵乘法的相容性 2、矩阵乘法不遵循交换律5 矩阵的迹 只有方阵才有迹，方阵 的迹 为其主对角线元素之和：6 矩阵的转置 ，将 的行与列互换即可得 如果 ，则 是对称的 m nijAa n pijBbCABmp(,)i j1 121nijikkjijijinnjkca ba baba bA1niiitr Aatr AAAAA A转置规则：（i）（ii）（iii）（iv）和 是对称的()AA ()ABAB()ABB A AAA A 特殊矩阵 1、单位矩阵 主对角线上元素为1而其余元素为0的方阵 2、系数矩阵 系数矩阵可表示为
3、，其中 为系数 3、对角矩阵 4、零矩阵 所有元素都为零的矩阵，常用一个大写的零加以表示。n nI00ijI100iijnD 5、幂等矩阵 如果 ，则 为幂等矩阵 6、向量 行向量行向量是一个 的矩阵而列向量列向量是一个 的 矩阵 向量x和向量y间的欧几里德距离：AAAA1 n1m2221122(,)()()()nnd x yxyxyxy第二节 行列式 引言 行列式：，1、情形 2、情形Adet A2211122122aaAaa11221221Aa aa a3 3111213212223313233aaaAaaaaaa112233122133122331132231132132112332Aa
4、 a aa a aa a aa a aa a aa a a 利用代数余子式对行列式进行展开 定义 如果去掉 的一行一列，我们可以得到一个 的 阶子矩阵子矩阵。取该子矩阵的行列式，我们就得到 的一个子子行列式行列式。用 表示去除 行 列后矩阵 的子行列式。的代数余子代数余子式记为 ，。例 AA11nn AijAAijijaijc(1)ijijijcA 2 4 63 2 31 4 9A则 112 318 1264 9A123 3273241 9A133 2122101 4A322 66 18123 3A 1 11111(1)1 66cA 1 21212(1)(1)2424cA 1 31313(1)
5、11010cA 3 23232(1)(1)(12)12cA 定理 令 为 矩阵，有 （1.1）（1.2）将（1.1）完整的写出，有：将（1.2）完整的写出，有：An n1,()nijijjAa cii对于每个由 行展开1,()nijijia cjj对于每个由 列展开1122iiiiin inAa ca ca c1122jjjjnjnjAa ca ca c 例 在上例中 步骤步骤 如果矩阵的某一行或者某一列中有多个零，可以用此行或者此列对行列式进行展开。11 1112 1213 132 64(24)6 1012966024Aa ca ca c 行列式的性质 1、2、任意两行或者两列进行交换会使得
6、行列式的符号发生改变。AA 3 7 12 0 61 4 1A3 217 041 61A 3 213 7 17 042 0 61 611 4 13 7 12 0 61 4 1A1 4 12 0 63 7 1B 有 3、如果 的某行（列）中的每个元素都乘以一个实数 而得到 ，有：有 4、BA ABBA3 7 12 0 61 4 1A3 714 0121 41B 2BA nn nAA 有 5、如果 和 都是 阶的，6、将一行（列）的倍数加到另一行（列）上，行列式不变。3 7 12 0 61 4 1A6 1424 0 122 82C328CAAABABBAA Bn n 性质（6）使得我们能够回答在本节
7、前面所提出的问题。步骤步骤 如果 中没有零，则用一行（列）的倍数加到另一行（列）上以使得其出现尽可能多的零。例1 A3 21 2 37 0 15 4 711 0 34 1 14 1 17 11(1)11 31(21 11)1011322324r rrrrr 例2 1 11131142 4 6 82 0 0 03 2 3 43 2 3 41 4 9 31 4 9 32 2 3 42 2 3 42 3 40 0 02(1)4 9 32 4 9 302 3 42 3 42rrrrrr 定理 令 为 矩阵，为 的代数余子式，有 该结论经常被称为“利用异代数余子式进行展开”ijAan nijcija00
8、ijkjjijikia cika cjk1.3 矩阵的逆 在实数体系中，对于任意实数 ，总存在一个数 ，的倒数，使得 那么这种性质在矩阵中是否存在呢？对于给定矩阵 ，是否存在矩阵 使得：注意注意：（i）如果 是方阵的话，其才可能存在逆 （ii）0a 1aa111aaa aA1A11AAA AI？单位矩阵A11/AA1/AIA 定义 令 为 的方阵，如果存在某个 方阵 使得：则 就是 的逆逆。例 考虑 An nn n1A11A AAAI1AA12 101 121 4A571221231B 则 定理 方阵 有逆的充分必要条件是 。对于上例中的 ，有因此该矩阵具有逆。12 15711 0 001 1
9、2210 1 021 42310 0 1ABA0A A11 133212 112 101 101 121 403 21 11(1)1(23)103 2rrrA 定义 如果方阵 有逆，则其为非奇异非奇异的；如果方阵 没有逆，则其为奇异奇异的。逆的性质 （i）如果 有逆，则其逆唯一。（ii）如果 和 都是非奇异的，（iii）（iv）AAAAB111()ABB A11()AA11()()AA 下面证明其唯一性，而其他性质可以很容易得出 设 有两个逆 和 ，那么 ，。有 利用代数余子式求逆。定义 令 ，我们将 中所有元素用其代数余子式来代替可得到一个新的矩阵。的伴随矩阵，记作 ，是所形成新的矩阵的转置
10、。即，令 的代数余子式，有：ABCABBAIACCAIBBACICCn nijAaAAdjAAijc ija 例 111211121121222122221212djnnnnnnnnnnnnccccccccccccAAcccccc1 2 31 3 51 5 12A35151 35 121 121 52 3131 2dj5 121 121 52 31 31 23 51 51 311721191993792121231AA 定理 令 为一非奇异方阵，那么：证明：考虑 的第 个元素，如果 ，其等于 ，而 其等于零，因此 类似的，从而 A1dj/AAAAdjA AA(,)i j(dj)ijikkjkA
11、 AAa cijAijdjA AAA IdjAA AA I1dj/AAA A 利用基本行（列）运算求逆 基本行运算基本行运算包括一下几种：（i）矩阵的任意两行互换。（ii）将矩阵中任意一行乘上一个非零系数。（iii）将一行的倍数加到另一行上。基本列运算基本列运算的定义与此类似。关于基本行运算需要注意的第一件事是每种运算都可以通过将所考察矩阵乘上某个特定的矩阵而实现。而后者被称为初等矩阵初等矩阵 例 考虑 （i）假设我们将1，3行交换而得到：有 1 2 30 4 23 1 4A3 1 40 4 21 2 3B0 0 11 2 30 1 00 4 21 0 03 1 4B （ii）假设我们将第二行
12、乘上-3而得到：有：（iii）假设我们在第二行上加上7倍的第三行而得到：1230126314C10 01 2 303 00 4 200 13 1 4C1 2321 11 30314D 有 值得我们注意的是所有的初等矩阵本身是非奇异的。现在假设我们使用基本行运算将一个非奇异矩阵 变换为单位矩阵，并假设我们需要 步才能达到目的。假设第一步可以通过用初等矩阵 前乘而实现，第二步则用 前乘上一步运算所得新的矩阵，如此等等。那么很明显有 。现在令 则有 。由于矩阵逆的唯一性我们有 。但 ,于是有：1 0 01 2 30 1 70 4 20 0 13 1 4DAt1R2R11ttR RR AI11ttRR
13、 RRRAI1RARRI111ttARIR RR 后一个等式的语言表述就是我们的方法。我们用对 进行基本行运算将其转换为单位矩阵，同样的基本行运算将单位矩阵转换为 的逆。例 找出下列矩阵的逆：首先应该保证 ，下面我们使用标记 ，表明 是通过对 施以基本行（列）运算而得到的。AA12 101 121 4A0A ABBA331212 11 0 001 10 1 021 40 0 112 1.1 0 001 1.0 1 003 2.2 0 1rrrA I 11322333112332223231 03.12 00 11.01 00 01.23 11 0 0.5730 1 0.2210 0 1.231
14、rrrrrrrrrrrrrrr 那么就有：需要提醒的是，也可以用基本列运算来求逆。假设要将矩阵 转换为单位矩阵需要 步基本列运算。回忆基本列运算可以通过将矩阵后乘某个合适的初等矩阵而得到，有：因此，即基本列运算在将 转换为 的同时也将 转换为 。最后在使用这种方法时，我们可以选择使用基本行运算还是基本列运算，但是我们不能将其混合起来使用。1573221231AAs1sACCI11212ssAC CCIC CCAII1A1.4 向量线性关系和矩阵的秩向量线性关系和矩阵的秩 定义 个 阶的列向量，是线性相关线性相关的，如果存在不全为零的系数 使得下式成立：对于行向量而言，也存在类似的定义。向量 是
15、向量 的线性组合，如果存在系数 使得 。注意注意 向量线性相关表明这些向量中至少有一个可以写作其他向量的线性组合。m1n12,ma aa1,m1 1220mmaaab1,raa1,r1 122rrbaaa 例 明显，因此，定义定义 个列向量是线性无关线性无关的,如果也就是说，这些向量的线性组合得到零向量的唯一情形是所有的系数等于零。14811a2122a 3245a 123230aaa2131322aaam1 1221200mmmaaa 注意注意 如果向量集合中包括零向量，则该集合中的向量是线性相关的。例 有 而 ，从而这些向量是线性相关的。1567a 2318a 3000a 123000aa
16、a0 矩阵的秩 定义 矩阵 的秩，记作 ，是矩阵中线性无关行向量的最大数目。定理定理 矩阵 的秩同时也是 中线性无关列向量的最大数目。明显从定理和该定理中可以看出，矩阵的秩小于或等于其行数和列数中较小的一个。即，。A()r AAA()min(,)m nr Am n 求矩阵秩的方法 1 利用行列式求秩 定理定理 的秩为 ，当且仅当 的子矩阵的每个子行列式，只要阶等于或高于 都为零，而至少才能存在一个阶 的子矩阵，其子行列式不为零。需要注意的是，如果 为方阵，我们所能得到的最大的子矩阵就是 本身，因此在应用这个定理时候我们应该从 开始。AKA(1)(1)KKKKAAA 例 找出下列矩阵的秩：但是
17、因此17 53 21 152 8 17A17 53 21 1502 8 17A 1703 213 21662 8()2r A 2 用基本行运算或者列运算来求秩 定理定理 对于任意两个矩阵 和 ，推论 当 前乘或者后乘一个非奇异的矩阵时，其秩不变。应用基本行运算或者列运算将 简化至可轻易看出其秩为止。一般而言，对于任意矩阵 ，基本行或者列运算会使得矩阵 简化至如下形式：从而AB()min(),()r ABr A r BAAAA00 0KI()r AK 例 有 因而2 10155 20A5 205 201 415151 52 100 00 01 41 00 10 10 00 0A()2r A 然而
18、在求给定矩阵的秩时我们并不需要做到这样。我们只需运用基本行和/或列运算将 简化到梯阵式即可。定义定义 矩阵 的梯阵式可以通过运用基本行和/或列运算将其简化至一些列阶梯而得到，这些阶梯从矩阵的左上角延续至右下角，而每一步下面元素都为零。例例 如下矩阵就是梯阵式 需要注意的是每步长度并不需要相同.AA1 40 10 011 13 701 02 900 0 1 400 0 0 0 定理定理 矩阵 的秩就是其梯阵式中非零行的个数。例 那么，。A1 753 21 152 8 17A17 52 8 173 21 151750 22 2700 0A()2r A*1.5 克罗内克乘积和矩阵的向量化克罗内克乘积
19、和矩阵的向量化 定义定义 令 为一 矩阵，我们将 分为各列：其中 是 的第 列。为一 列向量，其定义为：令 为 的矩阵而 为 的矩阵。下面 矩阵就是 和 的克罗内克乘积，记作 ：Am nA12()nAa aajaAjvec A1mn1vecnaAaijAam nBnpmpnqABAB 例 则 1111nmmna Ba Ba Ba B3 52 01 7A 321vec507A 则2 01 9A1 58 4B1 51 5208 48 41 51 5198 48 42 100016 8001 59 458 4 72 36AB 需要注意的是，在此例中，也就是说，克罗内克乘法并不遵循交换律，即2 02
20、0151 91 92 02 0841 91 920 10019 5 45160 808 72 4 36BAABBA 克罗内克乘积的性质：（i）（ii）（iii）如果 和 存在，（iv）（v）另外，如果 是 方阵而 是 方阵，有：（vi）（vii）如果 和 是非奇异的，那么还有：（viii）()()ABCABCABC(A+B)(C+D)=AC+AD+BC+BDACBD()()ABCDACBD()ABAB()()()r ABr A r BAn nBpp()tr ABtr Atr BpnABABAB111()ABAB 通过这些性质我们又可知：vec()vecABCCAB(vec)vectr ABAB(vec)vec(vec)()vec C=(vec)()vectr ABCABCAIBACIB
