1、第八章第八章 虚位移原理虚位移原理8.1 力的功力的功 8.1.1 常力在质点直线路程中的功常力在质点直线路程中的功cosWFs F s22sm1kgm1N1J8.1.2 变力在质点任意曲线路程中的功变力在质点任意曲线路程中的功 1、元功、元功rF dWsFsFWdcosdtkjiFzyxFFFkjirzyxddddzFyFxFWzyxddd 力的功力的功2015/10/27教材：38.1.2 变力在质点任意曲线路程中的功变力在质点任意曲线路程中的功 2、变力在质点全路程上所作的功、变力在质点全路程上所作的功 2121ddtMMMMsFWr rF F21)ddd(MMzyxzFyFxFW 力的
2、功力的功2015/10/27教材：48.1.3 合力的功合力的功iFFRiiiWrrrWdd)(dRFFF iiiMMiMMiiMMWrrrW212121dddRFFF8.1.4 功率功率 tWPdvF cosdFvtWP 力的功力的功2015/10/27教材：58.1.5 几种常见力的功几种常见力的功1、重力的功、重力的功)(ddCmgzzmgW)()(d2121zzmgCmgzWzz)()(2121CCiiizzmgzzgmW 力的功力的功2015/10/27教材：68.1.5 几种常见力的功几种常见力的功2、弹性力的功、弹性力的功rlrkrF)()21(d)(21dd)()2(d)()2
3、(d)(d)(d222CkClrkrlrkrrlrkrlrkrlrkWrrrrrF 力的功力的功2015/10/27教材：78.1.5 几种常见力的功几种常见力的功2、弹性力的功、弹性力的功当质点沿轨迹由当质点沿轨迹由M1位置运动到位置运动到M2时，弹性力所作的功为时，弹性力所作的功为)(21)21(dd222122121kCkWMMrF 1、2分别表示质点分别表示质点M在运动的始末位置在运动的始末位置M1和和M2时弹簧的变形量。时弹簧的变形量。力的功力的功2015/10/27教材：88.1.5 几种常见力的功几种常见力的功3、力对轴之矩的功及力偶的功、力对轴之矩的功及力偶的功knbnFznt
4、bntFFFFFFddttrFsW FzzMMrF)(tF FdzMW 21dzMW若Mz保持为常量)(12zMW 力的功力的功2015/10/27教材：98.1.5 几种常见力的功几种常见力的功4、质点系内力的功、质点系内力的功 刚体内任意两点刚体内任意两点 A、B间的距离保持不变，故刚体内间的距离保持不变，故刚体内各质点间相互作用的内力的功之和恒等于零。各质点间相互作用的内力的功之和恒等于零。BABABABAWrFrrFrFrFrFrFd)d(dddd 当当A、B两点的距离改变时，内力的元功之和不为零两点的距离改变时，内力的元功之和不为零 力的功力的功2015/10/27教材：108.1.
5、5 几种常见力的功几种常见力的功5、摩擦力的功、摩擦力的功若轮子又滚又滑，则滑动中轮与若轮子又滚又滑，则滑动中轮与支承面相互的动滑动摩擦力的元支承面相互的动滑动摩擦力的元功有：功有：NddFfF sFfsFWNddsFfsFWddNddtvsIdd tvFfsFWIddNdd只滚不滑？只滚不滑？力的功力的功2015/10/27教材：118.1.5 几种常见力的功几种常见力的功5、摩擦力的功、摩擦力的功若轮子又滑又滚，则滑动中轮若轮子又滑又滚，则滑动中轮与支承面相互的动滑动摩擦力与支承面相互的动滑动摩擦力的元功有：的元功有：sFfsFWddNddtvsIdd tvFfsFWIddNdddmaxr
6、,MW 轮滚动时，滚动摩阻力轮滚动时，滚动摩阻力偶也作功，设最大滚动摩阻偶也作功，设最大滚动摩阻力偶矩为力偶矩为Mr,max，滚过的圆，滚过的圆心角为心角为d，则其元功为，则其元功为 力的功力的功2015/10/27教材：128.2 虚位移的概念与分析方法虚位移的概念与分析方法 8.2.1 虚位移的概念虚位移的概念定义：质点（或质点系）在给定瞬时，约束所容许的假想的任何无限小的位移，称为质点（或质点系）的虚位移或可能位移。2015/10/27教材：138.2 虚位移的概念与分析方法虚位移的概念与分析方法 8.2.1 虚位移的概念虚位移的概念虚位移与实位移有何区别：虚位移是可能位移，它是一个纯粹
7、的几何概念，它仅依赖虚位移是可能位移，它是一个纯粹的几何概念，它仅依赖于约束条件；而实位移是真实位移，不仅取决于约束条件于约束条件；而实位移是真实位移，不仅取决于约束条件，还与时间和作用力有关。，还与时间和作用力有关。虚位移的概念与分析方法虚位移的概念与分析方法 2015/10/27教材：148.2 虚位移的概念与分析方法虚位移的概念与分析方法 8.2.1 虚位移的概念虚位移的概念（1）在完整定常系统中，微小的实位移是虚位移之一）在完整定常系统中，微小的实位移是虚位移之一 虚位移的概念与分析方法虚位移的概念与分析方法 2015/10/27教材：158.2.1 虚位移的概念虚位移的概念若将完整系
8、统的约束方程可记为：若将完整系统的约束方程可记为：0),(tzyxfiiij由虚位移的定义可知，新的位置仍要满足约束方程，即由虚位移的定义可知，新的位置仍要满足约束方程，即 0),(tzzyyxxfiiiiiijh.o.t),(),(1niiijiijiijiiijiiiiiijzzfyyfxxftzyxftzzyyxxf 虚位移的概念与分析方法虚位移的概念与分析方法 2015/10/27教材：168.2.1 虚位移的概念虚位移的概念若产生的是实位移，则得若产生的是实位移，则得 01niiijiijiijzzfyyfxxf0dddd1ttfzzfyyfxxfjniiijiijiij若中不含时间
9、若中不含时间t，则可表示为，则可表示为 0ddd1niiijiijiijzzfyyfxxf 虚位移的概念与分析方法虚位移的概念与分析方法 2015/10/27教材：178.2 虚位移的概念与分析方法虚位移的概念与分析方法 8.2.1 虚位移的概念虚位移的概念（2）在非定常系统中，微小的实位移一般不再成为虚位移之一。）在非定常系统中，微小的实位移一般不再成为虚位移之一。理论力学中主要讨论受完整定常约束的质点系。理论力学中主要讨论受完整定常约束的质点系。虚位移的概念与分析方法虚位移的概念与分析方法 2015/10/27教材：188.2 虚位移的概念与分析方法虚位移的概念与分析方法 8.2.2 虚位
10、移的分析方法虚位移的分析方法 1几何法几何法 在完整定常约束条件下，微小的实位移是虚位移之一。在完整定常约束条件下，微小的实位移是虚位移之一。因此，可以用质点间实位移的关系来给出质点间虚位移的关因此，可以用质点间实位移的关系来给出质点间虚位移的关系。系。由运动学知，质点无限小实位移与该点的速度正成比，由运动学知，质点无限小实位移与该点的速度正成比，所以可用分析速度的方法来建立质点间虚位移的关系。，所以可用分析速度的方法来建立质点间虚位移的关系。虚位移的概念与分析方法虚位移的概念与分析方法 2015/10/27教材：198.2 虚位移的概念与分析方法虚位移的概念与分析方法 8.2.2 虚位移的分
11、析方法虚位移的分析方法 1几何法几何法虚位移的合成定理虚位移的合成定理：动点的虚位移动点的虚位移平面运动的刚体上不同点（例如平面运动的刚体上不同点（例如A、B两点）的虚位移之两点）的虚位移之间的关系：间的关系：虚位移的概念与分析方法虚位移的概念与分析方法 2015/10/27教材：208.2 虚位移的概念与分析方法虚位移的概念与分析方法 8.2.2 虚位移的分析方法虚位移的分析方法 1几何法几何法IBIAIBIArrBA 虚位移的概念与分析方法虚位移的概念与分析方法 2015/10/27教材：218.2 虚位移的概念与分析方法虚位移的概念与分析方法 8.2.2 虚位移的分析方法虚位移的分析方法
12、 1几何法几何法已知已知A点的虚位移在点的虚位移在n1、n2两个方两个方向的投影分别为向的投影分别为 r1和和 r2，则有，则有 11rnr22rnr1rir2sincosr）（jirsincos12rr jr 虚位移的概念与分析方法虚位移的概念与分析方法 2015/10/27教材：228.2 虚位移的概念与分析方法虚位移的概念与分析方法 8.2.2 虚位移的分析方法虚位移的分析方法 1几何法几何法1rirsincos12rr jrsincossincossincos12133rrrr）（jirnrsinsin)sin(213rrr 虚位移的概念与分析方法虚位移的概念与分析方法 2015/10
13、/27教材：238.2 虚位移的概念与分析方法虚位移的概念与分析方法 8.2.2 虚位移的分析方法虚位移的分析方法 1几何法几何法sinsin)sin(213rrr推论：推论：虚位移的概念与分析方法虚位移的概念与分析方法 2015/10/27教材：248.2 虚位移的概念与分析方法虚位移的概念与分析方法 8.2.2 虚位移的分析方法虚位移的分析方法 2解析法解析法),(21kiiqqqrr kjjjikkiiiiqqqqqqqq12211rrrrr 虚位移的概念与分析方法虚位移的概念与分析方法 2015/10/27教材：258.2 虚位移的概念与分析方法虚位移的概念与分析方法 8.2.2 虚位
14、移的分析方法虚位移的分析方法 2解析法解析法coscossinsincossinllyllxlylxBBAAsinsincoscossincosllyyyllxxxlyyylxxxBBBBBBAAAAAA 虚位移的概念与分析方法虚位移的概念与分析方法 2015/10/27教材：268.3 虚位移原理虚位移原理 8.3.1 虚功虚功 作用于质点或质点系上的力在给定虚位移上所作的功称为虚功作用于质点或质点系上的力在给定虚位移上所作的功称为虚功 rF WkjiFzyxFFFkjirzyxzFyFxFzyxFFFWzyxzyx)()(kjikji8.3.2 理想约束理想约束 约束力在相应的虚位移上所作
15、的虚功或虚功之和等于零约束力在相应的虚位移上所作的虚功或虚功之和等于零的约束称为理想约束。的约束称为理想约束。2015/10/27教材：27从而，可得理想约束的广义坐标表示为从而，可得理想约束的广义坐标表示为:0NiiWrF即理想约束应满足：即理想约束应满足：jNjjiiqq1rr011N11NN jNjnijiinijNjjiiiiqqqqrFrFrF01jNjjqQnijiijqQ1NrF称为广义力称为广义力 虚位移原理虚位移原理2015/10/27教材：28常见的理想约束：常见的理想约束：1.光滑固定支承面和滚动铰链支座。光滑固定支承面和滚动铰链支座。2.光滑固定铰链支座和轴承。光滑固定
16、铰链支座和轴承。3.连接物体的光滑铰链。连接物体的光滑铰链。4.无重刚杆。无重刚杆。5.连接两物体的不可伸长的柔索。连接两物体的不可伸长的柔索。6.刚体在固定面上无滑动的滚动。刚体在固定面上无滑动的滚动。虚位移原理虚位移原理8.3.3 虚位移原理虚位移原理 虚位移原理可表述为：虚位移原理可表述为：具有双侧、定常、理想约束的质点系，在某一位形能继具有双侧、定常、理想约束的质点系，在某一位形能继续保持静止平衡的必要与充分条件是：所有主动力在续保持静止平衡的必要与充分条件是：所有主动力在质点系质点系的的任何虚位移中的元功之和等于零。任何虚位移中的元功之和等于零。01niiiWrF0)(1iziiyi
17、niixizFyFxFW证明：略。详见教材证明：略。详见教材153-154.虚位移原理虚位移原理例例8-1 在图（在图（a）所示平面机构中，已知两杆长均为）所示平面机构中，已知两杆长均为b+h，物，物块的重力为块的重力为P，弹簧的原长为，弹簧的原长为l，刚性系数为，刚性系数为k。试求机构平衡。试求机构平衡时时 应满足的条件。应满足的条件。虚位移原理虚位移原理例例8-2 一多跨静定梁尺寸如图（一多跨静定梁尺寸如图（a）所示，已知：竖直力）所示，已知：竖直力F1，F2，力偶矩，力偶矩M。试求支座。试求支座B处的约束反力。处的约束反力。虚位移原理虚位移原理2015/10/27教材：32例例8-3 刨
18、床急回机构如图（刨床急回机构如图（a）所示，已知：曲柄）所示，已知：曲柄AB长长r=0.5m，摇杆，摇杆CD长长l=2r，在曲柄上作用有矩为，在曲柄上作用有矩为M=60N m的力的力偶。试求当偶。试求当=60、CB=r时机构平衡所需的水平力时机构平衡所需的水平力F。虚位移原理虚位移原理2015/10/27教材：33例例8-4 平面构架的尺寸及支座如图（平面构架的尺寸及支座如图（a）所示，三角形分布荷）所示，三角形分布荷载的最大集度载的最大集度q0=2kN/m，M=10kN m，F=2kN，各杆自重不，各杆自重不计。求计。求A处的约束反力及杆处的约束反力及杆BD的内力。的内力。虚位移原理虚位移原
19、理2015/10/27教材：34例例8-5 平面桁架的支座与荷载如图（平面桁架的支座与荷载如图（a）所示，已知）所示，已知ABC为等为等边三角形，边三角形，E、G分别为两腰的中点，且分别为两腰的中点，且 。试求。试求杆杆CD的内力。的内力。aDBAD 虚位移原理虚位移原理例例8-6 图图8.25（a）所示结构中各杆重量均不计。）所示结构中各杆重量均不计。O2B平行于平行于EG，O1D垂直于垂直于AB，。除。除AB、CD杆外，各杆长均为杆外，各杆长均为l。在。在已知已知F与与M的条件下，杆件系统处于平衡。求杆的条件下，杆件系统处于平衡。求杆AB的内力。的内力。aDBAD 虚位移原理虚位移原理20
20、15/10/27教材：368.3.4 以广义力表示的质点系平衡条件以广义力表示的质点系平衡条件 称为广义力。称为广义力。011111 jNjjjNjnijiinijNjjiiiiqQqqqqWrFrFrFnijiijqQ1rF01jNjjqQ),2,1(0NjQj虚位移原理可叙述为：虚位移原理可叙述为：具有双侧、定常、理想约束的质点系，具有双侧、定常、理想约束的质点系，在某一位形能继续保持静止平衡的必要与充分条件是：所有与在某一位形能继续保持静止平衡的必要与充分条件是：所有与广义坐标对应的广义力均等于零。广义坐标对应的广义力均等于零。这就是这就是以广义力表示的质点系平衡条件以广义力表示的质点系
21、平衡条件。虚位移原理虚位移原理广义力的解析表达式为广义力的解析表达式为 nijiizjiiyjiixjqzFqyFqxFQ11.解析法解析法2.几何法几何法 对于有对于有N个自由度的质点系，将其中的个自由度的质点系，将其中的N-1个自由度个自由度“锁住锁住”，使质，使质点系只有一个广义虚位移不等于零，这样可得点系只有一个广义虚位移不等于零，这样可得jjjqWQ即：每次只给出一个对应于广义坐标的虚位移，就可以求出相应的广义力。即：每次只给出一个对应于广义坐标的虚位移，就可以求出相应的广义力。虚位移原理虚位移原理例例8-7 机构由两匀质杆铰接而成（图机构由两匀质杆铰接而成（图a）。已知：杆）。已知
22、：杆OA长为长为l1，重为，重为W1，杆杆AB长为长为l2，重为，重为W2。在自由端。在自由端B作用一水平力作用一水平力F。试求系统在铅垂。试求系统在铅垂平面内处于平衡时，杆平面内处于平衡时，杆OA和和AB与铅垂线的夹角与铅垂线的夹角 1和和 2。虚位移原理虚位移原理8.4 势力场、有势力和势能势力场、有势力和势能 8.4.1 势力场、有势力势力场、有势力 如果质点在空间任一位置所受到的力的大小和方向完全取决于该质如果质点在空间任一位置所受到的力的大小和方向完全取决于该质点的位置，即质点所受到的力矢是位置的单值、有界且可微的函数，那么点的位置，即质点所受到的力矢是位置的单值、有界且可微的函数，
23、那么这部分空间称为力场。这部分空间称为力场。作用在位于作用在位于势力场中某一给定位置势力场中某一给定位置M(x，y，z)的质点的有势力，相的质点的有势力，相对于任一选定的零位置对于任一选定的零位置M0(x0，y0，z0)的作功能力，称为质点在给定位置的作功能力，称为质点在给定位置M的势能，用的势能，用V(x，y，z)表示，它是位置坐标的单值连续函数，称为势能函表示，它是位置坐标的单值连续函数，称为势能函数。任选的位置数。任选的位置M0(x0，y0，z0)称为零势能位。称为零势能位。势能函数势能函数V的数学表示为的数学表示为 00ddddMMzyxMMzFyFxFVrF这一积分是沿质点运动的路径
24、曲线的积分。这一积分是沿质点运动的路径曲线的积分。因有势力所作的功与质点运动路因有势力所作的功与质点运动路径无关，而又由高等数学知，当这一积分与路径曲线形状无关时，被积函数可表径无关，而又由高等数学知，当这一积分与路径曲线形状无关时，被积函数可表示为某一单值连续函数的全微分，即示为某一单值连续函数的全微分，即VzFyFxFzyxddddzzVyyVxxVVdddd设有势力设有势力F的作用点从点的作用点从点M移到点移到点M，有势力的元功可用势能的差计算，有势力的元功可用势能的差计算 VzzyyxxVzyxVWd)d,d,d(),(势力场、有势力和势能势力场、有势力和势能 2015/10/27教材
25、：41因此，有势力就可表示为因此，有势力就可表示为:xVFxyVFyzVFzVzVyVxVgradkjiF8.4.2 势能势能 1.重力势能重力势能)(d00zzmgzmgVzz 势力场、有势力和势能势力场、有势力和势能 2015/10/27教材：422.弹性势能弹性势能若选取弹簧原长处为零势位若选取弹簧原长处为零势位 2d2ddlrkWVlrVlrkV20d2d2222klrkV 势力场、有势力和势能势力场、有势力和势能 2015/10/27教材：43例例8-8 图图8.30所示质点系中杆所示质点系中杆BC重重W1，长为，长为l，重物，重物D重重W2，弹簧的刚度为，弹簧的刚度为k，当角当角=
26、0 时，弹簧具有原长时，弹簧具有原长3l。求质点系运动到图示位置时的总势能。求质点系运动到图示位置时的总势能。解：解：分别计算该系统在重力场和弹性力系中的势能。分别计算该系统在重力场和弹性力系中的势能。重力势能以杆重力势能以杆BC的水平位置为零势能位，则有：的水平位置为零势能位，则有：cos2coscos221211lWWlWlWV选弹簧的原长处为势能的零位置。则：选弹簧的原长处为势能的零位置。则：2221kV cos453180cos2223322lllllllABl222cos45321lkV故系统的总势能为：故系统的总势能为：222121cos45321cos2kllWWVVV 势力场、
27、有势力和势能势力场、有势力和势能 2015/10/27教材：448.5 势力场中物体系统的平衡条件及平衡稳定性势力场中物体系统的平衡条件及平衡稳定性8.5.1 势力场中质点系的广义力及平衡条件势力场中质点系的广义力及平衡条件由有势力的概念知，当主动力由有势力的概念知，当主动力Fi（i=1，n）均为有势力，其表达式为：）均为有势力，其表达式为：故，主动力系在虚位移中的元功之和可表示为：故，主动力系在虚位移中的元功之和可表示为：VzzVyyVxxVzFyFxFWniiiiiiiniiiziiyiixniii111rF 势力场、有势力和势能势力场、有势力和势能 8.5 势力场中物体系统的平衡条件及平
28、衡稳定性势力场中物体系统的平衡条件及平衡稳定性8.5.1 势力场中质点系的广义力及平衡条件势力场中质点系的广义力及平衡条件由虚位移原理得：由虚位移原理得：W=0.此式表明，在势力场中质点系处于平衡时，势能具有驻值。此式表明，在势力场中质点系处于平衡时，势能具有驻值。若用广义坐标表示势能函数，则有：若用广义坐标表示势能函数，则有：VWNjjjkkqqVqqVqqVqqVV12211kjjjNjjjqqVqQ11 势力场、有势力和势能势力场、有势力和势能 2015/10/27教材：468.5 势力场中物体系统的平衡条件及平衡稳定性势力场中物体系统的平衡条件及平衡稳定性8.5.1 势力场中质点系的广
29、义力及平衡条件势力场中质点系的广义力及平衡条件可得质点系的平衡条件为可得质点系的平衡条件为:0jqV2015/10/27教材：478.5 势力场中物体系统的平衡条件及平衡稳定性势力场中物体系统的平衡条件及平衡稳定性8.5.2 质点系在势力场中平衡的稳定性质点系在势力场中平衡的稳定性拉格朗日拉格朗日-狄利克雷提出一个关于保守系统平衡稳定性的定理。即质点系在狄利克雷提出一个关于保守系统平衡稳定性的定理。即质点系在平衡位置的势能具有平衡位置的势能具有极小值极小值，则该平衡是稳定的则该平衡是稳定的；若势能为非极小值，则其；若势能为非极小值，则其平衡是不稳定的。平衡是不稳定的。势力场中物体系统的平衡条件
30、及平衡稳定性势力场中物体系统的平衡条件及平衡稳定性2015/10/27教材：488.5 势力场中物体系统的平衡条件及平衡稳定性势力场中物体系统的平衡条件及平衡稳定性8.5.2 质点系在势力场中平衡的稳定性质点系在势力场中平衡的稳定性仅讨论具有理想约束的单自由度保守系统的平衡稳定性。以仅讨论具有理想约束的单自由度保守系统的平衡稳定性。以q为广义为广义坐标，因为在平衡位置上势能坐标，因为在平衡位置上势能V具有驻值，即：具有驻值，即：0ddqV由此式可求出平衡位置由此式可求出平衡位置q=q0。0022qqqV势能将具有极小值，平衡是稳定的势能将具有极小值，平衡是稳定的 0022qqqV势能将具有极大值，平衡是不稳定的势能将具有极大值，平衡是不稳定的 势力场中物体系统的平衡条件及平衡稳定性势力场中物体系统的平衡条件及平衡稳定性2015/10/27教材：49例例8-9 一长为一长为l、质量为、质量为m的匀质杆，在的匀质杆，在B点系以刚度系数为点系以刚度系数为k的弹簧，点的弹簧，点A置于光滑的水平面上（图置于光滑的水平面上（图8.32）。当杆）。当杆AB直立时，弹簧无形变。已知：直立时，弹簧无形变。已知：mg2kl。试求杆的平衡位置（。试求杆的平衡位置（）及其平衡的隐定性。）及其平衡的隐定性。势力场中物体系统的平衡条件及平衡稳定性势力场中物体系统的平衡条件及平衡稳定性2022-8-451
