1、1医学信号处理医学信号处理参考教材：刘海龙编著，参考教材：刘海龙编著，生物医学信号处生物医学信号处理理，化学工业出版社，化学工业出版社 教师：任小梅教师：任小梅2本课程主要内容本课程主要内容一、一、随机信号的特征和描述方法随机信号的特征和描述方法；二、二、随机信号及线性时不变系统随机信号及线性时不变系统；三、三、信号检测和信号的参数估计信号检测和信号的参数估计；四、四、功率谱估计功率谱估计；五、五、自适应滤波自适应滤波；六、匹配滤波；六、匹配滤波；七、维纳滤波和卡尔曼滤波；七、维纳滤波和卡尔曼滤波；八、小波变换和小波滤波；八、小波变换和小波滤波；3第一章第一章 绪论绪论一、生物电现象一、生物电
2、现象二、生物医学信号的特点；二、生物医学信号的特点；二、生物医学信号处理系统框图；二、生物医学信号处理系统框图；4 生物电生物电 动作电位动作电位(参见电子稿参见电子稿)图示图示 动作电位连续发放，并与噪声叠加形成医动作电位连续发放，并与噪声叠加形成医学信号。学信号。5生物医学信号的特点 信号弱信号弱 噪声强噪声强 频率低频率低 随机性强随机性强6生物子系统生物子系统信号变换子系统信号变换子系统信号放大子系统信号放大子系统信号记录及显示子系统信号记录及显示子系统模数及数模转换子系统模数及数模转换子系统计算机子系统计算机子系统生物医学信号处理框生物医学信号处理框图图7第二章第二章 随机信号的随机
3、信号的 特征特征 和和 描述方法描述方法Random signal Representation82.1 2.1 基本概念基本概念随机过程随机过程：随某些参量变化的随机变量称为随机函数。通常随某些参量变化的随机变量称为随机函数。通常将以时间为参量的随机函数称为随机过程，也称为随机将以时间为参量的随机函数称为随机过程，也称为随机信号。信号。自然界中变化的过程可分为两大类：自然界中变化的过程可分为两大类：确定性过程和随机过程确定性过程和随机过程确定性过程确定性过程：就是事物的变化过程可以用一个（或几个）：就是事物的变化过程可以用一个（或几个）时间时间t t的确定的函数来描述。的确定的函数来描述。随
4、机过程随机过程：就是事物变化的过程不能用一个（或几个）：就是事物变化的过程不能用一个（或几个）时间时间t t的确定的函数来加以描述，是随机地随时间变化的的确定的函数来加以描述，是随机地随时间变化的过程。过程。92.1.1 随机过程的分类1)按照时间和状态是连续还是离散来分类：按照时间和状态是连续还是离散来分类：连续型随机过程连续型随机过程 随机过程随机过程X(t)对于任意时刻对于任意时刻 ，X(ti)都是连续型都是连续型随机变量，即时间和状态都是连续的情况，称这类随随机变量，即时间和状态都是连续的情况，称这类随机过程为连续型随机过程。机过程为连续型随机过程。Tti连续随机序列连续随机序列 随机
5、过程随机过程X(t)在任一离散时刻的状态是连续型随机在任一离散时刻的状态是连续型随机变量，即时间是离散的，状态是连续的情况，称这变量，即时间是离散的，状态是连续的情况，称这类随机过程为连续随机序列。类随机过程为连续随机序列。10离散随机过程离散随机过程 随机过程随机过程X(t)对于任意时刻对于任意时刻 ，X(ti)都是离散都是离散型随机变量，即时间是连续的，状态是离散的情况。型随机变量，即时间是连续的，状态是离散的情况。Tti离散随机序列离散随机序列 对应于时间和状态都是离散的情况，即随机数字对应于时间和状态都是离散的情况，即随机数字信号。信号。1112 2)按照随机过程的分布函数（或概率密度
6、）的不按照随机过程的分布函数（或概率密度）的不同特性进行分类同特性进行分类 按照这种分类法，最重要的就是平稳随机过程和按照这种分类法，最重要的就是平稳随机过程和非平稳随机过程。非平稳随机过程。13平稳随机过程平稳随机过程随机信号的统计特性与开始进行随机信号的统计特性与开始进行统计分析的时刻无关，如白噪声。否则，就是非平统计分析的时刻无关，如白噪声。否则，就是非平稳随机过程，如脑电信号。稳随机过程，如脑电信号。平稳随机过程还有平稳随机过程还有弱平稳和强平稳弱平稳和强平稳之分。前者只有之分。前者只有一、二阶统计特征（如均值、方差、自相关函数、一、二阶统计特征（如均值、方差、自相关函数、功率谱密度等
7、）具平稳特性；后者则任何阶统计特功率谱密度等）具平稳特性；后者则任何阶统计特性都具平稳特性。性都具平稳特性。平稳随机过程又分为平稳随机过程又分为各态遍历的随机过程各态遍历的随机过程和和一般平一般平稳随机过程。稳随机过程。14各态遍历随机过程各态遍历随机过程所有样本在固定时刻的统计所有样本在固定时刻的统计特征和单一样本在全时间的统计特征一致，称为各特征和单一样本在全时间的统计特征一致，称为各态遍历随机过程，如投硬币过程；否则就是一般平态遍历随机过程，如投硬币过程；否则就是一般平稳随机过程。稳随机过程。非平稳生理信号在一段时间内近似平稳，可把非平稳生理信号在一段时间内近似平稳，可把它看成分段平稳的
8、它看成分段平稳的“准平稳准平稳”过程，所以，平稳过过程，所以，平稳过程的分析方法是研究非平稳过程的基础。程的分析方法是研究非平稳过程的基础。信号还可以分为信号还可以分为功率信号和能量信号功率信号和能量信号，随机信，随机信号一般属于能量无限、功率有限的功率信号。号一般属于能量无限、功率有限的功率信号。152.1.2 随机信号的性质随机信号是普遍存在的。随机信号是普遍存在的。1、信号中任何一点上的取值都是不能先验确定的、信号中任何一点上的取值都是不能先验确定的随机变量；随机变量；2、信号可以用它的统计平均特征来表征。、信号可以用它的统计平均特征来表征。162.2 2.2 随机信号的表示法随机信号的
9、表示法图中每一条曲图中每一条曲线代表随机信线代表随机信号的一个样本号的一个样本。17 为了完成地描述随机信号统计特征需要采用随为了完成地描述随机信号统计特征需要采用随机信号各个时刻取值的高阶概率密度函数，即机信号各个时刻取值的高阶概率密度函数，即 每一时刻一阶概率密度函数每一时刻一阶概率密度函数p(xi,ti)每一时刻二阶概率密度函数每一时刻二阶概率密度函数p(xi,xj,ti,tj)每一时刻三阶概率密度函数每一时刻三阶概率密度函数p(xi,xk,xj,ti,tk,tj),等等。等等。采用阶数越高，描述越完整，但实际很难做到，处采用阶数越高，描述越完整，但实际很难做到，处理计算太繁琐，很少采用
10、。理计算太繁琐，很少采用。通常用一阶、二阶统计特征描述，如通常用一阶、二阶统计特征描述，如均值、均方、均值、均方、自相关函数、功率谱自相关函数、功率谱等。等。18概率密度函数是随机变量分布函数的导数，表示随概率密度函数是随机变量分布函数的导数，表示随机变量取值的统计特性。机变量取值的统计特性。2.2.1 概率密度函数随机过程的概率分布函数随机过程的概率分布函数1.一维概率分布一维概率分布 对于任意的时刻对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变量，设是一个随机变量，设x为任为任意实数，定义意实数，定义 为随机过程为随机过程X(t)的一维分布函数。的一维分布函数。)(),(xtXPtxFX19 若若
11、 的一阶偏导数存在，则定义的一阶偏导数存在，则定义 为随机过程为随机过程X(t)的的一维概率密度一维概率密度。),(txFXxtxFtxfXX),(),(202.二维概率分布和二维概率分布和n维概率分布维概率分布 对于随机过程对于随机过程X(t)，在任意两个时刻，在任意两个时刻t1和和t2可得到两可得到两个随机变量个随机变量X(t1)和和X(t2)，可构成二维随机变量，可构成二维随机变量X1,X2，它的二维分布函数它的二维分布函数 称为随机过程称为随机过程X(t)的的二维概率分布函数二维概率分布函数。)(,)(),;,(22112121xtXxtXPttxxFX 若若 对对x1,x2的偏导数存
12、在，则定义的偏导数存在，则定义 为随机过程为随机过程X(t)的的二维概率密度二维概率密度。),;,(2121ttxxFX21212122121),;,(),;,(xxttxxFttxxfXX21 对于任意的时刻对于任意的时刻t1,t2,tn，X(t1),X(t2),X(tn)是一组是一组随机变量，定义这组随机变量的联合分布为随机过程随机变量，定义这组随机变量的联合分布为随机过程X(t)的的n维概率分布维概率分布，即定义，即定义 为随机过程为随机过程X(t)的的n维概率分布函数。维概率分布函数。)(,)(,)(),;,(22112121nnnnXxtXxtXxtXPtttxxxF为随机过程为随机
13、过程X(t)的的n维概率密度维概率密度。nnnXnnnXxxxtttxxxFtttxxxf2121212121),;,(),;,(22随机过程随机过程X(t)和和Y(t)的四维联合概率密度的四维联合概率密度212121212121421212121),;,(),;,(yyxxttttyyxxFttttyyxxfXYXY23 概率密度函数完整地表现随机变量和随机信概率密度函数完整地表现随机变量和随机信号的统计特性，但是信号经处理后往往很难求其号的统计特性，但是信号经处理后往往很难求其概率密度函数。概率密度函数。处理后信号也并不需要了解其全部统计特性，处理后信号也并不需要了解其全部统计特性，这时只
14、需了解随机过程在某一时刻的平均值和实这时只需了解随机过程在某一时刻的平均值和实际值相对于这个平均值的分散程度，所以可以引际值相对于这个平均值的分散程度，所以可以引用随机变量的均值、方差等数字特征。用随机变量的均值、方差等数字特征。2.2.2 统计特征量241.均值：反映随机过程在各时刻的平均值。均值：反映随机过程在各时刻的平均值。对于任意的时刻对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变量，将这是一个随机变量，将这个随机变量的数学期望定义为随机过程的数学期个随机变量的数学期望定义为随机过程的数学期望，记为望，记为mx(t)，即即()()(,)xXm tE x txfx t dx 252.均方值：即全
15、部样本集合在固定时刻的平均平方均方值：即全部样本集合在固定时刻的平均平方值。值。22()(,)xXDE xx fx t dx对各态遍历过程，均方等于时间均方，反映的是随对各态遍历过程，均方等于时间均方，反映的是随机信号的平均功率。机信号的平均功率。263.方差方差 对于任意的时刻对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变量，称是一个随机变量，称该随机变量该随机变量X(t)的二阶中心矩为随机过程的方差，的二阶中心矩为随机过程的方差，记为记为DX(t)，即，即dxtxftmxtXEtXEtXDtXXX),()()()()()(22227 28 数字特征表示单一时刻随机变量的特征，自相数字特征表示单一时
16、刻随机变量的特征，自相关函数表征信号在不同时刻取值间的关联程度。关函数表征信号在不同时刻取值间的关联程度。2.2.3 自相关函数和协方差函数29 自相关函数自相关函数t1时刻随机变量时刻随机变量X(t1)和和t2时刻随机变量时刻随机变量X(t2)乘积的统计均值。乘积的统计均值。设设X(t1)和和X(t2)是随机过程是随机过程X(t)在在t1和和t2二个任意时刻的状态，二个任意时刻的状态，pX(x1,x2;t1,t2)是相应是相应的二维概率密度，称它们的的二维概率密度，称它们的二阶联合原点二阶联合原点矩矩为为X(t)的自相关函数，简称相关函数。的自相关函数，简称相关函数。121212121212
17、(,)()()(,;,)XXRt tE X tX tx x pxxt tdx dx30自相关函数的性质：自相关函数的性质：对于平稳随机信号，有：对于平稳随机信号，有：121212()()()(,;)xXRE x t x tx x pxxdx dx31自协方差函数自协方差函数把均值（直流分量）除去后做剩余把均值（直流分量）除去后做剩余部分的相关函数。部分的相关函数。设设X(t1)和和X(t2)是随机过程是随机过程X(t)在在t1和和t2二个任意时二个任意时刻的状态，称刻的状态，称X(t1)和和X(t2)的的二阶联合中心矩二阶联合中心矩为为X(t)的的自协方差函数自协方差函数12112211221
18、21212(,)()()()()()()(,;,)xxxxxXC t tE x tm tx tm txm txm tfx x t t dxdx 对于平稳随机信号，有：对于平稳随机信号，有：()()()xxxCEx tmx tm32当当 时，时，当当 时，时，0)(tmX),(),(2121ttRttCXX21tt)()()()()()()()(),(),(1212121211111111ttXEtXEtmtXtXEtmtmttRttCXXXXXX)()(),(),(212121tmtmttRttCXXXX33 若若对于任意的对于任意的t1和和t2都有都有CX(t1,t2)=0,那那么随机过程的
19、任意两个时刻状态间是么随机过程的任意两个时刻状态间是不相不相关关的。的。若若RX(t1,t2)=0，则称，则称X(t1)和和X(t2)是是相互相互正交正交的。的。34 若若 则称则称随机过程在随机过程在t1和和t2时刻的状态是时刻的状态是相互相互独立独立的。的。),(),(),;,(22112121txftxfttxxfXXX352.2.4 互相关函数和互协方差 有时需要同时观察几个信号。当研究几组有时需要同时观察几个信号。当研究几组随机信号的相互关系时，需要采用联合统计随机信号的相互关系时，需要采用联合统计特征来描述。特征来描述。广义联合平稳广义联合平稳如果二维联合概率密度如果二维联合概率密
20、度函数函数f(x,y,t1,t2)不依赖于时间原点的位置，只不依赖于时间原点的位置，只与时间差与时间差=t1-t2有关，则称此两过程是广义联有关，则称此两过程是广义联合平稳的。合平稳的。36互相关函数互相关函数说明两个随机信号说明两个随机信号X、Y在不在不同时刻取值之间的关联程度。同时刻取值之间的关联程度。设有两个设有两个随机过程随机过程X(t)和和Y(t)，它们在任意，它们在任意两个时刻两个时刻t1和和t2的状态分别为的状态分别为X(t1)和和Y(t2)，则，则随机过程随机过程X(t)和和Y(t)的互相关函数定义为的互相关函数定义为dxdyttyxxyftYtXEttRXYXY),;,()(
21、)(),(21212137互协方差函数互协方差函数从信号从信号X和和Y中去掉均值再中去掉均值再做互相关函数，所得结果称为互协方差函数。做互相关函数，所得结果称为互协方差函数。定义两个随机过程的互协方差函数为定义两个随机过程的互协方差函数为dxdyttyxftmytmxtmtYtmtXEttCXYYXYXXY),;,()()()()()()(),(2121221121)()(),(),(212121tmtmttRttCYXXYXY38 若对于任意时刻若对于任意时刻t1和和t2，有，有RXY(t1,t2)=0，则称，则称X(t)和和Y(t)是是正交过程正交过程，此时有，此时有)()(),(2121
22、tmtmttCYXXY 若对于任意时刻若对于任意时刻t1和和t2，有，有CXY(t1,t2)=0，则，则称称X(t)和和Y(t)是是互不相关的互不相关的，此时有，此时有)()(),(2121tmtmttRYXXY39 当当X(t)和和Y(t)互相独立时，满足互相独立时，满足 则有则有 当当X(t)和和Y(t)互相独立时，互相独立时，X(t)与与Y(t)之间一之间一定不相关；反之则不成立。定不相关；反之则不成立。)()(),(2121tmtmttRYXXY),;,(),;,(),;,(11111111mmYnnXmnmnXYttyyfttxxfttttyyxxf402.3 2.3 随机信号频域表
23、示随机信号频域表示 随机信号持续时间往往是无限的，且是随机信号持续时间往往是无限的，且是非周期信号，其性质上属于功率信号。非周期信号，其性质上属于功率信号。其自相关函数的傅立叶变换是功率谱密其自相关函数的傅立叶变换是功率谱密度；互相关函数的傅立叶变换是互谱密度。度；互相关函数的傅立叶变换是互谱密度。4122()()()xxfxxfxxSRdSfRdRSfdf-j t-jtj（）e或（）e（）e 自相关函数和自谱密度函数构成一对傅立叶变换对。自相关函数和自谱密度函数构成一对傅立叶变换对。自谱密度函数是从频域对随机过程作统计描述，集中显自谱密度函数是从频域对随机过程作统计描述，集中显示了随机过程的
24、频率结构。示了随机过程的频率结构。功率谱的性质：功率谱的性质：1、功率谱是非负的；、功率谱是非负的；2、对称性：对于实数信号，有、对称性：对于实数信号，有*()()()()xxxxSSSS自功率谱密度函数自功率谱密度函数42互谱密度互谱密度互相关函数的傅立叶变换为互谱密度。互相关函数的傅立叶变换为互谱密度。()1()2xyxyxyxySRdRSd-jj（）e（）e43相干函数：从频域上描述两个随机信号各频率成分相干函数：从频域上描述两个随机信号各频率成分互相关联的程度。互相关联的程度。性质：性质：xy()为实函数，且为实函数，且|xy()|1；2()()()()xyxyxxyySSS442.4
25、 2.4 离散时间随机信号离散时间随机信号随机信号的采样定理随机信号的采样定理：如果随机信号如果随机信号x(t)的功率谱是限带的，其最高频率的功率谱是限带的，其最高频率成分为成分为fmax，当采样间隔，当采样间隔Ts00，求求x(t)的自相关函数和功率。的自相关函数和功率。4、实验一。、实验一。2()220 xBBfP fBotherwise77产生随机序列并计算统计特征量产生随机序列并计算统计特征量 在139中随机取出4个以上数据，并将这四个数据作为序号，从数据库中取出这个四个序号对应的四个动作电位波形，将这些波形按照幅度从大到小排序；生成对应四个以上发放率，范围为1050个/s，并按照大小原理赋给相应选取的动作电位波形。计算动作电位波形平均能量，生成长度为3s，采样率为30KHz，幅度大小为波形平均能量的随机白噪声，并对噪声进行20010kHz带通滤波。有关函数：unidrnd、normrnd。
