1、矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换与与初等矩阵初等矩阵学习目标学习目标目标目标一一目标目标二二目标目标三三首页首页上页上页下页下页理解什么是初等行变换理解什么是初等行变换知道什么是初等矩阵知道什么是初等矩阵掌握初等行变换的应用掌握初等行变换的应用初等行变换的背景初等行变换的背景1801年德国数学家高斯把线性方程组的全部系数年德国数学家高斯把线性方程组的全部系数作为一个整体作为一个整体首页首页上页上页下页下页xyxy23425 234 25 收获：线性方程组可以用矩阵来表示收获：线性方程组可以用矩阵来表示初等行变换的引入初等行变换的引入将矩阵的两行对调将矩阵的两行对调首页首页上页上页下页下页 23
2、4 125 第第1行行第第2行行 234xy 25xy 第第1个方程个方程第第2个方程个方程两个方程对应也发生对调两个方程对应也发生对调对调矩阵两行的变换对调矩阵两行的变换称为称为对换变换对换变换初等行变换的引入初等行变换的引入将矩阵的第一行乘以将矩阵的第一行乘以2首页首页上页上页下页下页 234 125 第第1行行第第2行行 234xy 25xy 第第1个方程个方程第第2个方程个方程第一个方程对应也在等号两边同乘以第一个方程对应也在等号两边同乘以2矩阵某一行乘以一个常数的矩阵某一行乘以一个常数的变换称为变换称为倍乘变换倍乘变换 1 2 2 2 5 2 24xy 24注意：倍乘变换与注意：倍乘
3、变换与矩阵数乘矩阵数乘的区别的区别初等行变换的引入初等行变换的引入矩阵的第矩阵的第2行加上第行加上第1行乘以（行乘以（-2）首页首页上页上页下页下页 234 125 第第1行行第第2行行 234xy 25xy 第第1个方程个方程第第2个方程个方程第二个方程对应也在等号两边第二个方程对应也在等号两边同时加上第一个方程的（同时加上第一个方程的（-2）倍）倍矩阵某一行的倍数加到另一矩阵某一行的倍数加到另一行上的变换称为行上的变换称为倍加变换倍加变换()212()()322()4 52y 7 07初等行变换初等行变换对换变换对换变换倍乘变换倍乘变换倍加变换倍加变换首页首页上页上页下页下页定义定义2.1
4、3 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：将矩阵的某两行对换位置将矩阵的某两行对换位置将矩阵的某一行遍乘一个非零常数将矩阵的某一行遍乘一个非零常数k将矩阵的某一行遍乘一个常数将矩阵的某一行遍乘一个常数k加至加至另一行另一行定理定理2.7 设方阵设方阵A经过若干次初等行变换后得到方阵经过若干次初等行变换后得到方阵B，如果如果A是非奇异的，则是非奇异的，则B也是非奇异的。反之亦然。也是非奇异的。反之亦然。什么是非奇异什么是非奇异例题讲解例题讲解例例1运用初等行变换将矩阵运用初等行变换将矩阵转化成单位矩阵转化成单位矩阵解：解：首页首页上页上页下页下页
5、A 020100301I 100010001020100301()()12100020301()122100010301()()331100010001对换变换对换变换倍乘变换倍乘变换倍加变换倍加变换初等行变换的练习初等行变换的练习练习运用初等行变换将矩阵练习运用初等行变换将矩阵首页首页上页上页下页下页A 012114210转化成单位矩阵转化成单位矩阵1、把主对角线上第一个元素变为、把主对角线上第一个元素变为12、把主对角线上第一个元素下方的所有元素变为、把主对角线上第一个元素下方的所有元素变为03、把主对角线上第二个元素变为、把主对角线上第二个元素变为14、把主对角线上第一个元素下方的所有元
6、素变为、把主对角线上第一个元素下方的所有元素变为05、如此类推，直至将主对角线最后一个元素变为、如此类推，直至将主对角线最后一个元素变为16、从最后一列开始往第一列，把主对角线上方的、从最后一列开始往第一列，把主对角线上方的 元素变为元素变为0初等矩阵的引入初等矩阵的引入为什么在初等行变换的过程中，为什么在初等行变换的过程中，矩阵之间是用箭头连接呢？矩阵之间是用箭头连接呢？首页首页上页上页下页下页 010020100100001301 1001001000202301001 100100010010301301 100020301 100010301100010001请三位同学说出结果请三位同
7、学说出结果100010001红色框的三红色框的三个矩阵与单个矩阵与单位矩阵有何位矩阵有何联系？联系？初等矩阵初等矩阵首页首页上页上页下页下页 010100001 1001002001 10 001 03 0 1三个矩阵的特点：单位矩阵经过一次初等行变换而得到三个矩阵的特点：单位矩阵经过一次初等行变换而得到定义定义2.14 将单位矩阵作一次初等行变换得到的矩阵，称将单位矩阵作一次初等行变换得到的矩阵，称为为初等矩阵初等矩阵初等对换矩阵初等对换矩阵由单位矩阵第由单位矩阵第i,j行对换得到，记作行对换得到，记作Eij初等倍乘矩阵初等倍乘矩阵由单位矩阵第由单位矩阵第i行乘行乘k得到，记作得到，记作Ei
8、(k)初等倍加矩阵初等倍加矩阵由单位矩阵第由单位矩阵第i行乘行乘k加到第加到第j行得到，记作行得到，记作Eij(k)课堂中段小结课堂中段小结 初等行变换初等行变换 初等矩阵初等矩阵 对换变换对换变换 初等对换矩阵初等对换矩阵 倍乘对换倍乘对换 初等倍乘矩阵初等倍乘矩阵 倍加变换倍加变换 初等倍加矩阵初等倍加矩阵首页首页上页上页下页下页初等行变换中，两个矩阵之间之所以用箭头连初等行变换中，两个矩阵之间之所以用箭头连接，是因为两个矩阵之间相差了初等矩阵接，是因为两个矩阵之间相差了初等矩阵矩阵的初等行变换可以解决什么问题呢？矩阵的初等行变换可以解决什么问题呢？初等行变换的应用初等行变换的应用求逆矩阵
9、求逆矩阵首页首页上页上页下页下页回顾：回顾：,ABBAIA B 满足的两个矩阵互为逆矩阵BA 1其中A A I 1因此有：因此有：假设假设ttP PPP 121,都是初等矩阵，根据初等行变换的原理都是初等矩阵，根据初等行变换的原理AP1P2tP 1tPI A 1结论：结论：初等行变换中省略的初等初等行变换中省略的初等矩阵的乘积就是逆矩阵矩阵的乘积就是逆矩阵用初等行变换法求逆矩阵用初等行变换法求逆矩阵解：解：首页首页上页上页下页下页 A II A 1初初等等行行变变换换例例1（续）：用初等行变换求矩阵（续）：用初等行变换求矩阵A 020100301的逆的逆初等行变换法（软件显示）初等行变换法（软
10、件显示）检验：检验：1001000101010001002301001001 0101002031练习练习练习练习 用初等行变化求矩阵用初等行变化求矩阵首页首页上页上页下页下页A 012114210的逆的逆答案：答案：012 1 0 01 0 0 211114 0 1 00 1 0 42121 0 0 0 10 0 131122初 等 行 变 换A 121142131122课堂小结课堂小结 1 1三种初等行变换三种初等行变换 2 2三类初等矩阵三类初等矩阵 3.3.使用初等行变换求矩阵的逆使用初等行变换求矩阵的逆 首页首页上页上页下页下页作业作业首页首页上页上页下页下页书书P87 1（1）（）（3）（）（6）高斯（高斯（1777-1855）
