1、内容：内容：二元关系，关系图，关系矩阵，关系的运算重点：重点：(1)二元关系的定义及三种表示法，(2)一些特殊的二元关系。第四章 二元关系和函数第一节 二元关系及其运算（3）二元关系的逆、复合、幂运算了解：关系的复合运算性质，矩阵法求幂运算一、二元关系。一、二元关系。1、定义：定义：(1)若集合则称RR为空集或它的元素都是有序对，为二元关系二元关系。若,x yRxRy否则，记作xRy，则记作。(2)ABAB的关系，到的任何子集都称作从特别，当AB A上关系上关系。时，称作设 1,0,0,2Rabb2R3RAB4,1Rb则1234,R R R RAB的关系。到都是从例例1、,Aa b0,1,2B
2、，2、A上不同关系的数目。若AnAn则2AAn，元集，记为，的子集共有AA22n个，元集nA22n个。上不同的关系共有3、特殊的关系。空关系AEAI。，恒等关系，全域关系对任意集合A，空关系，全域关系,|AEx yxAyAAA，恒等关系,|AIx xxA。4、常用关系。(1)设ARA,ALx y x yAxy上小于等于关系：，(2)设BZB,|BDx y x yBx y上整除关系：，(3)幂集()P AR,|,()Rx yx yP Axy：上的包含关系解：解：2,2,2,3,2,6,2,8,3,3,AL3,6,3,8,6,6,6,8,8,82,2,2,6,2,8,3,3,3,6,6,6,8,8
3、AD 例例2、2,3,6,8A ALAD。，求解：解：，(),P AabA,Rab,a baaaA,bbbAA A例例3、,Aa b()P AR。上的包含关系，求有三种集合表示法矩阵表示法图形表示法5、A上二元关系的表示法。解：解：0110110000100010RM关系图：例例4、已知1,2,3,4A A1,2,1,3,2,1,2,2,3,3,4,3R 求RRM，上关系 ，和关系图。的关系矩阵一般：设 12,nAx xx()Rijn nMr，其中 10ijijijx Rxrx Rx关系图表示点(边(每个有序对对应一条有向弧)n个顶点)二、逆关系，复合关系。二、逆关系，复合关系。1、关系的逆。
4、(1)定义：定义：关系R1,Ry xx yR的逆关系定义为解：解：12,2,3,3,3,2,6,2,6,3,6,6AL,x y x yAxy12,2,6,2,3,3,6,3,6,6AD,|,x yx yAxy 是 的倍数例例5、2,3,6A ALA为ADA1AL1AD上小于等于关系，为，。，上整除关系，分别求出即1ALA上大于等于关系。为即1ADA上的倍数关系。为2、关系的(复合。(1)定义定义，关系R和S的合成关系定义为：,()RSx yz xSzzRy(2)1R1RMRRM，的关系矩阵与的关系矩阵满足1RRMM的转置。的关系图只需将改向即得。1RR的关系图中的有向弧(3)11()RR。例例
5、6、设 1,2,2,2,3,4R 1,3,2,5,3,1,4,2,4,5S 求 R RR SSRSS()R RR，()R SR，。解：解：1,4,3,2,4,2R S 1,5,2,5,3,2,3,5SR 1,2,2,2R R 1,1,3,3,4,5SS()1,2,2,2R RR()3,2R SR 逻辑加法：0000 11 1011 11，。(2)R SR SM,R S,RSMM满足R SSRMMM的关系矩阵 与的关系矩阵。的关系图可将R S,R S起来求得。的关系图连接次幂的运算满足：nmnm nRRR，()mnmnRR(,)m nN(3)合成关系满足结合律：()()R STRS T。(4)关
6、系Rn次幂。的定义：设RAnN的Rn 0,|Rx xxA 1(1)nnRRRn次幂次幂规定为：，上关系，为解法一解法一 用集合表示。0,Ra ab bc cd d10RRRR21,RRRR Ra aa cb bb d例例7、,Aa b c dRa bb ab cc d求iR0,1,2,3,4,5i。，543,RRRa ba db ab cR432,RRRa aa cb bb dR32,RRRa ba db ab c解法二解法二 用关系图表示。内容：内容：关系的自反性，反自反性，对称性，反对称性，传递性。重点：重点：(1)掌握自反性，反自反性，对称性，反对称性，传递性的定义及关系矩阵和关系图的特
7、征，(2)掌握关系五种性质的判断和验证。第二节第二节 关系的性质和闭包关系的性质和闭包关系的自反，对称，传递闭包（3）掌握关系的自反，对称，传递闭包的概念及求法。一、关系的五种性质一、关系的五种性质(自反，反自反，对称，自反，反自反，对称，反对称，传递反对称，传递)。1、定义及关系矩阵，关系图特征由下表给出(RA上关系)为定义 关系矩阵的特点 关系图的特点 自反性 xA，都有,x xR主对角线元素全为1图中每个顶点都有环反自反性 xA，都有,x xR主对角线元素全为0图中每个顶点都无环定义 关系矩阵的特点 关系图的特点 对称性 对称矩阵 若两顶点间有 边，必是一对方向相反的边 反对称性 若两顶
8、点间有边，必是一条有向边 若,x yR则,y xR，若,x yRxy则,y xR，且若1ijr ij则 0jir，且定义 关系矩阵的特点 关系图的特点 传递性 若,x yR,y zR,x zR，则且若顶点ixjxjxkx则ixkx有边，到有边，到必有边到(1)11,1,1,2,2,1R(2)21,2,2,3,1,3R 解：解：1R是对称的，不是传递的。既不是自反又不是反自反，解：解：2R是反自反的，反对称的，传递的。例例1、1,2,3A A1234,R R R R如下所示，判断1234,R R R R各有哪些性质。上关系，(3)31,1,3,3R(4)41,1,2,2,3,3,1,2,1,3,
9、2,1R 解：解：3R既是对称又是反对称的，传递的。既不是自反又不是反自反的，解：解：4R不是传递的。是自反的，既不是对称又不是反对称的，例例2、判断下图中的关系分别具有哪些性质。解：解：1R是反自反，反对称，不是传递的。2R既是对称又是反对称的，传递的。是空关系，是反自反，3R既是对称又是反对称的，传递的。是恒等关系，是自反的，4R传递的。是全域关系，是自反的，对称的，5R反对称的，传递的。既不是自反也不是反自反的，6R又不是反对称，不是传递的。是反自反的，既不是对称则有以下文氏图。2、若把A上所有关系看成一个全集，二、五种性质的其它判断方法。二、五种性质的其它判断方法。设RAAIA上恒等关
10、系，则 为上关系，是1、RAIR，是自反的当且仅当2、RAIR，是反自反的当且仅当3、R1RR，是对称的当且仅当4、R1ARRI，是反对称的当且仅当5、RR RR。是传递的当且仅当例例3、设1,2,3A A11,2,1,3R 21,2,2,1,1,3,2,3R 判断12,R R是否传递的。上关系，解：解：因111RRR1R是传递的。，所以因2221,1,1,3,2,2,2,3RRR所以2R，不是传递的。三、关系在各种运算下保持原有特性问题。三、关系在各种运算下保持原有特性问题。证明：证明：对任意,x y12,x yRR12,x yRx yR12,y xRy xR12,y xRR例如：设12,R
11、 RA证明12RRA上的对称关系，为上的对称关系。也是所以12RRA上是对称的。在又如：设12,R RA证明A12RR上反对称关系，为上的反对称关系。不一定是反例：121,2,1,2,2,1ARR都是A上的反对称关系，但121,2,2,1RR 的反对称关系。A上不是四、闭包的定义。四、闭包的定义。(2)RR1、定义：定义：设RA的自反闭包(对称闭包，传递闭包)RR也是A上的关系，是非空集合上关系，且满足：(1)R是自反的(对称的，传递的)，(3)对传递关系)RRRAR的自反关系(对称关系，上的任何包含。，都有2、记号。3、性质。()r RR的自反闭包，()s RR的对称闭包，()t RR的传递
12、闭包。是自反的R()r RR，是对称的R()s RR，是传递的R()t RR。五、闭包的求法。1、利用以下公式。(1)0()r RRR，(2)1()s RRR，(3)23()t RRRR。2、利用关系图。(1)()r R的关系图：在没有环的结点上加上环，(2)()s R的关系图：把单向边改为双向边，(3)以到达的终点添加一条有向边，直到添加完毕。()t Rxyxy，分别找出可的关系图：对每个结点没有有向边，则到，若解法一解法一 0()r RRR,a bb ab cc d,a ab bc cd d,a bb ab cc d,a ab bc cd d例例1、设 ,Aa b c d,Ra bb ab
13、 cc d求(),(),()r R s R t R。1()s RRR,a bb ab cc d,b aa bc bd c,a bb ab cc bc dd c23()t RRRR,a bb ab cc d,a aa cb bb d,a bb aa db c解法二解法二 先画出(),(),()r R s R t RR的关系图。的关系图，再画出 内容：内容：等价关系，偏序关系。重点：重点：(1)掌握等价关系和等价类的概念，(3)掌握偏序关系的概念，(4)偏序集哈斯图的画法。(2)之间的联系，AA的划分上的等价关系与集合第三节第三节 等价关系和偏序关系等价关系和偏序关系一、等价关系。一、等价关系。1
14、、等价关系的定义。若则称RRAA满足自反，对称，传递，上关系上的等价关系等价关系。为若,x yRxy。，记例例、1,2,3,4,5,7A,(mod3)Rx y x yAxy(其中(mod3)xy3|()xy验证RA称模3的同余关系)，上的等价关系。为，也就是证明：证明：显然，是等价关系。RR满足自反，对称，传递，所以R的关系图如下：其中1 4 72 5。，推广：整数集Zm,(mod)Rx y x yZxym的同余关系是等价关系：上模事实上：(1)故xZ|()mxx,x xRR是自反的。，(2)若,x yR|()mxy则|()myx,y xR是对称的。R，故，即,x yR,y zR即|()mxy
15、|()myz()()xzxyyz因所以|()mxz,x zR是传递的。R，故，由(1)，(2)，(3)，R是等价关系。（）若2、等价类。(1)定义：定义：设对RAxA|Rxy yAxRy则称 RxxR简称x x的等价类的等价类，记 的等价类的等价类，关于关于为，记上的等价关系，是非空集合(2)性质。(证明略)定理：定理：,x yRRA，上的等价关系，是非空集合()x xA，且()若xRy xy，则()若xRy xy，则()x AxA。3、商集。定义：定义：设以叫做即 RA RxxARARARA R。，下的商集商集，记作在的不交的等价类为元素的集合 上的等价关系，为非空集合二、集合的划分。二、集
16、合的划分。1、划分的定义。满足：(1)()ijAAij(2)12mAAAA是非空集合，A12,mA AA是它的非空子集，则称12,mA AAA而12,mA AA称为这个划分的块划分的块。的一个划分划分，为例例、设判断下列子集族是否,Aa b c dA，的划分。(5),a b c d是A的划分，(4),ab cd是A的划分，(3),a bc d不是A的划分，(1),a bcc d不是A的划分，(2),a bd不是A的划分，2、集合AA的一个等价关系。的一个划分确定上的一个划分AA若定义同一块中的元素有关系R可以证明RA称为划分则这个划分的块就是等价关系的等价类，划分就是商集。分成若干划分块，把，
17、上的一个等价关系，是诱导的等价关系，3、AA的一个划分。上的一个等价关系可确定若RA即商集A RA诱导的划分。R的一个划分，称为由，就是上的等价关系，则所有等价类的集合，为例例、设1,2,3A 求出A，上的所有的等价关系。解：解：只需列出A并找出由它们确定的等价关系。上所有的划分，11,2,1,3,2,1,2,3,3,1,3,2R AAIE22,3,3,2ARI31,3,3,1ARI41,2,2,1ARI5ARI,a bc dSS,a bc dadbc则由此等价关系诱导的划分中(1)共有几个划分块？(2)求其中最大的块。(3)求其中最小的块。例例4、设1,2,3S SS：上定义等价关系，在解：
18、解：依题意得：,a bc dadbcabcd差为0的:1,1 2,2 3,3差为1的：2,1 3,2差为2的：3,1即第一元素与第二元素之差相等的有序对互相等价，将SS中的元素按差划分。差为11,2 2,3的：差为21,3的：解：解：(1)共有5个划分块。(2)最大的划分块为：1,1,2,2,3,3(3)最小的划分块为：1,3和3,1三、偏序关系。三、偏序关系。1、偏序关系的定义。若则称记作ARRA,x yRxy满足自反，反对称，传递，上关系上的偏序关系偏序关系，简称偏序偏序，为。，记，若集合记作AAR,A R。一起叫做偏序集偏序集，上的偏序关系与2、偏序集中的两元素可比，盖住的定义。设,A,
19、x yA，为偏序集，若xyyx则称,x y成立，或是可比可比的，若xyxyxy且不存在zAxzy则称yx)，且(，使得。盖住盖住3、全序集。是全序集，,A R,A R整除不是全序集。设,A,x yA都可比，则称xyA ,A 为全序集全序集。上的全序关系全序关系，且称 为和，为偏序集，若例如：1,2,3,4,5A，步骤如下：四、偏序关系的哈斯图四、偏序关系的哈斯图()Hasse。1、哈斯图()Hasse。(1)A若xyxy中的每个元素用结点表示，结点的下方。排在，结点(2)若yx,x y之间连一条线。，则在盖住(1)1,2,3,12A 解：解：哈斯图：812435610121179例例5、画出,
20、A R整除A分别为的哈斯图，其中1,2,3,4,6,9,12,18,36A(2)364916121823解：解：(),P Aaba b哈斯图：,a b a b(1),Aa b例例6、画出A(),P A R分别为 的哈斯图，其中(2),Aa b c (),P Aabca b解：解：,a cb ca b c,a b c,a b,a c,b c a b c哈斯图：abfcdegh解：解：,Aa b c d e f g h,a ca da eb cb d,Ab ec ed ef gI例例7、已知偏序集,R 哈斯图(右图)，求集合的偏序关系A的。1、极大、小元，最大、小元。定义：设,A BA，为偏序集，
21、(1)若yB(x xByx）则称By的最小元最小元。是成立，使得(2)若yB(x xBxy）则称By的最大元最大元。是成立，使得五、偏序集中极小元，极大元，最小元，五、偏序集中极小元，极大元，最小元，最大元，上界，下界，上确界，下确界。最大元，上界，下界，上确界，下确界。(4)若yB()x xByx则称By的极大元极大元。是成立，使得(3)若yB x xBxy（）则称By成立，使得的极小元极小元。是由定义知：最小元最大元BBBB不一定存在,若存在必唯一中其它元，小于中其它元，大于中没有比它小的元极小元极大元BBBB一定存在，可能多个中没有比它大的元，2、上、下界，上、下确界。定义：设,A BA
22、，为偏序集，(1)若存在则称ByyA()x xBxy成立，使得的上界上界。为(2)若存在则称ByyA()x xByx成立，使得的下界下界。为五、偏序集中极小元，极大元，最小元，五、偏序集中极小元，极大元，最小元，最大元，上界，下界，上确界，下确界。最大元，上界，下界，上确界，下确界。2、上、下界，上、下确界。(3)令为Cy yB为 的上界CB定义：设,A BA，为偏序集，的上确界上确界(最小上界最小上界)。中最小元，称(4)令为BDy yB为 的下界D的下确界下确界(最大下界最大下界)。中最大元，称由定义知：上界中其它元下界中其它元不一定存在，若存在不一定只有一个AABB，小于，大于上确界最小
23、的上界下确界最大的下界不一定存在，若存在必唯一,a b c,a b,a c,b c a b c(1),Bacb c例例8、,Aa b c(),P A R求上、下界，上、下确界。B，偏序集的最大、小元，极大、小元，解：解：B的最大元：无，最小元：无，极大元：,ab c ,ac，极小元：上界：,a b c，下界：上确界：,a b c。，下确界：(2),Baba b解：解：B,a b，最小元：无，的最大元：，极大元：,a b ,ab，极小元：上界：,a ba b c，下界：上确界：,a b。，下确界：内容：内容：函数的定义，性质。重点：重点：掌握函数的定义，单射、满射、双射的概念及判定。第四节第四节
24、 函数的定义和性质函数的定义和性质 了解：特征函数，自然映射一、函数的定义。一、函数的定义。而211122132,Fx yx yxyxy不是函数。1、定义：定义：FdomxF都存在唯一的ranyFxFy称F，为二元关系，若对任意的成立，则，使得为函数函数。例如：1122231,Fx yxyxy是函数，3、有关集合和关系的运算对函数都适合。fgfggfdomdom,xfg ()()f xg x2、记号：如,F G Hf g h，若xFy()F xy。，记4、函数的定义域，值域。设,A Bf(1)dom fAran fB则称fAB:fAB满足：是集合，若函数，(2)。的函数，记作到是从符号:ABf
25、 fABAB的全体构成的集合。的函数到表示从10,1,2,faaa20,1,2,faab30,1,2,faba40,1,2,fabb例例1、0,1,2A,Ba bAB。，求，解：解：题目要求从定义，有AB的所有函数，依函数到50,1,2,fbaa60,1,2,fbab70,1,2,fbba80,1,2,fbbb二、函数的性质。二、函数的性质。1、满射：满射：若ran fBf(或到上的)。是满射满射的，则称2、单射：单射：若12,x xA12xx12()()f xf x，则f(或一一的)。，则，称是单射单射的 3、双射：双射：若f是双射双射的(或一一到上的)。f既是满射，又是单射，则称 1,8,
26、3,9,4,10,2,6,5,9f 也不是满射。例例2、判断以下,f g hAB若是函数，再判断是否单射，满射，双射的；若不是，请说明理由。的函数，到的是否从(1)1,2,3,4,5A 6,7,8,9,10B，解：解：fAB的函数，到是从但f不是单射，1,8,3,10,2,6,4,9g ABg的函数，到不不是从1,7,2,6,3,8,4,5,1,9,5,10h ABh的函数，到不不是从2()f xxx但它不是单射，也不是满射。3()g xx()h xx(2)ABR(实数集)fAB的函数，到是从gAB的双射函数。到是从hAB的函数。到不不是从三、常用的一些函数。三、常用的一些函数。1、常函数常函
27、数，:fABxA()f xc(cBc都有，为常数)，2、恒等函数恒等函数，:AIAAxA 都有()AIxx，3、特征函数特征函数，:0,1AAxA 1()0AxAxxAA，其中AA，。4、自然映射自然映射，设RA是从gAA R:g AA R，aA ()g aa。，的函数到商集上的一个等价关系，是内容：内容：复合函数，反函数。一般：一般：基本掌握复合函数，反函数的定义及求法。一、复合函数。一、复合函数。1、定义：定义：设函数:fBC:g AB则:fg ACxA()()fg xfg x，称为,f g的复合函数复合函数。，对任意，第五节第五节 复合函数和反函数复合函数和反函数 例例1、设,Rf g
28、hR()3f xx()21g xx()2xh x，求fggfffgghffh g，其中。，解：解：因为,f g hRR的复合函数也是从RR的函数。到的函数，所以所求 到均为从()()(21)fg xfg xfx(21)324xx()()(3)gf xg f xg x2(3)127xx()()(3)ff xff xf x(3)36xx()()(21)gg xg g xgx2(21)143xx 1()()(3)(3)2hf xh f xh xx()()(21)fh g xf h g xf hx17322xx11(21)22fxfx2、性质。因此，()()()fg xfg xf yz设:fBC:g
29、AB，(1)若,f g:fg AC也是满射的。是满射的，则证：zC fyB()f yz，使满射，故，由于对这个ygxA()g xy，使满射，故，又由于所以fg是满射。(2)若,f g:fg AC也是单射的。是单射的，则证：12,x xA12xxg故12()()g xg x12(),()domg xg xBf，且单射，由于，若又由f12()()fg xfg x即12()()fg xfg x，的单射，有，所以fg是单射的。二、反函数。二、反函数。(3)若,f g:fg AC也是双射的。是双射的，则证：综合(1)、(2)，即得fg是双射的。1、定义：定义：设函数:fAB1:fBA也是双射的，称1f反
30、函数反函数。f的是是双射的，则 例例2、判断以下函数是否存在反函数，若存在，请写出反函数，否则，请说明理由。(1):fRR2()1f xx，解：解：f不存在反函数，因为f(1)(1)0ff。不是单射，(2):g RR()31g xx，解：解：g是双射的，存在反函数1:gRR11()(1)3gxx。，一、二元关系。一、二元关系。1、基本概念。2、应用。(1)求给定集合上的小于等于关系，整除关系，及幂集上的包含关系。AB集合A关系矩阵，关系图。的关系，到上的关系；空关系，全域关系，恒等关系；第四章第四章 小结和例题小结和例题 二元关系，集合(2)关系三种表示法间的互相转换。二、关系的运算。二、关系
31、的运算。1、基本概念。逆关系，合成关系；关系的幂运算。2、运用。(1)求给定关系的逆关系，合成关系。(2)求给定关系的n次幂。三、关系的性质与闭包。三、关系的性质与闭包。1、基本概念。关系的自反性，反自反性，对称性，反对称性，传递性。2、运用。(1)关系的五种性质及关系图，关系矩阵特征。(2)五种性质的判断和验证。自反闭包，对称闭包，传递闭包。(3)求给定关系的自反，对称，传递闭包。四、等价关系和偏序关系。四、等价关系和偏序关系。1、基本概念。2、运用。(1)等价关系，偏序关系的判断。等价关系，等价类，商集，划分；偏序关系，偏序集，哈斯图；极大元，极小元，最大元，最小元，上界，下界，上确界，下
32、确界。(2)求给定等价关系决定的划分；求给定划分决定的等价关系。(3)画出给定偏序关系的哈斯图。(4)求极大、小元，最大、小元，上、下界，上、下确界。五、函数的定义和性质。五、函数的定义和性质。1、基本概念。函数；单射，满射，双射。2、运用。(1)判断一个关系是否为函数。(2)判断一个函数是否单射，满射，双射。六、函数的复合和反函数。六、函数的复合和反函数。1、基本概念。复合函数，反函数。2、运用。(1)求复合函数和反函数。(2)验证函数的单射，满射，双射性，经过复合运算后仍保持。解：解：2,1,3,2,4,3,5,4,R 6,5,3,1,4,2,5,3,6,4例例1、设1,2,3,4,5,6
33、A A2,()Rx yxyAxyS,x yyxT,xx yy上的二元关系，的倍数是是素数(1)写出,R S T的元素。1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,S 1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,4,2,6,3,62,1,3,1,5,1,4,2,6,2,6,3T(2),R S T具有哪些性质。解：解：R是反自反，反对称的。是自反，反对称，传递的。S是反自反，反对称的。T解：解：3,1,4,2,5,3,5,2,R R 6,4,6,3,4,1,6,24,1,6,1,6,2R T(3)求R RR T，(1)1(0)_R1,2,3,4(2)2(0)_R1,0(3)3(3)_R(4)1
34、(1)_R2,3,4例例2、xXRX定义集合()R xy xRy若4,3,2,1,0,1,2,3,4X 且令1,Rx y x yXxy2,12Rx y x yXyxy 23,Rx y x yXxy求以下集合：，上的二元关系，对是解：解：关系图：0100001001010010RM关系矩阵：例例3、设,Aa b c dA,Ra bb cc bc dd c上关系，(1)画出RR的关系矩阵。的关系图，并写出解：解：2,Ra cb bc cb dd bd d3,Ra ba db cc bc dd c4,Ra cb bb dc cd bd d1,Rb ac bb cd cc d(2)求2R3R4R1R。
35、，解：解：(),Ar Ra bb cc bc dd cI(),s Ra bb ab cc bc dd c(),t Ra bb cc bc dd ca c,a db bb dc cd dd b(3)求()r R()s R()t R。，解：解：图(1)表示的关系满足自反，对称，传递，是等价关系。例例4、令1,2,3A A它们是否是等价关系。上的两个关系如下图，图(2)表示的关系满足自反，对称，但不满足传递，不是等价关系。aabbccddeefg(1)(2)解：解：(1),Aa b c d e f g,a ba da ca f,Aa ed fe fI例例5、如下图是两个偏序集分别写出集合A,R 的哈
36、斯图，的表达式。和偏序关系,Aa b c d e(2),a da eb db ea c,Ab cc dc eI1x2x3x4x5x无最小元，1X例例6、设集合12345,Xx xx xx如下图，求子集1345,Xx xx极大元，极小元，上界，下界，上确界，下确界。上的偏序关系 的最大元，最小元，解：解：1X3x，的最大元3x极大元，45,xx极小元为，1X3x1x，和的上界为上确界为3x，无下界，无下确界。1X例例7、说明以下函数是否单射、满射、双射。若是双射，给出逆函数。(1):,()fRR f xx解：解：是双射，逆函数1ff解：解：是双射，逆函数1,2xfxxE(2):fZE(偶数集)，
37、()2f xx(3):,(),1fNNN f nn n解：解：单射。解：解：满射。(4):,()fZN f xx例8、恒等关系是对称关系吗？是反对称关系吗？一个关系，如果不是对称关系，就一定是反对称关系吗？解解：恒等关系既是对称关系又是反对称关系；一个关系有可能既不是对称关系也不是反对称关系。:,:f RRg RR2,3,()2,3;xxfxx()2g xx 例9、设，求,gffg如果,fg，存在逆函数，求出他们的逆函数.解：:gf RR22,3,0,3;xxgfx，:fg RR，2(2),1,2,1;xxfgx因为:fRR不是双射，所以不存在逆函数，而:g RR是双射，它的逆函数 11:,(
38、)2gRR gxx例10、设RRffR,21为实数集且ZZxZxxf,1,1)(1为整数集，xxf)(2R1T2T。定义上的等价关系和 ，使得2,1,)()(,iyfxfRyxyxTiii。求1T2T（1）和和对应的划分；（2）设21,gg为自然映射，2,1,)(,/:ixxgTRRgiii21,gg)0(1g，判断函数的性质并求。解：解：(1)1TR将中的元素分为两个等价类 所对应的划分即是ZRZ和,Z RZ2T中的等价类都具有形式；,xxR，而对应的划分为 xxR(2)由定义可知有111,:/,(),Z x Zg RR T g xxR Z x R Z 222:/,(),g RR T g xxx x R1g2g易见和都是满射的，对于 1g，因 12(1)(2)ggZ所以1g不是单射的.而当 12xx时，有 12xx，所以 2g是单射的.由于 10,(0)Z gZ
