1、1 1空间共线向量空间共线向量(1)(1)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线 ，则这些向量为共线向量或平行向量，则这些向量为共线向量或平行向量(2)(2)共线向量定理：对空间任意两个向量共线向量定理：对空间任意两个向量a a、b b(b b0)0)，a ab b的充的充要条件是存在实数要条件是存在实数使使 .互相平行或重合互相平行或重合a ab b要点梳理要点梳理空间向量及其运算空间向量及其运算（2）共线向量定理：a aA AB BP PO Ol 对空间任意两个向量a、b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使a=b。推论：如果l为经过已
2、知点A且平行于已知向量a a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式 a a 其中向量a叫做直线l的方向向量。OPOAt OPOAt A B OP(1)t OA tOB 或式都叫做空间直线的向量参数方程空间直线的向量参数方程（1）概念：已知平面与 向量，作 ，如果直线OA平行于平面或在内，那么我们说向量 平行于平面，记作 。通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意两个向量总是共面的；空间任意三个向量不一定共面；空间四边形ABCD中 、不共面。aOA4共面向量aOA a aaaAB AC AD（2）共面向量定理如果两个向量 、不共线，则向量 与向量
3、 、共面的充要条件是，存在实数对x、y，使 =x +ypababpab推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x、y，使 =x +y或对空间任一点O，有 =+x +y 平面MAB内，点P对应的实数对（x,y）是唯一的，式叫做平面MAB的向量表达式。MPMAMBOP O M MAMB 思考探究思考探究 向量向量ABAB平面平面与直线与直线ABAB平面平面是同一概念吗？是同一概念吗？提示：不是向量平行于平面是指向量所在直线平行提示：不是向量平行于平面是指向量所在直线平行于平面或在平面内两种情况因此，在用共面向量定于平面或在平面内两种情况因此，在用共面向量定理证明线面平行时，必
4、须说明向量所在的直线不在平理证明线面平行时，必须说明向量所在的直线不在平面内面内3空间向量基本定理基本定理(1)空间向量基本定理 如果三个向量a a，b b，c c不共面，那么对空间任意一向量p p，存在唯一的有序实数组x，y，z，使 .pxaybzc(2)推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P都存 在唯一的有序实数组x，y，z，使OP .xOAyOBzOC 1.下列命题中正确的有：下列命题中正确的有：(1)pxaybpab 与与、共共面面;(2)pabpxayb 与与、共共面面；(3)MPxMAyMBPMAB 、共共面面；(4)PMA BMPxMAyMB 、共共面面；A.1个
5、个B.2个个C.3个个D.4个个概念巩固概念巩固B不共线与ba不共线与ba2.对于空间中的三个向量对于空间中的三个向量它们一定是：它们一定是：A.共面向量共面向量B.共线向量共线向量C.不共面向量不共面向量D.既不共线又不共面向量既不共线又不共面向量2MAMBMAMB 、A3.已知点已知点M在平面在平面ABC内，并且对空间任内，并且对空间任意一点意一点O，,则则x的值为：的值为：OMxOAOBOC 111133331.1.0.3.3ABCDD4.已知已知A、B、C三点不共线，对平面外一点三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点，在下列条件下，点P是否与是否与A、B、C共面？共面？212(1
6、);555OPOAOBOC (2)22OPOAOBOC ；题型一题型一 空间向量的线性运算空间向量的线性运算探究探究1 1解解 （1 1）P P是是C C1 1D D1 1的中点，的中点，11111121CDADaPDDAAAAPBNABAANABCN11,)2(的中点是.2121bcacaABBC21ba.2121cbabaADAPAAAPMAMPAAM1121,)3(的中点是,2121)21(21cbabcaa11121AABCCCNCNC又ac21211AAAD)21()2121(1cacbaNCMP.232123cba 用已知向量来表示未知向量，一定要结用已知向量来表示未知向量，一定要
7、结合图形，以图形为指导是解题的关键合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立然成立.求证：面求证：面PAC面面PCD；题型二题型二 平行和垂直平行和垂直又又P
8、ACD，PAACA，CD面面PAC，CD面面PCD，面面PAC面面PCD.6分分解解：(1)证明：设证明：设PA1，由题意，由题意PABC1，AD2.PA面面ABCD，PB与面与面ABCD所成的角为所成的角为PBA45.2分分AB1，由由ABCBAD90，例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1111111 )3(2 )2(ACxADABACACxBDADACxCCDAAB1111 )1(例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1CCDAAB1111 )1(解.1 1111xACCCC
9、BABACxCCDAAB1111 )1(例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1112 )2(BDAD 111BDADAD)(111BDBCAD111CDAD 1AC1112 )2(ACxBDAD.1x解：例3：已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D111 )3(ADABAC)()()(11ADAAABAAABAD)(21AAABAD12AC.2x111ACxADABAC解：例例4.如图，已知平行四边形如图，已知平行四边形ABCD，过平，过平面面AC外一点外一点O作射线作射线OA、OB、
10、OC、OD，在四条射线上分别取点在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使，并且使求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面EG/平面平面AC.,OEOFOGOHkOAOBOCODOBAHGFECDABCDOEFGH证明：证明：四边形四边形ABCD为为 ACABAD （）EGOGOE kOCkOA ()k OCOA kAC（）代）代入入()k ABAD ()k OBOAODOA OFOEOHOE 所以所以 E、F、G、H共面。共面。EFEH 例例5 已知已知 ABCD，从平面从平面AC外一点外一点O引向量引向量 ,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD 求证：求证：四点四点
11、E、F、G、H共共面；面；平面平面AC/平面平面EG。证明：证明：由面面平行判定定理的推论得：由面面平行判定定理的推论得：EFOFOE kOBkOA()k OBOA kAB 由知由知EGkAC/EGAC/EFAB/EGAC面面面面ABCDOEFGH 共线向量共线向量 共面向量共面向量定义定义向量所在直线互相平向量所在直线互相平行或重合行或重合平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量叫做共面向量.定理定理推论推论运用运用判断三点共线，或两判断三点共线，或两直线平行直线平行判断四点共面，或直线判断四点共面，或直线平行于平面平行于平面)0(/ababapabbyxpABtOAOPACyABxOAOP小结小结共面共面)1(APyxOByOxO)1(0zyxOCzOByOAxOP
