1、第六节三、旋转曲面三、旋转曲面四、二次曲面四、二次曲面旋转曲面与二次曲面 第七七章 一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系二、曲面及其方程二、曲面及其方程xyz一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按由三条互相垂直的数轴按右手规则右手规则组成一个空间直角坐标系组成一个空间直角坐标系.坐标原点坐标原点 坐标轴坐标轴x轴轴(横轴横轴)y轴轴(纵轴纵轴)z 轴轴(竖轴竖轴)过空间一定点过空间一定点 o,o 坐标面坐标面 卦限卦限(八个八个)面xoy面yozzox面面1.空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念xyzo向径向径在直角坐标系下在直角坐标系下 11坐标轴上的点坐标轴
2、上的点 P,Q,R;坐标面上的点坐标面上的点 A,B,C点点 M特殊点的坐标特殊点的坐标 :有序数组有序数组),(zyx 11)0,0,(xP)0,0(yQ),0,0(zR)0,(yxA),0(zyB),(zoxC(称为点称为点 M 的的坐标坐标)原点原点 O(0,0,0);rrM例例1.在在 z 轴上求与两点轴上求与两点),(111zyxA,),(222zyxB)7,1,4(A等距等距解解:设该点为设该点为,),0,0(zM,BMAM因为 2)4(212)7(z 23252)2(z解得解得,914z故所求点为故所求点为及及)2,5,3(B.),0,0(914M离的点离的点.2、空间两点间的距
3、离公式、空间两点间的距离公式:212212212)()()(zzyyxxAB 提示提示:(1)设动点为设动点为,)0,(yxM利用利用,BMAM得得,028814 yx(2)设动点为设动点为,),(zyxM利用利用,BMAM得得014947zyx且且0z思考思考:(1)如何求在如何求在 xoy 面上与面上与A,B 等距离之点的轨迹方程等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与如何求在空间与A,B 等距离之点的轨迹方程等距离之点的轨迹方程?二、曲面及其方程二、曲面及其方程求到两定点求到两定点A(1,2,3)和和B(2,-1,4)等距离的点的等距离的点的222)3()2()1(zyx07262zy
4、x化简得化简得即即说明说明:动点轨迹为线段动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面的垂直平分面.引例引例:222)4()1()2(zyx解解:设轨迹上的动点为设轨迹上的动点为,),(zyxM,BMAM 则轨迹轨迹方程方程.1、曲面方程的概念、曲面方程的概念定义定义.0),(zyxFSzyxo如果曲面如果曲面 S 与方程与方程 F(x,y,z)=0 有下述关系有下述关系:(1)曲面曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程上的任意点的坐标都满足此方程;则则 F(x,y,z)=0 叫做叫做曲面曲面 S 的方程的方程,曲面曲面 S 叫做叫做方程方程 F(x,y,z)=0 的图形的图形.两个基本问题两个基本问题
5、 :(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程上的点的坐标不满足此方程,求求曲面方程曲面方程.(2)已知方程时已知方程时,研究它所表示的几何形状研究它所表示的几何形状坐标轴坐标轴:轴x00zy00 xz轴y轴z00yx坐标面坐标面:面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo2、常见的曲面方程、常见的曲面方程故所求故所求方程为方程为例例1.求动点到定点求动点到定点),(zyxM),(0000zyxM方程方程.特别特别,当当M0在原点时在原点时,球面方程为球面方程为解解:设轨迹上动点为设轨迹上动点为RMM0即即依依题
6、意题意距离为距离为 R 的轨迹的轨迹xyzoM0M222yxRz表示表示上上(下下)球面球面.Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx例例2.研究方程研究方程042222yxzyx解解:配方得配方得5,)0,2,1(0M此方程表示此方程表示:说明说明:都可通过配方研究它的图形都可通过配方研究它的图形.其图形可能是其图形可能是的曲面的曲面.表示表示怎样怎样半径为半径为的的球面球面.0)(222GFzEyDxzyxA球心为球心为 一个一个球面球面,或或点点,或或虚轨迹虚轨迹.5)2()1(222zyxxyz3、柱面的方程、柱面的方程引例引例.分
7、析方程分析方程表示怎样的曲面表示怎样的曲面.的坐标也满足方程的坐标也满足方程222Ryx解解:在在 xoy 面上面上，表示圆表示圆C,222Ryx222Ryx沿曲线沿曲线C平行于平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面轴的一切直线所形成的曲面称为称为圆圆222Ryx过此点作过此点作柱面柱面.对任意对任意 z,平行平行 z 轴的直线轴的直线 l,表示表示圆柱面圆柱面oC在圆在圆C上任取一点上任取一点,)0,(1yxMlM1M),(zyxM点xyzxyzol定义定义.平行定直线平行定直线 l 并沿定曲线并沿定曲线 C 移动的直线形成移动的直线形成的轨迹叫做的轨迹叫做柱面柱面.表示表示抛物柱面抛物柱面,
8、母线平行于母线平行于 z 轴轴;准线为准线为xoy 面上的抛物线面上的抛物线.z 轴的轴的椭圆柱面椭圆柱面.xy2212222byax z 轴的轴的平面平面.0 yx 表示母线平行于表示母线平行于 C(且且 z 轴在平面上轴在平面上)表示母线平行于表示母线平行于C 叫做叫做准线准线,l 叫做叫做母线母线.xyzooxzy2l一般地一般地,在三维空间在三维空间柱面柱面,柱面柱面,平行于平行于 x 轴轴;平行于平行于 y 轴轴;平行于平行于 z 轴轴;准线准线 xoz 面上的曲线面上的曲线 l3.母线母线柱面柱面,准线准线 xoy 面上的曲线面上的曲线 l1.母线母线准线准线 yoz 面上的曲线面
9、上的曲线 l2.母线母线表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3lxyz1l5x922 yx1 xy斜率为斜率为1的直线的直线平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中方方 程程平行于平行于 y 轴的直线轴的直线 平行于平行于 yoz 面面的平面的平面 圆心在圆心在(0,0)半径为半径为 3 的圆的圆以以 z 轴为中心轴的轴为中心轴的圆柱面圆柱面平行于平行于 z 轴的平面轴的平面思考与练习思考与练习1.指出下列方程的图形指出下列方程的图形:定义定义2.一条平面曲线一条平面曲线三、旋转曲面三、旋转曲面 绕其平面上一条绕其平面上一条定直线定直线旋转旋
10、转一周一周所形成的曲面叫做所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为该定直线称为旋转旋转轴轴 .例如例如:建立建立yoz面上曲线面上曲线C 绕绕 z 轴旋转所成曲面轴旋转所成曲面的的方程方程:故旋转曲面方程为故旋转曲面方程为,),(zyxM当绕当绕 z 轴旋转时轴旋转时,0),(11zyf,),0(111CzyM若点若点给定给定 yoz 面上曲线面上曲线 C:),0(111zyM(,)M x y z1221,yyxzz则有则有0),(22zyxf则有则有该点转到该点转到0),(zyfozyxCxozy0),(zyf),0(111zyM M),(zyxM设设1)1(zz （2）点）点M到到z
11、轴的距离轴的距离|122yyxd 旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd思考：思考：当曲线当曲线 C 绕绕 y 轴旋转时，方程如何？轴旋转时，方程如何？0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf例例3.试建立顶点在原点试建立顶点在原点,旋转轴为旋转轴为z 轴轴,半顶角为半顶角为的圆锥面方程的圆锥面方程.解解:在在yoz面上直线面上直线L 的方程为的方程为cotyz 绕绕z z 轴旋转时轴旋转时,圆锥面的方程为圆锥面的方程为cot22yxz)(2222yxazcota令xyz两边平方两边平方L),0(zyMxy例例4.求坐标面求
12、坐标面 xoz 上的双曲线上的双曲线12222czax分别绕分别绕 x轴和轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解解:绕绕 x 轴旋转轴旋转122222 czyax绕绕 z 轴旋转轴旋转122222czayx这两种曲面都叫做这两种曲面都叫做旋转双曲面旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为所成曲面方程为所成曲面方程为z四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程三元二次方程 就几种常见标准型的特点进行介绍就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法研究二次曲面特性的基本方法:截痕法截痕法 其基本类型有其基本类型有:椭椭球面球面、抛物面、双曲面、锥面抛物面
13、、双曲面、锥面的图形通常为的图形通常为二次曲面二次曲面.FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次项系数不全为二次项系数不全为 0)zyx1 1.椭球面椭球面),(1222222为正数cbaczbyax(1)范围：范围：czbyax,(2)与坐标面的交线：椭圆与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby 012222yczax1222222czbyax与与)(11czzz的交线为椭圆：的交线为椭圆：1zz(4)当当 ab 时为时为旋转椭球面旋转椭球面;同样同样)(11byyy的截痕的截痕）（axxx11及及也为椭圆也为椭圆.当当abc 时为时为球面球面.
14、(3)截痕截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(为为正数正数)z2.抛物面抛物面2222xyzab(1)椭圆抛物面椭圆抛物面(2)双曲抛物面（鞍形曲面）双曲抛物面（鞍形曲面）2222xyzabzyxzyx3.双曲面双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面zxy),(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1zz 椭圆椭圆.by 1)1时时,截痕为截痕为22122221byczax1yy 1yy 平面平面 上的截痕情况上的截痕情况:双曲线双曲线:(实轴平行于实轴平行于x 轴；轴；虚轴平行于虚轴平行于z 轴）轴）虚轴平行于虚轴平行于x 轴）轴）by 1)2
15、时时,截痕为截痕为0czax)(bby或by 1)3时时,截痕为截痕为22122221byczax(实轴平行于实轴平行于z 轴轴;1yy zxyzxy相交直线相交直线:双曲线双曲线:0(2)双叶双曲面双叶双曲面),(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy 双曲线双曲线上的截痕为平面1xx 上的截痕为平面)(11czzz椭圆椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线双曲线zxyo222222czbyax单叶双曲面单叶双曲面11双叶双曲面双叶双曲面4.椭圆锥面椭圆锥面),(22222为正数bazbyax上的截痕为在平面tz 椭圆椭圆在在平面平面 x0 或或 y0 上的截痕为过原点的两直线上的截痕为过原点的两直线.zxyo1)()(2222t byt axtz,可以证明可以证明,椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.xyz练习练习:在在 xoy 面上面上;194)1(22轴旋转一周绕椭圆xyx;19)2(22轴旋转一周绕双曲线yyx;1)3(22轴旋转一周绕双曲线xyx.,)4(轴旋转一周绕直线面上在zayzyoz
