1、3.2 立体几何中的向量方法 研究研究 从今天开始从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用立体几何中的应用.引入引入1 1、立体几何问题立体几何问题(研究的基本对象是点、直线、平面研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形以及由它们组成的空间图形),pa bp xa ya bxyb向向量量 与与向向量量共共如如果果两两个个向向量量不不共共线线，则则面面的的充充要要条条件件是是存存在在实实数数对对，使使。共线向量定理共线向量定理:引入引入2 2、复习复习共面向量定理共面向量定理:对对空空间间任任意意两两个个向向量量,（），的的充充要
2、要条条件件是是存存在在实实数数，使使。/aabbbab 0引入引入3 3、思考思考1.1.如何确定一个点在空间的位置？如何确定一个点在空间的位置？2.2.在空间中给一个定点在空间中给一个定点A A和一个定方向（向量），能和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？确定一条直线在空间的位置吗？3.3.给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？平面在空间的位置吗？4.4.给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？平面在空间的位置吗？OP探究点探究点1 1 点点,直线，
3、平面的位置向量直线，平面的位置向量a ABP 空间中任意一条直线空间中任意一条直线l的位置可以由的位置可以由l上一个定点上一个定点A A以及一个定方向确定以及一个定方向确定.a ABP,APtAB 此方程称为此方程称为直线的向量参数方程直线的向量参数方程.O OP P=O OA A+t ta a 或或 O OP P=x xO OA A+y yO OB B (x x+y y=1 1）.POb a Pb a OOPxayb 除此之外除此之外,还可以用垂直于平面的直线的方向向还可以用垂直于平面的直线的方向向量量(这个平面的法向量这个平面的法向量)表示空间中平面的位置表示空间中平面的位置.n 这样，点
4、这样，点O O与向量与向量 不仅可以确定平面不仅可以确定平面 的位的位置，还可以具体表示出置，还可以具体表示出 内的任意一点内的任意一点.a b,探究点探究点2 2 平面的法向量平面的法向量A几点注意：几点注意：1.1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量.2.2.一个平面的所有法向量都一个平面的所有法向量都互相平行互相平行.3.3.向量向量 是平面的法向量，是平面的法向量，向量向量 与平面平行或在平面与平面平行或在平面内，则有内，则有0.n a l平面的法向量：平面的法向量：如图，直线如图，直线 ，取直线，取直线l的方向向的方向向量量 ，则向量，则向量 叫做平面叫做平面 的的 法向量法向
5、量 .laaa 给定一点给定一点A A和一个向量和一个向量 ,那么过点那么过点A,A,以向量以向量 为法向量的平面是完全确定为法向量的平面是完全确定的的.aaan 因为方向向量与法向量可以确定直线和平面因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、平行、垂直、夹角垂直、夹角等关系等关系.你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？
6、你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？关系以及它们二面角的大小吗？lmab/lm/abab lua/l0aua u /uvuvvu例例1.1.用向量方法证明用向量方法证明 定理定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行则这两个平面平行.,证l取取,m的,m的方方向向向向量量a,ba,b取取,的的法法向向量量u,v.u,v.明明:因因ll,m,m,所,所以以aav,bv,bv.v.为llll直直线线,m,m和和平平面面，其其中中,m,m,与与m m相相交交
7、,m,m已已知知：求求证证：,.v u ab0,0.所所以以a vb v因因l,ml,m,且,且l,m相l,m相交交，所所以以任任一一直直的的方方向向向向量量p p可可以以表表示示如如下下形形式式p=xa+yb,x,yR.p=xa+yb,x,yR.因因ppv=xa+yb v=xa+yb v v=xa=xav+ybv+ybv=0.v=0.为内线为为即即平平面面的的法法与与平平面面任任一一直直垂垂直直.所所以以平平面面的的法法向向量量也也是是平平面面的的法法向向量量，即即uuv.因v.因此此，.线内线l12 321 3-ABAB已已知知两两点点（，），（，），求求，连连线线与与 三三个个坐坐标标平
8、平面面例例2.2.的的交交点点。设设连连线线点点为为1111A,B与A,B与yOz平yOz平面面的的解解交交C（C（0，0，y，y，z z：），由由OC=（OC=（1-t）1-t）OA+tOB得OA+tOB得所所以以 所所以以 t=-1.t=-1.11111111（0，0，y，y，z）z）=（=（1-t）1-t）(1,-2,3)+t(2,1,-3),(1,-2,3)+t(2,1,-3),（0，0，y，y，z）z）=(1+t，=(1+t，-2+3t，-2+3t，3-6t）3-6t）,0=1+t,0=1+t,所所以以 OC=（OC=（0，0，-5，-5，9）9）.同理得同理得A,BA,B连线与连线
9、与xOzxOz，xOyxOy平面的交点为平面的交点为531(,0,1),(,0).322 已已知知两两点点A A（1 1，2 2，3 3），B B（2 2，1 1，2 2），P P（1 1，1 1，2 2），点点Q Q在在OPOP上上运运动动，求求当当QA QBQA QB取取得得最最小小值值时时，点点变变Q.Q.式式练练习习：的的坐坐标标 设OQ=OQ=OP=(OP=(,解解：,2,2),),2 2所所以以 QA QB=6 QA QB=6-16-16+10,+10,4242所所以以=，=，QA QB取QA QB取得得最最小小值值-,-,3333当时时4 4 84 4 8此此Q（Q（，）.3 3
10、 33 3 3 C2 2下下列列命命题题中中正正确确的的是是 （）A A若若 n n 是是平平面面 ABC ABC 的的一一个个法法向向量量，则则 n n 和和平平面面ABC ABC 内内任任意意一一条条直直线线的的方方向向向向量量垂垂直直B B若若n n和和平平面面ABCABC内内两两条条直直线线的的方方向向向向量量垂垂直直，则则n n是是平平面面ABCABC的的法法向向量量C C若若n n既既是是平平面面的的法法向向量量，又又是是平平面面的的法法向向量量，则则D D若若，则则它它们们所所有有共共同同的的法法向向量量都都在在一一条条直直线线上上A3.2013/(281)(12)_llyy（黄
11、山高二检测）已知，且的方向向量为，平面 的法向量为，则 124.4.若若互互不不重重合合的的平平面面，的的法法向向量量分分别别为为u u(1(1，2 2，2)2)，v v(3 3，6 6，6)6)，证证明明：.因因u u(1 1，2 2，2 2)，v v(3 3，6 6，6 6)，所所以以v v明明：3 3u u，即即v vu u.为证又又因因u，u，v分v分平平面面，的的法法向向量量且且，互互不不重重合合，所所以以 .为别为 1 1如何认识直线的方向向量？如何认识直线的方向向量？空间中任意一条直线空间中任意一条直线l的位置可以由的位置可以由l上一个定点上一个定点A A以及一个方向确定在直线以
12、及一个方向确定在直线l上取点上取点A A和和 ，可以可以作为作为l的方向向量，借助点的方向向量，借助点A A和和 即可确定直线即可确定直线l的的位置，并能具体表示出直线位置，并能具体表示出直线l上的任意一点上的任意一点aaa2 2如何理解平面的法向量？如何理解平面的法向量？(1)(1)平面平面的一个法向量垂直于与平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量共面的所有向量(2)(2)一个平面的法向量有无限多个，它们一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行互相平行3 3如何认识直线的方向向量和平面的法向量的作如何认识直线的方向向量和平面的法向量的作用？用？(1)(1)可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系(2)(2)可以利用它们表示直线与平面所成的线面角可以利用它们表示直线与平面所成的线面角(3)(3)可以解决有关线段的长度或点、线、面之间的可以解决有关线段的长度或点、线、面之间的距离问题距离问题当今之世，舍我其谁！
