1、现代数学中，每个对象(如数，函数等)本质上都是集合，都可以用某种集合来定义，数学的各个分支，本质上都是在研究某一种对象集合的性质。集合论的特点是研究对象的广泛性，它也是计算机科学与工程的基础理论和表达工具，而且在程序设计，数据结构，形式语言，关系数据库，操作系统等都有重要应用。,G Cantor集合论是研究集合一般性质的数学分支，它的创始人是康托尔(，18451918)。在集合论简介 内容：内容：集合，元素，子集，幂集等。重点：重点：(1)掌握集合的概念及两种表示法，(3)掌握子集及两集合相等的概念，(4)掌握幂集的概念及求法。(2)常见的集合,N Z Q R C和特殊集合,E，第三章第三章
2、集合集合第一节第一节 集合的基本概念集合的基本概念 一、集合的概念。一、集合的概念。1、集合集合一些确定的对象的整体。集合用大写的字母标记 其中的对象称元素，用小写字母标记 12,nAa aa表示集合A12,na aa含有元素注意：注意：(1)或 aAaA(2)集合中的元素均不相同 ,a b ca b b cc a b表示同一个集合。(3)集合的元素可以是任何类型的事物，一个集合也可以作为另一个集合的元素。例如：,Aa b cb b2、集合的表示法。(1)列举法(将元素一一列出)例如：2,3,4,5A(2)描述法(用谓词概括元素的属性)例如：|25Bx xZx一般，用描述法表示集合|()Ax
3、P x3、常见的一些集合。,N Z Q R C4、集合间的关系。()BAx xBxA()BAx xBxA(1)BABA的子集，记为BABABABABABA为BABA的真子集，记 5、特殊的集合。空集空集 ABABBA(2)对任意集合AAA有(3)两集合,A BAB相等，记作全集全集EU)(或AE(A为任一集合)例例1、选择适当的谓词表示下列集合。(1)小于5的非负整数集|5x xNx(2)奇整数集合|21x xnnZ(3)10的整倍数集合，|10 x xnnZ(4)3,5,7,11,13,17,19|220 x xx是素数例例2、确定下面命题的真值：(1)真值 T真值 F(2)(3)真值 T(
4、4)真值 T(5),a ba b ca b c真值 T(6),a ba b ca b c真值 F(7),a ba ba b真值 T(8),a ba ba b真值 F例例3、,A B CABBC有可能ACAC，且为集合，若吗？吗，有可能解：解：两种情形都有可能。设,AaBaCaa，则,AB BCAC。，有又设,AaBaCa，则,AB BCAC。，但二、幂集。二、幂集。1、nnm()mn子集。元个元素的集合)的元集(例如：,Aa b c为3元集。0元子集：(只有一个)，1元子集：,abc133C 个)，(共2元子集：,a ba cb c233C 个)，(共3元子集：,a b c331C 个)。(共
5、一般，n012nnnnnCCC个。元集共有子集解：解：(),P Aabca b,a cb ca b c2、集合A的幂集，()P AA记的全体子集为元素的集合。例例4、,Aa b c()P A。，求若An()P A2n个元素。有个元素，则有例例5、求以下集合的幂集。(1)A解：解：()P A(2)A解：解：(),P AA(3),A 解：解：(),P AA(4)1,2,3A(),1,2,3,P AA解：解：(5),2,2A(),2,2,P AA解：解：内容：内容：集合的运算，文氏图，运算律。重点：重点：(1)掌握集合的运算,AB AB ABA AB(2)用文氏图表示集合间的相互关系和运算，(3)掌
6、握基本运算律的内容及运用。第二节第二节 集合的运算集合的运算一、集合的运算。一、集合的运算。|ABx xAxB|ABx xAxBAB，相对补集集合,A BAB，的并集交集AB，对称差AB。绝对补集 A，(当,A BAB不交)时，称以上定义加以推广，121niniAAAA12|nx xAxAxA121niniAAAA12|nx xAxAxA|ABx xAxB()()()()ABABBAABAB|AEAx xExA(其中E为全集)，(1)AB1(2)BC1,5(3)A2,3,5(4)BA1,2,3,51,2,5B 2,4C，求出以下集合。，例例1、设1,2,3,4,5E 1,4A，(5)AB2,4
7、,5(6)()AB3(7)()ABC1,3,5(8)()()ABAC1,41、文氏图。(2)矩形内的圆表示集合，(1)用大矩形表示全集E，二、文氏图二、文氏图()JohnVenn。(3)除特殊情形外，一般表示两个集合的圆是相交的，(4)圆中的阴影的区域表示新组成的集合。2、用文氏图表示集合的有关运算。例例2、用文氏图表示下列集合。(1)AB(2)AB()ABC(3)(4)()ABC例例3、用集合公式表示下列文氏图中的阴影部分。(1)解：解：ABC(2)解：解：()()()ABACBC三三 包含排斥定理包含排斥定理 设 和 是两个有限集合，则 ，BBABABABA,A其中 分别表示、的元数 BA
8、把包含排斥定理推广到 个集合的情况可用如下定理表述：n设 为有限集合，其元数分别为 ，则nAAA,21nAAA,21nAAA21njijiniiAAA11nkjikjiAAA11)1(nnAAA21例4 求从1到500之间能被2,3,7任何一个数整除的整数的个数 例5 有100名程序员，其中47名熟悉FORTRAN语言，35名熟悉PASCAL语言，23名熟悉这两种语言问有多少人对这两种语言都不熟悉？1、幂等律：幂等律：AAA，AAA2、结合律：结合律：()()ABCABC,()()ABCABC3、交换律：交换律：ABBA,ABBA4、分配律：分配律：()()()ABCABAC()()()ABC
9、ABAC,第三节第三节 集合的运算性质集合的运算性质5、同一律：同一律：AA,AEA6、零律：零律：AEE,A7、互否律：互否律：AAE(排中律)，AA(矛盾律)8、吸收律：吸收律：，()AABA()AABA9、德德 摩根律：摩根律：()()()ABCABAC()BCBC()BCBC E10、双重否定律：双重否定律：()AA以上恒等式的证明思路：欲证PQxxPxQ。，即证对任意E()()xAxBC()xAxBxC()()xAxBxAxC()()xABxAC()()xABAC故()()()ABCABAC例例4、证明分配律()()()ABCABAC。x证明：证明：对任意()xABC，除基本运算外，
10、还有以下一些常用性质(证明略)13、ABA14、ABAB15、ABBABABAAB12、AABBAB11、ABAABB，16、ABBA17、()()ABCABC18、AA19、AA20、ABACBC“”的交换律“”的结合律xAxBxABxAxBxAB故 ABAB例例5、证明：ABAB(第14条)证明：证明：对任意x，证明：证明：()()ABAABA()()ABAA()ABEAB例例6、证明()ABAAB。例例7、化简()()ABCAB()ABCA所以原式化简为()ABA解：解：因为ABABC，所以()()ABCABAB，()AABC又因为所以()ABCAA，又()ABA()ABA()()AAB
11、A()BABA最后，原式化简为BA。例例8、设为假的各有哪些？,A B CE（1）ABABB（2）ABABA（3）ABA BA的子集，以下命题中为真，均为真命题假命题真命题一、笛卡儿积。一、笛卡儿积。1、有序对、有序对，记,x y。特点：(1)xy,x yy x，时，(2),x yu vxu yv。有序n(3)n 12,nx xx。，记元组第四节第四节 序偶与笛卡儿积序偶与笛卡儿积2 2、有序、有序 元组元组 n)3(n 是一个有序对，其中第一个元素是一个有序元组，一个有序 元组记作 1nnnxxx,21nxxx,21nnxxxx,121即2、笛卡儿积。定义：定义：集合ABAB。的笛卡儿积，记
12、作和,|ABx yxAyB例例1、，0,1,ABa b c求ABBAAAAB。，解：解：0,0,0,1,1,1,ABabcabc,0,1,0,1,0,1BAaabbccnxxx,21nyyy,21当且仅当 niyxii,2,1,AB例例2、设,Aa b()AP A。，求解：解：(),P AabA(),AP Aaaaaba A,bbabbb A0,0,0,1,1,0,1,1AA(2)笛卡儿积是集合，有关集合的运算都适合。(3)一般，ABBA。注意：注意：(1)若则AmBnABmn元集，是元集，是元集。为3、n(2)n 笛卡儿积。阶12nAAA121122,|nnnx xxxAxAxA特别，当12
13、nAAAA记为nA时，。如,Aa b2,Aa aa bb ab b，例3 设 CBbaA,2,0,试求：BA 1（1）；BA2CBA（2）；（3）。解：解：（1）BA 12,1,0,1,2,1,0,1,bbaa（2）BA 20,2,0,2,0,abbabaaaaa2,ab0,bb2,bb（3）CBA笛卡儿积运算具有以下性质：1若 中有一个空集，则它们的笛卡儿积是空集，即BA,AB2当 且 都不是空集时，有BA BA,ABBA3当 都不是空集时，有CBA,)()(CBACBA4笛卡儿积运算对 或 运算满足分配律，即(1)()()()ABCABA C(2)()()()BCABACA(3)()()(
14、)ABCABA C(4)()()()BCABACA例例4、证明：()()()ABCABA C证明：证明：对任意,x y，,()x yABC()xAyBCxAyByC()()xAyBxAyC,(),()x yABx yA C,()()x yABA C故()()()ABCABA C。一、集合的基本概念。一、集合的基本概念。1、基本概念。元素和集合的属于关系；有限集和无限集；子集和真子集；集合的相等；空集和全集；幂集。2、应用。(1)用集合的两种表示法表示集合。(2)求给定集合的幂集。第三章第三章 小结与例题小结与例题 二、集合的基本运算与性质。二、集合的基本运算与性质。1、基本概念。交集，并集，差
15、集，补集，对称差集；文氏图；基本运算律。2、应用。(1)用文氏图表示集合间的相互关系和运算。(2)运用基本运算律进行证明，化简等。三序偶与笛卡儿积序偶与笛卡儿积表示计算机科学系学生的集合，R表示二年级大学生的集合，S表示数学系学生的集合，M表示选修离散数学的学生的集合，T表示爱好文学的学生的集合，L表示爱好体育运动的学生的集合，P用集合交集，并集和包含关系表示：(1)所有计算机科学系二年级的学生都选修离散数学，解：解：RST例例1、设F表示一年级大学生的集合，(2)数学系的学生或者爱好文学或者爱好体育运动，解：解：MLP(3)数学系一年级的学生都没有选修离散数学，解：解：()MFT(4)只有一
16、、二年级的学生才爱好体育运动，解：解：pFS(5)除去数学系和计算机科学系二年级的学生外都不选修离散数学。解：解：()TMRS(1)5XS解：解：2XS解：解：5XS例例2、设11,2,8,9S 22,4,6,8S 31,3,5,7,9S 43,4,5S 53,5S，确定在以下条件下X15,SS集合相等？中哪个可能与，(2)4XS2XS，但解：解：12,XS S或4S(4)若3XS解：解：3XS或5S例例2、设11,2,8,9S 22,4,6,8S 31,3,5,7,9S 43,4,5S 53,5S，确定在以下条件下X15,SS集合相等？中哪个可能与，(3)1XS3XS且解：解：X与其中任何集
17、合都不相等 例例2、设11,2,8,9S 22,4,6,8S 31,3,5,7,9S 43,4,5S 53,5S，确定在以下条件下X15,SS集合相等？中哪个可能与，(5)若3XS1XS且例例3、简要说明：举出它们的元素和子集。的区别，与子集有解：解：是无任何元素的集合，是以集合为元素的集合，元素为,。，子集有例例4、设 3,4A，4,3B1,2C，27120Dx xx,3,4E4,4,3F 4,3,3G，问上述集合中有哪些是相等的。解：解：ADFBCEG(1)ABBCAC解：解：结论不一定成立。例例5、设,A B C是集合，证明或反驳下列断言。若 Aa Ba Ca则有ABBCAC，但若 Aa
18、 Ba Cc则有ABBCAC，。(2)ABBCAC解：解：结论不一定成立。例例5、设,A B C是集合，证明或反驳下列断言。若 Aa Ca则有ABBCAC Bb，但若 Aa则有ABBCAC Bb Cc，。aAABaB(3)解：解：结论成立。由ABxA xB因aAaB。有知：故。例例5、设,A B C是集合，证明或反驳下列断言。(1)()()ABP AP B()xP A，有 xA证明：证明：设 AB例例6、设,A B为任意集合，证明：又ABxB()xP B，即有，故所以()()P AP B。()()P AP BAB例例6、设 为任意集合，证明：,A B(2)证明：证明：设()()P AP BxA
19、，有 ()xP A又()()P AP B()xP B，故即xB，所以AB。例例7、求下列集合的基数和每个集合的幂集。(1)1,2,3解：解：基数2，幂集为：,1,2,3,1,2,3(2),a b解：解：基数3，幂集为：,aba ,ba ba b8;Bx x(1)2，4，6，8 解：BC例8、设,A B C D EZ12;Ax x(2)();Cx xkkZ(3)();Dx xkkZ(21)();Ex xkkZ试用,A B C D E其中：表示下述集合。(2)3，6，9 解：AD例8、设,A B C D EZ12;Ax x(2)();Cx xkkZ(3)();Dx xkkZ(21)();Ex xk
20、kZ试用,A B C D E其中：表示下述集合。(3)10 解：()ABE例8、设,A B C D EZ12;Ax x(2)();Cx xkkZ(3)();Dx xkkZ(21)();Ex xkkZ试用,A B C D E其中：表示下述集合。解：CA例8、设,A B C D EZ12;Ax x(2)();Cx xkkZ(3)();Dx xkkZ(21)();Ex xkkZ试用,A B C D E其中：表示下述集合。(4)x x(10)x是偶数例8、设,A B C D EZ12;Ax x(2)();Cx xkkZ(3)();Dx xkkZ(21)();Ex xkkZ试用,A B C D E其中：
21、表示下述集合。(5)(xx(10)(xx是奇数)(9)x是正偶数)解：()()ACEB例8、设,A B C D EZ12;Ax x(2)();Cx xkkZ(3)();Dx xkkZ(21)();Ex xkkZ试用,A B C D E其中：表示下述集合。(1)所有奇数的集合；解：ZB 10,8,6,4,2,0,2,4,6,8,10(2)解：BC例 9、(3)()(4)Ax xyyZy(2)()Bx xyyZ()(1010)Cx xZx 都是ZZ,A B C表示下列集合。和的子集，试用(3)(6)()(2)x xyyZy解：()AB(4)9,7,5,3,1,1,3,5,7,9解：()CB 例 9、(3)()(4)Ax xyyZy(2)()Bx xyyZ()(1010)Cx xZx 都是ZZ,A B C表示下列集合。和的子集，试用
