1、在我们所生活的世界上，充满了不确定性 从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化落，到大自然的千变万化，我们无时，我们无时无刻不面临着不确定性和随机性无刻不面临着不确定性和随机性.一一.概率论简介概率论简介 当人们在一定的条件下对它加当人们在一定的条件下对它加以观察或进行试验时，观察或试验以观察或进行试验时，观察或试验的结果是多个可能结果中的某一个的结果是多个可能结果中的某一个.而且在每次试验或观察前都无法确
2、而且在每次试验或观察前都无法确知其结果，即呈现出偶然性知其结果，即呈现出偶然性.或者或者说，出现哪个结果说，出现哪个结果“凭机会而定凭机会而定”.带有随机性、偶然性的现象带有随机性、偶然性的现象.随随机机现现象象的的特特点点随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性随机现象并不是没有规律可言随机现象并不是没有规律可言在一定条件下对随在一定条件下对随机现象进行大量观机现象进行大量观测会发现某种规律性测会发现某种规律性.由意大利数学家和赌博家卡丹诺由意大利数学家和赌博家卡丹诺(1501-1576)1564年他写了一本年他写了一本机遇博弈机遇博弈于于1663年发表年发表.标志着概率论的诞生标志着概率论
3、的诞生.例如，了解发生意外人身事故的例如，了解发生意外人身事故的可能性大小可能性大小,确定保险金额确定保险金额.了解来商场购物的顾客人数的各种了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员可能性大小，合理配置服务人员.了解每年最大洪水超警戒线可能了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度性大小，合理确定堤坝高度.福尔莫斯破密码福尔莫斯破密码请看请看福尔莫斯为什么能破译出那份密码福尔莫斯为什么能破译出那份密码?对案情的深入了解和分析对案情的深入了解和分析;运用字母出现的统计规律性运用字母出现的统计规律性.二二.古典概率古典概率-比率比率分析分析:10个人个人,共分共分3张音
4、乐会票张音乐会票.准备一个盒子准备一个盒子,里面放里面放10个大小和质地一样的球个大小和质地一样的球其中白球其中白球3个个,黑球黑球7个个,充分扰乱以后充分扰乱以后,让每个人抽让每个人抽取一个球取一个球,凡抽到白球者得票凡抽到白球者得票.每个人得到票的机会相等每个人得到票的机会相等一个试验一个试验,有有n个同等可能的结果个同等可能的结果,其中有其中有k个结个结果是使某事件果是使某事件A发生发生,那么事件那么事件A发生的概率为发生的概率为 kP An 310P A 称为古典概率称为古典概率.常常把这样的试验结果称为常常把这样的试验结果称为“等可能的等可能的”.e1,e2,，eN 试验结果试验结果
5、你认为哪个你认为哪个结果出现的结果出现的可能性大？可能性大？在许多场合，在许多场合，由对称性和均衡性由对称性和均衡性，我我们就可以认为基本事件是等可能的并在此们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率基础上计算事件的概率.基本计数原理基本计数原理 这里我们先简要复习一下计算古典概率这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的所用到的1.加法原理加法原理设完成一件事有设完成一件事有m种方式，种方式，第一种方式有第一种方式有n1种方法，种方法，第二种方式有第二种方式有n2种方法种方法,；第第m种方式有种方式有nm种方法种方法,无论通过哪种方法都可以无论通过哪种方法都可以完成这件事，完成
6、这件事，则完成这件事总共则完成这件事总共有有n1+n2+nm 种方法种方法.基本计数原理基本计数原理则完成这件事共有则完成这件事共有种不同的方法种不同的方法.mnnn212.乘法原理乘法原理设完成一件事有设完成一件事有m个步骤，个步骤，第一个步骤有第一个步骤有n1种方法，种方法，第二个步骤有第二个步骤有n2种方法种方法,；第第m个步骤有个步骤有nm种方法种方法,必须通过每一步骤必须通过每一步骤,才算完成这件事，才算完成这件事，3.排列、组合的几个简单公式排列、组合的几个简单公式排列和组合的区别：排列和组合的区别：顺序不同是顺序不同是不同的排列不同的排列3把不同的钥匙的把不同的钥匙的6种排列种排
7、列而组合不管而组合不管顺序顺序从从3个元素取出个元素取出2个个的排列总数有的排列总数有6种种从从3个元素取出个元素取出2个个的组合总数有的组合总数有3种种623P323Ca排列排列:从从n个不同元素取个不同元素取 k个个（1 k n)的不同排列总数为：的不同排列总数为：k=n时称全排列时称全排列!)(nnnnpPnnn1221排列、组合的几个简单公式排列、组合的几个简单公式)!(!)()(knnknnnnpkn121从从n个不同元素取个不同元素取 k个（允许重复）个（允许重复）（1 k n)的不同排列总数为：的不同排列总数为：knnnn 例如：从装有例如：从装有4张卡片的盒中张卡片的盒中有放回
8、地摸取有放回地摸取3张张3241n=4,k=3123第第1张张4123第第2张张4123第第3张张4共有共有4.4.4=43种可能取法种可能取法!)!(!kknnkPCknknb、组合、组合:从从n个不同元素取个不同元素取 k个个（1 k n)的不同组合总数为：的不同组合总数为：knC常记作常记作kn，称为组合系数。，称为组合系数。!kCPknkn组合系数组合系数 又常称为二项式系数，因为又常称为二项式系数，因为它出现在下面的二项式展开的公式中：它出现在下面的二项式展开的公式中：knc、组合系数与二项式展开的关系、组合系数与二项式展开的关系knknknbaknba0)(nmnmxxx)()()
9、(111由由221102010jnjjmjjnmjxjnxjmxjnm有有比较两边比较两边 xk 的系数，可得的系数，可得 iknimknmki 0运用二项式展开运用二项式展开想想看想想看:如何说明音乐会问题中每个人的机会相等如何说明音乐会问题中每个人的机会相等分球入箱问题分球入箱问题请看下面的演示请看下面的演示以球、箱模型为例给出一类常见的以球、箱模型为例给出一类常见的古典概型中的概率计算古典概型中的概率计算许多表面上提法不同的问题实质上属于同一许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：类型：有有n个人，每个人都以相同的概率个人，每个人都以相同的概率 1/N(Nn)被分在被分在 N 间房的
10、每一间中，求指定的间房的每一间中，求指定的n间房中各有一人的概率间房中各有一人的概率.人人房房许多表面上提法不同的问题实质上属于同一许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：类型：某城市每周发生某城市每周发生7次车祸，假设每天发生次车祸，假设每天发生车祸的概率相同车祸的概率相同.求每天恰好发生一次车祸求每天恰好发生一次车祸的概率的概率.车祸车祸天天在用排列组合公式计算古典概率时，必须注在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏意不要重复计数，也不要遗漏.例如：从例如：从5双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取4只，这只，这4只只鞋子中鞋子中“至少有两只配成一双至少有两只配
11、成一双”（事件（事件A）的概率是多少？的概率是多少？下面的算法错在哪里？下面的算法错在哪里？4102815)(AP错在同样的错在同样的“4只配只配成两双成两双”算了两次算了两次.97321456810从从5双中取双中取1双，从剩双，从剩下的下的 8只中取只中取2只只例如：从例如：从5双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取4只，这只，这4只只鞋子中鞋子中“至少有两只配成一双至少有两只配成一双”（事件（事件A）的概率是多少？的概率是多少？正确的答案是：正确的答案是：410252815)(AP请思考：请思考：还有其它解法吗？还有其它解法吗？!CCCCC)A(P4410141618110 21131 A
12、PAP2113 解：把解：把2n只鞋分成只鞋分成n堆堆,每堆每堆2只只的分法总数为的分法总数为而出现事件而出现事件A的分法数为的分法数为n!,故故nnn2)!2(!2!2!2)!2()!2(2!2/)!2(!)(nnnnAPnn例例4 n双相异的鞋共双相异的鞋共2n只，随机地分成只，随机地分成n堆，堆，每堆每堆2只只.问问:“各堆都自成一双鞋各堆都自成一双鞋”(事件事件A)的的概率是多少？概率是多少？北京体育彩票（北京体育彩票（36选选7不重复）不重复）:特等奖特等奖:选中全部选中全部7个正选号码个正选号码 AP千万千万/.C211736 一等奖一等奖:选中选中6个正选号码个正选号码+特别号码
13、特别号码 BP千万千万/.CCC487361167 五等奖五等奖:选中选中4个正号或个正号或3个正号个正号+1个特号个特号 CP%.CCC8273632848 例例有有6张纸牌张纸牌,其中其中4张黑桃张黑桃,2张红桃张红桃,从中从中随机地有放回地取两次随机地有放回地取两次,每次只取一张每次只取一张,求求(1)取到的两张都是红桃的概率取到的两张都是红桃的概率?(2)取到的两张颜色相同的概率取到的两张颜色相同的概率?9536416 (3)取到的两张至少有一张黑桃的概率取到的两张至少有一张黑桃的概率?=1-P(A)C Cp AC C 11221166 2 216 69 C CC Cp BC C 11
14、114422116689 C CC CC Cp CC C1111114442241166若抽取是不放回地若抽取是不放回地,求以上三问求以上三问?(1)取到的两张都是红桃的概率取到的两张都是红桃的概率?(2)取到的两张颜色相同的概率取到的两张颜色相同的概率?15730212 (3)取到的两张至少有一张黑桃的概率取到的两张至少有一张黑桃的概率?C Cp AC C 11211165 2 116 515 C CC Cp BC C 111143211165 p CP A14115若抽取是任取两张若抽取是任取两张,求以上三问求以上三问?(1)取到的两张都是红桃的概率取到的两张都是红桃的概率?(2)取到的两
15、张颜色相同的概率取到的两张颜色相同的概率?157(3)取到的两张至少有一张黑桃的概率取到的两张至少有一张黑桃的概率?Cp AC 2226!2 41615 CCp BC 224226 p CP(A)14115说明说明:(1)在求事件的概率时在求事件的概率时,应注意随机实验的样应注意随机实验的样 本空间本空间(2)“任取任取k件件”与与“无放回地逐件取无放回地逐件取k件件”考虑考虑问题的角度不同问题的角度不同,但计算概率的结果相同但计算概率的结果相同(3)“任取任取k件与有放回地逐件取件与有放回地逐件取k件件”所得的所得的 概率一般不同概率一般不同(4)“至少至少”问题常用对立事件解决问题常用对立
16、事件解决例例2 有有r 个人，设每个人的生日是个人，设每个人的生日是365天的天的任何一天是等可能的，试求事件任何一天是等可能的，试求事件“至少有两至少有两人同生日人同生日”的概率的概率.rrPAP)365()(365rrPAPAP)365(1)(1)(365A为求为求P(A),先求先求P()解：令解：令 A=至少有两人同生日至少有两人同生日 =r 个人的生日都不同个人的生日都不同A则则用上面的公式可以计算此事出现的概率为用上面的公式可以计算此事出现的概率为 =1-0.524=0.476)(AP 美国数学家伯格米尼曾经做过一个美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、别开生
17、面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了随机地在某号看台上召唤了22个球迷，个球迷，请他们分别写下自己的生日，结果竟请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有两人同生日发现其中有两人同生日.即即22个球迷中至少有两人同生日的概率个球迷中至少有两人同生日的概率为为0.476.表表 3.1 人数人数 至少有两人同至少有两人同 生日的概率生日的概率 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994 所有这些概率都是在
18、假定所有这些概率都是在假定一个人的生日在一个人的生日在 365天的任天的任何一天是等可能的前提下计何一天是等可能的前提下计算出来的算出来的.实际上实际上,这个假定这个假定并不完全成立，有关的实际并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大概率比表中给出的还要大.当人数超过当人数超过23时，打赌说至时，打赌说至少有两人同生日是有利的少有两人同生日是有利的.请看演示：请看演示：生日问题生日问题 投掷投掷3颗骰子颗骰子,胜负规定胜负规定:若顾客掷出若顾客掷出3颗骰子点数之颗骰子点数之和为和为3,4,5,6,7,14,15,16,17,18这些数中之一时这些数中之一时,顾客胜顾客胜否则摊主胜否则摊主
19、胜,即即8,9,10,11,12,13这些结果有等可能性这些结果有等可能性,但是其和为但是其和为3的只有的只有1种种,和为和为10的结果有的结果有27个个,逐一检查还发现逐一检查还发现,使顾客胜的结果使顾客胜的结果只有只有69种种,而摊主获胜的结果有而摊主获胜的结果有147远远有利摊主远远有利摊主在这在这16中结果中不是等可能中结果中不是等可能,把把3颗骰子的所有结颗骰子的所有结果有果有666=216种结果种结果,把这些结果一一排出把这些结果一一排出 111,112,113,661,662,666掷硬币试验掷硬币试验实验者抛掷次数n正面出现次数nA频率fn(A)德摩尔根蒲丰皮尔逊皮尔逊维尼20
20、40404012000240003000010612048601912012149940.5180.50690.50160.50500.4998三三.统计概率统计概率-频率频率 在充分多次试验中，事件的频率总在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，越多，一般来说一般来说摆动越小摆动越小.这个性质叫这个性质叫做频率的稳定性做频率的稳定性.这个定值称为事件这个定值称为事件A的概率的概率,记为记为P(A)频率在一定程度上反映了事件发生的频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小可能性大小.尽管每进行一连串（尽管每进行一连串（n次）试次）
21、试验，所得到的频率可以各不相同，但只要验，所得到的频率可以各不相同，但只要 n相当大，频率与概率是会非常接近的相当大，频率与概率是会非常接近的.频率的性质频率的性质 nfA 10 nf 21 nnnfABfAfB (3)若若A,B不同时发生不同时发生,则则:11()()kkniniiifAfA 事件发生的可能性事件发生的可能性最大是百分之百，此时最大是百分之百，此时概率为概率为1.P(A)2.2.事件事件A的概率的概率 事件发生的可能性事件发生的可能性最小是零，此时最小是零，此时概率为概率为0.P 1 P A BP AP B 若若A,B不同时发生不同时发生,则则:)()(,1121iiiiAPAPAA则是两两互不相容的事件若作业作业1.预习概率论与数理统计预习概率论与数理统计1-2 2.练习练习 习题习题1-2
