1、 当微分方程组右端的函数不显含时间变量 t 时我们称它为自治微分方程组。从运动学的角度看，当点的位置确定时速度就随之确定，即速度场是与时间无关的恒定场；从几何的角度看，当点的位置确定时各点的切线方向就随之确定，即切向量场是与时间无关的恒定场。自治系统线的这些特点特点可以简化我们的问题。自治微分方程组自治微分方程组 dxaxbydtdycxdydt 232222()xxxxyzx eyxyx yzzxyzeyz 1dxxydtdydt dxxydtdytdt 1dxxydtdysdtdsdt (;,)(4)(;,)dxXt x ydtdyYt x ydt ,xx tyt,t x yyxt()()
2、xx tyy t00(,)P xyt,x y(),()xx t yy tyx()()xx tyy t00(,)P xyt0(;,)(4)(;,)dxXt x ydtdyYt x ydt(,)(5)(,)dxXxydtdyYxydt(,),(,)X x y Y x y(,),(,)X x y Y x y1(,)(,),(,)0(,)dyY x yf x yX x ydxX x y2(,)(,),(,)0(,)dxX x yfx yY x ydyY x y(,),(,)X x y Y x y12(,),(,)f x y f x yPn称x所在的空间Rn为相空间；相空间；n称(t,x)所在的空间R1
3、Rn为增广相空间；增广相空间；nv(x)在相空间中定义了一个速度场（向量场）；速度场（向量场）；n该系统的解x=N(t,t0,x0)在增广相空间中的图像称为积分曲线积分曲线；把t当参数，解在相空间中曲线称为轨线轨线，一般用箭头标明变化方向；n轨线族的拓扑结构图称为相图相图；n非定常的周期解的轨线是闭曲线，称为闭轨闭轨。对对于于x,x,自自治治系系统统其其中中(12d=(),)(),(),(),dnnvvvt=x xv xv xxxxv xv xxxxLR自治系统在任意时刻从相空间同一点出发的解轨线均相同。而非自治系统在不同时刻从同一点出发的轨线则不一定相同.例例1 1 求自治系统1dxxydt
4、dydt 当 时过点 的轨线方程.0tt00(,)xy解解:求该初始值问题的解得0()000000(1)1t txxyettyytty 消去解的表达式中的参数 t 得轨线的方程为0()00(1)1yyxxyey由此可见，此例中的自治系统在任意时刻0t出发的解在相空间的轨线均相同。而非00(,)xy自治系统就不一定具有这样的性质.从可以写成：(,)(,)dxfx ydtdyg x ydt(6)为了方便下边只对 时的自治系统进行2n 叙述，时也有同样的性质，此时系统一般2n 习惯上(6)称为二维自治系统或平面自治系统。相应的相空间也称为相平面。一个解，则对于任意常数0,(),()cccxtcytc
5、仍是(6)的解。性质性质1 1 设 是（6）的(),()xtyt证证 因为 是（6）的解，(),()xtyt所以,()(),()()(),()dtfttdtdtgttdt()()()()()()(),()(,)cccdxdtcdtcd tcdtcdtdtd tcdtd tcftctcf xy对所有的 都成立，因此t所以 ，满足系统的第一个方程。同理可证cxcy它们也满足第二个方程，即 ，也是系统cxcy(5.2.6)的解。性质1也称为自治系统的积分曲线的平移不平移不变性变性，它的含义是系统（6）的积分曲线在的三维空间中沿 轴任意平移后仍是(,)t x yt系统的积分曲线且对应的是相平面上同一条
6、轨线.000012(),()dxdxxtxdtdtdydyyydtdtx txy ty满足条件的解分别为000000000000(,)(,0,)(,)(,0,)x t txyx ttxyy t txyy ttxy自治系统的积分曲线平移不变性经常写为例例0022000000000000000000(,)(1)1(,)(,)(,)t tt tttt tx t txyxey t txyy ex t txyx ey t txyy e000000000000(,)(,0,)(,)(,0,)x t txyx ttxyy t txyy ttxy可以验证，平移不变性对自治系统成立，对非自治系统不成。存在惟一性
7、条件，则过相平面上任一点00(,)xy系统(6)有且只有一条轨线经过。换句话说如果(6)两个解11()(),()X tx ty t22()(),()Y tx ty t有一个公共点，则相平面上这两个解的轨线完全重合。注注:轨线是将解看作参数曲线后在x-y平面的图coscos()sinsin()xtxtcytytc性质性质2 2 设(,)f x y,x y(,)g x y满足解的，关于与两个曲线相同:形。证证 设200(,)xyR(6)的满足0000(),()x txy ty11()(),()X tx ty t是存在的。假设系统另一条轨线22()(),()Y tx ty t过点00(,)xy10t
8、t()()()()xtxtcytytc一般地,下面两个曲线相同也经的解，由解的存在惟一性定理系统，即存在使得210210(),(),x txy ty且 满足（6），则由性质1知，22(),()x ty t210210()(),()Z tx ttty ttt仍然为系统(6)的解。显然解 与()X t()Z t在0tt一性定理得出对于所有的t即：)()(tZtX12101210()(),()()x tx ttty ty ttt都有，时候有相同的值，因此由解的存在惟性质2被称为自治系统相空间轨线的惟一性轨线的惟一性。这就说明了解()X t()Y t是重合的.它的含义是自治系统的不同轨线在相平面上是不
9、相交的。由性质1，性质2知我们在（6）的解中，只需要讨讨论初始时刻00t 0000(;,)(;,)xt xyyt xy从而有下边的性质3。与在相平面上的轨线的解并简记为性质性质3 3 对于任意的12002111200211(;,)(;,)(;,)(;,)ttxytx yttxytx y证明证明100100,xtt x yytt x y是系统(5.2.6)的解。且与解1111,xt x yyt x y在 t=0 时有相同的初值 ，因此由解的存在惟一性定理知它们对于任意t都是恒等的，取 即得性质的结论。11,x y2tt12,t t其中 ，。),(0011yxtx1100(;,)yt xy有的解如
10、果对于某 ,存在 使得：0T 0000()(),()()x tTx ty tTy t则对于所有的 均有t()(),()()x tTx ty tTy t此性质含义为：如果（5.2.6）的解经过0T 性质3的意义是 时从 出发的解在 的值和 时刻从 出发的解在 时的值相等。2t00tt1t00tt00(,)xy11(,)x y其中 ，。1100(;,)yt xy),(0011yxtx性质性质4 4 设 ，是（5.2.6）(),()xx tyy t0t时间后返回到初始点，那么它一定是以 为周期T的周期解。周期解的轨线是一条封闭曲线。且不包含奇点。因而称之为轨线。轨线和奇点构成的闭曲线称为奇异闭曲线。
11、性质性质5 5 系统(5.2.6)的出发于任何非奇点(常点)轨线不可能在有限时间到达某奇点 。(,)xy对于平面定常系统，已经证明了其轨线只能是三种情况:(1)奇点，(2)闭轨线，(3)有限时间自身不相交轨线。例例5.2.45.2.4 描出下列单摆方程的轨线。sindxydtdygxdtl(5.2.7)解解 (5.2.7)是一个自治系统，且可以消去t其化为：sindygxdtly(5.2.8)容易求（5.2.8）的解为 。22 cosgxyCl这时(5.2.7)的轨线所满足的方程，由此即可画出其轨线。(见图5.6)。后将dyAydt2dyAyBydt20,(0)dyAyByyydt12()0,
12、()AytytB0AtAyABB ey 0,AyB()dydty ABy1BdyAdtyABylnlnyAByAtc 0,0AB000011 0,limln(1)ttAyyytABy 02 0,limtAAyyyBB03 ,limtAAyyyBB 0,0AB000011 ,limln(1)ttAAyyytBABy 02 0,lim0tAyyyB03 0,lim0 tyyy0y0y 0y0AB 0,0aAB0y0y 0y0 0,0bABABttyytABtABAB00t 01112221212(;,)(;,)(;,)nnnnnygt yyyygt yyyygt yyy (;)(1)yg t y1
13、2Tnyyyy12 Tnggggn(1)12,nnyz yzyz1223112(;,)nnnnyyyyyyyg tyyy ()(1)(;,)(2)nnzg t z zz(;)g t y21 niiyy(;)(;)g t yg t yL yy()yt ()xyt()(;)(;()xytg t yg tt=(;()(;()g t xtg tt:(;)f t x(;0)0 f t(;)(3)xf t x2yAyByAyBAxyB2xAxBx 0 x 例题 100,(,)0t 0 x0 x0(),x tttlim()0tx t 0 x 00 00 x00()x tx0 x 00()x tx()x t(
14、)x t0 x 0000|lim(;,)0tDxx t tx0,.0 x 若若它它的的吸吸引引域域为为全全空空间间即即则则称称零零解解是是全全局局渐渐近近稳稳定定的的0D0 x 00 xD00()x tx()x tlim()0tx t 0000 x0 x00()x tx()x t10tt10()x t0 x oo0(,)(,)xaxbyo x yycxdyo x yxaxbyycxdy (9)xAx(,)(8)xAxR t x0(,)0limxR t xx0tt3A()tlim()tt2A()t,)a 1A()tlim()0tt (9)xAx121212111212122212()()()()
15、()()()()()()kkktttktttktttnnnke P teP tePte PtePtePtte PtePtePt()(1,1)ijP tinjk().ijP tn()()1.lim()lim()lim0,ijtitijijttttP te P teP te.,lim()0.tiet 2.()t1212()()()ktttiiike P teP teP t1212 ()()()ktttiiike P teP teP t1212()()()ktttiiike P teP teP tif Re()0,()0,.itiije P tt if Re()0 1,iiand n()=cossi
16、n=.i ti tijeP teMMtitM3.=+,0.i()()itte(),.ttet AAA (9)xAxAAA(,)(8)xAxR t xAA12 (),()R xR x12()()0,0,0.R xR xxxx1()xAxR x2()xAxR x 我们讨论了按线性近似决定了非线性方程组零解的稳定性问题，这仅是在零解邻域内的稳定性。我们介绍研究大范围稳定性的Liapunov 方法：不去求解而通过导数的信息来判断稳定性。例 讨论微分方程组 零解解的稳定性。令 为解曲线上任意一点到零解的距离平方，则 2dxxdtdyydt 22()()()V tx ty t222()2()4()2(),
17、()(0),tdV tx ty tV tdtV tVe 零解全局渐近稳定 a)a)定号函数定号函数 Liapunov 在他著名的“运动稳定性的一般问题”中创立了解决稳定性问题的两种方法，我们介绍的第二方法是基于能量函数的概念，提出了利用定号函数来直接判定解的稳定性的方法。00Vx 12,nV xV x xxxH 00VxH Vx0 x 00V x V x称为V V函数或函数或 Liapunov函数函数。设是定义在上的单值连续函数，并且具有连续偏导数，。如果在域内恒有，则称函数为常正常正（常负常负）的，如果对于一切都有 则称 为正定正定（负定负定）的。习惯上我们把这些函数,V x yV0h,V
18、x yh,V x yc2R221212,V x xxx22212121212,2V x xxx xxxx V x V x是负定（常负）的；在二维空间上是正定的,是常正的。结论结论1 1 如果函数是正定（常正）的，则域内单调扩大。结论结论2 2 如果是一个有二阶连续偏导数的二维正定函数，则对于适当的，是一条包围原点的闭曲线。正定函数的几何意义:是包围原点的闭曲线,且在原点的邻222211112222222222,(),()V x yxyo xyxyV x yo xyab结论结论 2 2的说明：的说明：且可以化为且可以化为22222222,(0,0)(0,0)(0,0)11(0,0)(0,0)(0
19、,0)22()()xyxxxyyyV x yVVxVyVxVxyVyo xyaxbxycyo xy 1121212212,nnnnnfx xxxfx xxxxf xfx xxx 00f f x xx tV dxf xdt(10)(10)b)b)稳定性基本定理稳定性基本定理如何应用函数来确定非线性微分方程组解的稳定性问题？考虑非线性自治系统其中解的存在惟一性条件。(10)的解为假定且在原点的某个邻域内满足12()()(),(),.,()nV tV x tV x t x tx t12121nniniidVV dxV dxV dxV dxdtx dtxdtxdtx dt 12101,(11)nini
20、idVVf x txtx tdtx12(),(),.,()nx tx tx t()V x V x函数反映了解曲线上的点处函数的大小，从而体现了解曲线上点的位置。反映了解曲线上点的变化情况。称为沿着方程组(10)的解曲线的全导数V12333222434dVV dxV dydtx dty dtx xyxyxy xyxyxyx yxx yy221,2V x yxy333(12)dxxyxyxdtdyxyxydt的全导数为例例 求函数沿着平面自治系统的全导数。解：解：利用公式(11)得此函数沿着系统(12)LiapunovLiapunov 稳定性定理稳定性定理 V xVd Vd t得到证明思路定理定理
21、 对于系统(10)，如果可以找到一个正定的函数，且此函数沿着系统(10)的全导数为常负函数或恒等于零，则方程组(10)的零解是稳定的。从几何意义证明：证明：任取正数H V xxH，由于续函数，在有界闭集 minxHlV xl0l 上必有最小值，与有关且。又由于，且连续，必存在 00V0 V x使得当时，xVxl是正定的连。而一个充分小的有。0 x 0 x 0t0 x 00,x tx t t x 0tt xt10tt1xt 1V x tl 1010()ttdV x tV x tV x tdtdt但是，由于现取初值，使，并记系统(10)在时刻从出发的解为对于一切的都有。若不然，则必存在一个时刻使得
22、因而。，0dVdt100ttdVdtdt 10V x tV x tl0tt x t而（或恒等于零），所以。因而此矛盾说明对于一切，都有，即系统(10)的零解是稳定的。VxdVdt为负定函数，则(10)的零解是渐近稳定的。对于系统(10)，如果可以找到一个正定 函数，1）且沿着方程组(10)的全导数 Vd Vd t2)函数沿着系统(10)的全导数为常负函数，则方程组(10)的零解是稳定的。Liapunov 稳定性定理稳定性定理LiapunovLiapunov 不稳定性定理不稳定性定理定理定理 对于系统(10)如果能找到一个连续可微函数，它在点的任何邻域内至少有一点，V x 00V0 x ,00
23、x V x那么，如果存在的某个邻域，使得在0 x DD中是正定 10dVdt（负定）的，则系统(10)的零解是不稳定的。稳定性定理的应用举例稳定性定理的应用举例一般是根据经验选取适当的函数，利用待定系数法来得到需要的Liapunov函数。例例 利用 Liapunov 稳定性准则判定下面系统零解的稳定性：解解 选取,计算得22(,)V x yaxbxycy22(5 1)22(,)(2)()(2)2()dV x yaxbyxyx xydtbxcy xyy xy 2222()(5 1)2()dxxyx xydtdyxyy xydt 222222222222(5 1)22(5 1)(2)(232)(4
24、)2()()2,2,5,(,)(222)2()(225)(,)(,)2255 1ba xcba xybc yxyaxbxycybacdV x yxyxyxxyydtdV x yV x yxxyydt选取则显然，正定，负定，所以，由定理知（）的零解是渐近稳定的。(,)(1 ln)(1 ln)V x ya xxb yy (,)abV x y和 为待定正常数，为正定函数，见图形32)(52)(32)dxxxydtdyyxydt（其中例例 利用 Liapunov 稳定性准则判定下面系统正平衡解(1,1)的稳定性.解解 选取,22(5 2)22(5 2)2(1)(1)(53)(1)2(1)(,)2(1)
25、()(1)(1)2(1)11(,)2(1)2(1)(1)2(1)52dxxxydtdyyxydtdV x ya xab xyb ydtabdV x yxxyydt 将(5-2)改写为计算得取，得负定，所以，由定理5.6知（）的平衡解(0,0)是渐近稳定的。例例 利用 Liapunov 稳定性准则判定下面系统零解的稳定性；(3)33223242dxxydtdyxyx yydtV221,2V x yxy 242242232422dVxx yyxydt 3dVdt,V x y解解构造函数则显然在原点邻域是正定的，而在原点任何邻域有大于零的点。所以，由定理知，该系统的零解是不稳定的。5.5.3 5.5
26、.3 稳定性定理的几何意义稳定性定理的几何意义考虑平面几何自治系统 (5.5.6)并设可以找到一正定的 ，且 常负。由前边正定函数的几何解释知，如果系统的任一积分曲线,dxf x ydtdyg x ydt,V x y5.5.6dVdt(5.5.7)的初始点位于闭曲线之内（或其上），那么由常负知，000000,x tx t t xyy ty t t xy00,xy0,V x yc5.5.6dVdt当时，其解曲线与闭曲线族相交时永远不会由某一闭曲线的内部走到它的外部，否则即与沿(5.5.6)的轨线是的0tt,V x yc,V x yt单调减函数相矛盾。对于任意的，必可选使得闭曲线位于内000c 0
27、,V x yc222xy也可以选使得域位于内，从而只要满足，就有，因而对于一切的有，即，这就说明零解是稳定的。222xy0,V x yc00,xy22200 xy000,V xyc0tt 0,V x ty tc 222xtyt至于负定时，不仅不能从之内部走向外部也不能始终沿着某一条运动，而只能一层一层的由外向里运动，因而其零解是渐近稳定的（见图 5.23）。5.5.6dVdt ,x ty t,V x yc,V x yc5.5.4 5.5.4 二次型形式的二次型形式的 函数函数 定理 5.5 5.7 给出了自治方程组零解稳定、渐近稳定及不稳定的充分条件。但这些条件不是必要的，而且也没有具体的构造
28、 Liapunov 函数的一般方法，对于一些具体的系统关于 Liapunov 函数的构造有许多更深入的工作，比如由代数知识知对于平面系统常用二次型作为正定或负定 函数，那么下边的结果是显然的。VV22,V x yaxbxycy0a 240acb0a 240acbV定理定理5.85.8 函数是正定的。当且仅当同时成立。和同时成立；是负定的。当且仅当和 (5.5.8)的零解是渐近稳定的。证明证明 取如定理 5.8 中的22dxxxydtdyyyxdt 例例 5.5.35.5.3 构造二次型函数证明系统V22,V x yaxbxycy函数则225.5.82223322222222dVaxbyxxyb
29、xcyyyxdta xx ybxyxyyxc yx y 0,0,0bac240acb,V x y5.5.8dVdt显然若取，则，因而正定，且负定，故系统(5.5.8)的零解是渐近稳定的。,dxf t xdtVLiapunov 函数有着更广泛的应用，在结束本节之前，我们指出非自治系统也可以用 Liapunov 直接方法判断其零解的稳定性，只是函数的定义及稳定性定理要作相应的修改，这些将在后继课程“常微分方程的稳定性理论”中学到。abcd121122()()or()()dx bycxaydx bycxay1200 lCPlC PxoyClC lo xoy(0,0)o(0,0)xoyClo C l
30、Cll CCoCoxoyCooo Co1C2C1C2C,AA BBABA B(0,0)0A B12,0A 0B lim()lim()0tttt120,012 12()()tttAetBe12()()tkt21()0,tBeA t oooyx12()0a12()0b()c121()()tkt12()0,tAeB t 120,0tt0A B12,0A 0B 12 12()()tttAetBe120210()0,(),ttt(),()0,tttoooxy12()0a21()0b()c12()0,()tAkttAtB 0A0lim()lim()0tttt0A ()()()tttAtB etAe0b 0
31、cabcdBtA()0t0t t oxy()0a()0b()coo0bcabcd0lim()lim()0tttt0A 0AByxA()()tttAetBe()0a()0boxyoxy01,2(0,0)i (7)2,rrr()()trrr tAettB cos,sinrr 0(0)lim()0()tr torooxy()0a()0,0b()c1,2i 0()0 ()rr tAttB oOoOxy()0,0a()babcd(),padqadbc(0,0)2 0 pq21,242ppq(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)1 0,q2 0,q222240,0,40,40,0,40,pqppqpqppq3 0,0,qp4 0,q220,40,0,40,ppqppqpq24pq22320dxdxxdtdt23xyyxy dxydt例题 2121,2.2 2 xyxy 2 23xyyxy 2 xyxy 20 xy0 xy00.32,yxdtdyydtdx1.32,1yxdtdyyxdtdx2.3.5,1yxdtdyyxdtdx
