1、第二章第二章线性系统的运动分析线性系统的运动分析12：线性定常系统在没有控制作用，即：线性定常系统在没有控制作用，即u u0 0时，时，由初始状态引起的运动称自由运动。由初始状态引起的运动称自由运动。),(BA 0 u)0(|)(,0 xtxAxxt x线性定常系统在控制线性定常系统在控制u u作用下的运动，称作用下的运动，称为强迫运动。为强迫运动。)(|)(,00txtxBuAxxtt ),(BA ux2-1 2-1 状态方程的齐次解（自由解）状态方程的齐次解（自由解）32 2、齐次状态方程：、齐次状态方程：Axx 满足初始状态满足初始状态 的解是：的解是：)0(|)(0 xtxt 0,)0
2、()(txetxAt满足初始状态满足初始状态 的解是：的解是：00)(,)()(0tttxetxttA )(|)(00txtxtt （2-12-1）（2-22-2）（2-32-3）4)()0()(sAXxssX 两边取拉氏变换得：两边取拉氏变换得：)0()()(1xAsIsX 整理得：整理得：齐次状态方程：齐次状态方程：Axx 初始状态为：初始状态为：)0(|)(0 xtxt )(11 AsILeAt故可得：故可得：11112!2)()(3222 AsILeAsIeLtAtIeAtsAsAsAtAAt仿标量系统得：仿标量系统得：)0()()(11xAsILtx 拉氏反变换得：拉氏反变换得：（2
3、=52=5）（2=42=4）5一、一、线性定常系统的齐次状态方程：线性定常系统的齐次状态方程：Axx 满足初始状态满足初始状态 的解是：的解是：)0(|)(0 xtxt )0()(xetxAt 满足初始状态满足初始状态 的解是：的解是：)()(0)(0txetxttA )(|)(00txtxtt ：线性定常系统的状态转移矩阵线性定常系统的状态转移矩阵 )()(0)(0ttetettAAt 令：令：则有：则有：)()()()0()()(00txtttxxttx 6：状态转移矩阵必须满足以下两个条件：状态转移矩阵必须满足以下两个条件：)()(00ttAtt 1 1）状态转移矩阵初始条件：）状态转移
4、矩阵初始条件：Itt )(00 2 2）状态转移矩阵满足状态方程本身：）状态转移矩阵满足状态方程本身：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指数函数本身。数函数本身。：状态转移矩阵的物理意义：状态转移矩阵的物理意义：从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵)0(x)(1tx)0(1 t)(2tx)(12tt t1x2x01t2t71 1、不发生时间推移下的不变性：
5、、不发生时间推移下的不变性：IeeAttA 0)(状态转移矩阵定义中，令状态转移矩阵定义中，令t t0 0即可得证即可得证2传递性（组合性）202110tttttt2200ttttxx 1100ttttxx 221121100tttttttttxxx证：由于 又 故上式成立，意为 至 的状态转移过程可分解为 至 及 至 的分段转移过程。0t1t2t0t1t2t83 3、可逆性、可逆性 总是非奇异的，必有逆存在，且：总是非奇异的，必有逆存在，且：AtAtee 1)(AteIeeeteeeAAttAtAAtA 0)(，有，有，令，令 tAtAee 1)(4 4、分解性：设、分解性：设A A为为n
6、nn n阶矩阵，阶矩阵，t1t1为为t2t2两个两个独立自变量，则有：独立自变量，则有：2121)(AtAtttAeee 9 故上式成立。5倍时性ktk t ktkktk tteeekt AAAA由于6 6、微分性和交换性：对、微分性和交换性：对 有：有：AteAeAeedtdAtAtAt )(10三、几个特殊的矩阵指数函数三、几个特殊的矩阵指数函数（1）设 ，即A为对角阵且具有互异元素时，有1ndiagA 1200nttteete11（2）若）若A能通过非奇异变换为对角阵时，即能通过非奇异变换为对角阵时，即ATT-1 1200nttteeteT(t)-1T (2-9)12 21221!2!0
7、nttttnttttttteteeenteteetntee则有 (2-10)（3）设A为 约当阵，即()n n1010A13 直接求解法：根据定义直接求解法：根据定义 标准型法求解：对角线标准型和约当标准型标准型法求解：对角线标准型和约当标准型 待定系数法：待定系数法：凯利哈密顿定理凯利哈密顿定理 拉氏反变换法拉氏反变换法14求出的解不是解析形式，适合于计算机求解。求出的解不是解析形式，适合于计算机求解。kkAkkkAAAttttAtIekk!0!2!22 对所有有限的对所有有限的t t值来说，这个无穷级数都是值来说，这个无穷级数都是收敛的收敛的 。15：根据状态转移矩阵性质：根据状态转移矩阵
8、性质：对对A A进行非奇异线性变换，得到：进行非奇异线性变换，得到：TT1AA联立上两式，得到：联立上两式，得到：1TTtAAtee有二种标准形式：有二种标准形式：对角线矩阵、约当矩阵对角线矩阵、约当矩阵A1TTTT1tAAtee1611T00TTT1tttAAtneeee其中：其中：T T为使为使A A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。（1 1）当）当A A的特征值的特征值 为两两相异时：为两两相异时：n ,21 1 1）先求得先求得A A阵的特征值阵的特征值 。2 2）求对应于求对应于 的特征向量的特征向量 ，并得到，并得到T T阵及阵及T T的逆阵。的逆
9、阵。3 3）代入上式即可得到状态转移矩阵的值。代入上式即可得到状态转移矩阵的值。i i ipTp0p)(0)det(iiiiAIAIA即：17（2 2）当）当A A具有具有n n重特征根重特征根 ：i 其中：其中：T T为使为使A A化为约当标准型的非奇异变换矩阵。化为约当标准型的非奇异变换矩阵。111T000)!1(1TTTtttntttAAtiiiiieteetnteeee的的矩矩阵阵指指数数函函数数约约当当矩矩阵阵A：此时的步骤和对角线标准型情况相同：求特征值、特征向量和变此时的步骤和对角线标准型情况相同：求特征值、特征向量和变换阵换阵T T。需要说明的是：对于所有重特征值需要说明的是：
10、对于所有重特征值 ，构造约当块，并和非重，构造约当块，并和非重特征值一起构成约当矩阵。根据状态转移矩阵的性质，求得特征值一起构成约当矩阵。根据状态转移矩阵的性质，求得 。i tAe18：将：将 化为化为A A的有限项多项式来求解的有限项多项式来求解：Ate0|)(0111 aaaAIfnnn 0)(0111 IaAaAaAAfnnn设设n nn n维矩阵维矩阵A A的特征方程为：的特征方程为：则矩阵则矩阵A A满足其自身的特征方程，即：满足其自身的特征方程，即：1910nnjjmjAA：A A所有高于所有高于(n-1)(n-1)次的幂都可以由次的幂都可以由A A的的0 0(n-1)(n-1)次
11、幂线性表出。次幂线性表出。并令并令 即可得到如下的即可得到如下的：0!)(mmjmjmtt 即：即：将此式代入将此式代入 的定义中：的定义中：Ate 0100010!mmjmnjjmmjnjmjmmmAtmtAAmtAmte 其中：其中：为为t t的标量函数，可按的标量函数，可按A A的特征值确定。的特征值确定。111010)()()()(nnnjjjAtAtaAtaItaAtae)(,),(),(110tatatan 20Ate 根据根据C-HC-H定理，可将定理，可将 化为化为A A的有限项表达式，即的有限项表达式，即封闭形式：封闭形式：其中：其中：为为t t的标量函数，可按的标量函数，可
12、按A A的特的特征值确定。征值确定。111010)()()()(nnnjjjAtAtaAtaItaAtae)(,),(),(110tatatan Ate211 1）A A的特征值的特征值 两两相异时，两两相异时，n ,21 tttnnnnnnneeetatata 2111211222111211110111)()()(注意求逆注意求逆：利用了：利用了A A可化为对角阵的矩阵指数函数求法。可化为对角阵的矩阵指数函数求法。PAtaAtaItaPPePennAttA)()()(111011 iiiiAAPPAPPAPPPAAAPPAP 个个个个)()(11111：tniniietatata 1110
13、)()()(推导时可以看到：推导时可以看到：22 tttnntnnnnnnnnnneteetetntatatata1111!112)!2(11)!1(111121121!11131!2)2)(1(11210121000)1(1001000)()()()(注意求逆注意求逆2 2）A A的特征值为的特征值为 (n(n重根）重根）1)3()()()(1111110tnnetatata ：此时只有一个方程：此时只有一个方程：缺少缺少n-1n-1个独立方程，故需要对上式求导个独立方程，故需要对上式求导n-1n-1次，得到其余次，得到其余n-1n-1个方程个方程：不管特征值互异、还是具有重根，只需要记住式
14、：不管特征值互异、还是具有重根，只需要记住式(3)(3)。对于特征值互异，对于每个特征值，直接得到方程；对于特征值互异，对于每个特征值，直接得到方程；对于特征值对于特征值mm重根，则求重根，则求m-1m-1次导数，补充缺少的次导数，补充缺少的m-1m-1个方程。个方程。联立方程可以求出系数。联立方程可以求出系数。23)(11 AsILeAt关键是必须首先求出（关键是必须首先求出（sI-AsI-A）的逆，再进）的逆，再进行拉氏反变换。行拉氏反变换。24：求以下矩阵：求以下矩阵A A的状态转移矩阵的状态转移矩阵 3210AtAie 1 1）直接算法（略）直接算法（略）25 ttttttttssss
15、ssssssssssssssAteeeeeeeeLLe222222112212211121121)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(312222 2 2）用拉氏变换法求解：）用拉氏变换法求解：)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(3)23(213112321ssssssssssssssssAsI 11)(AsILeAt263 3）用标准型法求解：）用标准型法求解：得：得：，具有互异特征根，用对，具有互异特征根，用对角线标准型法。且角线标准型法。且A A为友矩阵形式。为友矩阵形式。2,121 先求特征值：先求特征值：0)2)(1(23321|2 AI27111211
16、12T211111T121ttttttttttttttAteeeeeeeeeeeeeee222222222221112211120021111T00T21tttAAteeee28 ttAteetataAtaItae21121101011)()()()(4 4）用待定系数法求解）用待定系数法求解.tttttttteeeeeeeetata2222110211122111)()(在第在第3 3种方法中已经求得特征根，所以得：种方法中已经求得特征根，所以得：求得矩阵指数函数如下：求得矩阵指数函数如下：29 ttttttttttttAteeeeeeeeeeeeAtaItae222222102222321
17、0)(1001)2()()(：由由 和和 得到：得到：从而求出系数从而求出系数tetata1110)()(tetata2210)()(tteetata21)()(111021 )(tai30 ttdButtxtttx0)()()()()(00 若线性定常系统的非奇次状态方程若线性定常系统的非奇次状态方程的解存在，则解形式如下：的解存在，则解形式如下：)(,0txBuAxx初初始始状状态态为为 tttAttAdBuetxetx00)()()()(0)(：与线性定常系统齐次状态方程的解不同，齐次状：与线性定常系统齐次状态方程的解不同，齐次状态方程的解仅由初始状态引起的响应组成。态方程的解仅由初始状
18、态引起的响应组成。311）先把状态方程）先把状态方程 写成写成BuAxx BuAxx 3）对上式在）对上式在 区间内进行积分，得区间内进行积分，得:tttttAttAttAAtAtttAttAdButtxttdBuetxetxdBuetxetxedBuexe0000000)()()()()()()()()()()()(00)(0)(0 tt,02）两边左乘）两边左乘 ，利用，利用 的性质的性质Ate BuexeAxxeAtAtdtdAt AteAeAeedtdAtAtAt )(32。输出方程为输出方程为且已知且已知时非齐次方程的解，时非齐次方程的解，试求当试求当设系统的状态方程为设系统的状态方
19、程为例例11121221xy 01xx CostSintu(t)u2x-xxxx 1 )0()0(01C 10B 2-1-10A 解:Cost21-Sint21tee23y(t)Cost)d(Sint)e-(tt)e(1)d)Bu(-(t(t)x(0)CCX(2)yt)e(1tetet)e(1(t)(t)(1)t-t-t0)-(t-t-t0t-t-t-t-C求求34时即当0 xx(0)Ku(t),t(BKexetxAtAt0)(时即当0 xx(0)Ku(t),t(1I)BK(eAxex(t)At10At时即当0 xx(0)Ktu(t),t(1tBKAI)(eAxex(t)1At20At35 计
20、算机所需要的输入和输出信号是数字式的，计算机所需要的输入和输出信号是数字式的，时间上是离散的；时间上是离散的；当采样周期极短时，离散系统可近似地用连当采样周期极短时，离散系统可近似地用连续系统特性来描述。续系统特性来描述。36)(*tr)(tu)(ty连连续续系系统统零零阶阶保保持持器器)(trT0t)(tu)(ty)(tr0t)(*tr0t0t表表示示采采样样值值为为取取样样函函数数。称称为为单单位位移移位位脉脉冲冲，作作其其中中：kTtkTtkTtkTrkTttrtrkk )()()()()()(00*零阶保持器：零阶保持器：将离散信号将离散信号r*(t)转为阶梯信号转为阶梯信号u(t)采
21、样器：采样器：将连续信号将连续信号r(t)调制成离散信号调制成离散信号r*(t)。37 1）离散方式是普通的周期性采样。）离散方式是普通的周期性采样。采样是等间隔进行的，采样周期为采样是等间隔进行的，采样周期为T；采样脉冲宽度远小于；采样脉冲宽度远小于采样周期，因而忽略不采样周期，因而忽略不 计；在采样间隔内函数值为零值。计；在采样间隔内函数值为零值。2）采样周期）采样周期T的选择满足香农采样定理。的选择满足香农采样定理。离散函数可以完满地复原为连续函数的条件为离散函数可以完满地复原为连续函数的条件为 或或 ，其中，其中 为采样频率，为采样频率，为连续函为连续函数频谱的上限频率。数频谱的上限频
22、率。3）保持器为零阶保持器。）保持器为零阶保持器。cs 2 cT /Ts/2 c38 DuCxyBuAxx：)()()()()()()()1(kTDukTCxkTykTuTHkTxTGTkx其中：其中：BdteBdttTHeTTGTAtTAT 00)()()()(线性定常系统：线性定常系统：)1()()()()()(000 ttdButtxtttx ：直接从定常系统非齐次状态方程的解中进行离散化：直接从定常系统非齐次状态方程的解中进行离散化设设 代入上式代入上式(1)中得到：中得到：TktkTt)1(,0 39)()()()()()()()()()1()()()1(00)1(kTBudttkT
23、xTkTBudttkTxTkTBudTkkTxTTkxTTTkkT 0,)1(Tt-ddt,-T1ktkTuu(t)1)T(KkT,u(t)TktkT 则则同同时时令令上上，故故在在时时间间区区间间为为零零阶阶保保持持器器的的输输出出，时时，当当将这些结果代入（将这些结果代入（2）式，得到：）式，得到：)2()()1()()()1()1(TkkTdBuTkkTxTTkx 40：请建立下列连续时间系统当采样周期为请建立下列连续时间系统当采样周期为T时的离散化模型。时的离散化模型。uxx 102010：先求连续系统的状态转移矩阵：先求连续系统的状态转移矩阵：ttAteessLAsILet22111
24、10)1(211201)()(所以：所以：TTeeTTG220)1(211)()(2121414121100)1(211)()(220220TTTttTeeTdteeBdttTH 41 )()()()()()()()1(kTDukTCxkTykTuTHkTxTGTkx其中：其中：G(T)、H(T)、C、D为常矩阵：为常矩阵：BTTHATITG )()(：采样周期非常小时，这种近似的精度可以接受。：采样周期非常小时，这种近似的精度可以接受。xTkTxTkx代替代替)1(：仿导数定义，即用：仿导数定义，即用)()()()1()()()1(kTBTukTxATITkxkTBukTAxTkTxTkx
25、422.5 2.5 线性离散系统的运动分析线性离散系统的运动分析1、递推法、递推法(迭代法迭代法)：适合于线性定：适合于线性定常和时变系统；常和时变系统；2、Z变换法：仅适合于线性定常系变换法：仅适合于线性定常系统。统。43给定给定 时的初始状态时的初始状态x(0)，及任意时刻，及任意时刻 u(k)状态方程：状态方程：，G、H是是定常矩阵。定常矩阵。)()()1(kTHukTGxTkx 0 k由迭代法得：由迭代法得：)2()1()0()0()2()2()3()1()0()0()1()1()2()0()0()1(232HuGHuHuGxGHuGxxHuGHuxGHuGxxHuGxx )402(H
26、u(i)Gx(0)Gx(k)1k0j1jkk441）解的表达式的状态轨迹线是状态空间中一条离散）解的表达式的状态轨迹线是状态空间中一条离散轨迹线。它与连续系统状态的解很相似。解的第轨迹线。它与连续系统状态的解很相似。解的第一部分只与系统的初始状态有关，它是由起始状一部分只与系统的初始状态有关，它是由起始状态引起的自由运动分量。第二部分是由输入的各态引起的自由运动分量。第二部分是由输入的各次采样信号引起的强迫分量，其值与控制作用次采样信号引起的强迫分量，其值与控制作用u的的大小、性质及系统的结构有关。大小、性质及系统的结构有关。几点说明：几点说明：2）在输入引起的响应中，第）在输入引起的响应中，
27、第k个时刻的状态只取决个时刻的状态只取决于所有此刻前的输入采样值，与第于所有此刻前的输入采样值，与第k个时刻的输入个时刻的输入采样值无关。采样值无关。45IkGkGkk )0()()1()(kG 1010)1()()0()()()1()0()()(kjkijkHujxkiHuikxkkx 利用状态转移矩阵，解可写成：利用状态转移矩阵，解可写成：46)()()1(kHukGxkx 离散系统的状态方程：离散系统的状态方程：对上式两边进行对上式两边进行Z变换：变换：对上式两边进行对上式两边进行Z反变换反变换)412()()()0()()(1111zHUGzIZxzGzIZkx )()0()()()(
28、)0()()()()0()()()()()0()(111zHUzxGzIzHUGzIzxGzIzXzHUzxzXGzIzHUzGXzxzzX 将将(2-41)式和迭代法的式和迭代法的(2-40)式比较式比较)402()()0()(iHuGxGkx1k0j1jkk迭代法：47zGzIZGk1)(变换等于的)4()3(221112210 zGGzGZGzGzzGGzIzGGZkkkkk左乘方程两边得：左乘方程两边得：zGzIzzGzzIGzIGZIGZGzIkk111111)()4(3 所以：所以：式得：式得：）（zGzIZGk11)(即：即：)()()()(1110111zHUGzIZiHUGz
29、GzIZGkiikk 48求该离散系统在单位阶跃输入下状态方程的解。求该离散系统在单位阶跃输入下状态方程的解。)()()1(kHukGxkx 11)0(x 11116.010HG式中：式中：给定初始状态为：给定初始状态为：已知定常离散时间系统的状态方程为已知定常离散时间系统的状态方程为 386.116.01184.084.2116.010)2()2()3(84.084.21184.10116.010)1()1()2(84.101111116.010)0()0()1(HuGxxHuGxxHuGxx：1）迭代法）迭代法由于输入为单位阶跃函数，所以：由于输入为单位阶跃函数，所以：1)(,2,1,0
30、kuk时时 386.184.084.1116.084.201)()()(21kxkxkx49由于输入为单位阶跃函数，所以有：由于输入为单位阶跃函数，所以有：x(k)的的Z变换为：变换为：)()0()()(1zHUzxGzIzX 1)(zzzU将将G、H、U(z)、x(0)代入代入x(k)的的Z变换式有变换式有:)1/()1/(116.01)(1zzzzzzzzzX50 11878.096.172.064.3118258.09222.0617)(zzzzzzzzzzzzzX整理得：整理得：1878.096.172.064.318258.09222.0617)()(1kkkkzXZkx上式上式Z反变换有：反变换有：51
