1、第三章 测量误差 阐述测量误差的基本概念、误差的表达形式、误差分类、误差来源；阐述随机误差、系统误差、粗大误差三类误差的来源、性质、数据处理的方法以及消除或减小的措施。n 误差定义及表达形式n 测量误差来源的分析 n 测量误差按误差性质的分类处理 重点与难点重点与难点第一节 常用计量术语n量量:现象、物体或物质的可以定性区别和定量现象、物体或物质的可以定性区别和定量确定的一种属性。确定的一种属性。n被测量被测量:（measured quantity，quantity to be measured）被测量的量。它可以是待测被测量的量。它可以是待测量的量，也可以是已测量的量。量的量，也可以是已测量
2、的量。n影响量影响量:（influence quantity）不是被测量，）不是被测量，但却影响被测量的量值或计量器具示值的量。但却影响被测量的量值或计量器具示值的量。n计量单位（计量单位（unit of measurement）约定选约定选取的特定量（通常其数值为取的特定量（通常其数值为1），用以定量表），用以定量表示同种量的值。示同种量的值。n量值量值:（value of quantity）由数值与计量由数值与计量单位的乘积所表示的量的大小单位的乘积所表示的量的大小 n量的数值量的数值:(numerical value of quantity）量值中的数字部分。量值中的数字部分。n量的真值
3、量的真值:（true true value of quantityvalue of quantity ）与给定的特定量的定义一致的值。n量的约定真值（量的约定真值（conventional true value conventional true value of quantity of quantity）对于给定目的具有适当不确定度的、赋予特定量的值，有时该值是约定采用的。n实际值（实际值（actual value）满足规定精确度满足规定精确度的用来代替真值的量值。实际值可理解为由的用来代替真值的量值。实际值可理解为由实验获得的，在一定程度上接近真值的量值。实验获得的，在一定程度上接近真值的
4、量值。在计量检定中，通常将上级计量标准所复现在计量检定中，通常将上级计量标准所复现的量值称为下级计量器具的实际值的量值称为下级计量器具的实际值。n测量（测量（measurement）为确定量值而进行为确定量值而进行的操作。的操作。测得值（measured value）从测量仪器直接得出或经过必要计算而得出的量值。测量结果（result of a measurement）由测量所得到的赋予被测量的值。注：（1）在给出测量结果时，应说明它是示值、未修正测量结果或已修正测量结果，还应表明它是否为几个值的平均。（2）在测量结果的完整表述中，应包括测量不确定度，必要时还应说明有关影响量的取值范围。计量器
5、具的基本误差（intrinsic error of a measuring Instrument）计量器具在标准条件下所具有的误差计量器具的附加误差（complementary error of a measuring Instrument）计量器具在非标准条件下所增加的误差计量器具的允（容）许误差（permissible errors of a measuring Instrument）技术标准、检定规程等对计量器具所规定的允许的极限误差测量结果的重复性（repeatability of measurements）在相同测量条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致性。注：（1）
6、这些条件称为重复性条件。包括：相同的测量程序；在相同的条件下使用相同的测量仪器，相同的观测者；相同的地点；在短时间内重复测量。（2）重复性可以用测量结果的分散性定量地表示。测量结果的复现性（r e p r o d u c i b i l i t y o f measurements）在改变了的测量条件下，同一被测量的测量结果之间的一致性。注：（1）在给出复现性时，应有效地说明改变条件的详细情况。（2）改变条件可包括：测量原理；测量方法；测量仪器；观测者；参考测量标准；地点；使用条件；时间。（3）复现性可用测量结果的分散性定量地表示（4）测量结果在这里通常理解为已修正结果。测量精密度精密度（pr
7、ecision of measurement）表征测量结果的分散性或重复性。即对某一稳定的被测量，由同一个测量者，用同一个即对某一稳定的被测量，由同一个测量者，用同一个设备，在相当短的时间内连续重复测量多次，其测量设备，在相当短的时间内连续重复测量多次，其测量结果的分散程度。例如，某测温传感器的精密度为结果的分散程度。例如，某测温传感器的精密度为0.5。精密度是随机误差大小的标志，精密度高，。精密度是随机误差大小的标志，精密度高，意味着随机误差小。注意：精密度高不一定精确度高意味着随机误差小。注意：精密度高不一定精确度高注：（1）测量精密度是一个定性的概念，反映在规定条件下对同一被测量进行多次
8、测量时，所得结果之间的符合程度。（2）测量精密度常简称为精度。这是一个含义容易混淆的概念，国际上建议不再在正式文件和报告中使用。精确度（准确度）精确度（准确度）（accuracy of measurement）是精密度与正确度两者的总和，精确度高表示精密度和正确度都比较高。在最简单的情况下，可取两者的代数和。机器中常以测量误差的相对值表示。测量正确度（correctness of measurement）测量结果与真值的接近程度，反映的是系统误差大小系统误差大小（a）正确度高而精密度低 （b）精密度高而正确度低（c）精确度高 在测量中我们希望得到精确度高的结果。门捷列夫门捷列夫 (1834-1
9、907)(1834-1907)科学始于测量,没有测量，便没有精密的科学。第二节 测量误差2.1 我常说的一句话是：当你能够测量你所关注的事物，而且能够用数量来描述他的时候，你就对其有所认识；当你不能测量他，也不能将其量化的时候，你对他的了解就是贫乏和不深入的。开尔文为了纪念他在科学上的功绩，国际为了纪念他在科学上的功绩，国际计量大会把热力学温标（即绝对温计量大会把热力学温标（即绝对温标）称为开尔文（开氏）温标，热标）称为开尔文（开氏）温标，热力学温度以开尔文为单位，是现在力学温度以开尔文为单位，是现在国际单位制中七个基本单位之一。国际单位制中七个基本单位之一。开尔文开尔文（1824-19071
10、824-1907）钱学森信息技术包括测量技术、计算机技术和通信技术，测量技术是信息技术的关键和基础。钱学森(1911-2009)(1911-2009)王大珩等仪器仪表是工业生产的“倍增器”，是高新技术和科研的“催化剂”，在军事上体现的是“战斗力”。王大珩(1915-2011)(1915-2011)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因从根本上，消除或减小误差正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果通过计算得到更接近真值的数据正确组织实验过程，合理设计、选用仪器或测量方法根据目标确定最佳系统一、测量误差的定义一、测量误差的定义n在物理实验中，把测量值与真值之差叫做测量在物理实验中，把测量值与真值
11、之差叫做测量误差，简称误差误差，简称误差。约定真值。在实际计量工。约定真值。在实际计量工作中，上一级标准的给出值对下一级标准来说，作中，上一级标准的给出值对下一级标准来说，往往可视为相对真值（亦称实际值）；对于多往往可视为相对真值（亦称实际值）；对于多次重复测量，有时亦可视测得值的算术平均值次重复测量，有时亦可视测得值的算术平均值为相对真为相对真值。值。2.2 误差误差（Error）：误差误差测得值测得值真值真值真值真值（True Value）：观测一个量时，该量本身所具有的真实大小。分类：理论值 约定真值三角形内角之和恒为180一个整圆周角为360国际千克基准1Kg约定真值约定真值(Conv
12、entional True Value）指定值、最佳估计值、约定值或参考值 是指对于给定用途具有适当不确定度的、赋予特定量的值。这个术语在计量学中常用。由国家建立的实物标准（或基准）所指定的千克副原器质量的约定真值为1kg，其复现的不确定度为0.008mg。当今保存在国际计量局的铂铱合金千克原器的最小不确定度为0.004mg误差是针对真值而言的，真值一般都是误差是针对真值而言的，真值一般都是指约定真值。指约定真值。亦称误差误差 绝对误差相对误差粗大误差系统误差随机误差表示形式性质特点绝对误差绝对误差（Absolute ErrorAbsolute Error）测得值 被测量的真值，常用约定真值代
13、替 绝对误差 特点：特点：1)绝对误差是一个具有确定的大小、符号及单位的量。2)单位给出了被测量的量纲，其单位与测得值相同。LLL0绝对误差绝对误差测得值测得值真值真值修正值修正值(Correction):为了消除固定的系统误差用代数法而加到测量结果上的值。修正值修正值真值真值测得值测得值 特点：特点：1)与误差大小近似相等，但方向相反。2)修正值本身还有误差。误差误差【例例1 1】用某电压表测量电压，电压表的示值为226V，查该表的检定证书，得知该电压表在220V附近的误差为5V，被测电压的修正值为5V，则修正后的测量结果为226+(5V)=221V。测得值真值绝对误差定义定义 被测量的真值
14、，常用约定真值代替，也可以近似用测量值 L 来代替 L0相对误差 特点：特点：1）相对误差有大小。2）无量纲，一般用百分数来表示。绝对误差相对误差相对误差（Relative ErrorRelative Error）：）：绝对误差与被测量真值之比绝对误差与被测量真值之比 相对误差相对误差0LLr绝对误差和相对误差的比较绝对误差和相对误差的比较用绝对误差不便于比较不同量值、不同单位、不同物理量等的准确度。对于相同的被测量，绝对误差可以评定其测量精度的高低，但对于不同的被测量以及不同的物理量，绝对误差就难以评定其测量精度的高低，而采用相对误差来评定较为确切。引用误差引用误差（Fiducial Err
15、or of a Measuring Instrument）定义定义 该标称范围（或量程）上限 引用误差 仪器某标称范围（或量程）内的最大绝对误差 mmmxrx引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引用了特定值，即标称范围上限（或量程）得到的，故该误差又称为引用相对误差、满度误差。我国电工仪表、压力表的准确度等级准确度等级（Accuracy Accuracy ClassClass）就是按照引用误差进行分级的。当一个仪表的等级s选定后，用此表测量某一被测量时，所产生的最大绝对误差为%mmxxs%mmxxxrsxx 最大相对误差为绝对误差的最大值与该仪表的标称范围（或量程）上限xm成正比选定仪表后
16、，被测量的值越接近于标称范围（或量程）上限，测量的相对误差越小，测量越准确（公式2）（公式1）电工仪表、压力表的准确度等级准确度等级【例例】检定一只2.5级、量程为100V的电压表，发现在50V处误差最大，其值为2V，而其他刻度处的误差均小于2V，问这只电压表是否合格？由公式2，该电压表的引用误差为 22%100mmmUrU由于所以该电压表合格。2%2.5%【解解】【例例】某1.0级电流表，满度值（标称范围上限）为100，求测量值分别为100，80和20时的绝对误差和相对误差。1231.0100 A,100 A,80 A,20 Amsxxxx，根据题意得 由公式1可知，最大绝对误差为%100
17、1.0%1 Ammxx s 他们的相对误差分别为 111100%100%1%100mxxrx 221100%100%1.25%80mxxrx 331100%100%5%20mxxrx 可见，在同一标称范围内，测量值越小，其相对误差越大。【解解】为了减小测量误差，提高测量准确度，就必须了解误差来源。而误差来源是多方面的，在测量过程中，几乎所有因素都将引入测量误差。主要来源 测量装测量装置误差置误差 测量环测量环境误差境误差 测量方测量方法误差法误差 测量人测量人员误差员误差 二、误差的来源 测量装置误差测量装置误差标准器件误差仪器误差附件误差以固定形式复现标准量值的器具，如标准电阻、标准量块、标
18、准砝码等等，他们本身体现的量值，不可避免地存在误差。一般要求标准器件的误差占总误差的1/31/10。测量装置在制造过程中由于设计、制造、装配、检定等的不完善，以及在使用过程中，由于元器件的老化、机械部件磨损和疲劳等因素而使设备所产生的误差。测量仪器所带附件和附属工具所带来的误差。设计测量装置时，由于采用近似原理所带来的工作原理误差 组成设备的主要零部件的制造误差与设备的装配误差 设备出厂时校准与定度所带来的误差 读数分辨力有限而造成的读数误差 数字式仪器所特有的量化误差 元器件老化、磨损、疲劳所造成的误差 仪器误差仪器误差天平不等臂所造成的天平不等臂所造成的 系统误差系统误差BAO B A a
19、 ba 转轴与几何中心重合，转轴与几何中心重合，由于由于所以可用弧长反映角所以可用弧长反映角度的大小。度的大小。aabb 由于偏心，使之用由于偏心，使之用弧长反映角度弧长反映角度 时产时产生的系统误差。如：生的系统误差。如：这是由偏心这是由偏心造成的。造成的。AABB 测量环境误差测量环境误差指各种环境因素与要求条件不一致而造成的误差。对于电子测量，环境误差主要来源于环境温度、电源电压和电磁干扰等 激光光波比长测量中，空气的温度、湿度、尘埃、大气压力等会影响到空气折射率，因而影响激光波长，产生测量误差。高精度的准直测量中，气流、振动也有一定的影响 测量方法误差测量方法误差 指使用的测量方法不完
20、善，或采用近似的计算公式等原因所引起的误差，又称为理论误差/2 2FK UU21.11U如用均值电压表测量交流电压时，其读数是按照正弦波的有效值进行刻度，由于计算公式中出现无理数和，故取近似公式，由此产生的误差即为理论误差。测量人员误差测量人员误差测量人员的工作责任心、技术熟练程度、生理感官与心理因素、测量习惯等的不同而引起的误差。为了减小测量人员误差，就要求测量人员要认真了解测量仪器的特性和测量原理，熟练掌握测量规程，精心进行测量操作，并正确处理测量结果。按测量性质分：系统误差按测量性质分：系统误差 随机误差随机误差 粗大误差粗大误差 1.基本概念：基本概念：在对同一被测量的多次测量过程中，
21、保持恒定或在对同一被测量的多次测量过程中，保持恒定或以可预知方式变化的测量误差称为系统误差。以可预知方式变化的测量误差称为系统误差。系统误差决定测量结果的系统误差决定测量结果的“正确正确”程度。程度。（一）系统误差（一）系统误差（Systematic ErrorSystematic Error）三、测量误差的分类三、测量误差的分类在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。定义定义特征特征 在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。用天平计量物体质量时，砝码的质量偏差用千分表读数时，表盘安装偏
22、心引起的示值误差刻线尺的温度变化引起的示值误差系统误差举例 在实际估计测量器具示值的系统误差时，常常用适当次数的重复测量的算术平均值减去约定真值来表示，又称其为测量器具的偏移偏移或偏畸偏畸（Bias）。由于系统误差具有一定的规律性，因此可以根据其产生原因，采取一定的技术措施，设法消除或减小；也可以在相同条件下对已知约定真值的标准器具进行多次重复测量的办法，或者通过多次变化条件下的重复测量的办法，设法找出其系统误差的规律后，对测量结果进行修正。系统误差产生的原因系统误差产生的原因 系统误差是有固定不变的或按确定规律变化的因素造成，这些因素是可以掌握的。测量装置方面的因素 环境方面的因素 测量方法
23、的因素 测量人员的因素计量校准后发现的偏差、仪器设计原理缺陷、仪器制造和安装的不正确等。测量时的实际温度对标准温度的偏差、测量过程中的温度、湿度按一定规律变化的误差等。采用近似的测量方法或计算公司引起的误差等。测量人员固有的测量习性引起的误差等。n系统误差与测量次数无关，不能用增加系统误差与测量次数无关，不能用增加测量次数的方法使其消除或减小。测量次数的方法使其消除或减小。按对误差掌握程度，系统误差可分为按对误差掌握程度，系统误差可分为 误差绝对值和符号已经明确的系统误差。已定系统误差：已定系统误差：举例：举例：直尺的刻度值误差 误差绝对值和符号未能确定的系统误差，但通常估计出误差范围。未定系
24、统误差：未定系统误差：按误差出现规律，系统误差可分为按误差出现规律，系统误差可分为 误差绝对值和符号固定不变固定不变的系统误差。不变系统误差：不变系统误差：误差绝对值和符号变化的系统误差。按其变化规律，可分为线性系统误差、周期性系统误差和复杂规律系统误差。变化系统误差：变化系统误差：举例：举例：砝码质量、热膨胀误差 度盘偏心、电度表误差2.2.系统误差的消除系统误差的消除(1)测量前设法消除可能消除的误差源测量前设法消除可能消除的误差源消误差源法消误差源法是最理想的方法。它要求测量人员，对测量过程中可能产生系统误差的各个环节作仔细分析，并在正式测试前就将误差从产生根源上加以消除或减弱到可忽略的
25、程度。由于具体条件不同，在分析查找误差源时，并无一成不变的方法，但以下几方面是应予考虑的：所用基准件、标准件（如量块、刻尺、光波容器等）是否准确可靠；所用量具仪器是否处于正常工作状态，是否经过检定，并有有效周期的检定证书；仪器的调整、测件的安装定位和支承装卡是否正确合理；所采用的测量方法和计算方法是否正确，有无理论误差；测量的环境条件是否符合规定要求，如温度、振动、尘污、气流等；注意避免测量人员带入主观误差如视差、视力疲劳、注意力不集中等。（2）测量过程中采用适当的实验方法）测量过程中采用适当的实验方法n替代法替代法:用与被测对象处于相同条件下的已知用与被测对象处于相同条件下的已知量（标准量）
26、来替代被测量，即先将被测量接量（标准量）来替代被测量，即先将被测量接入测试回路，使系统处于某个工作状态，然后入测试回路，使系统处于某个工作状态，然后以已知量（标准量）替代之，并使系统的工作以已知量（标准量）替代之，并使系统的工作状态保持不变。状态保持不变。例如，利用电桥测量电阻、电例如，利用电桥测量电阻、电感和电容等。感和电容等。被测量已知量（标准量）差值 例：在红显上测螺纹的螺距、半角等参数，就是采用抵消法来消除恒定系统误差的典型例子。如测螺距，左右各测一次，得 与 （正确值为P）为：，为仪器两顶尖不同心使被测螺纹件偏斜而产生的恒定系统误差。将 平均后，即可抵消：左P右P，右左PPPP右左、
27、PPPPPPP2)(2右左n补偿法：通过两次不同的测量，使测得补偿法：通过两次不同的测量，使测得值的误差具有相反的符号，然后取平均值。值的误差具有相反的符号，然后取平均值。n对称法：当被测量为某量（如时间）的线性函数时，对称法：当被测量为某量（如时间）的线性函数时，距相等的时间间隔依次进行数次测量（至少三次），距相等的时间间隔依次进行数次测量（至少三次），则其中任何一对对称观测值的累积误差的平均值皆则其中任何一对对称观测值的累积误差的平均值皆等于与两次观测的间隔中点相对应的累积误差等于与两次观测的间隔中点相对应的累积误差。电位差计的原理电路（3）通过适当的附加手段对测量结果引入可能）通过适当的
28、附加手段对测量结果引入可能的修正量的修正量（4）通过若干人的重复测量来消除人员误差）通过若干人的重复测量来消除人员误差（二）随机误差（二）随机误差（Random ErrorRandom Error）特征特征 在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式以不可预定方式变化的误差。产生原因产生原因实验条件的偶然性微小变化，如温度波动、噪声干扰、电磁场微变、电源电压的随机起伏、地面振动等。1.基本概念基本概念随机误差的大小、方向均随机不定，不可预见，随机误差的大小、方向均随机不定，不可预见，不可修正。不可修正。虽然一次测量的随机误差没有规律，不可预定，也不能用实验的方法加以消除。
29、但是，经过大量的重复测量可以发现，它是遵循某种统计规律的。因此，可以用概率统计概率统计的方法处理含有随机误差的数据，对随机误差的总体大小及分布做出估计，并采取适当措施减小随机误差对测量结果的影响。随机误差的性质随机误差的性质 随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小因素构成，主要有以下几方面：测量装置方面的因素 环境方面的因素 人为方面的因素零部件变形及其不稳定性，信号处理电路的随机噪声等。温度、湿度、气压的变化，光照强度、电磁场变化等。瞄准、读数不稳定，人为操作不当等。2.概率论是研究随机误差的理论基础概率论是研究随机误差的理论基础n随机事件随机事件 在一定的条件组下进行同一个试验，可能
30、出在一定的条件组下进行同一个试验，可能出现、也可能不出现的事件，称为随机事件。现、也可能不出现的事件，称为随机事件。n随机事件的概率随机事件的概率 反映随机事件出现可能性大小的数量指标，反映随机事件出现可能性大小的数量指标，便称为概率。便称为概率。3.随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布（1）随机变量的定义）随机变量的定义 随机变量是随机试验的结果所决定的、反映试验随机变量是随机试验的结果所决定的、反映试验条件的各种未估计到的波动的变量。随机变量的条件的各种未估计到的波动的变量。随机变量的具体值在试验前不能确切预知，是一个随机而定具体值在试验前不能确切预知，是一个随机而定的值。的值。就基本
31、概念来说，随机事件是由试验结果所反映就基本概念来说，随机事件是由试验结果所反映的可能出现或不出现的事件，是一种的可能出现或不出现的事件，是一种“定性定性”（出现或不出现）的概念；而随机变量则是根据（出现或不出现）的概念；而随机变量则是根据试验结果而决定其值（具体值）的变量，是一种试验结果而决定其值（具体值）的变量，是一种“定量定量”的概念。的概念。类型：离散型和连续型 1）离散型随机变量离散型随机变量 离散型随机变量是事离散型随机变量是事先能够给出可能值的随机变量。先能够给出可能值的随机变量。2）连续型随机变量连续型随机变量 连续型随机变量是其连续型随机变量是其可能值连续充满某个区间、不能预定
32、的随可能值连续充满某个区间、不能预定的随机变量。机变量。（2）随机变量的概率分布n 为充分表征随机变量，只知道可能有哪为充分表征随机变量，只知道可能有哪些值是不够的，还应知道这些值出现的可些值是不够的，还应知道这些值出现的可能性的大小，即与可能值相应的概率能性的大小，即与可能值相应的概率 P。n 描述随机变量取各种可能值的概率的规描述随机变量取各种可能值的概率的规律，称为随机变量的概率分布律，或概率律，称为随机变量的概率分布律，或概率分布。分布。随机误差的分布可以是正态分布，也有在非正态分布，而多数随机误差都服从正态分布。我们首先来分析服从正态分布的随机误差的特性。设被测量值的真值为，一系列测
33、得值为，则测量列的随机误差可表示为：(1)oLilioiiLl ni,2,1式中 正态分布的分布密度与分布函数为 式中：标准差（或均方根误差）e自然对数的底，基值为2.7182。它的数学期望为 它的方差为：)2/(2221)(ef)(f)(FdeF)2(2221)(0)(dfEdf)(22（2）（3）（4）（5）其平均误差为：此外由 可解得或然误差为：54)(|df21)(df326745.0（6）（7）由式（2）可以推导出：有 ,可推知分布具有对称性，即绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，这称为误差的对称性；当=0时有 ，即 ，可推知单峰性，即绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多
34、，这称为误差的单峰性；虽然函数的存在区间是-,+，但实际上，随机误差只是出现在一个有限的区间内，即-k,+k,称为误差的有界性；随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零：这称为误差的补偿性。0)(f)()(ff)0()(maxff)0()(ff)(f0lim1nniin从正态分布的随机误差都具有的四个特征：对称性、单峰性、有界性、抵偿性。由于多数随机误差都服从正态分布，因此正态分布在误差理论中占有十分重要的地位。下图为正态分布曲线以及各精度参数在图中的坐标。值为曲线上拐点A的横坐标，值为曲线右半部面积重心B的横坐标，值的纵坐标线则平分曲线右半部面积。2)其它几个重要随机变量的概率分布形
35、式其它几个重要随机变量的概率分布形式n二项分布二项分布n泊松分布泊松分布n凯方分布凯方分布nt分布分布nF分布分布 对某量进行一系列等精度测量时，由于存在随机误差，因此其获得的测量值不完全相同，此时应以算术平均值作为最后的测量结果。设 为n次测量所得的值，则算术平均值为:niinlnnlllx1211nlll,213.随机误差的表示方式随机误差的表示方式（1）算术平均值）算术平均值 一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按式（1）求得随机误差，这时可用算术平均值代替被测量的真值进行计算。此时的随机误差称为残余误差，简称残差：(9)此时可用更简便算法来求算术平均值。任选一个接近所有测得值的数 作
36、为参考值，计算每个测得值 与 的差值：(10)式中的 为简单数值，很容易计算，因此按（10）求算术平均值比较简单。xlii0lnillloii,2,10lil0010111)(xlnllnnllnllnlxniinioiniionii0 x若测量次数有限，由参数估计知，算术平均值是该测量总体期望的一个最佳的估计量，即满足无偏性、有效性、一致性，并满足最小二乘法原理；在正态分布条件下满足最大似然原理。例例 测量某物理量10次，得到结果见表，求算术平均值。解：任选参考值=1879.65，计算差值 和 列于表,很容易求得算术平均值 1879.64。0lil0 xxil64.187901.065.18
37、79x序号123456789101879.641879.691879.601879.691879.571879.621879.641879.651879.641879.65-0.01+0.04-0.05+0.04-0.07-0.03-0.010-0.0100+0.05-0.04+0.05-0.07-0.020+0.010+0.01 01.01niiv01.0101010iilxiliv（2）标准差）标准差n（11）可导出，测量列平均值的标准差比单次测量的标准差小 倍，即nSxS（12）算术平均值的标准差 另外，由于标准差亦是一个随机变量，其本身也具有一定的标准差，即所谓的标准差的标准差：1n2
38、SsS（13）若测次数(N)足够大()，测得值的平均值为 ，则测量列的总体标准差 为nN NxNiNxx12N1（14）标准差是每个测得值的函数，对一系列测得值中的大小误差的反映都比较标准差是每个测得值的函数，对一系列测得值中的大小误差的反映都比较灵敏，是表示测量的随机误差的较好方式，已被普遍采用。灵敏，是表示测量的随机误差的较好方式，已被普遍采用。（3）误差的其他表示）误差的其他表示n平均误差平均误差niixxn11（15）该误差形式的缺点是不能体现各次测得值之间的离散情况，因为不管离散大小，都可能有相同的平均误差。或然误差（概差）在一组等精度的测量数列中，若某随机误差具有的特性是绝对值比它
39、大的误差个数与绝对值比它小的误差个数相同，则称此误差为或然误差。即：212200dfdfdf 6745.0674489.0真差的概率密度函数f（16）极限误差极限误差 极限误差亦称范围误差，是一系列测得值中的最大值与最小值之差，即误差限(范围)，通常表示为l。显然，该误差只反映了误差限，而没有反映测量次数的影响，难以体现误差的随机性及其概率。上述的随机误差的各种表示方式，有的已不多用，甚至基本不用，最常用的是标准差。（4）标准偏差的几种计算方法）标准偏差的几种计算方法n在等精度测量时标准偏差的计算 在实际测量中，由于随机误差的真值通常无法求得，故计算标准偏差以残差来代替。贝塞尔(Bessel)
40、公式 设xi为某量x0的等精度测量的测得值，测量次数为n，即i=1n次，算术平均值为则根据定义：x将以上各式平方后相加得20011222nvvininiii因为：所以：0 xnxvii2022nv所以贝塞尔公式，由残差求单次测量的标准偏差。（17）例1：彼特斯(CAFPeters)公式nn222（18）当n足够大时（19）数据同例1：用极差法计算 在一列等精度测量的测得值中，其最大值与最小值的差值称为极差R。即：minmaxxxRndR用极差来估计用贝赛尔公式和别捷尔斯公式计算标准差均需先求算术平均值，再求残余误差，然后进行其他运算，计算过程比较复杂。当要求简便迅速算出标准差时，可用极差法。（
41、20）nR因此，的更粗略估计为nd15n时，当nminmaxxxR（21）用最大误差法计算imaxi在某些情况下，我们可以知道被测量的真值或满足规定精度的用来代替真值使用的量值（称为实际值或约定值），因而能够算出随机误差 ，取其中绝对值最大的一个值 ，当各个独立测量值服从正态分布时，则可求得关系式：一般情况下，被测量的真值为未知，不能按（22）式求标准差，应按最大残余误差 进行计算，其关系式为：式（22）和（23）中两系数 、的倒数见下表。max|1inK（22）max|ivmax|1invK（23）nKnKn1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151.25 0.
42、88 0.75 0.68 0.64 0.61 0.58 0.56 0.55 0.53 0.52 0.51 0.50 0.50 0.49n16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300.48 0.48 0.47 0.47 0.46 0.46 0.45 0.45 0.45 0.44 0.44 0.44 0.44 0.43 0.43n2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 301.77 1.02 0.83 0.74 0.68 0.64 0.61 0.59 0.57 0.51 0.48 0.46 0.44nK1nK1nK1最大误差法简单、迅速
43、、方便，且容易掌握，因而有广泛用途。当 时，最大误差法具有一定精度。仍用例例1表的测量数据，按最大误差法求标准差，则有，而 故标准差为10nmmvi045.0max57.0110KmmmmKvi0256.0045.057.010max例2：解：因后测得的波长是用更精确的方法，故可认为其测得值为实际波长(或约定真值)，则原检定波长的随机误差为：四种计算方法的优缺点四种计算方法的优缺点 贝塞尔公式的计算精度较高，但计算麻烦，需要乘方和开方等，其计算速度难于满足快速自动化测量的需要；别捷尔斯公式最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科夫天文台，它的计算速度较快，但计算精度较低，计算误差为贝氏公式的1.07
44、倍；用极差法计算，非常迅速方便，可用来作为校对公式，当n10时可用来计算，此时计算精度高于贝氏公式；用最大误差法计算更为简捷，容易掌握，当n10以后，的减小很 慢。此外，由于增加测量次数难以 保证测量条件的恒定，从而引入新的 误差，因此一般情况下取n=10以内较为适宜。总之，提高测量精度，应采取适当精度的仪器，选取适当的测量次数。nxn/1xmmmmRx0065.00096.06745.06745.0mmmmTx0076.00096.07979.07979.0（三）粗大误差（三）粗大误差（Gross ErrorGross Error）指明显超出统计规律预期值的误差。又称为疏忽误差、过失误差或简
45、称粗差。定义定义产生原因产生原因某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致。测量方法不当或错误，测量操作疏忽和失误（如未按规程操作、读错读数或单位、记录或计算错误等）测量条件的突然变化（如电源电压突然增高或降低、雷电干扰、机械冲击和振动等）。由于该误差很大，明显歪曲了测量结果。故应按照一定的准则进行判别，将含有粗大误差的测量数据（称为坏值或异常值）予以剔除。判别粗大误差的准则判别粗大误差的准则 在测量过程中，确实是因读错记错数据，仪器的突然故障，或外界条件的突变等异常情况引起的异常值，一经发现，就应在记录中除去，但需注明原因。这种从技术上和物理上找出产生异常值的原因，是发现和剔除粗大误差的首要方法。有
46、时，在测量完成后也不能确知数据中是否含有粗大误差，这时可采用统计的方法进行判别。统计法的基本思想是：给定一个显著性水平，按一定分布确定一个临界值，凡超过这个界限的误差，就认为它不属于偶然误差的范围，而是粗大误差，该数据应予以剔除。在判别某个测得值是否含有粗大误差时，要特别慎重，应作充分的分析和研究，并根据判别准则予以确定。常用的判别准则有：准则准则 准则是最常用也是最简单的判别粗大误差的准则，它是以测量次数充分大为前提，但通常测量次数比较少，因此该准则只是一个近视的准则。实际测量中，常以贝塞尔公式算得 ，以 代替真值。对某个可疑数据 ，若其残差满足：则可认为该数据含有粗大误差，应予以剔除。33
47、xdx3|xxvdd（17）在n10的情形，用 准则剔除粗误差注定失败。为此，在测量次数较少时，最好不要选用 准则。下表是 准则的“弃真”概率，从表中看出 准则犯“弃真”错误的概率随n的增大而减小，最后稳定于0.3%。例例 对某量进行15次等精度测量，测得值如下表所列，设这些测得值已消除了系统误差，试判别该测量列中是否含有粗大误差的测得值。表3333表 准则“弃真”概率an 11 16 61 121 333a 0.019 0.011 0.005 0.004 0.0033v序号12345678910111213141520.4220.4320.4020.4320.4220.4320.3920.3
48、020.4020.4320.4220.4120.3920.3920.40+0.016+0.026-0.004+0.026+0.016+0.026-0.014-0.104-0.004+0.026+0.016+0.006-0.014-0.014-0.0040.0002560.0006760.0000160.0006760.0002560.0006760.0001960.0108160.0000160.0006760.0002560.0000360.0001960.0001960.000016+0.009+0.019-0.011+0.019+0.009+0.019-0.021-0.011+0.019
49、+0.009-0.001-0.021-0.021-0.0110.0000810.0003610.0001210.0003610.0000810.0003610.0004410.0001210.0003610.0000810.0000010.0004410.0004410.000121003374.01512 iiv404.20151nlxii01496.01512iiv0151iiv2vv2vl 由表可得 根据 准则，第八测得值的残余误差为：即它含有粗大误差,故将此测得值剔除。再根据剩下的14个测得值重新计算，得：剩下的14个测得值的残余误差均满足 ,故可以认为这些测得值不再含有粗大误差。40
50、4.20 x033.01401496.0112nvnii099.0033.0333099.0104.08v411.20 x016.013003374.0112 nvnii 3iv格拉布斯准则格拉布斯准则狄克松准则狄克松准则罗曼诺夫斯基准则罗曼诺夫斯基准则防止与消除粗大误差的方法防止与消除粗大误差的方法 对粗大误差，除了设法从测量结果中发现和鉴别而加以剔除外，更重要的是要加强测量结果者的工作责任心和以严格的科学态度对待测量工作；此外，还要保证测量条件的稳定，或者应避免在外界条件发生激烈变化时进行测量。如能达到以上要求，一般情况下是可以防止粗大误差产生的。在某些情况下，为了及时发现与防止测得值中含
