1、主讲：Z J 判断数学基本思想的原则（史宁中）1.数学产生和发展所必须依赖的那些思想。2.学习数学的人应当具有的基本思维特征。数学基本思想：Z J现实数量抽象成数用09和数位自然数集自然数加法自然数减法乘法除法数学内部大与小序多与少现实数量关系核心自然数逆运算简便运算四则运算数集扩张运算封闭性体三维三维面二维二维线、点一维一维观察现实物体发现共同特征操作感知特征发展抽象意识一、什么是数学基本思想按照人们的通常理解，主要有三种思维形式：形象思维、逻辑思维和辩证思维。数学主要依賴的是逻辑思维，具体体现就是逻辑推理。人们通过逻辑推理，理解数学研究对象之间的因果关系，并且用抽象的术语和符号描述这种关系
2、，形成数学的命题和运算结果，促进了数学内部的发展。由小到大，特殊到一般，不完全归纳法、类比法、简单枚举法、数据分析等。由大到小，一般到特殊，三段论、反证法、数学归纳法、算法逻辑等。义务教育数学课程标准（义务教育数学课程标准（2022版）版）代数推理：代数推理：1.a=b,b=c,则则a=c;2.a=b,则则a+c=b+c.几何推理：两点之间线段最短几何推理：两点之间线段最短.猜想推理意识运算能力几何直观34+40=7474+4=7830+40=704+4=870+8=78观察验证结论特殊一般任意性一、什么是数学基本思想数学模型与人们通常所说的数学应用是有所区别的：数学应用涉及的范围相当宽泛，可
3、以泛指应用数学的方法解决实际问题的所有事情；数学模型更侧重用数学创造出来的概念、原理和方法，描述现实世界中的那些规律性的东西。通俗地说，数学模型是用数学的语言讲述现实世界中与数量、图形有关的故事。数学模型使数学走出了自我封闭的世界，构建了数学与现实世界的桥梁。如：获得诺贝尔经济学奖的数学模型，人们更多的是关注模型是否能够很好的描述经济学中的某些规律，而非模型本身的数学价值。棵树=间隔数（+1或者-1）一、什么是数学基本思想 数学的三个显著特征：抽象出来的东西必然要脱离具体的表象，因此数学是一般的，特别是经过了第二次抽象，数学的表达实现了符号化，走向了一般化的极致；（数字、符（数字、符号、图形等
4、）号、图形等）数学的推理是有逻辑的通过归纳推理预测结论、通过演绎推理验证结论，因此数学是严谨的，特别是近代数学的证明过程实现了公理体系下的形式化，使得数学的严谨走向极致；（性质、定律、定理等）（性质、定律、定理等）模型思想的本质是站在现实的立场上，思考现实世界中规律性的问题、用数学的语言讲述现实世界的故事、用现实的效果评价模型的功效，这样的应用是与现实世界融合的，因此，数学的应用是广泛的。Z J有限与无限有限与无限变与不变变与不变03030505优化、随机优化、随机统计统计抽抽象象符号、分类符号、分类集合、对应集合、对应模模型型简化、量化简化、量化方程、函数方程、函数二、读出知识背后的数学基本
5、思想 罗素把数学的逻辑推到了极致，因此，不能也不应当用罗素的观点实施数学罗素把数学的逻辑推到了极致，因此，不能也不应当用罗素的观点实施数学教育。虽然在现代数学中，结论的最终表述仅仅涉及符号和逻辑术语，平淡教育。虽然在现代数学中，结论的最终表述仅仅涉及符号和逻辑术语，平淡乏味，但在事实上，乏味，但在事实上，比如，在数量与数量关系的研究中，最具创造力的数学工具微积分的产生与比如，在数量与数量关系的研究中，最具创造力的数学工具微积分的产生与发展；在图形与图形关系的研究中，最具想象力的数学表达黎曼几何的产生发展；在图形与图形关系的研究中，最具想象力的数学表达黎曼几何的产生与发展。与发展。因此，数学教育
6、的过程中，不能过分沉迷于符号和逻辑术语，过分拘泥于数学的严谨性。完全基因此，数学教育的过程中，不能过分沉迷于符号和逻辑术语，过分拘泥于数学的严谨性。完全基于符号化、形式化和公理化的数学教学，必然会掩盖数学命题的本质，淡化数学思维的活力，进于符号化、形式化和公理化的数学教学，必然会掩盖数学命题的本质，淡化数学思维的活力，进而忘却了人的原本直觉。而忘却了人的原本直觉。案例：准备课案例：准备课 现实对应现实对应1符号化符号化2尊重多样化尊重多样化31.从情境和直观图中抽象出数字符号从情境和直观图中抽象出数字符号09 9，关系符号，关系符号“=”“=”、“”“”、“”“”，运算符号运算符号“+”“+”
7、、“-”“-”等，并理解这些符号的含义。等，并理解这些符号的含义。2.结合生活经验、数小棒、计数器等直观操作手段，经历十进结合生活经验、数小棒、计数器等直观操作手段，经历十进制计数原理的抽象过程。制计数原理的抽象过程。教材要求在估算类似于买东西钱够不够时，有两个基本策略：一是感觉钱够用，那么就把各种物品价格往大一点估，估大了都够，那么肯定够；二是感觉钱不够用，那么就把各种物品的价钱往小点估，估小了都不够，那么肯定不够。三、三、课堂教学中落实数学基本思想的策略及案例分课堂教学中落实数学基本思想的策略及案例分析析 思考 什么样的数学教育才有利于真正理解、有利于独立思考、有利于获取真正的知识呢？这就
8、是突出数学基本思想的数学教育，其理由至少体现在数学内部和数学外部两个方面。（史宁中）三、课堂教学中落实数学基本思想的策略及案案例分析 数学教育不应当让教师和学生都沉迷于符号的世界：概念靠记忆、计算靠程式、证明靠形式。为了改变这种现状，虽然为了数学的严谨性，现代数学逐渐走向了符号化、形式化和公理化，但数学的教学过程却应当反其道而行之：三、课堂教学中落实数学基本思想的策略及案案例分析 在数学教育的过程中，体现数学基本思想是极为重要的。都应当源于数学的本质，这个本质就是数学基本思想。问题串追问启发思考思维习惯巧妙设疑启发思考三、课堂教学中落实数学基本思想的策略及案案例分析 基础教育阶段的数学教育必须
9、重视这样一个基本事实，就是学生中的大多数，将来所从事的工作很可能不需要研究数学，因此，这些学生从事工作后，会把辛辛苦苦记住的那些数学概念、证明方法以及解题技能逐渐忘掉。这个现实，给基础教育阶段的数学教育提出了一个非常本质的问题：是否应当在知识和技能的基础上，还能让学生感悟一些东西、积累一些经验，让学生终生受益呢？对于数学教育，“过程教育”所说的”过程”，不是数学知识产生的过程，也不是数学家所描述的数学思维过程，而是学生自已理解数学的思维过程。一个人会想问题，不是学习的结果，而是经验的积累，是学生在独立思考的过程中逐渐形成的思维习惯。十进制位值制计数单位关键课淡化形式结果加强直观突出关联理解算理
10、三、课堂教学中落实数学基本思想的策略及案案例分析 在基础教育阶段，一个好的数学教育，应当更多地倾向于培养学生数数学思维的习惯学思维的习惯：三、课堂教学中落实数学基本思想的策略及案案例分析的创设要基于现实，不绕弯子，避免浮夸，体现数学本质；的提出要具有思维的空间，突出数学的本质；教师要进行合理干预和适时的引导，同一起思考，抓住数学的本质。Z J 案例：三位数乘两位数前期推理经验关键问题：相同：经验（推理基础）算理生成新算法（可迁移）优化、创造数学思维培养本质一样推理意识形成核心素养发展不同：新经验（新发展）学习单一（温故）4322=322=3212=12=学习单二（知新）43212=12=引导学
11、生思考。已经学习了哪些笔算乘法？三位数乘两位数与引导学生思考。已经学习了哪些笔算乘法？三位数乘两位数与它们有什么相同和不同的地方？你能不能自己试着计算？你遇到什么困难它们有什么相同和不同的地方？你能不能自己试着计算？你遇到什么困难了吗？了吗？自主关联自主关联 在学习了三位数乘一位数、两位数乘两位数的基础上，三位数乘两位数的在学习了三位数乘一位数、两位数乘两位数的基础上，三位数乘两位数的教学可以放手引导学生与已学知识进行教学可以放手引导学生与已学知识进行类比、比较差异类比、比较差异，把新知识，把新知识转化转化为为旧知识。旧知识。自己直接会计算、说清楚算理，具备了自己直接会计算、说清楚算理，具备了
12、核心素养核心素养在教师的引导启发下，结合几何直观，理解了算理，会计算新的题目，培在教师的引导启发下，结合几何直观，理解了算理，会计算新的题目，培养了核心素养。养了核心素养。案例：三位数乘两位数 432 2 32 12 432 12思考：复习什么？思考：复习什么？思考：如何迁移？思考：如何迁移？三、课堂教学中落实数学基本思想的策略及案案例分析 要让真观察、真发现、真归纳在课堂中真正发生；要重视学生参与，让真合作、真探究、真交流真正发生；要注重过程，让独立思考经常发生，帮助学生积累思维的经验。【教学片段】【教学片段】师：（出示方格图上的松树）这幅松树图是轴对称图形吗？生：是师：你能画出它的对称轴吗
13、？（学生指出，课件演示）师：你怎么知道它是一个轴对称图形的？生：对折能重合师：可是我们没有对折，你怎么知道它的左右两边师：可是我们没有对折，你怎么知道它的左右两边能完全重合？能完全重合？三、课堂教学中落实数学基本思想的策略及案案例分析（二）案例分析 倒数的认识（六上）倒数的认识（六上）(概概念教学念教学)数学概念是“双基”教学的核心内容，是基础知识的起点，是逻辑推理的依据，是正确、合理、迅速运算的保证。为了让学生更好地理解倒数的意义、掌握倒数的本质，围绕概念教学要解决的3个基本问题进行教学实践，逐步探索出概念教学的一般策略。（1）为什么要学习数学概念？它的作用是什么？（2）该概念的本质特征是什
14、么？来龙去脉是什么？它与其他概念有什么联系？能否构建相应的知识结构图？（3）如何利用概念解决相关的问题，逐步形成解决问题的基本策略？三、课堂教学中落实数学基本思想的策略及案案例分析（二）案例分析 平行四边形的面积（五上）总评 联系生活，架设知识间的桥梁，为渗透转化思想做铺垫。紧扣教材，沟通知识间的联系，初步渗透转化思想。重视过程，打通知识间的脉络，突出转化思想的培养。关键关键课课关键支架关键问题关键活动关键能力推理基础：已有知识经验推理基础：已有知识经验数学思想：推理思想方法：转换化归思维习惯：化未知为已知能力发展：创新意识 辩证思维 积累经验 促进发展引导：能用学过的引导：能用学过的方法加以
15、解决吗？方法加以解决吗？习惯经验：习惯经验：动手操作、尝动手操作、尝试解决问题试解决问题三、课堂教学中落实数学基本思想的策略及案案例分析（二）案例分析 长方形、正方形的周长和面积的练习（三下）（教学实录）深入思考，把握数学知识本质，有效渗透数学思维，帮助学生积累探究经验。关注学生，体现以学为本理念，有效发展学习能力，帮助学生养成良好习惯。灵动课堂，学生快乐参与其中，有效激发学习兴趣，让学生从此喜欢上数学。三、课堂教学中落实数学基本思想的策略及案案例分析（二）案例分析 小数乘整数（五下）新人教版教材在编排时有以下几个特点：一是淡化小数乘法意义的教学，把重点放在计算算理的理解和方法的总结上。二是重
16、视结合“十进制”的计量单位，帮助学生直观上理解小数乘法的算理。可借助“十进位值制”计数原理沟通知识间的联系，达到本质理解。三是重视在理解的基础上进行计算法则的概括总结。计算法则是对计算步骤的提炼和概括。表述准确、规范、精炼的法则，有利于学生准确把握计算法则的内涵，掌握计算方法。因此，与整数乘除法教学相同，小数乘法，也是在学生理解了算理，并用自己的语言对算法进行个性化解读的基础上，逐步完成对运算程序与步骤的文本概括的。Z J三、课堂教学中落实数学基本思想的策略及案案例分析迁移类推迁移类推（二）案例分析 分数除法（人教六上）学生思考：三、课堂教学中落实数学基本思想的策略及案案例分析通过关联旧知进行转化（逻辑推理）分数除法关系四则运算关系商不变的性质几何直观：数形结合关联转化新知一般方法：乘倒数放手：通过问题引导学生自主学习、思考解决问题，形成用旧知推理的思维习惯。谢谢聆听谢谢聆听THANKS
