1、第一节 二维随机变量及其分布第二节 二维随机变量的边缘分布与独立性第三节 二维随机变量的条件分布第四节 二维随机变量函数的分布第三章多维随机变量及其分布CONTENTS 在第二章中，主要讨论了用一个随机变量所描述的随机现象，即一维随机变量及其分布问题。但是在实际问题中，有许多随机试验的结果，仅用一个随机变量来是无法表示出来的。例如，某人向平面靶射击，弹着点的确切位置就涉及两个随机变量：弹着点离靶心的水平和垂直方向上的有向距离 X 和 Y；飞机在空中飞行时的位置，是一个三维空间中的点，需要用三个随机变量 X，Y，Z 来确定等。对于这些随机试验的研究，就需要引入二维或者多维随机变量的概念。本章将主
2、要讨论二维随机变量及其分布，然后再推广到 n 随机变量的情况。第一节第一节 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布一、二维随机变量的概念定义定义1 设 是随机试验 E 的样本空间。若对于任意的 ，都有确定的两个实数 和 与之对应，则称有序二元总体（，）为一个二维随二维随机变量机变量（或称为二维随机向量），简记为 ；并称 X 和 Y 是二维随机变量 的两个分量。实际上，对于试验的每一个结果，二维随机变量 的取得可以看成是平面点集上的一个点 。随着试验结果不同，二维随机变量 在平面点集上随机取点。为了更全面地描述二维随机变量取值的规律，我们也定义了二维随机变量的分布函数。()x y，()X Y，
3、()X()Y ()X()Y()X Y，()X Y，()X Y，二、联合分布函数定义定义2 设 是一个二维随机变量，对任意的 x，y，称定义在整个实平面上的二元函数 （3-1）为二维随机变量 的联合分布函数联合分布函数，简称分布函数分布函数。其中，表示事件 与事件 的乘积。XxYy()Xx Yy，()()F x yP Xx Yy，()x y，()X Y，二维随机变量 的联合分布函数是一个定义在平面点集上的二元实函数，在概率上，表示为对任意的 ，两事件 与 同时发生的概率；在几何上，表示为二维随机点 落在平面点集中坐标点 左下方的无穷矩形区域内的概率，如图3-1所示，故亦可表示为 。Xxx y，Y
4、y()()xyF x yP x yG，()X Y，()X Y，()x y，这时，点 落入任一矩形区域 （见图3-2）的概率，即可由概率的加法性质求得：。（3-2）1212()|Gx yxXxyYy，121222122111()()()()()P xxxyyyF xyF xyF xyF xy，()X Y，图 3-1图 3-2由此可见，只要知道了 的联合分布函数，那么 取值与任一区域 G 内的概率即可求得。这也说明联合分布函数完全刻画出了二维随机变量的概率分布规律。与一维随机变量分布函数的性质类似，不难推得，联合分布函数 具有以下性质：()F x y，()X Y，()X Y，性质性质1 分别是变量
5、 x 和变量 y 的单调不减函数。性质性质2 非负有界，即 。0()1F x y，()F x y，()F x y，性质性质3 对于任意固定 x，；对于任意固定 y，；且 。性质性质4 分别是变量 x 和变量 y 右连续，即 。综上所述，二维随机变量的分布函数 具有上面性质 1 至性质 4；反之，具有上面性质 1 至性质 4 的二元函数 也必定是某个二维随机变量的分布函数。下面，分别对离散型和连续型两种二维随机变量进行讨论。()lim()0yF xF x y，()lim()0 xFyF x y，()F x y，()0()1FF ，()F x y，(0)()(0)()F xyF x yF x yF
6、 x y，三、二维离散型随机变量定义定义3 设二维随机变量 的所有可能取值为 ，且取各个可能值的概率为 ，（3-3）或者如表3-1所示。()(1 2 3)jixyij，()(1 2)ijiiP XxYypij，()X Y，()X Y，表 3-11y2yjy1x11p12p1jp2x21p22p2 jp ix1 ip2ipijp 则称 为二维离散型随机变量，式（3-3）为二维离散型随机变量 的联合分布列或联合分布律，简称分布列或者分布律。易见，联合分布列具有以下基本性质：（1）。（2）。由二维离散型随机变量 的联合分布列，可求得 的联合分布函数为 ，其中和式是对满足 且 的那些 求和。0(1 2
7、 3)ijpij，()ij，()iiijxx yyF x yp，ixxjyy1ijijp()X Y，()X Y，()X Y，()X Y，例例1 一个袋中装有 5 个球，其中 2 个红球，3 个白球。每次从中不放回地随机抽取 1 个，连续抽取两次。定义随机变量 X 和 Y 如下：求：（1）的联合分布列；（2）。解 （1）的所有可能取值为 。解 （1）的所有可能取值为 。1100XY，第一次抽到红球，第二次取到红球；，第一次抽到白球，第二次取到白球()P XY(0 0)(0 1)(1 0)(1 1)，()()(|)(0 1)P Xi YjP Xi P Yj Xiij，()X Y，()X Y，()X
8、 Y，(0 0)(0 1)(1 0)(1 1)，表 3-2 X Y0100.30.310.30.1 因此 ，。的联合分布列如表 3-2 所示。（2）因为 相当于 的取值为 ，所以 。2321100.3110.15454P XYP XY，3232000.3010.35454P XYP XY，()X Y，()XY()(00)(01)(11)0.30.30.10.7P XYP XYP XYP XY，(1 1)，()X Y，(0 1)，(0 0)，四、二维连续型随机变量与一维连续型随机变量相似，对于二维连续型随机变量 ，引入联合概率密度来描述其概率分布规律。定义定义4 设二维随机变量 的分布函数为 ，
9、如果存在非负函数使得对于任意的实数 ，都有 ，（3-4）则称 为连续型随机变量连续型随机变量，其中 称为 的联合概率密度函数，简称为联合概率密度联合概率密度或联合分布密度联合分布密度。()f x y，()F x y，()X Y，()()d dxyF x yf u vu v，x y，()X Y，()X Y，()f x y，()X Y，根据定义，联合概率密度 具有如下性质：性质性质1 。性质性质2 。性质性质3 对于任意 ，且 ，则 落在矩形区域 内的概率为 。（3-5）更一般地，设 G 为一平面区域，则 落在 G 内的概率为 。（3-6）()0f x y，()d d1f x yx y，22()x
10、y，11()xy，12xx1212(xxyy，；，12yy()X Y，22111212()()d dxyxyP xXxyYyf u vu v，()()d dGP X YGf x yx y，()f x y，()X Y，性质性质4 二维连续型随机变量的联合分布函数 在整个平面上是连续的，特别在 的连续点处有 。（3-7）在几何上，表示空间中的一张曲面，称为分布密度曲面。性质1表示分布密度曲面总位于 Oxy 平面上方；性质 2 表示介于分布密度曲面和 Oxy 平面之间的空间区域的全部体积等于 1；性质 3 表示 落在平面内任意区域 G 上的概率等于以 G 为底，以曲面 为顶的曲顶柱的体积。2()()
11、F x yf x yx y，()f x y，()F x y，()zf x y，()X Y，()zf x y，例例2 设二维随机变量 具有概率密度 试求：（1）常数 C；（2）的联合分布函数；（3）落在区域 内的概率。()X Y，()e00()0 x yCxyf x y，；，其他()X Y，()|022 Gx yxyx，()X Y，解解 （1）根据联合概率密度 的性质 2，有 ，即，得出 。00(e)|(e)|1xyC00()d de de d1xyf x yx yCxy，()f x y，1C（2）由（1）得 根据联合分布函数的定义 ，得：当 或者 时，都有 ；当 ，时，有 。所以 的联合分布函
12、数为 0 x0y()()d dxyF x yf u vu v，()e00()0 x yxyf x y，；，其他(1 e)(1 e)00()0 xyxyF x y，；，其他()0F x y，0 x 0y 0000()e de d(e)|(e)|(1 e)(1 e)xyuvuxvyxyF x yuv，()X Y，（3）由概率密度的性质 3 可知 。对于二维连续型随机变量，主要介绍两种重要的分布，分别是二维均匀分布和二维正态分布。12 2()0011222002()()d ddede(1 e)d(ee)d1e0.3996exx yGxxxxP x yGf x yx yxyxx，定义定义5 设 G 是
13、平面上的有界区域。若二维随机变量 的联合分布密度为 （3-8）其中，是区域 G 的面积，则称二维随机变量 在 G 上服从均匀分布。此时，只可能在区域 G 内取值，并且 取 G 内任何子区域的概率与该子区域的面积成正比，而与该子区域的具体位置无关。可见，二维均匀分布描述的就是第一章所讲的二维几何概率。()X Y，1()()0Gx yGSf x y，；，其他，1d dGGSx y()X Y，()X Y，()X Y，例例3 设二维随机变量 在区域 上服从均匀分布，求 的分布函数。解解 易得区域 G 的面积 ，所以 的联合概率密度为 由于 的概率密度只在区域 中取非零值，因此以下分成五个区域来讨论分布
14、函数的情况，如图 3-3 所示。()|03 02Gx yxy，3 26GS 1()()60 x yGf x y，；，其他()|03 02Gx yxy，()X Y，()X Y，()X Y，()X Y，（1）当 或 时，即 时，；（2）当 ，时，即 时，有 ；（3）当 ，时，即 时，有 ；（4）当 ，时，即 时，有 ；（5）当 ，时，即 时，有 。0 x0y()X YA，()0F x y，03x02y()X YG，001()()d dd d66xyxyxyF x yf u vu vu v ，03x02y y 2y()X YB，2001()()d dd d63xyxxF x yf u vu vu v
15、 ，3x()X YD，()X YC，3001()()d dd d62xyyyF x yf u vu vu v ，3x2y2()1F x y，综上所述得 00003026()0323322132xyxyxyxF x yxyyxyxy，或；，且；，且；，且0；，且图3-3定义定义6 若二维随机变量 的联合概率密度为 ，其中，是 5 个参数（这些参数的实际意义，将在第四章中讨论），则称 服从二维正态分布，并记为 。二维正态分布的概率密度函数 的几何图形是一张以 为极大值点的单峰钟形曲面，如图 3-4 所示。()X Y，22112222212121()()()()22(1)2121()e21xxxyf
16、 x y ，()zf x y，221212()()X YN，121200|1，()X Y，12()，图 3-4第二节第二节 二维随机变量的边缘分布与独立性二维随机变量的边缘分布与独立性 之所以要把同一随机试验所相应的两个随机变量 作为一个二元整体 加以研究，而不去分别研究单个随机变量 X 及 Y，是因为 的联合概率密度不仅仅依赖于各分量各自的概率分布规律，而且还依赖于各分量之间内在的联系问题在于联合概率密度能否确定单个变量的分布规律？反过来，单个变量的分布规律又能否确定联合概率密度？这就是本节要讲的边缘分布和独立性问题X Y，()X Y，()X Y，一、边缘分布定义定义1 设二维随机变量 具有
17、分布函数 ，则随机变量 X 的分布函数 （3-9）称为二维随机变量 关于 X 的边缘分布函数。类似地，（3-10）称为二维随机变量 关于 Y 的边缘分布函数边缘分布函数。()X Y，()F x y，()()()()XFxP XxP Xx YF x ，()()()()YFyP YyP XYyFy，()X Y，()X Y，图 3-5 图 3-6几何上，边缘分布函数 和 分别表示 落在如图 3-5 和图 3-6 中阴影部分的概率。()XFx()YFy()X Y，()(1 2)iijjP Xxpi，iijjpp()(1 2)iijiP Yyp i，jijipp下面分别讨论离散型随机变量和连续型随机变量
18、的边缘分布。1.离散型随机变量的边缘分布若已知二维离散型随机变量 的联合分布律，就相当于知道了 的全部概率规律，则可确定出两个一维离散型随机变量 X 和 Y 的分布律。设 的联合分布律为 ，则 关于 X 和 Y 的边缘分布函数分别为 ，。于是，X 的分布律为 ，记为 ；Y 的分布律为 ，记为 。1()()jYijyy iF yFyp，()(1 2)jijiP Xx Yypi j，1()()iXijxx jFxF xp，()X Y，()X Y，()X Y，()X Y，表 3-3 如果 的联合分布律用表格表示，通常就将两个边缘分布律填写在该表格的边缘上，如表 3-3 所示，这就是边缘分布律名称的由
19、来。()X Y，1y2yjyip1x11p12p1jp1p 2x21p22p2 jp2p ix1 ip2ipijpip jp1p2pjp1y2yjyip1x11p12p1jp1p 2x21p22p2 jp2p ix1 ip2ipijpip jp1p2pjp例例1 把两封信随机地投入已经编号的 3 个邮筒里，设 X 和 Y 分别表示投入第 1，2 个邮筒内的信的数量，求 的联合分布律及边缘分布律。解解 由题意得 各自可能得取值为 0，1，2。取 ，都是不可能的，所以相应的概率均为 0。再由古典概率计算得 ；。可通过对称性求得，计算结果如表 3-4 至表 3-6 所示。(2 2)，22112200
20、013939P XYP XY，(1 2)，(2 1)，22112202113939P XYP XY，(10)(20)P XYP XY，X Y，()X Y，()X Y，表 3-4表 3-5表 3-6ipjp设 是二维连续型随机变量。一般来说，其两个分量 X 和 Y 都是一维连续型随机变量。若已知 的联合概率密度 ，如何求得 X 及 Y 各自的概率密度 和 呢？由式（3-9）得到：X 的分布函数 ，即 。于是有 。（3-11）同理 。（3-12）通常，又称 和 分别为 关于 X 和 Y 的边缘概率密度，统称为 的两个边缘概率密度。()f x y，()X Y，()X Y，()Xfx()Yfy()()
21、XFxF x，()()d dxXFxf u yyu，()()()dXXfxFxf x yy，()()dYfyf x yx，()Xfx()Yfy()X Y，2二维连续型随机变量的边缘分布例例2 设二维随机变量 具有概率密度 求 的两个边缘概率密度 和 。解解 时，；当 时，故 。于是 同理可解得()X Y，()Xfx()e00()0 x yxyf x y，；，其他x ()Yfy()0()()dedex yxXfxf x yyy，()0f x y，()X Y，0 x()()d0Xfxf x yy，e0()00 xXxfxx，；，e0()00yYyfyy，；，例例3 设二维随机变量 在区域 上服从均
22、匀分布，求边缘概率密度 ，。解解 由均匀分布定义易得 的联合概率密度为则 由例 3 可以看出，二维随机变量 服从均匀分布，但是它们的边缘分布却不是均匀分布。()Xfx()X Y，2()|01Gx yxxyx，()Yfy6()()0 x yGf x y，；，其他226d6()01()()d0 xxXyxxxfxf x yy，；，其他6d6()01()()d0yyYxyyyfyf x yx，；，其他()X Y，()X Y，二、二维随机变量的独立性定义定义2 设 是二维随机变量，如果对于任意 有 ，（3-13）则称随机变量 X 与 Y 是相互独立的。如果记 ，那么上式为 ；可见，相互独立的定义与两个
23、事件相互独立的定义是一致的。由 的联合分布函数、边缘分布函数的定义，可得 ，该式可用来判断 的相互独立性。()()()P ABP A P B()()()P Xx YyP Xx P Yy，AXxBYy，X Y，()X Y，()()()XYF x yFx Fy，X Y，()X Y，X Y，()(1 2)ijxyij，()()()jjiiP XxYyP Xx P YY，ij，ijjippp定理定理1 设 是二维离散型随机变量，依次是 的概率分布，则 相互独立的充要条件是：对于 所有可能的取值 ，都有 ，即对所有的 ，都有 。()X YX Y，()X Y，ijijppp，X Y，()X Y，表 3-7
24、 YX 012301/271/91/91/2711/92/91/9021/91/90031/27000例例4 设 的联合分布律如表 3-7 所示。()X Y，试求 关于 X 和关于 Y 的边缘分布，并判断 是否相互独立？X Y，()X Y，表3-8解解 表 3-7 可按行加得 ，按列加得 ，如表 3-8 所示。ipjpipjp表 3-9因此，关于 X 的边缘分布如表 3-9 所示。关于 Y 的边缘分布如表 3-10 所示。表 3-10由于 ，而 ，所以 互不独立。1188641272772927p p 1110027pP XY，X Y，定理定理 2 设 是二维连续型随机变量，分别是联合密度函数
25、与边缘密度函数，则 相互独立的充要条件是：对任意的实数 ，都有 。()()()XYf x yfxfy，X Y，x y，()X Y，()()()XYf x yfx fy，例5 设二维随机变量具有密度函数 试求：（1）常数 C；（2）落在如图 3-7 所示三角区域 D 内的概率；（3）关于 X 和关于 Y 的边缘分布，并判断 是否相互独立。2()e00()0 x yCxyf x y ，；，其他()X Y，X Y，图 3-7解解 （1），所以 。（2）。（3）关于 X 的边缘分布密度函数为 。2()0022001()d ded deded4x yxyf x yx yCx yCCxy ，112()20
26、0()()d dd4ed1 3exx yDP X YDf x yx yxy，4C()()dXfxf x yy，当 时，；当 时，。故有 同理可求得关于 Y 的边缘分布密度函数为 因为对任意的实数 ，都有 ，所以 相互独立。0 x 0X()0Xfx 22e0()00 xXxfxx，；，22e0()00yYyfyy，；，2()20()()d4ed2ex yxXfxf x yyy，()()()XYf x yfx fy，x y，X Y，图 3-8例例6 设 服从域 D 上的均匀分布，如图 3-8 所示，求关于 X 和关于 Y 的边缘分布，并判断 是否相互独立。X Y，()X Y，解解 由均匀分布的定义
27、，的联合分布密度函数为 关于 X 的边缘分布密度函数为 1()()0 x yDf x y，；，其他2(1)0001()()dd2(1)01xXxxfxf x yyyxx，或；，()X Y，关于 Y 的边缘分布密度函数为 在 的连续点 处，由于 ，所以 不相互独立。120002()()dd1022yYyyfyf x yxyxy，或；，X Y，132 2，131311012 22244XYfff，()()()XYf x yfxfy，第三节第三节 二维随机变量的条件分布二维随机变量的条件分布 对于二维随机变量来说，要描述 整体的统计规律，可用联合分布；要描述单个分量的统计规律，可用边缘分布；而当一个
28、分量固定取一个值时，在此条件下考虑另一个分量的统计规律，这就是所谓的条件分布。以下同样分别从离散型和连续型随机变量来讨论它们的条件分布。()X Y，一、离 散 型设 是二维离散型随机变量，其分布率为 。关于 X 和 Y 的边缘分布率为 。设 ，考虑在事件 已经发生的条件下事件 发生的概率，由条件概率公式可得 。1()(1 2)iijijP Xxppi，()X Y，()(1 2)jijiP XxYypij，1()(1 2)jijjiP Yyppj，0jp()(|)(1 2)()ijijijjjP XxYypP Xx YyiP Yyp，()jYy()iXx()X Y，易知上述条件概率具有分布率的性
29、质：（1）；（2）。于是引入下面的定义。(|)0jiP Xx Yy1111(|)1ijjijijiiijjjppP Xx Yypppp定义定义1 设 是二维离散型随机变量，对于固定的 j，若 ，则称 （3-14）为 条件下随机变量 X 的条件分布率条件分布率。同样，对于固定的 i，若 ，则称 （3-15）为在 条件下随机变量 Y 的条件分布率条件分布率。条件分布率就是在边缘分布率的基础上都加上“另一个随机变量取定某值”这个条件。从定义易知，条件分布率也满足非负性和规范性。()0jP Yy()X Y，()(|)(1 2)()ijijijjjP XxYypP Xx YyiP Yyp，jYy()0i
30、P XxiXx()(|)(1 2)()ijijjiiiP Xx YypP YyXxjP Xxp，例例1 设 的联合分布率如表 3-12 所示。求在 条件下，X 的条件分布率；条件下 Y 的条件分布率。()X Y，1X 0Y 表 3-12 YX01200.10.30.110.20.20.1解解 ；。因此，在 的条件下，X 的条件分布率如表 3-13 所示。同样可得 的条件下 Y 的条件分布率如表 3-14 所示。(10)0.22(1|0)(0)0.33P XYP XYP Y，(00)0.11(0|0)(0)0.33P XYP XYP Y，1X 0Y 表 3-13 表 3-14 二、连 续 型设
31、是二维连续型随机变量，这时由于对任意的 有，因此不能直接用条件概率公式引入“条件分布函数”了。考虑 ，当 很小时，在某些条件下有 。因此，给出以下定义。()0P Yy()dd()(|)()()dxyyyyf x yyxP Xx yYyP Xx yYyP yYyf x yy，()X Y，()0P XxX Y，()d()(|)d()()xxYYf x yxf x yP Xx yYyxfx yfx y，定义定义2 设 的概率密度为 ，为 Y 的边缘密度，对于固定的 y，为在 条件下 X 的条件概率密度，记为 ，（3-16）并称 为在 条件下 X 的条件分布函数条件分布函数。()()Yf x yfy，
32、Yy()Yfy()X Y，()f x y，Yy|()(|)()X YYf x yfx yfy，|()(|)(|)d()xX YYf x yFx yP Xx Yyxfy，类似地，可以定义 （3-17）及 。|()(|)()Y XXf x yfy xfy，|()(|)(|)d()yY XXf x yFy xP Yy Xxyfy，例例2 设二维随机变量 具有概率密度 求 。解解 2211()0 xyf x y，；，其他|(|)X Yfx y()X Y，22 1|1()()d0Yyyfyf x yx，；，其他于是，对符合 的一切 y，有 22|1|1()(|)2 1()0X YYxyf x yfx y
33、yfy，；，其他|1)y 第四节第四节 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布 在实际问题中，有些随机变量往往是两个或者两个以上随机变量的函数。例如考虑全国年龄在 40 岁以上的人群，用 X 和 Y 分别表示一个人的年龄和体重，Z 表示这个人的血压，并且已知 Z 与 X，Y 的函数关系式为 ，现在希望通过 的分布来确定 Z 的分布。此类问题就是我们将要讨论的二维随机变量函数的分布问题。在本节中，重点讨论两种特殊的函数关系：（1）；（2）和 ，其中 X 与 Y 相互独立。应指出的是，将两个随机变量函数的分布问题推广到 n 个随机变量函数的分布问题只是表达和计算复杂程度的提高，并没有本质差异
34、。ZXYmax()MX Y，min()NX Y，()Zg X Y，()X Y，一、的 分 布ZXY设二维离散型随机变量 的分布律为 。若随机变量 Z 是 X 和 Y 的和，即 ，则 Z 的任一可能值 是 X 的可能值 和 Y 的可能值 的和：。由上式及概率的加法公式，有 ，（3-18）或者 。（3-19）ixkz()(1 2)jijiP XxYyPij，kijzxyjy()()()kijikiijiP ZzP Xx YYP Xx Yzx，()()kkjjjP ZzP XzyYy，()X Y，ZXY表3-15例例1 设二维离散型随机变量 的分布律如表 3-15 所示。求 的分布律。解解 由 X
35、和 Y 的可能取值知 Z 的可能取值为 ，0，1，2，且有 ，。ZXY(1)01100.10.10.2P ZP XYP XY，(2)110.2P ZP XY，(1)010.1P ZP XY ，(0)00110.20.30.5P ZP XYP XY，()X Y，1所以 Z 的分布律如表 3-16 所示。对于连续型随机变量，若 的联合密度为 ，则如何求 的密度函数呢？先求 Z 的分布函数：由分布函数的定义知对任意 z 有 ，由于事件 等价于事件 ，于是 ，所以（见图3-9）。表 3-16()X YDxyz，：()f x y，()()()ZFzP ZzP XYzXYz()X Y，ZXY()()ZFz
36、P X YD，()()d d()d d()d dz yZDx yzFzf xx yf x yx yf x yxy，在积分 中，z 和 x 是固定的，令 ，则得 。由概率密度的定义，得 。由于 的对称性，也有 。()()dZfzf x zyx，()()d d()d dzzZFzf ty ytyf ty yyt，()dz yf x yy，tyx()()dZfzf zy yy，X Y，图 3-9上两式为 密度函数的一般公式。特别地，当 相互独立时，由于对一切 都有 ，此时 的密度函数公式为 或 。（3-20）上式称为卷积公式卷积公式。()()()XYf x yfx fy，x y，()()()dZXY
37、fzfzy fyyZXY()()()dZXYfzfx fzxxZXYX Y，例例2 设 ，且 X 与 Y 相互独立，求 的概率密度。解解 由式（3-20）有 。令 ，则有222221()()()()()dexpexpd222ZXYzyyfzfzy fyyy2()XN，2()YN，ZXYty2222222222221(2)()expd22122(2)(2)expd221(2)1(2)/2expexpd2(2)2(2)2(/2)2(/2)Ztztfzttztztztzt221exp(2)/2(2)()2(2)zz 可见 是正态随机变量的密度函数，从它的结构可以看出 。这个结论还可以推广到 n 个随
38、机变量和的情况。定理定理 1 设 相互独立，且 ，则其和 仍服从正态分布，且 。()Zfz2(22)XYN，12nZXXX12nXXX，2()(1 2)kkkXNkn，222121212()nnnXXXN，例例3 两台同样自动记录仪，每台无故障工作时间服从参数为 5 的指数分布，首先开动其中一台，当期发生故障时停用而另一台自行开动，试求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度函数 。解解 设第一台和第二台无故障工作时间分别为 和 ，它们是两个相互独立的随机变量，且它们的分布密度均为 而 ，由式（3-20）可得 T 的概率密度函数 为 。55e0()00tttt，；，2T()f x1T()f
39、 x12TTT50()()()d()5edyf xxyyyxyy令 ，则 所以，两台记录仪无故障工作的总时间 T 的密度函数 为 55()555e0()5()ed5e()e d00 xxx txtxxf xttttx，；，txy()f x525 e0()00 xxxf xx，；，二、及 的 分 布max()MX Y，min()NX Y，设随机变量 X，Y 相互独立，其分布函数分别为 和 ，由于 不大于 z 等价于 X 和 Y 都不大于 z，故有 。（3-21）类似地，可得 的分布函数：。（3-22）()YFy()Xfxmax()MX Y，()()()MXYFzP MzP Xz YzP Xz P
40、 YzFz F z，min()NX Y，()111 1 1()1()NXYFzP NzP NzP Xz YzP Xz P YZFxF z ，上述结果容易推广到 n 个相互独立的随机变量的情况。设 是 n 个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为 ，则 及 的分布函数分别为 。特别地，当 相互独立且具有相同分布函数 时，有 。min()1 1()nFzF z 12nXXX，12min()1 1()1()1()nXXXFzFzFzFz 12min()nNXXX，12max()()()()nXXXFzFz FzFzmax()()nFzF z()(1 2)iXiFxin，12nXXX，12max()
41、nMXXX，()F x例例4 设系统 L 由两个相互独立的子系统 连接而成，连接方式分别为串联、并联、备用（当系统 损坏时，系统 开始工作），如图 3-10 所示。设 的寿命分别为 X，Y ，已知它们的概率密度分别为 其中，且 。试分别就以上三种连接方式写出 L 寿命 Z 的概率密度。e0()00 xXxfxx，；，e0()00yYyfxy，；，12LL，01L2L12LL，0（a）串联（b）并联（c）备用图 3-10解解 （1）串联的情况：由于当 中有一个损坏时，系统 L 就停止工作，所以这时 L 的寿命为 。由题设知 的分布函数分别为 于是 的分布函数为 的概率密度为 12LL，minZX
42、 Y，1 e0()00 xXxFxx，；，X Y，1 e0()00yYyF xy，；，()min1 e0()1 1()1()00zXYzFzFxFyz ，；，minZX Y，minZX Y，()min()e0()00zzfzz，；，（2）并联的情况：由于当且仅当 都损坏时，系统 L 才停止工作，所以这时 L 的寿命 。于是 的分布函数为于是 的概率密度为 maxZX Y，max(1 e)(1 e)0()()()00zzXYzFzFz F zz，；，()maxee()0()00zzzzfzz，；，12LL，maxZX Y，maxZX Y，（3）备用的情况：由于这时系统 损坏时系统 才开始工作，故
43、整个系统 L 的寿命 Z 是 两者寿命之和，即 ，故当 时，的概率密度为 而当 时，于是 的概率密度为 1L2L12LL，ZXY0z ZXY()0()0()()()deed eedeezz yyZXYzzyzzfzfzy fyyyy ZXY()0Zfz ee0()00zzZzfzz，；，0z内内 容容 小小 结结1概念网络图2基本要求（1）了解多维随机变量的概念，理解二维随机变量分布函数的概念。（2）理解二维随机变量分布律的概念，理解二维连续型随机变量的概率密度及性质。（3）理解二维离散型随机变量的边缘分布律，理解二维连续型随机变量的边缘概率密度。了解二维随机变量的条件分布。（4）理解随机变量的独立性的概念。（5）会求两个独立随机变量简单函数的分布（和、极大、极小），了解有限个正态分布的线性组合仍是正态分布的结果。
