1、1 第3章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布032 第3章 多维随机变量及其分布目录/Contents3.13.23.33.43.5多维随机变量及其联合分布常用的多维随机变量边缘分布条件分布二维随机变量函数的分布3 第3章 多维随机变量及其分布目录/Contents3.1多维随机变量及其联合分布一、多维随机变量二、联合分布函数三、二维离散型随机变量及其联合分布律四、二维连续型随机变量及其 联合密度函数4 第3章 多维随机变量及其分布一、随机试验定义15 第3章 多维随机变量及其分布一、随机试验例1解6 第3章 多维随机变量及其分布一、随机试验7 第3章 多维随机变量及其分布一、随机试验
2、定义28 第3章 多维随机变量及其分布,X Y为随机向量 的（联合）分布函数.,F x yP Xx Yy设 为二维随机变量,对任意的 称,X Y2,x yR二、联合分布函数 由定义可知,对平面上任一点 ,x y,.xyF x yPX YDxyO,x yxyD定义39 第3章 多维随机变量及其分布12,nXXX为随机变量 的(联合)分布函数.定义4 设 为 维随机变量,对任意的 12,nXXXn12,nnx xxR称111,nnnF xxP XxXx二、联合分布函数定义410 第3章 多维随机变量及其分布联合分布函数的性质:0,1;F x y当固定 时，是变量 的单调非减函数;,F x yxyl
3、im,0,lim,0 xyF x yF x y 当固定 时，是变量 的单调非减函数;,F x yyx,lim,0,lim,1x yx yF x yF x y二、联合分布函数定理 112311 第3章 多维随机变量及其分布对任意的 ,有矩形公式1212,xxyy1212,P xXxyYy2111,.F xyF x y2212,F xyF x y当固定 时，是变量 的右连续函数;,F x yxy当固定 时，是变量 的右连续函数;,F x yyx二、联合分布函数45xy1x2x2y1y01212,P xXxyYy如图所示:联合分布函数的矩形公式12 第3章 多维随机变量及其分布设二维随机变量 仅可能
4、取有限个值，,X Y则称 为二维离散型随机变量.,X Y设二维随机变量 ,ijijP Xx Yyp,1,2,i j 为二维随机变量 的联合分布律.,X Y其中0,1,2,1.ijijijpi jp三、二维离散型随机变量及其联合分布律定义 5定义 613 第3章 多维随机变量及其分布二维随机变量 的联合分布律的表格法表示.,X Y三、二维离散型随机变量及其联合分布律14 第3章 多维随机变量及其分布三、二维离散型随机变量及其联合分布律例2解15 第3章 多维随机变量及其分布616543217()(,)36363636363612iP XYP Xi Yi227(8)(1,1)(2,1)36P XY
5、P XYP XY(2)三、二维离散型随机变量及其联合分布律16 第3章 多维随机变量及其分布联合概率密度函数两个常见的二维连续型分布边缘概率密度函数四、二维连续型随机变量及其联合密度函数17 第3章 多维随机变量及其分布则称 为二维连续型随机变量，称 为二维连续型随机变量 的联合（概率）密度函数.(,)X Y(,)f x y设二维随机变量 的联合分布函数 为 ,如果存在二元非负实值函数 ,使得对任意的 有(,)X Y(,)F x y(,)(,)=(,)=(,)xyxyDF x yP Xx Yyf u v dudvf u v dudv(,)X Y(,)f x y2(,)x yR定义7 四、二维连
6、续型随机变量及其联合密度函数18 第3章 多维随机变量及其分布四、二维连续型随机变量及其联合密度函数定义8 19 第3章 多维随机变量及其分布设 为二维连续,f x y,0,;f x yx y 非负性,d d1.f x yx y 规范性型随机变量 的联合密度函数，则,X Y四、二维连续型随机变量及其联合密度函数（联合密度函数的性质）定理 220 第3章 多维随机变量及其分布（二维连续型随机变量的性质）为连续函数,在 的连续点处有,F x y,f x y2,;F x yf x yx y 任意一条平面曲线 ,有 ;L,0PX YL对 平面上任意一区域 ,有Dxoy,d dDPX YDf x yx
7、y四、二维连续型随机变量及其联合密度函数定理 312321 第3章 多维随机变量及其分布设二维随机变量 的联合密度函数为,X Y常数 cP XY,F x y四、二维连续型随机变量及其联合密度函数例32,02,01,0,.cyxyyf x y其他其余0101OPTION0202OPTION0303OPTION求联合分布函数22 第3章 多维随机变量及其分布(1)由密度函数性质1,d df x yx y 所以 .2c 12200ydycy dx12c(2)由已知得xyo212xy四、二维连续型随机变量及其联合密度函数解00 xy当或时，(,)0F x y 021xyy当且0时，323022(,)2
8、332xyxxF x ydxy dyx y021xy当且时，1202(,)2xxF x ydxy dy321332xx201xyy当且时，22400(,)2yyF x ydyy dxy21xy当且时，(,)1F x y 23 第3章 多维随机变量及其分布33340002021332(,)21021332201121.xyxx yxyyF x yxxxyyxyyxy或，；，0；，；，；，四、二维连续型随机变量及其联合密度函数xyo212xy (3)如右图所示:1123000,d d122=2xyyP XYf x yx ydyy dxy dxxy24 第3章 多维随机变量及其分布目录/Conten
9、ts3.13.23.33.43.5多维随机变量及其联合分布常用的多维随机变量边缘分布条件分布二维随机变量函数的分布25 第3章 多维随机变量及其分布目录/Contents3.2常用的多维随机变量一、二维均匀分布二、二维正态分布26 第3章 多维随机变量及其分布设二维随机变量 的联合密度函数为,X Y则称随机变量 服从区域 上的二维均匀分布.,X YG1,0,.Gx yGSfx y其他其中 是平面 上的某个区域,为区域 的面积,GGSGxoy一、二维均匀分布定义 127 第3章 多维随机变量及其分布设 服从区域 上的均匀分布,X YG,:0102Gx yxyx其中且(1)因区域 的面积为 1,故
10、由定义得联合密度函数为:1,0.x yGf x y，其他计算概率 一、二维均匀分布xyo12yxyxx例1解1写出 的联合密度函数 228 第3章 多维随机变量及其分布(2)所求概率为 =,P YXPX YD,d dDf x yx y1=1d d=2DDx y S xyo12yxyx一、二维均匀分布29 第3章 多维随机变量及其分布定义 22211222222112212211,exp2 121xxyyf x y 如果 的联合密度函数为,X Y221212.,X YN 1212,0,1.xy ，其中并记为则称 服从参数为 的二维正态分布,X Y221212,1212,0,1,其中二、二维正态分
11、布30 第3章 多维随机变量及其分布目录/Contents3.13.23.33.43.5多维随机变量及其联合分布常用的多维随机变量边缘分布条件分布二维随机变量函数的分布31 第3章 多维随机变量及其分布目录/Contents3.3边缘分布一、边缘分布函数二、二维离散型随机变量的边缘分布律三、二维连续型随机变量的边缘密度函数四、随机变量的相互独立性32 第3章 多维随机变量及其分布,XFxP XxP Xx YF x 称=,YFyP YyP XYyFy 称设二维随机变量 的联合分布函数为,X Y,F x y为随机变量 的边缘分布函数;X,x 为随机变量 的边缘分布函数.Y,y 一、边缘分布函数定义
12、133 第3章 多维随机变量及其分布设二维随机变量 的联合密度函数为,X Y 分别计算 边缘分布函数.XY与2,02,01,0,.cyxyyfx y其他一、边缘分布函数例134 第3章 多维随机变量及其分布33340002021332(,)210213322 01121.xyxx yxyyF x yxxxyyxyyxy，或；，0；，；，；，在第一节例4中已得 的联合分布函数，,X Y一、边缘分布函数解35 第3章 多维随机变量及其分布 340,0,0,0,2(,)102,(,)01,3321,1,1,2,XYxyxFxF xxxFyFyyyyx，在第一节例4中已得 的联合分布函数，,X Y故
13、与 的边缘分布函数分别为XY一、边缘分布函数解36 第3章 多维随机变量及其分布定义 2，称概率设二维离散型随机变量 的联合分布律为,X Y(,)ijijP Xx Yyp，,1,2,i j,iijjP XxP XxYy,1,2,ijijjjP Xx YyPi，为随机变量 的边缘分布律，记为 ，并有Xip,iiijjpP Xxp1,2,i 二、二维离散型随机变量的边缘分布律37 第3章 多维随机变量及其分布在第一节例3中计算 与 的边缘分布律。XY(,)X Y直接在 联合分布律表格中计算行和、列和得二、二维离散型随机变量的边缘分布律例2解38 第3章 多维随机变量及其分布 所以 的边缘分布律为X
14、 所以 的边缘分布律为Y1234561197531363636363636Y概率123456111111666666X概率二、二维离散型随机变量的边缘分布律39 第3章 多维随机变量及其分布,dXxfxf x yy 则随机变量 的边缘密度函数为X,dYyfyf x yx 类似地，随机变量 的边缘密度函数为 Y设二维随机变量 的联合密度函数为,X Y,f x y三、二维连续型随机变量的边缘密度函数定义 340 第3章 多维随机变量及其分布,dXfxf x yy312222d138xxyy试求第一节例3中随机变量 的边缘密度函数.,X Y首先确定 的值域 ,当 时 X(0,2)X 02x 321,
15、02,38 0,Xxxfx 其他.所以 的边缘密度函数为:X三、二维连续型随机变量的边缘密度函数例3解41 第3章 多维随机变量及其分布然后，确定 的值域 ,当 时 Y(0,1)Y 01y34,01,()0,.Yyyfy其他所以 的边缘密度函数为:Y 2230,=24yYfyfx y dxy dxy三、二维连续型随机变量的边缘密度函数42 第3章 多维随机变量及其分布设 ,则221212,X YN 221122,.XNYN ,由边缘密度函数的定义得(,)XY 三、二维连续型随机变量的边缘密度函数定理 1121222211222222112212,222212221(),()()()()11ex
16、p22(1)2112exp2(1)2111()exp2(221Xxyuvufxf x y dyxxyydyuuvvdvvue 212122111)2xdve所以 ，同理 .211,XN 222,YN 证明43 第3章 多维随机变量及其分布已知 ,求,1,2,4,9,0.3X YN 23ZX 的密度函数 .Zfz由定理1知 ，又由正态分布的线性变换仍是正态分布知 1,4XN 235,16ZXN 25321(),4 2zZfzez 三、二维连续型随机变量的边缘密度函数例4解所以44 第3章 多维随机变量及其分布 都有 ,x yR设 为二维随机变量，若对任意的 ,X YXY 与 相互独立.四、随机变
17、量的相互独立性 ,XYF x yFx Fy成立，则称随机变量定义 445 第3章 多维随机变量及其分布的一切公共连续点上都有 ,XYfx yfxfy及,1,2,i j 相互独立的充分必要条件是对任意的 设 为二维连续型随机变量，那么，与XY,X Y相互独立的充分必要条件是在 ,XYf x yfx fy四、随机变量的相互独立性定理 2设 为二维离散型随机变量，那么，与XY,X Y都有 成立.ijijppp定理 346 第3章 多维随机变量及其分布四、随机变量的相互独立性例547 第3章 多维随机变量及其分布（1）由二维离散型随机变量边缘分布律定义得(0)(0,0)(0,1)=0.8P XP XY
18、P XY(1)1(0)=0.2P XP X(0)(0,0)(1,0)0.5P YP XYP XY(1)1(0)0.5P YP Y 所以 与 的边缘分布律分别为XY四、随机变量的相互独立性解48 第3章 多维随机变量及其分布 321,02,38 0,Xxxfx 其他.34,01,()0,.Yyyfy其他在第一节例 4 中，是否相互独立？为什么？XY与不相互独立.的联合密度函数及边缘XY与,X Y密度函数如下2,02,01,0,.cyxyyf x y其他四、随机变量的相互独立性例6解49 第3章 多维随机变量及其分布在它们的公共连续点 处,1 1,2 2 1 111121,=2 222264XYf
19、ff因此 不相互独立.XY与四、随机变量的相互独立性50 第3章 多维随机变量及其分布设 ,那么 与221212,X YN X 相互独立的充分必要条件是Y0.22122121(,),2xyf x ye 2212221211()()22xyXYfxfyee充分条件 当 时0,x yR所以，对任意 ，都有(,)()()XYf x yfx fy因此 相互独立.XY与四、随机变量的相互独立性定理 4证明051 第3章 多维随机变量及其分布 ,XYf x yfx fy所以21101 必要条件 当 相互独立时,对任意的 都有 XY与,x yR特别地，当 时12,xy121221212121111(,)=(
20、)()=22221XYfff 四、随机变量的相互独立性 该等式也成立,52 第3章 多维随机变量及其分布四、随机变量的相互独立性对多维随机变量独立性的定义如下：定义 5 的一切公共连续点上成立。111(,)(),innXiniF xxFxxx 都有11(),()nXXnfxfx11(,)(),innXiif xxfx12,nnx xxR那么就称随机变量 12,nXXX连续型随机变量有1(,)nf xx在，12,nXXXn设 为 维随机变量，若对任意的相互独立。53 第3章 多维随机变量及其分布对多维随机变量独立性的定义如下：四、随机变量的相互独立性1,2,in，都有121,()innXiifx
21、 xxfx相互独立的充要条件是在12,nXXX12,nfx xx，12,nXXX当 为离散型随机变量 时，随机变量12,nXXX当 为连续型随机变量 时，随机变量1212()()()nXXXnfxfxfx，的一切公共连续点处都有相互独立的充要条件是对任意的12,nXXXiiXx 111,()nnniiiP XxXxP Xx成立.54 第3章 多维随机变量及其分布目录/Contents3.13.23.33.43.5多维随机变量及其联合分布常用的多维随机变量边缘分布条件分布二维随机变量函数的分布55 第3章 多维随机变量及其分布目录/Contents3.4条件分布一、二维离散型随机变量的条件分布律
22、二、二维连续型随机变量的条件密度函数56 第3章 多维随机变量及其分布设二维离散型随机变量 的联合分布律为,X Y,1,2,ijijp Xx Yyp i j|:,0,1,2,jX YyiijjxP Xx Yyyi固定条件 下 的条件分布律为jYyX当 时，在给定jYy,1,2,ijijjpp Xx YyiP对固定的 ,记在给定条件 下的随机变量jYy jYyX为 ,其值域记为|=jX Y y一、二维离散型随机变量的条件分布律定义157 第3章 多维随机变量及其分布条件分布律 满足分布律的两条性质：1,2,ijjpiP，一、二维离散型随机变量的条件分布律|0,jijijiX Yyjpp Xx Y
23、yxP非负性；0101OPTION1ijijiijpP Xx YyP规范性0202OPTION58 第3章 多维随机变量及其分布设二维离散型随机变量 的联合分布律,X Y,1,2,ijijp Xx Yyp i j:,0,1,2,ijijiY XxyP Xx Yyxj固定Y条件 下 的条件分布律为iXx当 时，在给定iXx,1,2,ijjiipp Yy XxjP对固定的 ,记在给定条件 下的随机变量为iXx iXxY，其值域记为iY Xx一、二维离散型随机变量的条件分布律定义1续59 第3章 多维随机变量及其分布设 为二维连续型随机变量 的联合密度函数,X Y,f x y 0Yfy，其中|,|,
24、X YYf x yfx yxfy 当 时，在给定条件 下 的条件密度函数为YyYyX|:,0X Yyx f x yy固定对固定的 ，记在给定条件 下的随机变量YyYy|=X Y y为 X二、二维连续型随机变量的条件密度函数其值域记为定义260 第3章 多维随机变量及其分布|,0,X YyX YYfx yfx yxfy非负性 ,1X YYYfx y dxfx yfx y dxdxfyfy规范性条件密度函数 满足密度函数的两条性质:|X Yfx y二、二维连续型随机变量的条件密度函数1261 第3章 多维随机变量及其分布 0Xfx，其中|,|,Y XXf x yfy xyfx 密度函数为当 时，在
25、给定条件 下 的条件XxXxY|:,0Y Xxyf x yx固定其值域记为二、二维连续型随机变量的条件密度函数对固定的 ，记在给定条件 下的随机变量XxXxY|Y Xx为 ,同理可以验证条件密度函数 满足密度函数的|Y Xfy x两条性质.62 第3章 多维随机变量及其分布设 为二维连续型随机变量 的联合密度函数,X Y,f x y分布函数为当 时，在给定条件 下 的条件YyYyX,ddxxX YX YYf u yFx yfu yuufy,ddyyY XY XXf x uFy xfu xuufx;()0 xf y 其中当 时，在给定条件 下 的条件分布函数为XxXxY;()0yf x 其中二、
26、二维连续型随机变量的条件密度函数定义 363 第3章 多维随机变量及其分布在第一节例4中求条件分布函数 .|1Y XFy写出给定条件 下 的条件值域 ;1X Y|=1Y X求条件密度函数 ;|1Y Xfy|Y Xfy x写出给定条件 下 的条件值域 及 ;XxY|=xY X二、二维连续型随机变量的条件密度函数例10101OPTION0202OPTION0303OPTION0404OPTION64 第3章 多维随机变量及其分布 例4中随机变量的联合密度函数为22,02,01,0,.yxyyf x y其他xyo212xy112在给定条件 下 的条件值域为 1X Y|=11=12Y X，二、二维连续
27、型随机变量的条件密度函数解65 第3章 多维随机变量及其分布2241,1.1720,Y Xyyfy其他.112y当时，22(1,)22417(1)712Y XXfyyfyyf(2)所以Xx(3)在给定条件 下 2x当0时，xyo212xyx2x=,12Y X xxY的条件值域为 二、二维连续型随机变量的条件密度函数66 第3章 多维随机变量及其分布212xxy当0且时，222333(,)2324=()8211838Y XXf x yyyyfy xxfxxx二、二维连续型随机变量的条件密度函数67 第3章 多维随机变量及其分布231224811=777yyY XY XFyfv x dvy dyy
28、故310,28111,1,7721,1.Y XyFyyyy二、二维连续型随机变量的条件密度函数68 第3章 多维随机变量及其分布 112,0 xf x，其他.12x已知 ,当 时,1,2XU2,Y XxN x求 的联合密度函数.,X Y由已知得12x当时，2221,.2y xY Xfy xey 由条件密度函数的定义知 .|,|XY Xf x yfxfy x二、二维连续型随机变量的条件密度函数所以2221,12,20y xexyf x y ，其他.例2解69 第3章 多维随机变量及其分布目录/Contents3.13.23.33.43.5多维随机变量及其联合分布常用的多维随机变量边缘分布条件分布
29、二维随机变量函数的分布70 第3章 多维随机变量及其分布目录/Contents3.5二维随机变量函数的分布一、二维离散型随机变量函数的分布二、二维连续型随机变量函数的分布71 第3章 多维随机变量及其分布设 与 相互独立,则XY设 ，且 与 相互独立，则,XB m pYB n p,;XYB mn p 设 ,且 与 相互独立，则12,XPYP12.XYP定理1可推广到 个相互独立的随机变量的和.nXY一、二维离散型随机变量函数的分布定理 1（分布的可加性）XY72 第3章 多维随机变量及其分布一、二维离散型随机变量函数的分布1=0.iiU，第 次试验“成功”；，否则12,mmm nUUU12,m
30、U UU12,mmm nUUU1m niiXYU(,)XYB mn p,XB m p YB n p（1）因为，那么，mnXY与分别表示与(1,),1,2,iUBp immn1,miiXU1m nii mYU，则。12,mU UUn由 重贝努利试验的独立性及重复性知，这里相互独立同分布，也相互独立同分布。又因为，相互独立。那么，mn表示着重的贝努利试验中“成功”的次数，由此得到，相互独立，所以与XY重贝努利试验中证明“成功”的次数。可设73 第3章 多维随机变量及其分布一、二维离散型随机变量函数的分布(2)因为所以()()()()()n kn kP XYkP Xn P XYk XnP Xn P
31、Ykn Xn()()n kP Xn P Ykn1212121200!nn kkknnn kknneeeCnknk 1212+0,1,!kekk，(,)XYB mn p74 第3章 多维随机变量及其分布在第一节例2中，讨论得优的科目数的分布情况，求 的分布律ZXYZ直接在 的联合分布律表格中每格左上角标Z,X Y出 的值，有一、二维离散型随机变量函数的分布将 取值相同格子中的概率相加，即得Z01120100.780.0210.120.08X Y012Pr0.780.140.08Z例1解75 第3章 多维随机变量及其分布一、二维离散型随机变量函数的分布因此，有如下结论。如果二维离散型随机变量 的联
32、合分布律为(,)X Y,1,2,ijijP Xa Ybpi j,1,2,ijijP Zg a bpi j则随机变量 的函数 的分布律为(,)X Y,Zg X Y且取相同 值对应的那些概率应合并相加。,ijg a b76 第3章 多维随机变量及其分布设二维随机变量 的联合密度函数为,X Y求 的密度函数.ZXY6,01,0,xxyf x y其他.其余二、二维连续型随机变量函数的分布()()()ZF zP ZzP XYz32200166(2)4zzz xxdxxdyx zx dxz01z(0,2)Z（1）因为则 时例2解77 第3章 多维随机变量及其分布二、二维连续型随机变量函数的分布112222
33、16133yzzz ydyxdxyzy dy 323001014()313312412.zzzF xzzzzz，；，；，；，整理得当 时12z()()()ZFzP ZzP XYz11222232231631 31 33,4zzzyz dyzyz yzzz 78 第3章 多维随机变量及其分布设随机变量 的联合密度函数为 ,fx y,X Y,X Y则随机变量 的函数 的密度函数为ZXY特别地，当 与 相互独立时,上式成为XY该公式称为卷积公式.,dZfzf x zxx,dyZfzf zy y或 dZXYfzfx fzxx ZXYfzfzy fy dy或二、二维连续型随机变量函数的分布定理 279
34、第3章 多维随机变量及其分布二、二维连续型随机变量函数的分布()()()ZF zP ZzP XYz(,)x y zf x y dxdy()(,)zZXFzfv ux dudv(v,)zfuv dvdu (,)Zfzf x zx dx(,).Zfzf zy y dy()()()ZXYfzfx fzx dx .ZXYfzfzy fy dyzR对任意的，z由的任意性知同理得XY显然，当随机变量与相互独立时，证明80 第3章 多维随机变量及其分布正态分布的可加性:设 ,且 与 相互独立,XY221122,XNYN 则221212,XYN 更一般地,有22221212,kXlYbN klb kl其中 均
35、为常数,且 不全为零.,k l b,k l二、二维连续型随机变量函数的分布定理 381 第3章 多维随机变量及其分布二、二维连续型随机变量函数的分布由卷积公式得 ZXYfzfx fzx dx2212221222121122xz xeedx 221222121211()()=exp22xzxdx 2221212222222121212121111()exp222zzxxdx 22121222222212121211(),zzabc 21222122221212zZfze 令代入课前导读中的公式结论得221212,.XY 所以，定理3可推广至 个独立正态分布随机变量的情形。n证明82 第3章 多维
36、随机变量及其分布例3由第三节定理1得 13XN，2 4YN，又由定理3得，所以236,19ZXYN 261exp,+3838Zzfzz 已知的密度函数.,1,2,3,4,0X YN,求 23ZXY 二、二维连续型随机变量函数的分布，由第三节的定理4可知，与 相互独立.XY0因为解83 第3章 多维随机变量及其分布(1)的分布函数为max,UX Y UXYFuFu Fu(2)的分布函数为min,VX Y 111VXYFvFvFv 设 与 相互独立,且 的分布函数为 ，XYX 的分布函数为 ，则Y XFx YFy二、二维连续型随机变量函数的分布定理 484 第3章 多维随机变量及其分布 min,V
37、FvP VvPX Yv1min,PX Yv 1,P Xv Yv 1P Xv P Yv 111P XvP Yv 111XYFvFv 由分布函数的定义及 与 相互独立得XY二、二维连续型随机变量函数的分布()(max(,)(,)UF uPX YuP Xu Yu()()()()XYP Xu P YuFu F u85 第3章 多维随机变量及其分布二、二维连续型随机变量函数的分布n定理4可推广至个相互独立的随机变量情形。1,2,in，则12min,nVXXX 111inVXiFvFv（2）随机变量的分布函数为12,nXXXiX iXFx互相独立，且的分布函数为，设连续型随机变量12max,nUXXX 1
38、inUXiFuFu的分布函数为（1）随机变量86 第3章 多维随机变量及其分布二、二维连续型随机变量函数的分布例4记max,min,UX YVX Y设 与 是相互独立的随机变量,1X2X11XE，22XE求 ，的密度函数.UV，分别87 第3章 多维随机变量及其分布二、二维连续型随机变量函数的分布0,U 120,0;11,0.UuuuFueeu 12211211,0;0,.uuuuUeeeeufu其余因为0u，那么由定理4得，当时，所以12(+)VE知，120,0;1,0.VvvFvev0,V 因为，那么由定理4得 1212,0;0,.vVevfv其余故解88 第3章 多维随机变量及其分布总结/summary理解 二维随机变量的定义了解 二维随机变量的联合分布函数的定义、性质及计算掌握 联合概率函数和联合密度函数的定义、性质及计算掌握 二维随机变量相关事件概率的计算掌握 二维随机变量的边缘分布函数的定义及计算熟练 两个随机变量相互独立的定义及判别方法了解 个随机变量相互独立的定义及判别方法理解 随即变量独立的概念掌握 随机变量独立的判断方法 掌握 二维随机变量的条件分布函数的定义及计算掌握 二维随机变量函数分布的计算熟练 相互独立的随机变量的最大值最小值分布函数的计算了解 二维正态分布的密度函数理解 二维正态分布的密度函数中参数的概率意义。掌握 二维正态分布的性质
