1、2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系1第第4章章 无穷级数无穷级数无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具无穷级数是研究函数的工具表示函数表示函数研究性质研究性质数值计算数值计算数项级数数项级数幂级数幂级数付氏级数付氏级数函数项级数函数项级数2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系2第第4章章 无穷级数无穷级数第第1节节 常数项级数常数项级数第第2节节 函数项级数函数项级数第第3节节 幂级数幂级数第第4节节 Fourier级数级数2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系3第第1 1节节 常数项级数常数项级数1.1 1.1 常数项级数的概念、性质与收
2、敛原理常数项级数的概念、性质与收敛原理1.2 1.2 正项级数的审敛准则正项级数的审敛准则1.3 1.3 变号级数的审敛准则变号级数的审敛准则2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系41.2 1.2 正项级数的审敛准则正项级数的审敛准则1.充要条件充要条件 2.比较法比较法4.比值法比值法5.根值法根值法3.积分积分审敛审敛法法定义定义:10nnnaa 如果级数中各项均有，如果级数中各项均有，这种级数称为这种级数称为正项级数正项级数.2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系5正项级数的特性正项级数的特性11,nnnnass 若若为为正正项项级级数数 显显然然有有 s
3、ssnnnlim有有界界若若ns 单调递增单调递增1limnnnnnass 若级数收敛存在有界若级数收敛存在有界1nna 级数收敛级数收敛2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系61.1.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件定理定理1.21.21.nnnas 正正项项级级数数收收敛敛部部分分和和所所成成的的数数列列有有界界 到到正正项项级级数数发发散散必必定定发发散散注2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系7证明证明12nnSaaa且且1(1)nnb 设设,nnab,即部分和数列有界即部分和数列有界1.nna 收敛收敛11nnnnab设和均为正项级数，设和
4、均为正项级数，2.比较比较审敛审敛法法12nbbb11nnnnba(1)(1)若收敛收敛.若收敛收敛.定理定理1.31.3(比较准则比较准则I)I)nnabn 且（=1,2,.）且（=1,2,.）11nnnnab(2)(2)若发散发散.若发散发散.2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系8nnS 则则(2)()nSn 设设,nnab 且且 不是有界数列不是有界数列1.nnb 发散发散定理证毕定理证毕.21,.),nnukvnNN 定定理理 中中的的条条件件改改为为：（，结结论论推推论论仍仍成成立立!比较审敛法比较审敛法:须有参考级数须有参考级数.2008年12月25日南京航空航天
5、大学 理学院 数学系9是是发发散散的的证证明明调调和和级级数数 11nn例例10ln(1)11ln(1)xxxnn证明证明1111ln(1)nnnn 而发散，由比较判别法得发散.而发散，由比较判别法得发散.2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系10.11的的敛敛散散性性级级数数讨讨论论 npnP111iPn 由由例例1 1得得发发散散发散发散 PpnnnP11110例例2解解11100ppiPnn 级级数数发发散散2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系11,1 p设设oyx)1(1 pxyp1234由图可知由图可知 nnppxdxn11111123npppSn
6、nnppxdxxdx1211 npxdx11)11(1111 pnp111 p,nS即有界即有界.级数收敛级数收敛则则 P 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数,1,1ppP重要参考级数重要参考级数:几何级数几何级数,P-P-级数级数,调和级数调和级数.2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系12综合得，综合得，1111ppnnp发散发散收敛收敛-1111,.npnnaqpn 等比级数级数常作为参考级数等比级数级数常作为参考级数再次强调：再次强调：2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系13的的敛敛散散性性判判别别级级数数 1)1(1nnn11)1(1)1(12
7、 nnnn发发散散。发发散散，又又 11)1(111nnnnn例例3解解.21,)1(1112的的敛敛散散性性练练习习：判判别别级级数数 nnnnnn2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系143.3.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式:设设 1nna与与 1nnb都是正项级数都是正项级数,如果如果则则(1)(1)当当时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性;(2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;(3)(3)当当时时,若若 1nnb发散发散,则则 1nna发散发散;lim,nnnab 0 0 1nnb 1nna 定理定理1.4 1.4(比较准则比较准则I
8、I)II)2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系15证明证明(1)limnnnab 由由0,2 对于对于,N,时时当当Nn 22nnab3()22nnnbabnN即即由比较判别法的推论由比较判别法的推论,得证得证.2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系16例例 4 4 判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性:(1)11sinnn;(2)131nnn;)1(nnnn3131lim nnn11sinlim ,1 原级数发散原级数发散.)2(nnn1sinlim nnn311lim ,1,311收敛收敛 nn故原级数收敛故原级数收敛.解解2008年12月25日南京航
9、空航天大学 理学院 数学系172111.1arctan().11nnnnnnEX 判断级数判断级数及的敛散性。及的敛散性。2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系18222111arctan11nnnnn解解 收敛收敛又又 121nn 1211arctannnn收敛。收敛。11ln1 nnnennnln1发散发散又又nnnln11 。发散发散 1)1(nnn2111.1arctan().11nnnnnnEX 判断级数判断级数及的敛散性。及的敛散性。2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系192limnnnaalimnna 0 由比较判别法知由比较判别法知 收敛收敛.
10、21nna 反之不成立反之不成立.例如：例如：121nn收敛收敛,11nn发散发散.解解?2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系204.柯西积分审敛法柯西积分审敛法1(),nnaf x 设为正项级数，若 连续函数满足设为正项级数，若 连续函数满足定理定理1.51.5(积分准则积分准则)11(1)()1;(2)()0;(3)(),1,2,()nnnf xf xaf n naf x dx 在，上单调减少在，上单调减少则则收敛收敛。收敛收敛。oyx()yf x 12341a2a3a4a1()()(1)iif if x dxf i 2,3,in 2008年12月25日南京航空航天大学
11、理学院 数学系21证明证明由图可知由图可知oyx()yf x 12341a2a3a4a(1)(2)()fff n11()nnaSf x dx 2111()()nnaf x dxf x dx 1211nnaaaSnS 1()nnSf x dx 与有相同的敛散性与有相同的敛散性.12nnSaaa11()nnaf x dx 收敛收敛收敛收敛(),naf n nN 例例5 5 试证级数试证级数，当时收敛；当时收敛；当时发散。时发散。1()0,()(ln)Pfxf nnn连续且单调减小（因为连续且单调减小（因为）证 设1P 21(ln)pnnn 01P1()(2)(ln)Pf xxxx()f x2,)则
12、函数则函数在区间在区间上满足上满足()0f x 2ln(ln)2lndxxxx 当 时1P(1)1211(ln)12(ln)1(ln2)11PPPPdxxxxPPP1P 当时发散2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系23注11pnPn 级级数数的的敛敛散散性性用用定定理理1 1.5 5判判定定特特别别容容易易。2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系24准则）准则）定理1.6(DAlembert定理1.6(DAlembert10nnna a 若正项级数()满足若正项级数()满足11lim(lim),nnnnnnaalaa 或或 则则111111(),1nnnnnn
13、lallala （）当时，收敛；（）当时，收敛；(2)(2)当或时发散；当或时发散；(3)(3)当时,不能判定.当时,不能判定.2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系25(1)11lrlr 取取使使,nNnNar a 又又，由由比比较较判判别别法法10,nnaNnNra 当有当有证明证明1,NNara 121NNNnn Nnaaaa 1,r 1nna 收敛收敛1limnnnalra,由极限的保号性，由极限的保号性，33,NNraa 2,Nr a 21NNara 1Nnnr a 收敛收敛2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系26(2)1,l (3)1,l 110,
14、1,nnnnaNnNaaa 当有即当有即由极限的保号性，由极限的保号性，1lim1,nnnala 111limlim11nnnnnannan 发散，发散，212211limlim11nnnnnannan 收敛，收敛，（）（）11lim.nnnnnaaa 类似地可证明：发散类似地可证明：发散,0(),lim0nnNnnaaanNa1nna 发散发散2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系27比值比值审敛审敛法的优点法的优点:不必找参考级数不必找参考级数.注2(1)3,22nnnnnav 例例112(1),2nnnnna 级数收敛级数收敛112(1),2(2(1)nnnnnaba 但
15、但21lim,6nnb 213lim,2nnb 1limlim.nnnnnaba 不存在不存在2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系28解解)1(11(1)!1!nnanan 11 n),(0 n.!11收敛收敛故级数故级数 nn 111!)3(10!)2(!1 )1(nnnnnnnnn例例5 5 判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性:2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系29),(n)2(11(1)!1010!nnnnanan 101 n.10!1发散发散故级数故级数 nnn)3(11)11(1lim ennn收收敛敛。故故 1!nnnn!,nnnan 1
16、limnnnaa 11(1)!()(1)!1nnnnnannnannn 2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系30准则）准则）定理1.7(Cauchy定理1.7(Cauchy1nna 若正项级数满足若正项级数满足lim(lim),nnnnnnala 或或111111(),1nnnnnnlallala （）当时，收敛；（）当时，收敛；(2)(2)当或时发散；当或时发散；(3)(3)当时,不能判定.当时,不能判定.6.根值审敛法根值审敛法(柯西柯西审敛审敛法法)则则2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系31(1)ln11111n12,21(ln)3nnnnnnnnn
17、nnnn 例6判断下列级数的收敛性。例6判断下列级数的收敛性。1nnnnan n1)(0 n级数级数 收敛收敛.11nnn 2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系32 1()00,.nnnbaaabba 判判断断级级数数的的敛敛散散性性，其其中中是是以以为为极极限限的的正正数数列列，且且例例7 7nnnbua 解解ababunnnnn limlim时时，级级数数发发散散。当当ab 时，级数收敛。时，级数收敛。当当ab 100.nababn 判判断断级级数数的的敛敛散散性性，其其中中,例例8 8(可用比值法可用比值法)解解:类似于例类似于例7用根值法用根值法!2008年12月25
18、日南京航空航天大学 理学院 数学系331nna 注注意意：可可以以证证明明对对于于正正项项级级数数，反之未必反之未必!(1)112nn 收敛.收敛.1(1)11(1)2,2nnnnnnnaba 但但21lim,8nnb 21lim2,nnb 1nnlimlimnnnnalala 若，则，若，则，(1)11,2nnn 如，如，(1)11lim1,22nnnn 1limlim.nnnnnaba 不存在不存在2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系34小结小结正项级数敛散性的正项级数敛散性的六个判敛散定理六个判敛散定理2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系3511211
19、1,(),nnnnnnnnnnnnabaaba bn 设设正正项项级级数数与与均均收收敛敛 试试证证：收收敛敛，也也收收敛敛。2 22008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系360nnnnabcb证证：明明收敛收敛而而)(1nnbc 收敛收敛)(1nnba 收敛收敛收敛，收敛，又又nnnbba 11)(.1收敛收敛 na2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系37112111,(),nnnnnnnnnnnnabaaba bn 设设正正项项级级数数与与均均收收敛敛 试试证证：收收敛敛，也也收收敛敛。2 2证明证明2lim()00,()()nnnnnnnabNnNabab
20、 12,nnnnnnnaba ba b 又又收敛收敛111()nnnnnnnabab与均收，收敛与均收，收敛21()nnnab 收敛；收敛；221111,nnnnbbnn令收令收1nnan 由上述推导可知收敛。由上述推导可知收敛。2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系38二、判敛散性二、判敛散性1ln1.nnn n (13,12)nbn 取取 参参 考考 级级 数数，或或 积积 分分 判判 别别 法法收收2312.(1)tannnn 散散1()nbn 取取参参考考级级数数，21(1)tan)nnn 思思考考：123.(1)ln()1pnnnnn 2008年12月25日南京航空航
21、天大学 理学院 数学系39123.(1)ln()1pnnnnn 解解111(1)npannn 211pnbn 取取2111()12(1)pnppnannbnnn .0,0散散收收 pp2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系401114.(ln)nnnn 221111 11lnln(1)()2nonnnnn：Tarlo:：Tarlo:提提y y展展示示开开2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系41ln2(1)5.(ln)nnnnn li()m01nnCauchyu 判别法判别法21sin36.2nnnn 2sin32)2(nnnnn 再用比值法或根值法！再用比值法
22、或根值法！11(3)(1)ln;nnnn 7.7.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:1(1)(1)();1nnnn 111sin(2)(1);nnnn 11(1)!(4)(1).nnnnn lim(1)01nnnn 散散绝对收敛绝对收敛112sin(1)nnnn 1ln(1)0nan（条件收敛条件收敛11lnnnn 散）散）1nnaa 2(2)!(2)nnn 1(1)!nnn 121(1)11nnnn n 11e 绝对收敛绝对收敛2008年12月25日南京航空航天大学 理学院 数学系43019.()0()1lim0,()xf xxf xfxn 设在的某邻
23、域内有二阶连续设在的某邻域内有二阶连续导数，且证明绝对收敛。导数，且证明绝对收敛。0()lim0 xf xx 证法1证法10)0(0)(fxf01)(lim)(lim00 xfxxfxx又又0)0(f21()(0)(0)()(01)2!Taylorf xffxfx x展式：展式：121111()(0)(0)()2!ffffxnnn 即即12211111()()2!ffMnn nn 01()0()1lim0,()xf xxf xfxn 9.9.设在的某邻域内有二阶连续设在的某邻域内有二阶连续导数，且证明绝对收敛。导数，且证明绝对收敛。0()lim0 xf xx 证证法法2 20)0(0)(fxf01)(lim)(lim00 xfxxfxx又又0)0(f2)0(2)(lim2)(lim)(lim2fxfxxfxxfoxoxox 2)0(/1)/1(lim2fnnfn 都都绝绝对对收收敛敛。或或 1)1(,0)0(,0)0(nnfff
