1、第15讲等腰三角形命题点1等腰三角形的性质与判定1(2018河北T83分)已知，如图，点P在线段AB外，且PAPB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是(B)A作APB的平分线PC交AB于点CB过点P作PCAB于点C且ACBCC取AB中点C，连接PCD过点P作PCAB，垂足为C2(2017河北T103分)如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东35，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是(D)A北偏东55 B北偏西55C北偏东35 D北偏西353(2013河北T83分)如图，一艘海轮位于灯
2、塔P的南偏东70方向的M处， 它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40的N处，则N处与灯塔P的距离为(D)A40海里 B60海里 C70海里 D80海里命题点2等边三角形的性质与判定4(2016河北T162分)如图，AOB120，OP平分AOB，且OP2.若点M，N分别在OA，OB上，且PMN为等边三角形，则满足上述条件的PMN有(D)A1个 B2个 C3个 D3个以上5(2011河北T173分)如图1，两个等边ABD，CBD的边长均为1，将ABD沿AC方向向右平移到ABD的位置，得到图2，则阴影部分的周长为2.图1图2重难点1等腰三角形的性质与判定在ABC中
3、，ACBC，ACB120，点D是线段AB上一动点(D不与A，B重合)(1)如图1，当点D为AB的中点，过点B作BFAC交CD的延长线于点F，求证：ACBF；(2)连接CD.作CDE30，DE交AC于点E.若DEBC时，如图2.CDB120；求证：ADE为等腰三角形；在点D的运动过程中，ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出AED的度数；若不可以，请说明理由【自主解答】解：(1)证明：CACB，CD是ABC的中线，ADBD.BFAC，AFBD.ADCBDF，ACDBFD.ACBF.(2)证明：ACBC，AB.DEBC，EDAB.AEDA，ADE为等腰三角形ECD可以是等腰三角形理由如下：
4、.当CDEECD时，ECDE，ECDCDE30.AEDECDCDE，AED60.当ECDCED时，CDDE，ECDCEDCDE180，CED75.AED180CED105.当CEDCDE时，ECCD，ACD180CEDCDE1803030120，ACB120，此时，点D与点B重合，不合题意综上，ECD可以是等腰三角形，此时AED的度数为60或105.【变式训练1】(2018湖州)如图，AD，CE分别是ABC的中线和角平分线若ABAC，CAD20，则ACE的度数是(B)A20 B35 C40 D70【变式训练2】(2018河北大联考)如图，在ABC中，ABAC，D为BC边上的一点，且BABD，D
5、ADC，则C的度数为(B)A30 B36 C40 D451在同一个三角形中证明边相等或角相等的方法主要是等边对等角或等角对等边，在两个不同三角形中，证明两条边相等或角相等的方法是利用全等三角形2几何常见图形“8”字图，其基本构成过程是：(1)把三角形的中线加倍，即CD是ABC的中线，延长CD至F，使DFCD；(2)D是AB的中点，BFAC；(3)没有明确腰或底边的等腰三角形或没有明确顶角或底角的等腰三角形问题，解决时常常需要分类讨论,在ABC中，AB6，AC4，BC8，BP平分ABC，CP平分ACB.(1)如图1，过点P作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，则AEF的周长为10；(2)如图
6、2，过点P作PMAB交BC于点M，PNAC交BC于点N，则PMN的周长为8；【变式1】如图3，若点P为ABC的内心，将BAC平移使其顶点与P重合，则图中阴影部分的周长为8【变式2】如图4，若ABC的内角平分线BQ与外角平分线CQ相交于点Q，过点Q作QHBC交AB于点H，交AC于点R.若BH5，HR2，求CR的长【思路点拨】(1)由角平分线及两直线平行，内错角相等，可得到BEP，CFP均是等腰三角形，从而有EFEBFC，所以AEF的周长为ABAC；对于(2)同理可得，PMBM，PNCN，所以PMN的周长BMMNCNBC8，对于变式2连接PB，PC，根据(2)中结论可得阴影部分的周长；对于变式2可
7、证得BHQ，CRQ是等腰三角形【自主解答】解：HQBC，HQBQBC.又BQ平分ABC，HBQCBQ.HQBHBQ.HBHQ.同理可得CRRQ.CRRQHQHRBHHR523.【变式训练3】已知：如图，点D在ABC外，BD，CD分别平分ABC的外角GBC和HCB，过点D作DEBC，分别交BG，CH于E，F两点，则EF与BE，CF之间存在怎样的关系？写出你的结论，并加以证明解：结论：BECFEF.证明：BD平分EBC，CD平分FCB，EBDCBD，FCDBCD.EFBC，EDBCBD，FDCBCD.EBDEDB，FDCFCD.BEDE，CFDF.BECFDEDFEF.BECFEF.1角平分线平行
8、线可以得出等腰三角形模型如下：如图，OABC，OC平分AOB，则BOC为等腰三角形2利用等腰三角形的腰相等，可以实现化曲为直，实现线段求解或周长求解变式点：1内心可以看作三角形三条角平分线的交点2平移可以看作平行线3等腰三角形可以作一条线段绕其中一个端点旋转一个角度，交于另一个端点连接得到的图形4外心可以看作三角形三边垂直平分线的交点重难点2等边三角形的性质与判定(2018廊坊安次区模拟)如图，ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PDAB，PEBC，PFAC.若ABC的周长为12，则PDPEPF(C)A12 B8C4 D3【思路点拨】延长DP交AC于点M，由等边三角形的性质及两直线平
9、行，同位角相等，易得MDCC60，从而MDC是等边三角形，MPE也是等边三角形，有MDCMMPPDPEPD，又可得四边形AMPF是平行四边形，所以PFAM.所以ACPDPEPF4.【变式训练4】(2017河池)已知等边ABC的边长为12，点D是AB上的动点，过点D作DEAC于点E，过点E作EFBC于点F，过点F作FGAB于点G.当点G与点D重合时，AD的长是(C)A3 B4 C8 D9【变式训练5】如图，六边形ABCDEF中，每一个内角都是120，AB12，BC30，CD8，DE28.则这个六边形的周长为(C)A125B126C116D108这里依据两个角为60的三角形是等边三角形，利用等边三
10、角形的性质以及平行四边形的性质，化曲为直，平移线段，将三条线段的和转化成一条线段体现了整体求值的数学思想注：本题的结论与“过等边三角形内一点向三边作垂线段，三条垂线段”之和等于等边三角形的高类似1(2018宿迁)若实数m，n满足等式|m2|0，且m，n恰好是等腰ABC的两条边的边长，则ABC的周长是(B)A12 B10 C8 D62(2018德州改编)如图，OC为AOB的平分线，CMOB，OC5，OM4，则点C到射线OA的距离为(A)A3 B4 C5 D63(2018黄冈)如图，在ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，B60，C25，则BAD为(B)A50 B70 C
11、75 D804(2018福建)如图，等边ABC中，ADBC，垂足为D，点E在线段AD上，EBC45，则ACE等于(A)A15 B30 C45 D605(2018昆明)在AOC中，OB交AC于点D，量角器的摆放如图所示，则CDO的度数为(B)A90 B95 C100 D1206如图是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次)，不能得到两个等腰三角形纸片的是(B) AB CD7(2017枣庄)如图，在RtABC中，C90，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D.若C
12、D4，AB15，则ABD的面积是(B)A15 B30 C45 D608(2018玉林)如图，AOB60，OAOB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是(A)A平行 B相交 C垂直 D平行、相交或垂直9(2018南充)如图，在ABC中，AF平分BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，B70，FAE19，则C2410(2018吉林)我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k.若k，则该等腰三角形的顶角为36度11(2018嘉兴)如图，在ABC中，ABAC，D为AC的中点，DEAB，
13、DFBC，垂足分别为E，F，且DEDF.求证：ABC是等边三角形证明：DEAB，DFBC，AEDCFD90.D为AC的中点，ADDC.在RtADE和RtCDF中，RtADERtCDF(HL)AC.BABC.ABAC，ABBCAC.ABC是等边三角形12(2018绍兴)数学课上，张老师举了下面的例题：例1等腰三角形ABC中，A110，求B的度数(答案：35)例2等腰三角形ABC中，A40，求B的度数(答案：40或70或100)张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式等腰三角形ABC中，A80，求B的度数(1)请你解答以上的变式题；(2)解(1)后，小敏发现，A的度数不同，得到B的度数的个
14、数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设Ax，当B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围解：(1)若A为顶角，则B(180A)250；若A为底角，B为顶角，则B18028020；若A为底角，B为底角，则B80；故B50或20或80；(2)分两种情况：当90x180时，A只能为顶角，B的度数只有一个；当0x90时，若A为顶角，则B()；若A为底角，B为顶角，则B(1802x)；若A为底角，B为底角，则Bx.当1802x且1802xx且x，即x60时，B有三个不同的度数综上所述，可知当0x90且x60时，B有三个不同的度数13(2017武汉)如图，在RtABC中，C90，以ABC的一边为边画等
15、腰三角形，使得它的第三个顶点在ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为(D)A4 B5 C6 D714如图，在等边ABC中，AC8，点O在AC上，且AO3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60得到线段OD.要使点D恰好落在BC上，则AP的长是515(2018河北模拟)如图1，在等边ABC和等边ADP中，AB2，点P在ABC的高CE上(点P与点C不重合)，点D在点P的左侧，连接BD，ED.(1)求证：BDCP；(2)当点P与点E重合时，延长CE交BD于点F，请你在图2中作出图形，并求出BF的长；(3)直接写出线段DE长度的最小值解：(1)证明：ABC是等边三角形，ABAC，BAC60.ADP是等边三角形，ADAP，DAP60.DABBAPBAPCAP.DABCAP.DABPAC(SAS)BDCP.(2)如图2，ADP是等边三角形，当点P与点E重合时，有AEDE，AED60.CEAB，AEBEDE，BCEACB30.EBD30.DBC90.在RtBCF中，BC2，tanBCE，BF2tan30.(3)DE长度的最小值是，理由：如图3，由(1)知：DABPAC，取AC的中点F，连接PF，则PFDE，PF长度的最小值就是DE长度的最小值，过点F作FGCE于点G，垂足G就是PF最小时点P的位置，此时PF，故DE长度的最小值是.
