1、4 二維與三維運動二維與三維運動4-1物理學探討什麼物理學探討什麼4-2位置與位移位置與位移4-3平均速度與瞬時速度平均速度與瞬時速度4-4平均加速度與瞬時加速度平均加速度與瞬時加速度4-5拋體運動拋體運動4-6分析拋體運動分析拋體運動4-7等速圓周運動等速圓周運動4-8一維的相對運動一維的相對運動4-9二維的相對運動二維的相對運動4-1 物理學探討什麼物理學探討什麼n本章中我們將繼續探討關於運動分析方面的物理。不過，現在要考慮的運動可以是二維或三維的。n要研究二維及三維的運動，我們先由位置及位移的概念開始。4-2 位置與位移位置與位移n通常我們會用位置向量位置向量（position vect
2、or）r 來標示粒子（或像粒子的物體）的位置。位置向量是一個從參考點（通常為座標系的原點）延伸至粒子的向量。n以第 3 章的單位向量符號表示法，r 便可以被寫為圖4-1 一個粒子的位置向量 r，是 r 的向量分量的向量和。4-2 位置與位移位置與位移(續續)n假若在某一時間間隔內，粒子的位置向量從 r1 改變至 r2，則粒子在那段時間間隔內的位移r 為用 4-1 式中的單位向量符號表示，其中(x1,y1,z1)為位置向量 r1 的座標；(x2,y2,z2)為位置向量 r2 的座標。以x 代表(x2x1)、y 代表(y2y1)、z 代表(z2z1)，並將它們代入位移中重寫成：4-3 平均速度與瞬
3、時速度平均速度與瞬時速度n假若一個粒子在時間間隔t 內移動了r，則它的平平均速度均速度（average velocity）vavg 為或以符號寫成n利用 4-4 式，我們可將 4-8 式寫為向量分量的和4-3 平均速度與瞬時速度平均速度與瞬時速度(續續)n當我們講到粒子的速度速度（velocity）時，通常指的是粒子在某一時刻的瞬時速度瞬時速度（instantaneous velocity）v。v 是當t 趨近於 0 時 vavg 的極限值。以微積分的語言，v 可寫成導數4-3 平均速度與瞬時速度平均速度與瞬時速度(續續)n圖 4-4 畫出一個被限制在 xy 平面上的粒子之運動路徑。當粒子沿著
4、曲線向右運動時，它的位置向量隨著粒子掃向右邊。在時間間隔 t 內，粒子的位置向量從 r1 改變到 r2，粒子的位移便是 r。n要得到粒子在時刻 t1 的瞬時速度（此時粒子的位置在 r1），我們縮短在 t1 附近的時間間隔 t，並使其趨近於 0。4-3 平均速度與瞬時速度平均速度與瞬時速度(續續)n當t 0 極限時，我們有 vavgv；同時，最重要的是 vavg 在切線的方向上，所以 v 也在同樣的方向上：在三維空間的運動也是同樣的結果：v 總是與粒子的路徑相切。圖4-4 在時間 t1 時，粒子在位置 1，其位置向量是 r1；在時間 t2 時，粒子在位置 2，其位置向量是 r2。在時間間隔t 內
5、粒子的位移便是r。同時也畫出粒子於位置 1 時路徑的切線。圖4-5 粒子的速度 v 跟 v 的純量分量。4-4 平均加速度與瞬時加速度平均加速度與瞬時加速度 n在時間t 間隔內，若粒子的速度從 v1 改變到 v2。那麼，粒子在時間t 內的平均加速度平均加速度（average acceleration）aavg 為4-4 平均加速度與瞬時加速度平均加速度與瞬時加速度(續續)n對於某一時刻，我們縮短t 並使它趨近於 0。那麼，在此極限下，aavg 趨近於在那一時刻的瞬時加速度瞬時加速度instantaneous acceleration；或簡稱加速度加速度（acceleration）a；也就是n將
6、 4-16 式以單位向量表示可以將它改寫成4-4 平均加速度與瞬時加速度平均加速度與瞬時加速度(續續)n4-17式中，a 的純量分量為對 v 的純量分量做微分可以得到 a 的純量分量。4-5 拋體運動拋體運動n一粒子在鉛直面上運動，它的初速是 v0；不過，加速度一直都是向下的自由落體加速度 g。這樣的粒子就叫作拋體拋體（projectile；意指投射或投擲），而它的這種運動就稱為拋體運動拋體運動（projectile motion）。4-5 拋體運動拋體運動(續續)n拋體運動，乍看之下似乎很複雜，但卻可以用以下的特性（由實驗得知）簡化：n利用這個特性，我們能將二維運動的問題分成兩個獨立且較簡單
7、的一維運動問題。其中之一為水平運動（加速度為 0），另外一個是鉛直運動（有向下的等加速度）。4-5 拋體運動拋體運動(續續)兩個高爾夫球兩個高爾夫球n圖 4-10 為兩張高爾夫球的連續快照，其中一球只是被簡單地釋放並落下，另一顆球則是用彈簧將它水平射出落下。在相同的時間內它們落下的鉛直距離一樣，因此它們在鉛直方向上的運動是相同的。n雖然第二顆球在落下時有水平運動，但這個事實並沒有影響到它的鉛直運動；也就是說，水平和鉛直運動互相獨立。圖4-10 一球由靜止被釋放；同一時刻，另一顆球則是水平地往右方射出。它們在鉛直方向上的運動是相同的（圖片來源：Richard Megna/FundamentalP
8、hotographs）。4-5 拋體運動拋體運動(續續)一個令人深思的實驗一個令人深思的實驗n圖 4-11 是一個生動有趣的實驗示範。它包括以一顆小球當作拋體的吹管 G，目標為懸於磁鐵 M 下方的鐵罐，並使吹管對準鐵罐。我們特意安排實驗，使小球離開吹管的那一瞬間，磁鐵的磁力恰好消失並釋放鐵罐。n假若 g（自由落體加速度的大小）為 0，小球將會沿著圖 4-11 中的直線前進；而磁鐵釋放鐵罐後，鐵罐仍會漂浮在原地。因此，小球一定能擊中鐵罐。圖4-11 射出的小球總能擊中掉下來的鐵罐。小球和鐵罐兩者均從無自由落體加速度時的位置落下 h的距離。水平方向的運動水平方向的運動n由於在水平方向沒有加速度，拋
9、體的整個運動過程中，速度的水平分量保持不變並與初始值 v0 x 相同。n在任何時刻 t，拋體與其初始位置 x0 的水平位移 x x0 可由 2-15 式並令 a=0 求得。我們可以寫出因為 v0 x=v0 cos0，上式寫為4-6 分析拋體運動分析拋體運動鉛直方向的運動鉛直方向的運動n鉛直方向的運動即為 2-9 節中所討論過的自由落體運動，最重要的特點是加速度是個常數。因此表 2-1 的方程式可以應用，只要將 a 以 g 代替，並轉換成 y 座標的記號。例如 2-15 式就變成4-6 分析拋體運動分析拋體運動(續續)路徑方程式路徑方程式n將 4-21 式和 4-22 式中的時間變數 t 消去，
10、便可求得拋體的運動路徑（軌跡軌跡；trajectory）方程式。將 4-21 式的 t 解出，並將它代入 4-22 式中。整理後得n由於 g、0及 v0 均為常數，4-25 式有 y=ax+bx2 的函數形式，其中的 a 及 b 均為常數。這是一個拋物線方程式，因此該路徑呈拋物線形。4-6 分析拋體運動分析拋體運動(續續)水平射程水平射程n拋體的水平射程（horizontal range）R 是該物體與它初始位置（拋射時位置）在同一高度時的水平距離。要求出 R，我們令 4-21 式中的 x x0=R 及 4-22 式中的 y y0=0，可得n利用恆等式 sin 20=2 sin0 cos0，可
11、得4-6 分析拋體運動分析拋體運動(續續)n當 sin 20=1 時，4-26 式中的 R 有最大值，此時對應的角度是 20=90，也就是0=45。4-6 分析拋體運動分析拋體運動(續續)空氣的效應空氣的效應n我們曾經假設空氣不會影響拋體的運動。在很多情形下，由於空氣會（反向）阻擋物體的運動，這使得我們計算出的結果與拋體的實際運動有很大的不同。n例如圖 4-13 繪出一個被擊出的球之兩種運動路徑。這個球的初速是 44.7 m/s 並與水平成 60。路徑 I（由打擊手實際擊出的高飛球）是考慮一般球賽周遭的空氣條件時，所算出的運動路徑；路徑 II（物理教授的高飛球）是球在真空中的運動路徑。4-6
12、分析拋體運動分析拋體運動(續續)圖4-13 路徑 I 是考慮空氣的阻擋效應所算出的運動路徑。球在真空中的運動路徑 II 是以本章的方法計算出的。參考表 4-1中的資料。（取材自“The Trajectory of a Fly Ball,”by Peter J.Brancazio,The Physics Teacher,January 1985.）表4-1 n大聯盟最快速球的紀錄是由2003年費城人隊的Billy Wagner 所投出的101mi/hr,如果一般投手以此速度大小,水平地投球,當球飛行60.5呎的水平距離抵達本壘時,球下墜了多少垂直高度?請問石頭掉下海灘費時多久?觸地時之速率與角度
13、為何?n假若一粒子以固定的（均勻的）速率在一圓周或圓弧上運動，我們稱此粒子正在做等速圓周運動等速圓周運動（uniform circular motion）。n等速圓周運動時的加速度又被稱為向心加速度向心加速度（centripetal acceleration）。加速度 a 的大小為上式中，r 為圓的半徑，v 是粒子的速率。4-7 等速圓周運動等速圓周運動n雖然粒子正在做加速，但卻是維持等速率運動。因此，粒子繞行圓周一圈（距離 2r）所需時間便是T 稱為迴轉週期迴轉週期（period of revolution），或簡稱為週週期期（period）它通常是指粒子繞行一個封閉路徑一次所需的時問。4-
14、7 等速圓周運動等速圓周運動(續續)圖4-18 等速圓周運動時的速度向量和加速度向量。4-8 一維的相對運動一維的相對運動n一粒子的速度與觀察者或測量者所使用的參考座標系參考座標系（reference frame）有關。n假設 Alex（位於圖 4-20 內參考座標系 A 的原點）將車停於公路旁，觀察 P 車（視為粒子）的速度。Barbara（位於參考座標系 B 的原點）以等速率沿著公路行駛並同樣觀察 P 車。由圖 4-20可以看出n這方程式的意義是A 測量到的 P 的位置座標 xP A，等於 B 測量到的 P 的位置座標 xPB 加上 A 測量到的 B 的位置座標 xBA。4-8 一維的相對
15、運動一維的相對運動(續續)n此方程式的意思為A 測量到的 P 的速度 vP A，等於 B 測量到的 P 的速度 vPB 加上 A 測量到的 B 的速度 vBA。4-8 一維的相對運動一維的相對運動(續續)n要將 Barbara 和 Alex 測量到的 P 之加速度關聯起來，我們可以對 4-41 式取時間導數，得n因為 vBA 是常數，最後一項是 0，所以圖4-20 Alex（座標系 A）及 Barbara（座標系 B）以不同的速度，沿著兩座標系共同的 x 軸運動，並觀察 P 車。圖中畫出某一時刻的情形。xBA 是 B 在座標系 A 的座標，xPB 是 P 在座標系 B的座標，xPA=xPB+xBA 則是 P 在座標系 A 的座標。4-9 二維的相對運動維的相對運動n再次考慮，有兩名分別在參考座標系 A 和 B 原點上的觀察者，他們觀察一粒子 P 的運動。同時，對 A 而言，B 以一固定速度 vBA 運動（假設兩參考系上對應的軸依然平行）。4-9 二維的相對運動維的相對運動(續續)n因為 aBA 是常數，它的時間微分為 0。因此，可得圖4-21 相對於座標系 A，座標系 B 有一固定的二維速度 vBA，且 B 的位置向量是 rBA。粒子 P 的位置向量，對 A 而言是 rPA，對 B 而言是 rPB。
