1、第五节第五节 傅里叶级数傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数三三、正弦级数或余弦级数正弦级数或余弦级数一、三角级数一、三角级数,三角函数系的正交性三角函数系的正交性 10)sin()(nnntnAAtf 谐波分析谐波分析 10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA 10)sincos(2nnnnxbnxaa,200Aa 令令,sinnnnAa ,cosnnnAb ,xt 称为三角级数称为三角级数.简单的周期运动简单的周期运动 :)sin(tAy复杂的周期运动复杂的周期运动 :为振幅，为振幅，A为角频率，为角频率，.为为初初相相 得级数得级数(一一)三角级数三
2、角级数 三角函数系的正交性三角函数系的正交性证证:xxnxkdcoscosxxnkxnkd)cos()cos(21)(nk 01xnxdcos1xnxdsin0),2,1(nxnxk coscosxnkxnk)(cos)(cos21,上的积分等于上的积分等于 0.任意两个不同任意两个不同的函数之积在的函数之积在0dsinsin xxnxk同理可证同理可证:0dsincos xxnxk)(nk 机动 目录 上页 下页 返回 结束(二二)、三角函数系的正交性、三角函数系的正交性,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos,1nxnxxxxx,22cos1cos2xnxn22cos1sin2
3、xnxn2d11xxxn dcos2),2,1(nxxn dsin2上的积分不等于上的积分不等于 0.,且有且有 但是在三角函数系中两个但是在三角函数系中两个相同相同的函数的乘积在的函数的乘积在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 通常把两个函数通常把两个函数f与与g在在a,b上可积，且上可积，且badxxgxf0)()(我们称函数我们称函数f与与g在在a,b上正交的上正交的二、以二、以2 2 为周期的函为周期的函数的傅里叶级数数的傅里叶级数问题问题:是是什什么么？数数，若若函函数数能能展展开开成成三三角角级级iiba,.12.展开的条件是什么展开的条件是什么?.)1(0a求求xkxbkxax
4、axxfkkkd)sincos(d2d)(10 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf的的周周期期函函数数，是是周周期期为为设设2)(xf且能展开成三角级数且能展开成三角级数,220 a.d)(10 xxfa则则xkxbxkxaxakkkkdsindcosd2110 .)2(na求求 xnxaxnxxfdcos2dcos)(0dcossindcoscos1 xnxkxbxnxkxakkk(利用正交性利用正交性)xnxandcos2,na xnxxfandcos)(1则则).,3,2,1(n.)3(nb求求 xnxxfbndsin)(1则则).,3,2,1(n,nb xnxaxnxx
5、fdsin2dsin)(0dsinsindsincos1 xnxkxbxnxkxakkk(利用正交性利用正交性),2,1(,dsin)(1),2,1,0(,dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann 2020),2,1(,dsin)(1),2,1,0(,dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann或或傅里叶系数傅里叶系数代入傅里叶系数的三角级数称为代入傅里叶系数的三角级数称为傅里叶级数傅里叶级数 10)sincos(2nnnnxbnxaa问题问题:10)sincos(2?)(nnnnxbnxaaxf条条件件在什么条件下函数可以展开成傅里叶级数在什么条件下函数可以展开成傅里叶级数?定理定理
6、(收敛定理收敛定理,展开定理展开定理)设设 f(x)是周期为是周期为2 的的周期函数周期函数,并满足并满足狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)条件条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点在一个周期内只有有限个极值点,则则 f(x)的傅的傅里里叶级数收敛叶级数收敛,且有且有 10sincos2nnnnxbnxaa ,)(xf,2)()(xfxf x 为间断点为间断点其中其中nnba,(证明略证明略)为为 f(x)的傅的傅里里叶系数叶系数.x 为连续点为连续点注意注意:函数展成函数展成傅傅里里叶级数的条叶级数的条
7、件比展成幂级数件比展成幂级数的条件低得多的条件低得多.简介 目录 上页 下页 返回 结束 的连续点，是设)(),(.10 xfx则有则有),(.2x设间断点，的是)(xf;)()sincos(2:)(10 xfnxbnxaaxSnnn;)0()0(21)(xfxfxS则有则有时，当,.3x有有.)0()0(21)(ffxS即即解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.),2,1,0()12(处处不不连连续续在在点点 kkx2)(f收收敛敛于于20 .2 .)(0,00,)(2)(展展开开为为傅傅里里叶叶级级数数将将表表达达式式为为的的周周期期函函数数，它它在在上上的的是是周
8、周期期为为设设xfxtxxfxf 例例1).()12(xfkxx处处收收敛敛于于在在连连续续点点 txfa)d(10 0d1tx,2 0221 x 0dcos1xxnx xnxxfandcos)(1 02cossin1nnxnnxx 2cos1nn),2,1(2,012,)12(22 kknknk xnxxfbndsin)(1.)1(1nn 0dsin1xnxx 3o 2 2 3yx 2 )5sin515cos52(4sin41)3sin313cos32(2sin21)sincos2(4)(22xxxxxxxxxf ),3,(xx三、正弦级数或余弦级数三、正弦级数或余弦级数定义定义.sin)(
9、1称称为为正正弦弦级级数数为为奇奇函函数数，傅傅里里叶叶级级数数如如果果nxbxfnn .cos2)(10称为余弦级数称为余弦级数为偶函数，傅里叶级数为偶函数，傅里叶级数如果如果nxaaxfnn 内容小结内容小结1.周期为 2 的函数的傅里里叶级数及收敛定理)sincos(2)(10 xnbxnaaxfnnn)(间断点x其中xxnxfandcos)(1xxnxfbndsin)(1),2,1,0(n),2,1(n注意注意:若0 x为间断点,则级数收敛于2)()(00 xfxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.周期为 2 的奇、偶函数的傅里里叶级数 奇函数正弦级数 偶函数余弦级数3.在 0,
10、上函数的傅里里叶展开法 作奇周期延拓,展开为正弦级数 作偶周期延拓,展开为余弦级数1.在 0,上的函数的傅里里叶展开法唯一吗?答答:不唯一,延拓方式不同级数就不同.机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习傅里叶傅里叶(1768 1830)法国数学家法国数学家.他的著作他的著作热的解析热的解析 理论理论(1822)是数学史上一部经典性是数学史上一部经典性 书中系统的运用了三角级数和书中系统的运用了三角级数和 三角积分三角积分,他的学生将它们命名为傅他的学生将它们命名为傅里叶级数和傅里叶积分里叶级数和傅里叶积分.最卓越的工具最卓越的工具.以后以傅里叶著作为基础发展起来的以后以傅里叶著作为基础
11、发展起来的 文献文献,他深信数学是解决实际问题他深信数学是解决实际问题傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展 都产生了深远的影响都产生了深远的影响.狄利克雷狄利克雷(18 05 1859)德国数学家德国数学家.对数论对数论,数学分析和数学分析和数学物理有突出的贡献数学物理有突出的贡献,是解析数论是解析数论 他是最早提倡严格化他是最早提倡严格化方法的数学家方法的数学家.函数函数 f(x)的傅里叶级数收敛的第一个充分条件的傅里叶级数收敛的第一个充分条件;了改变绝对收敛级数中项的顺序不影响级数的和了改变绝对收敛级数中项的顺序不影响级数的和,举例说明条件收敛级数不具有这样的性质举例说明条件收敛级数不具有这样的性质.他的主要他的主要的创始人之一的创始人之一,并并论文都收在论文都收在狄利克雷论文集狄利克雷论文集(1889一一1897)中中.1829年他得到了给定年他得到了给定证明证明
