1、二、无穷小量阶的比较5 无穷大量与无穷小量 由于 等同于 因0lim()0,xxf xA0lim()xxf xA 分析”.相同的.所以有人把“数学分析”也称为“无穷小此函数极限的性质与无穷小量的性质在本质上是四、渐近线三、无穷大量一、无穷小量一、无穷小量定义定义1内内有有定定义义，的的某某邻邻域域在在点点设设)(00 xUxf ,0lim0 xfxx若若.0时的无穷小量时的无穷小量为为则称则称xxf为为类似地可以分别定义类似地可以分别定义f.时时的的无无穷穷小小量量和和有有界界量量.0时的有界量时的有界量xx 0fx若若在在点点的的某某个个空空心心邻邻域域内内有有界界，则称则称 f 为为,00
2、 xxxxxxx,显然，无穷小量是有界量显然，无穷小量是有界量.而有界量不一定是无穷而有界量不一定是无穷时的无穷小量；时的无穷小量；为为11 xx例如例如:对于无穷小量与有界量，有如下关系：对于无穷小量与有界量，有如下关系：；时的无穷小量时的无穷小量为为 112xxsin;xxx 为时的无穷小量为时的无穷小量sin.xx 为时的有界量为时的有界量小量小量.1.两个两个(类型相同的类型相同的)无穷小量的和，差，积仍是无穷小量的和，差，积仍是2.无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量.性质性质1 1可由极限的四则运算性质直接得到可由极限的四则运算性质直接得到.所以所以
3、因为因为的的,0lim,00 xfxx 使得当使得当存在存在,0 无穷小量无穷小量.下面对性质加以证明下面对性质加以证明.00|,|()|,1xxf xM 时从而时从而00lim()0,|()|,().xxf xg xM xUx 设对于任意设对于任意0()().f x g xxx这这就就证证明明了了是是时时的的无无穷穷小小量量例如例如:时时为为时的无穷小量，时的无穷小量，为为01sin0 xxxx.01sin时的无穷小量时的无穷小量为为的有界量，那么的有界量，那么xxx.01sinlimlim1sinlim000 xxxxxxx应当注意应当注意,下面运算的写法是错误的：下面运算的写法是错误的：
4、|()()|.f x g x xxy1sin 从几何上看，曲线从几何上看，曲线在在 近旁发生无近旁发生无0 x限密集的振动，其振幅被两条直线限密集的振动，其振幅被两条直线xy 所限制所限制.y-0.1-0.050.050.1-0.1-0.05O0.050.1xxy xxy1sin xy 二、无穷小量阶的比较两个相同类型的无穷小量，它们的和两个相同类型的无穷小量，它们的和、差差、积仍积仍 xgxfxxxgxfxx是关于是关于时时则称则称，若若00lim.10 .,0均是无穷小量均是无穷小量时，时，设当设当xgxfxx 出如下定义出如下定义.两个无穷小量之间趋于零的速度的快慢，我们给两个无穷小量之
5、间趋于零的速度的快慢，我们给这与它们各自趋于零的速度有关这与它们各自趋于零的速度有关.为了便于考察为了便于考察是无穷小量，但是它们的商一般来说是不确定的是无穷小量，但是它们的商一般来说是不确定的.的的高高阶阶无无穷穷小小量量，记记作作.)()()(0 xxxgoxf.)()1()(0 xxoxf.)0,0()(1 kxxoxkk;)0()1(sin xox例如：例如：;)0()(cos1 xxox0()f xxx当为时的无穷小量时，我们记当为时的无穷小量时，我们记2.若存在正数若存在正数 K 和和 L，使得在，使得在 x0 的某一空心邻域的某一空心邻域)(0 xU内，有内，有,)()(Mxgx
6、fL 根据函数极限的保号性，特别当根据函数极限的保号性，特别当0)()(lim0 cxgxfxx时，这两个无穷小量一定是同阶的时，这两个无穷小量一定是同阶的.例如例如:,0时时当当xxcos1 与与2x是同阶无穷小量是同阶无穷小量;则称则称 与与 是是0 xx 时的同阶无穷小量时的同阶无穷小量.)(xf)(xg3.若两个无穷小量在若两个无穷小量在)(0 xU内满足内满足:,)()(Lxgxf 则记则记).()()(0 xxxgOxf 当当0 x时，时，x 与与 xx1sin2是同阶无穷小量是同阶无穷小量.,)(0时的有界量时时的有界量时为为xxxf我们记我们记.)()1()(0 xxOxf 应
7、当注意，若应当注意，若)(,)(xgxf为为0 xx 时的同阶无时的同阶无穷小量，当然有穷小量，当然有.)()()(0 xxxgOxf 反之不一定成立反之不一定成立,例如例如.)0()(1sin xxOxx但是这两个无穷小量不是同阶的但是这两个无穷小量不是同阶的.注意：注意：这里的这里的)()()()(xgOxfxgoxf 与与)(0 xx 和通常的等式是不同的，这两个式子的和通常的等式是不同的，这两个式子的右边，本质上只是表示一类函数例如右边，本质上只是表示一类函数例如)(xgo表示表示 的所有高阶无穷小量的集合的所有高阶无穷小量的集合)(xg)(0 xx.)()()(0 xxxgxf;)0
8、(sin ,1sinlim0 xxxxxx所以所以因为因为;)0(arctan ,1arctanlim 0 xxxxxx所以所以因为因为则称则称若若,1)()(lim.40 xgxfxx时的时的为为与与0 )()(xxxgxf等价无穷小量，记作等价无穷小量，记作也就是说，这里的也就是说，这里的“=”类似于类似于.”“.0)(21cos12 xxx同样还有同样还有根据等价无穷小量的定义，显然有如下性质：根据等价无穷小量的定义，显然有如下性质：),()()(),()()(00 xxxhxgxxxgxf若若.1)()(lim)()(lim)()(lim 000 xhxgxgxfxhxfxxxxxx前
9、面讨论了无穷小量阶的比较前面讨论了无穷小量阶的比较,值得注意的是值得注意的是,并并.)()()(0 xxxhxf那么那么这是因为这是因为不是任何两个无穷小量都可作阶的比较不是任何两个无穷小量都可作阶的比较.例如例如xxsin与与21x均为均为x时的无穷小量时的无穷小量,却不能却不能按照前面讨论的方式进行阶的比较按照前面讨论的方式进行阶的比较.这是因为这是因为)(sin1sin2 xxxxxx是一个无界量，并且是一个无界量，并且(2)sin(2)0.nn下面介绍一个非常有用的定理：下面介绍一个非常有用的定理：定理定理3.12 设函数设函数 f,g,h 在在)(0 xU内有定义内有定义,且且.)(
10、)()(0 xxxgxf;)()(lim,)()(lim)1(00AxhxgAxhxfxxxx 则则若若.)()(lim,)()(lim)2(00AxgxhAxfxhxxxx 则则若若.)()()()(lim)()(lim00Axhxfxfxgxhxgxxxx 证证,1)()(lim,)()(lim)1(00 xgxfAxhxfxxxx因为因为所以所以定理定理 3.12 告诉我们，在求极限时，乘积中的因子告诉我们，在求极限时，乘积中的因子例例1.2sinarctanlim0 xxx计算计算.212lim2sinarctanlim00 xxxxxx解解),0(22sin,arctanxxxxx因
11、为因为所以所以(2)可以类似地证明可以类似地证明.可用等价无穷小量代替，这是一种很有用的方法可用等价无穷小量代替，这是一种很有用的方法.例例2.sinsintanlim30 xxxx 计算计算解解3030sintanlimsinsintanlimxxxxxxxx 30)1cos1(sinlimxxxx xxxxxcos)cos1(sinlim30 3202limxxxx .21 有定义有定义,若对于任给若对于任给定义定义2设函数设函数 f 在在)(0 xU|()|,f xG.)(lim0 xfxx)();(00 xUxUx G 0,存在存在 0，使得当，使得当则称函数则称函数 f(x)当当 x
12、 x0 时为无穷大量时为无穷大量,记作记作时时,有有三、无穷大量|()|()(),f xGf xGf xG 若若定定义义中中的的改改为为或或记作记作00lim()lim().xxxxf xf x 或或请读者自行写出它们的定义请读者自行写出它们的定义.;)(lim,)(lim,)(lim xfxfxfxxx;)(lim,)(lim,)(lim xfxfxfxxx.)(lim,)(lim,)(lim xfxfxfxxx0()f xxx相相应应地地称称为为时时的的正正无穷大量和负无无穷大量和负无类似地可以定义如下的无穷大量类似地可以定义如下的无穷大量:穷大量穷大量.例例3.1lim20 xx证明证明
13、证证,|0,1,0时时当当取取 xGG,12Gx.1lim20 xx所以所以例例4 当当 a 1 时，求证时，求证.lim xxa这就证明了这就证明了.lim xxaxalog函数函数的严格递增性，的严格递增性，,Gax 当当 x M 时，时，证证 G 0(不妨设不妨设 G 1),log GMa 令令由对数由对数,0Gaann .lim nna即即例例6 6设设 递增，无上界递增，无上界.证明证明.lim nnana证证 因为因为 无上界，所以任给无上界，所以任给 G 0，存在，存在na,0n.0Gan 又因又因 递增，递增，使使na故当故当 时，有时，有0nn 例例50lim ln.xx 证
14、证明明证证0,0,0,Gx对对要要找找到到使使得得ln.xG -lne0.Gx 由由于于单单调调增增,只只要要令令即即可可从无穷大量的定义与例从无穷大量的定义与例3、例、例4和例和例5可以看出：可以看出：无穷大量不是很大的一个数，而是具有非正常的无穷大量不是很大的一个数，而是具有非正常的极限极限.很明显，若很明显，若,)(lim0 xfxx那么那么 f(x)在在 x0 的任何一个邻域内无界的任何一个邻域内无界.但值得注意的是但值得注意的是:若若 f(x)例如：例如：xxxfsin)(在在 的任何邻域内无界，但的任何邻域内无界，但却不是却不是 x 时的无穷大量时的无穷大量.事实上事实上,对对无界
15、量无界量),并不能保证并不能保证 f(x)是是 x x0 的无穷大量的无穷大量.在在 x0 的任何邻域内无界的任何邻域内无界(称称 f(x)是是 x x0 时的时的2,2,1,2,2nnxnynn因而因而 f(x)不是不是 x 时的无穷大量时的无穷大量.有有.0)(,)(nnyfxf两个无穷大量也可以定义阶的比较两个无穷大量也可以定义阶的比较.设设.)(lim)(lim00 xgxfxxxx的的高高阶阶是是关关于于则则称称若若)()(,0)()(lim.10 xfxgxgxfxx 无穷大量无穷大量.使使和正数和正数若存在正数若存在正数,.2 KL,),(0时时 xUx,)()(KxgxfL 则
16、称则称 f(x)与与 g(x)是当是当 x x0 时的一个同阶无穷时的一个同阶无穷大量大量.是是与与则称则称若若)()(,1)()(lim.30 xgxfxgxfxx 当当 x x0 时时的等价无穷大量，的等价无穷大量，记为记为.,)()(0 xxxgxf下述定理反映了无穷小量与无穷大量之间的关系下述定理反映了无穷小量与无穷大量之间的关系,直观地说：无穷大量与无穷小量构成倒数关系直观地说：无穷大量与无穷小量构成倒数关系.定理定理3.13(1)若若 f 为为 xx0 时的无穷小量时的无穷小量,且不等于零且不等于零,则则为为f1.0时的无穷大量时的无穷大量xx 证证这里仅证明定理的这里仅证明定理的
17、(1).对于任意正数对于任意正数G,因为因为有有时时当当,|00 xx,)(1,1|)(|GxfGxf 即即这就证明了这就证明了.)(1lim0 xfxx时时为为则则时的无穷大量时的无穷大量为为若若001,)2(xxgxxg的无穷小量的无穷小量.f 为为 x x0 时的无穷小量，时的无穷小量，所以存在所以存在,0 使得使得.)()(lim0 xgxfxx.2|)(|bxf 又因为又因为,)(lim0 xgxx所以对于任意正数所以对于任意正数G，存在，存在,|0,0202时时当当 xx.|2|)(|Gbxg 证证由极限的保号性由极限的保号性,0)(lim0 bxfxx因为因为存在存在有有时时当当
18、,|010 xx,01 例例7,)(lim,0)(lim00 xgbxfxxxx设设求证求证有有时时当当令令,|0,min021 xx,|22|)()(|GGbbxgxf .)()(lim0 xgxfxx注注 对于函数对于函数有有时时当当,0,1)(,)(xxxgxxf.1)()(lim0 xgxfx这就说明了当这就说明了当 b=0 时结论不一定成立时结论不一定成立.即即例例8存在存在证明证明时的无界量时的无界量为为设设:.)(0 xxxf使得使得,00 xxxxnn 都存在都存在,0 使得使得时时当当,|0,0 xxx.|)(|Gxf ,1|0,1,101111时时当当对对 xxxG;1|)
19、(|1 xf.)(lim nnxf证证，为无界量为无界量时时因为因为)(0 xfxx 所以所以,0 G;2|)(|2 xf.;|)(|nxfn.)(lim nxxf,21|0,21,202222时时当当对对 xxxG,1|0,1,0时时当当对对nxxxnnGnnnn 由此得到一列由此得到一列 ，满足，满足 且且,00 xxxxnn nx.注注 例例8的证明虽然有些难度，但它却提供了选取的证明虽然有些难度，但它却提供了选取法法,对提高解题能力是有益处的对提高解题能力是有益处的.符合要求的点列的一种方法符合要求的点列的一种方法.熟练地掌握这种方熟练地掌握这种方四、渐近线作为函数极限的一个应用，我们
20、来讨论曲线的渐作为函数极限的一个应用，我们来讨论曲线的渐在中学里我们已经知道双曲线的在中学里我们已经知道双曲线的标准方程为标准方程为,12222byax它的渐近线方程为它的渐近线方程为.xabyxaby xaby 12222 byaxoxy近线问题近线问题.下面给出渐近线的一般定义下面给出渐近线的一般定义.定义定义4 设设 L 是一条直线是一条直线,若曲线若曲线 C 上的动点上的动点 P 沿沿曲线无限远离原点时曲线无限远离原点时,点点 P 与与 L 的距离趋于零，则的距离趋于零，则称直线称直线 L 为曲线为曲线 C 的一条渐近线的一条渐近线(如图如图).bkxy PNML L)(xfy C C
21、xyO.1)(|cos|2kbkxxfPMPN 由渐近线的定义，由渐近线的定义，或或时时(x xx,01)(lim2 kbkxxfx即即时）时）,0,PN首先首先,我们来看如何求曲线我们来看如何求曲线 的斜渐近线的斜渐近线.)(xfy 如图所示如图所示,设斜渐近线设斜渐近线 L 的方程为的方程为.bkxy 曲曲线上的动点线上的动点 至直线至直线 L 的距离为的距离为),(yxP从而从而.)(limkxxfbx 又又xkxxfkxxfxx )(lim)(lim,0lim xbx所以，所以，.)(limxxfkx 这样就确定了斜渐近线的两个参数：这样就确定了斜渐近线的两个参数：,)(limxxfk
22、x .)(limkxxfbx 这是沿这是沿 x 轴正向的渐近线的方程轴正向的渐近线的方程.显然沿显然沿 x 轴负向轴负向,)(limxxfkx .)(limkxxfbx 同样也可以求出沿着同样也可以求出沿着 x 的渐近的渐近线方程线方程.的斜渐近线的斜率和截距分别为的斜渐近线的斜率和截距分别为注注 特别当特别当 k=0 时，该渐近线称为水平渐近线时，该渐近线称为水平渐近线.)()(lim Axfx.)(lim,)(lim(AxfAxfxx 满足满足若函数若函数)(xf )(lim0 xfxx,)(lim)(lim(00 xfxfxxxx或或则称则称 x=x0 是曲线是曲线 的垂直渐近线的垂直渐
23、近线.)(xfy 显然，曲线显然，曲线 y=f(x)有水平渐近线的充要条件是有水平渐近线的充要条件是例例9 求曲线求曲线3223 xxxy的渐近线的渐近线.)(lim,)(lim31 xfxfxx并且并且 f(x)在其他点处均有有限极限，所以求得在其他点处均有有限极限，所以求得垂垂.3,1 xx解解易见易见,)1)(3(3 xxx32)(23 xxxxf设设直渐近线为直渐近线为:,1)1)(3(lim)(lim2 xxxxxfxx又又;1 k得得xxxxxxf 32)(23,323222 xxxx.2)(lim xxfbx得得于是求得斜渐近线方程为于是求得斜渐近线方程为（如如右右图图所所示示）.2 xy13 2 xyOxy1 x3 x复习思考题1.1.两个无穷大量的和、差与积是否仍是无穷大量两个无穷大量的和、差与积是否仍是无穷大量?2.2.下面的运算是否正确下面的运算是否正确?;0limsinlim)1(3030 xxxxxxxx.1limsinlim)2(xxxxxx
