1、第三章第三章 换面法换面法主要内容主要内容1 1、换面法的目的、概念、基本原则。、换面法的目的、概念、基本原则。2 2、点的投影变换规律。、点的投影变换规律。3 3、基本作图问题：、基本作图问题：1 1）一般位置直线）一般位置直线投影面平行线投影面平行线2 2）一般位置直线）一般位置直线投影面垂直线投影面垂直线3 3）一般位置平面）一般位置平面投影面垂直面投影面垂直面4 4）一般位置平面一般位置平面投影面平行面投影面平行面4 4、应用举例。、应用举例。第一节第一节 更换投影面的基本概念更换投影面的基本概念 当空间几何要素对投影面处于一般位置时，解题过程繁琐。当空间几何要素对投影面处于一般位置时
2、，解题过程繁琐。利用更换投影面的方法，改变几何要素对投影面的相对位置，利用更换投影面的方法，改变几何要素对投影面的相对位置，把把一般变为特殊一般变为特殊,从而有利于解题，是更换投影面的从而有利于解题，是更换投影面的 空间几何要素对投影面处于特殊位置，某些度量问题（如实空间几何要素对投影面处于特殊位置，某些度量问题（如实形、距离、夹角等）的答案可在投影图中直接反映，在解决定位形、距离、夹角等）的答案可在投影图中直接反映，在解决定位问题（如交点、交线、垂足等问题（如交点、交线、垂足等 ）时，问题可简化。）时，问题可简化。求求平平面面实实形形反映实形反映实形求点求点到正到正垂面垂面ABCDABCD的
3、的距距离离EKEK反映距离实长反映距离实长求一求一般位般位置直置直线与线与铅垂铅垂面的面的交点交点一、更换投影面的目的一、更换投影面的目的求交点较容易求交点较容易目的目的X2 2、基本原则：、基本原则：1 1）新设的投影面（）新设的投影面（V1或或H1）必须垂直于一个原有的（）必须垂直于一个原有的（V或或H）投）投影面，以保证形成新的两投影面体系，继续使用正投影规律。影面，以保证形成新的两投影面体系，继续使用正投影规律。VV1HABCa(b)cabca1c1b1例例:ABC平面平面在在V/H投影面内投影面内ABC为铅垂面。为铅垂面。OO1X1二、建立新投影面体系二、建立新投影面体系1 1、更换
4、投影面：空间几何要素位置不动，用新的投影面代替旧、更换投影面：空间几何要素位置不动，用新的投影面代替旧的投影面，从而建立新的投影面体系，使空间几何要素对投影的投影面，从而建立新的投影面体系，使空间几何要素对投影面处于有利于解题的位置。面处于有利于解题的位置。在在H面为面为一条直线一条直线在在V面为面为类似形类似形用平行于用平行于ABC的投影面的投影面V1更换更换V，V1垂直于垂直于H，与，与H构成新两投影面体系，构成新两投影面体系，V1面内可反映面内可反映ABC实形。实形。2 2）新投影面必须使空间几何要素处于有利于解题的位置。）新投影面必须使空间几何要素处于有利于解题的位置。aaa1O一、一
5、、更换正立投影面更换正立投影面 点的投影变换规律：点的投影变换规律：1 1、点的新投影和不变投影的连线垂直于新投影轴；、点的新投影和不变投影的连线垂直于新投影轴；第二节第二节 点的投影变换规律点的投影变换规律 更换面法首先要解决，根据原有投影怎样求新投影的问题。更换面法首先要解决，根据原有投影怎样求新投影的问题。点是最基本的几何要素，先分析点是如何由原有投影求新投影？点是最基本的几何要素，先分析点是如何由原有投影求新投影？VHXAaaaxV1O1X1a1ax1OXVHaxO1X1ax1用用V1面更面更换换V面面新轴位置新轴位置与点的距与点的距离无关离无关V1HV1面应与面应与H面垂直面垂直O1
6、X1为为轴向下轴向下旋转旋转V1 面与面与H面重合面重合a a1 o1x12 2、点的新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离。、点的新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离。aO二、二、更换水平投影面更换水平投影面 点的投影变换规律：点的投影变换规律：1 1、点的新投影和不变投影的连线垂直于新投影轴；、点的新投影和不变投影的连线垂直于新投影轴；VHXAaaaxH1O1X1ax1OXVHaxaO1X1ax1a1a1V H1H1面应与面应与V面垂直面垂直用用H1面更面更换换H面面 2 2、点的新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离、点的新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离.V1不变投影不变
7、投影 有时需要连续两次更换有时需要连续两次更换投影面，解决一些实际问题。投影面，解决一些实际问题。注意：注意：1 1、分清各投影；、分清各投影；2 2、作图准确。、作图准确。三、连续两次更换投影面三、连续两次更换投影面OXVHaaO1X1axax1HV1a1O2X2ax2V1H2a2变换两次投影面时，变换两次投影面时，求点的新投影的原理和方法和求点的新投影的原理和方法和变换一次投影面相同变换一次投影面相同旧投影旧投影H不变投影不变投影新投影新投影旧投影旧投影新投影新投影新投影到新轴的距离新投影到新轴的距离=旧投影到旧轴的距离旧投影到旧轴的距离 当连续两次当连续两次更换投影面时，更换投影面时，必
8、须使必须使V面与面与H面面交替进行变换，交替进行变换，不能连着变换同不能连着变换同一个投影面。一个投影面。四种四种 利用更换投影面法解决空间几何元素问题时，利用更换投影面法解决空间几何元素问题时，可归结为四种基本作图问题可归结为四种基本作图问题：第三节第三节 基本作图问题基本作图问题一、将一般位置直线变换为投影面平行线一、将一般位置直线变换为投影面平行线一般位置直线变换为投影面平行线一般位置直线变换为投影面平行线一般位置平面变换为投影面垂直面一般位置平面变换为投影面垂直面投影面垂直线；投影面垂直线；投影面平行面。投影面平行面。例：求直线例：求直线ABAB实长及其对实长及其对H H面的倾面的倾；
9、一、将一般位置直线变换为投影面平行线一、将一般位置直线变换为投影面平行线分析：分析：1、投影面的、投影面的平行线反映平行线反映线段的实长和对投影面的夹角；线段的实长和对投影面的夹角；如：水平线如：水平线水平投影水平投影反映实长和反映实长和角。角。正平线正平线正面投影反映实长和正面投影反映实长和角。角。2、若求线段实长，应使新设投影面与、若求线段实长，应使新设投影面与线段平行。若求线段平行。若求夹角，夹角，应使线段变换为正平线。所以应用应使线段变换为正平线。所以应用V1面更换面更换V面，即用面，即用（V1H）替换（）替换（VH）两投影体系。）两投影体系。3、新设、新设V1面与面与AB线段平行，则
10、线段平行，则AB线在新的（线在新的（V1H）两投）两投影面体系里为正平线，影面体系里为正平线，AB在在V1面的投影反映实长，也反映面的投影反映实长，也反映线段对线段对H投影面的夹角投影面的夹角，可满足题的要求。，可满足题的要求。XHOABbaabV例：求直线例：求直线ABAB实长及其对实长及其对H H面的倾面的倾；一、将一般位置直线变换为投影面平行线一、将一般位置直线变换为投影面平行线 XVHOABbaabV1O1X1a1b1 OXVHababO1X1HV1a1b1变换变换1 1次投影面次投影面可将一般位置可将一般位置直线变为投影直线变为投影面平行线面平行线（1次次）用用V1面面更换更换V面面
11、O1X1应与应与ab平行平行1、新设、新设V1面与面与AB线段平行线段平行2、求、求AB线段在线段在V1面的面的投影投影3、求、求AB线段与线段与H面的夹角面的夹角作图：作图：投影图：投影图：O1X1应与应与ab平行平行简单小结：简单小结：通过一次更换投影面，可将一般位置直线通过一次更换投影面，可将一般位置直线投影面的平行线。投影面的平行线。用用H1 H面，面，AB为为水平线，水平线，H1面反映实长及对面反映实长及对V面的夹角面的夹角。用用V1 V面，面，AB为正平线，为正平线，V1面反映实长及对面反映实长及对H面的夹角面的夹角 。XOO1X1X2O2二、将一般位置直线变为投影面垂直线二、将一
12、般位置直线变为投影面垂直线1、空间直线对、空间直线对V、H面均倾斜，面均倾斜，若新设一个投影面既垂直于一若新设一个投影面既垂直于一般位置直线，同时又要垂直于般位置直线，同时又要垂直于一原有的（一原有的（V、H）投影面，）投影面，是不可能做到的。是不可能做到的。分析：分析：2、通过上一例题说明，、通过上一例题说明，将一般位置直线，通过一将一般位置直线，通过一次换面（次换面（V1）可以变换）可以变换为投影面的平行线（即：为投影面的平行线（即：正平线）。此时，新设投正平线）。此时，新设投影面可以垂直于正平线，影面可以垂直于正平线，又可以垂直于又可以垂直于V1面是可面是可以实现的。以实现的。3、故先设
13、新投影面将直线变换为投影面的平行线，再次设新投、故先设新投影面将直线变换为投影面的平行线，再次设新投影面将平行线变换为投影面的垂直线，以实现题意要求。影面将平行线变换为投影面的垂直线，以实现题意要求。XOO1X1X2O2二、将一般位置直线变为投影面垂直线二、将一般位置直线变为投影面垂直线作图：作图：1、设新投影面、设新投影面V1，将一般，将一般位置直线变换为投影面的位置直线变换为投影面的平行线（即：正平线）。平行线（即：正平线）。3、通过连续两次换面，将、通过连续两次换面，将一般位置直线变换为投影一般位置直线变换为投影面的垂直线。面的垂直线。2、再设新投影面、再设新投影面H2，将，将投影面的平
14、行线（即：正投影面的平行线（即：正平线）变换为投影面的垂平线）变换为投影面的垂直线。直线。平行平行H2V1和和直线直线V1 Ha2b2 OXVHababO1X1HV1a1b1投影图：投影图：二、将一般位置直线变为投影面垂直线二、将一般位置直线变为投影面垂直线O1X1abO2X2a1b1XOO1X1X2O2O2X2H2V11、第一次变换、第一次变换V1V，将一般位置直线将一般位置直线AB变换变换为投影面平行线，即：为投影面平行线，即：O1X1ab。2、第二次变换、第二次变换H2H，将投影面平行线将投影面平行线AB变换变换为投影面的垂直线，即：为投影面的垂直线，即：O2X2a1b1。一般位置直线一
15、般位置直线1 1次次投影面平行线投影面平行线1次次投影面垂直线投影面垂直线（2次）次）O三、将一般位置平面变换为投影面垂直面三、将一般位置平面变换为投影面垂直面VHABCabcabcX将一般位置将一般位置ABC平面平面变换为正垂面：变换为正垂面：1、新设新设V1面应与面应与ABC垂直，在垂直，在V1面的投影应积聚为一条线，使其面的投影应积聚为一条线，使其ABC在新的（在新的（V1H）两投影面）两投影面体系里为正垂面。体系里为正垂面。2、根据两面垂直的条件：若根据两面垂直的条件：若V1 面面垂直于垂直于ABC面内的任一条线，则面内的任一条线，则V1 与与ABC两面即垂直。两面即垂直。分析：分析：
16、三、将一般位置平面变换为投影面垂直面三、将一般位置平面变换为投影面垂直面VHABCabcabcXDddV1a1b1c1d1 X1将一般位置将一般位置ABC平面平面变换为正垂面：变换为正垂面：（1次）次）O12、设、设V1 面垂直于面垂直于CD直线，即直线，即O1 X1垂直与垂直与cd。作图：作图：1、在、在ABC平面取一条水平线平面取一条水平线CD O3、求、求 ABC平面在平面在V1 投影面上的投影面上的投影（投影（c1d1为重影点）。为重影点）。4、ABC平面平面在在V1 面上的投影积面上的投影积聚为聚为一条线一条线。5、该积聚线与、该积聚线与O1X1轴的夹角，是轴的夹角，是ABC平面与平
17、面与H 上的夹角。上的夹角。下面在投影图中作图下面在投影图中作图通过分析、通过分析、作图，需要几次换面？作图，需要几次换面？ABC平面在平面在V1H 两投影体系中为正垂面两投影体系中为正垂面三、将一般位置平面变换为投影面垂直面三、将一般位置平面变换为投影面垂直面VHABCabcabcXDddV1a1b1c1d1 X1将一般位置将一般位置ABC平面平面变换为正垂面：变换为正垂面：（1次）次）O1投影图作图：投影图作图：O a1d d1 1(c(c1 1)OXHabcabcddO1X1HV1b1V1、在、在ABC平面取一条水平线平面取一条水平线CD。2、设、设V1 面垂直于面垂直于CD直线，即直线
18、，即O1 X1垂直于垂直于cd。3、求、求 ABC平面在平面在V1 投影面上的投影（投影面上的投影（c1d1为重影点）。为重影点）。5、该积聚线与、该积聚线与O1X1轴的夹角，是轴的夹角，是ABC平面与平面与H 上的夹角。上的夹角。4、ABC平面平面在在V1 面上的投影积聚为面上的投影积聚为一条线一条线。三、将一般位置平面变换为投影面垂直面三、将一般位置平面变换为投影面垂直面VHABCabcabcXDddV1a1b1c1d1 X1将一般位置将一般位置ABC平面平面变换为正垂面：变换为正垂面：（1次）次）O1投影图作图：投影图作图：O a1d d1 1(c(c1 1)OXHabcabcddO1X
19、1HV1b1V简单小结：简单小结：1、变换为正垂面、变换为正垂面在平面上取水平线在平面上取水平线设立设立V1 代替代替V反映反映 2、变换为铅垂面、变换为铅垂面在平面上取正平线在平面上取正平线设立设立H1 代替代替H反映反映 若要反映倾角若要反映倾角，应怎样更换投影，应怎样更换投影面面四、将一般位置平面变换为投影面平行面四、将一般位置平面变换为投影面平行面新设的投影面要平行于三角形新设的投影面要平行于三角形平面，同时还要垂于一个原有平面，同时还要垂于一个原有投影面（投影面（V或或H），不可能存在），不可能存在这样的平面。这样的平面。分析：分析：XVV1HABCa(b)cabca1c1b1OO1
20、X1在在V1面面为实形为实形VHABCabcabcXDddV1a1b1c1d1 X1O1O四、将一般位置平面变换为投影面平行面四、将一般位置平面变换为投影面平行面1、此图已分析说明，将一般、此图已分析说明，将一般位置的三角形平面，通过一位置的三角形平面，通过一次换面可以变换为投影面的次换面可以变换为投影面的垂直面垂直面(正垂面正垂面)。2、又由此图可知，投影面的垂、又由此图可知，投影面的垂直面直面(正垂面正垂面)通过一次换面，通过一次换面，可以换为投影面的平行面，得可以换为投影面的平行面，得到实形到实形。3、因此，将一般位置平面变换为投影面的平行面时，可以通过、因此，将一般位置平面变换为投影面
21、的平行面时，可以通过两次换面实现。两次换面实现。为铅垂面为铅垂面V1面为面为正垂面正垂面为一般位置面为一般位置面（2次）次）一般位置平面一般位置平面1 1次次投影面垂直面投影面垂直面1次次投影面平行面投影面平行面图片将一般位置平面通过两次换面，变换为投影面的垂直面。图片将一般位置平面通过两次换面，变换为投影面的垂直面。当连续两次更换投影面时，必须使当连续两次更换投影面时，必须使V面与面与H面交替进行变换。面交替进行变换。c2db画投影图：画投影图：OXVHacabc1、在、在ABC平面内找一水平线，用平面内找一水平线，用V1更换更换V面，面，O1X1cd，在，在V1H两两面体系里为正垂面。面体
22、系里为正垂面。dO1X1HV1d1a1b1O2X2V1H2a2b2c12、第二次换面，用、第二次换面，用H2更换更换H面，面，O2X2积聚线积聚线，使，使面面在在V1H2两面体系里为水平面，两面体系里为水平面，是投影面的平行面。是投影面的平行面。四、将一般位置平面变换为投影面平行面四、将一般位置平面变换为投影面平行面四四种种 利用更换投影面法解决空间几何元素问题时，利用更换投影面法解决空间几何元素问题时，可归结为四种基本作图问题可归结为四种基本作图问题：一般位置直线变换为投影面平行线一般位置直线变换为投影面平行线一般位置平面变换为投影面垂直面一般位置平面变换为投影面垂直面投影面垂直线投影面垂直
23、线投影面平行面投影面平行面小结：小结：（1次）次）（2次）次）（1次）次）（2次）次）换面换面1、点投影变换规律；、点投影变换规律；2、新轴的设置，与投影积聚线平行或垂直。、新轴的设置，与投影积聚线平行或垂直。掌握：掌握：m1mmb2(a2)m2n2例例1：用换面法求点：用换面法求点M到一般到一般位置直线位置直线AB的距离。的距离。第四节第四节 换面法应用举例换面法应用举例2、根据换面法基本作图方法，确定变换次数和变换步骤，具体作图。、根据换面法基本作图方法，确定变换次数和变换步骤，具体作图。一、应用换面法解题的步骤一、应用换面法解题的步骤1、空间分析，确定空间几何要素与新投影面应处于何种位置
24、有利于解题。、空间分析，确定空间几何要素与新投影面应处于何种位置有利于解题。二、应用举例二、应用举例解：解：介绍两种方法介绍两种方法方法一：方法一：abOXVHO1X1HV1abO2X2V1H2a1b12、须要将、须要将AB变换为投影面垂直线，则变换为投影面垂直线，则M到到AB的垂线的垂线MN(点点N为垂足为垂足)是是投影面平投影面平行线，反映距离实长。将一般位置直线行线，反映距离实长。将一般位置直线AB变为投影面垂直线需要变为投影面垂直线需要2次变换投影面。次变换投影面。3、首先将、首先将AB线变换为投影面平行线变换为投影面平行线，并同时变换线，并同时变换M点。点。5、求出垂线、求出垂线MN
25、的实长的实长n1nn6、垂线、垂线MN投影要返回投影要返回实长实长1、空间分析：求点到直线的距离，就是、空间分析：求点到直线的距离，就是由点向直线作垂线并相交，垂线的实长就由点向直线作垂线并相交，垂线的实长就是题意中所求的距离。是题意中所求的距离。4、再将、再将AB线变换为投影面线变换为投影面的垂直线，连同变换的垂直线，连同变换M点。点。mc实长实长m2b1O2b2a1m1c1n1ab方法二：方法二：1、分析：直线、分析：直线AB和线外一点和线外一点M确定一平面。若能得到该平确定一平面。若能得到该平面面ABM的实形，点的实形，点M到直线到直线AB的垂线（距离）的垂线（距离）MN的实长的实长可在
26、实形中自然求得。将一般可在实形中自然求得。将一般位置平面位置平面ABM平面平面变换为投变换为投影面平行面需影面平行面需2次换面。次换面。OXVHabm2、首先将平面、首先将平面ABM变为投变为投影面垂直面。影面垂直面。cX1O1HV13、再将、再将 ABM平面变换为平面变换为投影面平行面，得投影面平行面，得实形。实形。X2V1H2a2n24、求点到线的距离、求点到线的距离MN。nn例例1：用换面法求点：用换面法求点M到一般到一般位置直线位置直线AB的距离。的距离。5、返回垂线（距离）、返回垂线（距离）MN投影投影。c111k1kk例例2：求点：求点S到到ABC平面的距离平面的距离(应应作出垂足
27、的投影作出垂足的投影)。OXVHabcabcss1、空间分析：求点到面的距离、空间分析：求点到面的距离即：求由点向面作垂线并与平面即：求由点向面作垂线并与平面相交，垂线段的实长即为所求。相交，垂线段的实长即为所求。使距离（垂线）反映实长，须为使距离（垂线）反映实长，须为投影面的平行线。投影面的平行线。若将平面变换为投影面垂直若将平面变换为投影面垂直面，则垂线（距离）则为该投影面，则垂线（距离）则为该投影面平行线，即求可出实长。面平行线，即求可出实长。12、将平面变换为投影面将平面变换为投影面垂直面（垂直面（1 1次）及同时变次）及同时变换换S点。点。1O1X1HV1a1b1s13、求距离及垂足
28、的投影求距离及垂足的投影实长实长已知条件：点的两个投影，已知条件：点的两个投影，ABC面是一般位置平面。面是一般位置平面。4、返回、返回垂足垂足 K点的投影点的投影m2n2bmnbb1m1例例3、求求AMN和和BMN两平面的夹角。两平面的夹角。OXVHamna1、空间分析：线段空间分析：线段MN是是两平面的交线，为一般位两平面的交线，为一般位置直线。当交线置直线。当交线MN为投为投影面垂直线时，则两平面影面垂直线时，则两平面均为投影面垂直面。在有均为投影面垂直面。在有积聚性的投影中，则可反积聚性的投影中，则可反映两面夹角。映两面夹角。AMNBamnb2、当使、当使一般位置直线一般位置直线MN变
29、换为投影面的垂变换为投影面的垂直线时，需要更换直线时，需要更换2次次投影面。首先将投影面。首先将MN交交线变换为投影面的平线变换为投影面的平行线。行线。O1X1HV1a1n13、再将再将MN交线交线变换为变换为投影面垂直线，即得到投影面垂直线，即得到两面夹角。两面夹角。O2X2V1H2a2b2距离距离a2f2c2e2例例4：求两交叉直线求两交叉直线AB和和CD间的距离间的距离OXVHababcdcd1、空间分析：、空间分析：AB、CD均为一般位置直线，均为一般位置直线，与两条线同时垂直与两条线同时垂直的公垂线不能直接求出。提到垂直就应想到直角定理，下面通的公垂线不能直接求出。提到垂直就应想到直
30、角定理，下面通过立体图进行分析：过立体图进行分析：EFefMNmnkKGg2、由立体图可知：在、由立体图可知：在两两直线中其中一条为直线中其中一条为投影面的垂直线时，投影面的垂直线时，很容易求出公垂线。很容易求出公垂线。3、首先将任一条直线、首先将任一条直线变换为投影面的平行变换为投影面的平行线（如线（如CD线线）。O1X1HV1c1d1a1b14、再变再变CD为投影面为投影面垂直线。垂直线。O2X2V1H2d2b25、求两线求两线距离距离(公垂公垂线线)EF线。线。f1e2efef 实长实长最短距离最短距离公垂线公垂线6、返回、返回公垂线公垂线EF线线?作业：作业：习题集：习题集：P.11P.12重点：重点：1.四种基本问题四种基本问题 2.解题的空间分析解题的空间分析预习：基本立体的三视图预习：基本立体的三视图
