1、1第3章数值分析曲线拟合2基本概念及定义 P51-66n维向量空间,线性空间,函数空间线性相关或无关赋范线性空间内积与内积空间权函数正交、正交函数族、标准正交函数族正交多项式(legendre多项式、切比雪夫多项式、等)3miiiPPxPxfPfPf0222)()(minmin*若 是 上的一个列表函数，在 上给出 ，要求 使则称 为 的最小二乘拟合最小二乘拟合.最小二乘法最小二乘法(误差的平方和最小误差的平方和最小)(*xP)(xf（1.20）)(xf,babxxxam10),1,0)(mixfi*P4曲线拟合是什么？它不同于插值,它是寻找一条曲线(有函数表达式),满足:(1)未必通过所有离
2、散点;(2)只要能反映离散点的分布情况.5(1)曲线拟合对应的数学问题.)()()(,),(1010的距离最小与，使得寻找在某个标准下已知xsyxfyxsyyyyyxxxxxfymm)()()(,)()(02最小二乘标准最小即希望误差的平方和最小的近似去作为用miiixsxfxfyxsy(2)曲线拟合中常用的标准6第3章数值分析曲线拟合(1)未必通过所有离散点;基本概念及定义 P51-66(2)构造误差的平方和其中输入参数 为要拟合的数据，为拟合多项式的次数，关于多项式拟合，Matlab中有现成的程序用最小二乘标准构造出误差的平方和大致猜测离散数据,应符合的函数关系式用最小二乘标准构造出误差的
3、平方和(1)根据离散数据描点画散点图,由散点图中点的分布情况正交、正交函数族、标准正交函数族关于多项式拟合，Matlab中有现成的程序输出参数 为拟合多项式的系数.(3)求偏导,令为0,求出C0,C1,若 是 上的一个列表函数，在关于多项式拟合，Matlab中有现成的程序练习:观察物体直线运动,得以下数据(3)曲线拟合问题的转化)(.)()()(1100 xcxcxcxnn,),(),.,(),(10数组装成一个函数然后用函数族中若干函数族先确定一个线性无关函xxxnmiinniiimiiinxcxcxcxfxxfcccQ021100021)(.)()()()()(),.,(0用最小二乘标准构
4、造出误差的平方和的函数关于nccc,.,107)(?,.,10 xycccn组装出解出线性方程组nicQi,.,2,1,0,0令极值理论多元函数误差的平方和最小8的拟合把它视为yxccxy,)(10)(xy例.1.166.15135.121.108.8752.45.33.11110987654321109876543210iiyxi求曲线拟合函数 ,且计算出x=12时,y的值解.(1)根据离散数据描点画散点图,由散点图中点的分布情况大致猜测离散数据,应符合的函数关系式(2)构造误差的平方和待定10100210100210,)()(),(ccxccyxyccQiiiiii91010,00cccQ
5、cQ求出，令(3)求偏导,令为0,求出C0,C1,10010100100)(20)010)(2iiiiiiixxccyxccy10010011002010010011000100),(,)()(0)()1(0iiiiiiiiiiiiiiiyxYXcxcxyxcxcy内积10若 是 上的一个列表函数，在关于多项式拟合，Matlab中有现成的程序关于多项式拟合，Matlab中有现成的程序(2)构造误差的平方和它不同于插值,它是寻找一条曲线(有函数表(2)只要能反映离散点的分布情况.(3)求偏导,令为0,求出C0,C1,若 是 上的一个列表函数，在(1)未必通过所有离散点;的极小点 问题.(3)求偏
6、导,令为0,求出C0,C1,(3)由最小二乘法得标准方程(正规方程),)()()()1(10011002010010011000100iiiiiiiiiiiicxcxyxcxcy1001002100100506,5.74966)(,1.97iiiiiiiiixyxxy517.1276.010cc，代入得928.1712*517.1276.0,12517.1276.0)(1210 xyxxxccxy有令所得拟合曲线11理论分析理论分析:最小二乘问题就转化为求多元函数 minjijjixcxf002)()(（4.4）的极小点 问题.),(*1*0nccc 由求多元函数极值的必要条件，有 minji
7、kijjikxxcxfcI000)()()(2).,1,0(nk),(10ncccQ可以改写为的线性方程组这里关于,.,10ncccminjiijjixxcxfcQk00000)()()(,0,0有时当12njmjjmmmnjjjnjjjxcxxxfxcxxxfxcxxxf000011010100000000)()()()()()()()()()()()()(),.,(),(),(),.,(),(),(,01000010000mmnjjjxxxxfxfxfffc其中）（移项整理得)6.4().(,.,1,0),(,0,0001njkjjnnkfccQcQ正规方程组、法方程组）（得出，同理分析1
8、3.),(),(),(),(),(),(),(),(),(101110101000nnnnnnG（4.7）的系数矩阵法方程上方程组)()3,54(,定理有唯一解因此正规方程对应的行列式不为零矩阵PG哈尔条件定义线性无关可以保证线性无关一般地注.774,.,),(),.,(),(,)(),.,(),(,:101000010Pxxxxxxnnn14非线性模型举例设拟合曲线线性xxxxccynnyyyyxxxx)(1)(101010101nininiiiiinininiiiyxcxcxycxc00012000010)()()1()()1(设拟合曲线二次22102210)(,)(1)(10102xxx
9、xxxcxccynnyyyyxxxxnininiiiniiiiiinininiiiniiiiiinininiiniiiyxcxxcxxcxyxcxxcxxcxycxcxc0002022212020000221000002210)()()()1()()()()1()1()1()11(15?31010非线性问题能否线性化一般非线性设拟合曲线bxeaynnyyyyxxxxBXAYbxayeaybxlnln,nnnYYYyYxXxXxXxX101100ln?,)()()()()1(000000BAYXBXXAXYBXAnininiiiiiinininiii方程可用最小二乘法得正规具有线性关系与此时,l
10、n yx1075.,ln例最后求出由PbabBaA16bXaYyyyyxxxxxbayxXyYnn有其他非线性一令111,110104nnbxayxXYYnnyyyyYxxxxXbXaYyyyyxxxx10551505,1010555有其他非线性二令具有线性关系与yx5具有线性关系与yx1117练习:观察物体直线运动,得以下数据求运动方程。距离时间,11080503010059.339.19.00st18精品课件精品课件！19精品课件精品课件！20 关于多项式拟合，Matlab中有现成的程序 ),(myxpolyfita 其中输入参数 为要拟合的数据，为拟合多项式的次数，yx,m输出参数 为拟合多项式的系数.a 利用下面的程序，可在Matlab中完成上例的多项式拟合.
