1、第八章 数学物理方程及定解问题n第一节 波动方程及定解条件n第二节 热传导方程与扩散方程n第三节 位势方程n第四节 定解问题的适定性第一节 波动方程及定解条件n一维波动方程或弦振动方程物理模型一长为 l 的柔软、均匀的细弦，拉紧以后，让它离开平衡位置在垂直于弦线的外力作用下作微小横振动，求弦上个点的运动规律。柔 软 性：发生于弦中的张力其方向总是沿着弦线的切线方向均匀细弦：线密度为常数，弦线可以ol来代替微小振动：若用u(x,t)来表示弦线在t时刻的形状，则微小振动是指21xu 数学模型的建立211212t tt ttt ttt t 动量 动量外力产生的冲量 张力产生的冲量22112100(,
2、)(,)bbtbtxxaatatt tt tuudxdxdtf dxT u b tu a t dttt2221112002tbtbtbtatatauudtdxdtf dxdtTdxttx设：u(x,t)表示在时刻 t 弦上点 x 处的位移f 0(x,t)表示作用在弦线上且垂直平衡位置的强 表示线密度(千克/米)，迫外力密度(牛顿/米)数学模型22222(,)uuaf x ttx其中：u(x,t)表示在 t 时刻、弦线在 x 点处的位移f(x,t)=f0/表示单位质量所受的外力a2=T0/：T0表示张力、为线密度n定解条件初始条件给出弦在初始时刻 t=0 的位移和速度(,0)(),(,0)()t
3、u xxu xx边界条件给定位移函数 u(x,t)在边界或端点 x=0,l 上的限制。一般来有三种类型：12(0,)(),(,)()utg tu l tg t第一类边界条件：12(0,)(),(,)()xxTutg tTu l tg t第二类边界条件：1122(0,)(0,)()(,)(,)()xxTututg tTu l tu l tg t第三类边界条件：n定解问题由方程与定解条件可以描述一个特定的物理现象，它构成一个定解问题混合问题：由方程、初始条件和一类边界条件构成的定解问题初始问题：由方程和初始条件构成的定解问题22222,0(,0)(),(,0)(),tuuaxttxu xxxu x
4、x 22222,0,0(0,)(,)0,0(,0)0,0(,0)(),tuuaxl ttxutu l ttu xxlu xx例：n二维波动方程或膜振动方程2222222(,)uuuaf x y ttxy一块均匀的紧张的薄膜，离开静止水平位置作垂直于水平位置的微小振动，其运动规律满足其中：u(x,y,t)表示在 t 时刻、膜在(x,y)点处的位移f(x,y,t)表示单位质量所受的外力a2=T/：T表示张力、为线密度n三维波动方程或声波方程222222222(,)uuuuaf x y z ttxyz第二节 热传导方程与扩散方程n热传导方程在三维空间中，考虑均匀的、各向同性的物体。假定它的内部有热源
5、或汇，并且与周围的介质有热交换，来研究物体内部温度的分布规律。物理模型均匀物体：物体的密度为常数各向同性：物体的比热和热传导系数均为常数数学模型的建立设：u(x,y,z,t)表示物体于时刻 t 在位置 x,y,z 处的温度C 表示是比热(焦耳/度千克)f 0(x,y,z,t)表示热源强度(焦耳/千克秒)表示密度(千克/米3)，k 表示导热系数211212t tt ttt ttt t 热量 热量通过边界的流入量 热源的生成量2211210(,)(,)(,)ttttDDDuCu x y z tu x y z tdxdydzdtkdSdtf x y z t dxdydzn2221110ttttttD
6、DDudtCdxdydzdtk udtf dxdydzt 数学模型2(,)uauf x y z tt 二维的情形：22222(,)uuuaf x y ttxy一维的情形：222(,)uuaf x ttx其中：a2=k/C，f(x,y,z,t)=f0/C，222222xyz n定解条件边界条件给定温度函数 u(x,y,z,t)在物体表面的限制。一般来有三种类型：(0,)(,)(,)u x y z tg x y z t第一类边界条件：初始条件给出物体在初始时刻 t=0 的温度(,0)(,)u x y zx y z第二类边界条件：(0,)(,)ukg x y z tn第三类边界条件：(0,)(,)u
7、ug x y z tnn定解问题由方程与定解条件可以描述一个特定的物理现象，它构成一个定解问题混合问题：以三维为例：设是R3中的任意有界开区域，在柱体30,)上，由方程、初始条件和一类边界条件构成的定解问题初始问题：以三维为例：在上半空间R30,)上，由方程和初始条件构成的定解问题222,0(,0)(),uuaxttxu xxx 222,0,0(0,)(,)0,0(,0)()0 xuuaxl ttxutu l ttu xxxl例：n扩散方程考虑三维空间中一均匀的、各向同性的物体，假定它的内部有扩散源，来研究物体内部分子的浓度在时刻 t 的分布规律。物理模型数学模型(,)uD uf x y z
8、tt 其中：u(x,y,z,t)表示于时刻 t 在(x,y,z)处的分子浓度f(x,y,z,t)表示单位时间内单位体积中产生的粒子数D 为扩散系数第三节 位势方程n稳定的温度场n膜平衡方程22222(,)uuaf x yxy2(,)auf x y z n定解条件与定解问题的提法(,)(,)u x y zg x y z第一类边界条件：第二类边界条件：(,)ukg x y zn第三类边界条件：(,)uug x y zn定解问题只提边值问题定解问题只提边值问题第四节 定解问题的适定性222(,)uauf x y z tt 波动方程双曲型2(,)uauf x y z tt 热传导方程抛物型2(,)au
9、f x y z 位势方程椭圆型2,1()()()()mmijii jiijiuuaxb xc x uf xx xx 二阶线性偏微分方程的一般形式n存在性存在一个足够光滑的函数，使其满足方程和定解条件H.Lewy例(1957年)2()(,)xytuiuixy uf x y t存在一个函数f(x)C()使得该方程在C1()中无解n唯一性定解问题在给定的函数类中最多有一个解量子力学中能量本征值问题当能量 E 取何值时，该定解问题有非零解222minmax2()00dmEV xdxrrn稳定性当定解条件变化很小时，解的变化也很小，即解连续地依赖定解条件Hadamard例(1930年代)这个初始问题有解10,0(,0)0,(,0)sin,xxyyyuuxR yu xxRuxnnxxR2(,)sinhsinu x ynnynx
