1、第九章 平 面 向 量向量的概念第一节向量的线性运算第二节向量的坐标表示第三节向量的数量积第四节向量的应用第五节向量的概念向量的概念第 一节一、向量的概念如图9-1所示，当人用力推一个箱子的时候，根据初中所学的物理知识我们知道，箱子在水平方向上受到的推力及地面给箱子的摩擦力，这两个力不但有数值的大小，而且还有方向.图图 9-1 9-1一、向量的概念在生活中，还有哪些量是数量？哪些量是向量呢？想一想一、向量的概念在现实生活中，存在两种类型的量.一种只有数值的大小而没有方向，它们可以用实数表示，如质量、时间、体积、温度等；而另外一种量不仅有数值的大小，而且还有方向，如力、速度、位移等.为了区分这两
2、种量，我们把只有数值大小的量叫作数量（或标量），把既有大小又有方向的量叫作向量（或矢量）.一、向量的概念平面上带有指向的线段（有向线段）叫作平面向量，线段的指向就是平面向量的方向，线段的长度表示平面向量的大小.有向线段的起点叫作平面向量的起点，有向线段的终点叫作平面向量的终点.如图9-2所示，以点A为起点，点B为终点的向量记作AB,也可以使用小写黑体英文字母表示，记作a，手写时为了区分应在字母上加箭头，如.向量的长度叫作向量的模，向量a，AB的模依次记作a，AB.向量的模是一个非负数.图图 9-2 9-2一、向量的概念当向量的终点和起点重合时，向量便成为一个点，我们称它为零向量，记作0.零向量
3、的模等于0，即0=0.零向量的方向是任意的.规定：所有的零向量都相等.模为1的向量叫作单位向量.如图9-3（a）所示，如果两个向量的模相等，方向也相同，那么我们就说这两个向量相等.向量a与b相等，记作a=b.如图9-3（b）所示，如果两个向量的模相等，方向相反，那么我们就说这两个向量互为相反向量，a的相反向量记作-a.规定：零向量的相反向量仍为零向量.一、向量的概念图图 9-3 9-3一、向量的概念方向相同或相反的两个非零向量叫作互相平行的向量,向量a与b平行记作ab.规定：零向量与任何一个向量都平行.由于任意一组互相平行的向量都可以平移到同一条直线上，因此互相平行的向量又叫作共线向量.一、向
4、量的概念【例例1 1】图图 9-4 9-4一、向量的概念一、向量的概念学习提示学习提示两个向量是否相等与它们的起点无关，只由它们的模和方向决定.一 向量的概念【例例2 2】图图 9-5 9-5一、向量的概念解 根据平行四边形的性质，得向量的线性运算向量的线性运算第 二节在上一节中，我们学习了向量的概念.现在我们考虑向量之间是否能像数与式那样进行运算呢？如果可以进行某些运算，那么这些运算又遵循什么运算法则呢？在这节内容中，我们将学习这方面的知识.一个动点由点A位移到点B，又由点B位移到点C，那么一定存在一个从点A到点C的位移与两次连续位移的结果相同，如图9-8所示.这时，位移AC叫作位移AB与位
5、移BC的和，记作AC=AB+BC.图图 9-8 9-8一、平面向量的加法从位移求和，我们可以引出下述向量的加法法则：一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A，首尾相接地作AB=a,BC=b，如图9-9所示，则向量AC叫作向量AB与向量BC的和，记作a+b，即 a+b=AB+BC=AC.(9-1)图图 9-9 9-9一、平面向量的加法向量a+b与向量b+a相等吗？自己动手画图说明一下.想一想一、平面向量的加法求向量的和的运算叫作向量的加法.上述求向量和的方法叫作向量加法的三角形法则.当向量a与向量b共线时，首尾相接地作AB=a,BC=b，同样可以得到a+b=AC.如图9-10（a）所示
6、，表示向量a与向量b方向相同时的情形；如图9-10（b）所示，表示向量a与向量b方向相反时的情形.图图 9-10 9-10一、平面向量的加法在图9-9中，如果仍以A为起点，作向量AD=b，如图9-11所示.则由AD=BC可知，四边形ABCD为平行四边形.再根据三角形法则得图图 9-11 9-11一、平面向量的加法一、平面向量的加法【例例1 1】图图 9-12 9-12一、平面向量的加法图图 9-13 9-13一、平面向量的加法一、平面向量的加法课堂练习课堂练习二、平面向量的减法与数的运算类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差，即ab=a+(b).根据向量加法的三角形法则
7、，向量a与向量b的差也可以这样去求：在平面上任选一点A，作向量AB=a,AC=b，则向量CB就是所求的差ab，如图9-14所示.图图 9-14 9-14二、平面向量的减法当向量a和向量b共线时，如何画图作出a-b？想一想二、平面向量的减法由图9-14可知，起点相同的两个向量a,b，它们的差ab仍然是一个向量，叫作向量a与b的差向量，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a的终点，即 (9-2)二、平面向量的减法怎样用平行四边形法则求向量a与b的差？想一想二、平面向量的减法【例例2 2】图图 9-15 9-15二、平面向量的减法【例例3 3】图图 9-15 9-15二、平面向量的减法课堂练习课堂
8、练习三、平面向量的数乘运算实数与向量a的一个积是一个向量，叫作数乘向量，记作a，它的模为a=a.（9-3）一般地，有（1）0a=0,0=0；（2）当a0时，若0，则a的方向与a的方向相同，若0，则a的方向与a的方向相反.实数与向量的乘法运算叫作向量的数乘运算.三、平面向量的数乘运算和实数之间相乘一样，对于任意的向量a,b及实数,，向量的数乘运算满足下列运算律：（1）()a=(a)=(a)；（2）(+)a=a+a；（3）(a+b)=a+b.向量的加法、减法以及数乘向量运算都叫作向量的线性运算.三、平面向量的数乘运算在第一节中，我们知道了向量平行的概念，因此结合向量平行与数乘向量的含义，我们可以得
9、到如下的结论：设a,b为两个非零向量，如果存在非零实数，使得b=a，那么ab；反之，如果ab，那么一定存在一个非零实数，使得b=a.一般地，a+b（,均为实数）叫作a,b的一个线性组合.如果l=a+b，则称l可以用a,b线性表示.三、平面向量的数乘运算【例例4 4】三、平面向量的数乘运算【例例5 5】三、平面向量的数乘运算【例例6 6】三、平面向量的数乘运算对于非零向量a,b,|a+b|和|a|+|b|一定相等吗？为什么？想一想三、平面向量的数乘运算【例例7 7】图图 9-17 9-17三、平面向量的数乘运算三、平面向量的数乘运算课堂练习课堂练习向量的坐标表示向量的坐标表示第 三 节第 三 节
10、 向量的坐标表示我们知道，在平面直角坐标系中，平面内的每一点都可以用一对有序实数来表示，这对实数就是这个点的坐标.同样，在平面直角坐标系中，每一个平面向量也可以用一对实数来表示.设在平面直角坐标系中，x轴的单位向量为i，y轴的单位向量为j，则x轴上的向量表示成xi，y轴上的向量表示成yj，其中x,y分别是它们在数轴上的坐标.第 三 节 向量的坐标表示如图9-18（a）所示，OA为从坐标轴原点出发的向量，点A的坐标为(x,y)，则OM=xi,ON=yj.由平行四边形法则得OA=OM+ON=xi+yj.图图 9-18 9-18第 三 节 向量的坐标表示学习提示学习提示起点在原点的向量称为位置向量.
11、第 三 节 向量的坐标表示如图9-18（b）所示，设点A(x1,y1),B(x2,y2)，则 AB=OBOA=(x2i+y2j)(x1i+y1j)=(x2x1)i+(y2y1)j.由此可知，对任意一个平面向量a，都存在一对有序实数(x,y)，使得 a=xi+yj.有序实数对(x,y)叫作向量a的坐标，记作a=(x,y).第 三 节 向量的坐标表示【例例1 1】第 三 节 向量的坐标表示【例例2 2】如图9-19所示，分别用基底i,j表示向量OM，ON，MN，并写出它们的坐标.图图 9-19 9-19第 三 节 向量的坐标表示第 三 节 向量的坐标表示【例例3 3】第 三 节 向量的坐标表示课堂
12、练习课堂练习第 三 节 向量的坐标表示图图 9-20 9-20第 三 节 向量的坐标表示一般地，在平面直角坐标系中，a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a+b=(x1+x2,y1+y2);(9-4)ab=(x1x2,y1y2);(9-5)a=(x1,y1).(9-6)第 三 节 向量的坐标表示【例例4 4】第 三 节 向量的坐标表示课堂练习课堂练习第 三 节 向量的坐标表示在第二节中，我们知道对于两个非零向量a、b，当0 时，有ab=a=b.那么如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢？设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，如果a=b，则有x1=x2,y1=y2，所以x1y2=x2y
13、1，即x1y2=x2y1.因此我们得到对于非零向量a、b，设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，当0时，有ab=x1y2x2y1=0.（9-7）第 三 节 向量的坐标表示同理，我们也可以通过向量的坐标确定两个向量相等，即有下面的结论：（1）如果两个向量的横坐标、纵坐标分别相等，那么这两个向量相等；（2）如果两个向量相等，那么它们的横坐标、纵坐标都分别相等.第 三 节 向量的坐标表示【例例5 5】第 三 节 向量的坐标表示课堂练习课堂练习向量的数量积向量的数量积第 四 节一、平面向量的内积在物理学中，我们经常会遇到这样的问题:如图9-21所示，水平地面上有一个小车，某个人用10 N的拉力F，
14、沿着与水平方向成30角的方向拉小车，使得小车前进了10 m，求这个人做了多少功？根据物理学知识，我们知道拉力F所做的功W为一、平面向量的内积图图 9-21 9-21上述的功W是一个数量，它由向量F和S的模及其夹角余弦的乘积来确定.一、平面向量的内积学习提示学习提示两个向量的内积是一个实数，可能是正数，可能是负数，也可能是零.一、平面向量的内积如果a、b为两个非零向量，作OA=a,OB=b，则把射线OA与OB所形成的角叫作向量a与向量b的夹角，记作.显然0180，且=.两个向量a、b的模与它们的夹角的余弦的积叫作向量a与b的内积，记作ab，即ab=abcos.（9-8）一、平面向量的内积一、平面
15、向量的内积（5）=90时，ab，则ab=abcos90=0，因此对非零向量a、b，有ab=0ab.我们也可以知道内积满足下面的运算律：（1）ab=ba；（2）(a)b=(ab)=a(b)；（3）(a+b)c=ac+bc.一、平面向量的内积学习提示学习提示向量的内积运算不满足结合律，即(ab)ca(bc).一、平面向量的内积【例例1 1】一、平面向量的内积课堂练习课堂练习二、向量内积的坐标表示在平面直角坐标系中，向量a的坐标为(x1,y1)，向量b的坐标为(x2,y2)，i、j分别为x轴、y轴上的单位向量，则a=x1i+y1j,b=x2i+y2j.由于ij，所以ij=0，又i=j=1，所以ab=
16、(x1i+y1j)(x2i+y2j)=x1x2ii+x1y2ij+x2y1ij+y1y2jj=x1x2i2+y1y2j2=x1x2+y1y2.二、向量内积的坐标表示这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即两个非零向量a（x1,y1）、b(x2,y2)的内积为 ab=x1x2+y1y2.（9-9）利用式（9-9）可以计算向量的模.设a=(x1,y1)，则 a=aa=x1+y1.（9-10）二、向量内积的坐标表示二、向量内积的坐标表示【例例3 3】二、向量内积的坐标表示【例例4 4】二、向量内积的坐标表示【例例5 5】二、向量内积的坐标表示课堂练习课堂练习向量的应用向量的应用第 五 节
17、一、向量在几何中的应用举例 向量是既有大小又有方向的量，它既有数字特征，又有几何特征.通过向量可以实现代数问题与几何问题的相互转化，所以向量是数形结合的桥梁.一、向量在几何中的应用举例学习提示学习提示遇到长度问题时，需要考虑向量的数量积一、向量在几何中的应用举例【例例1 1】图图 9-22 9-22一、向量在几何中的应用举例一、向量在几何中的应用举例即平行四边形的两条对角线长度的平方和等于两条邻边长度平方和的二倍.一、向量在几何中的应用举例【例例2 2】图图 9-23 9-23一、向量在几何中的应用举例一、向量在几何中的应用举例同理可证BH与BE共线，CH与CF共线，因此，AD，BE，CF相交
18、于一点.一般地，用向量方法解决几何问题时，一般步骤如下：(1)建立几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素(如点、线段、夹角等)，将几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等；(3)把运算结果“翻译”成几何关系二、向量在物理中的应用举例在物理中，力、速度等都是既有大小又有方向的量，因此，向量是解决许多物理问题的有力工具二、向量在物理中的应用举例【例例3 3】图图 9-24 9-24二、向量在物理中的应用举例二、向量在物理中的应用举例【例例4 4】二、向量在物理中的应用举例图图 9-25 9-25二、向量在物理中的应用举例过点B作东西基线的垂线，交
19、于AC于D，则ABD为正三角形，所以BD=AD=AB=1 000 km，又AC=2 000 km，所以CD=1 000 km，故CD=BD，所以CBD=BCD=12BDA=30，二、向量在物理中的应用举例二、向量在物理中的应用举例 一般地，用向量方法解决物理问题时，一般步骤如下：(1)相关物理量用几何图形表示出来；(3)物理问题抽象成数学模型，转化为数学问题；(3)将数学问题还原为物理问题阅读材料欧 几 里 得欧几里得(Euclid，前330前275)是古希腊著名数学家、欧氏几何学的开创者.欧几里得生于雅典，当时雅典就是古希腊文明的中心，其浓郁的文化气氛深深地感染着欧几里得，当他还是个十几岁的
20、少年时，就迫不及待地想进入“柏拉图学园”学习.阅读材料欧几里得进入学园之后，便全身心地沉潜在数学王国里.他潜心求索，以继承柏拉图的学术为奋斗目标，除此之外，他哪儿也不去，什么也不干，熬夜翻阅和研究了柏拉图的所有著作和手稿，可以说，连柏拉图的亲传弟子们也没有谁能像他那样熟悉柏拉图的学术思想和数学理论.经过对柏拉图思想的深入探究，他得出结论：图形是神绘制的，所有一切现象的逻辑规律都体现在图形之中.因此，他指出，对智慧的训练，就应该从图形为主要研究对象的几何学开始.他确实领悟到了柏拉图思想的要旨，并开始沿着柏拉图当年走过的道路，把几何学的研究作为自己的主要任务，并最终取得了令世人敬仰的成就.阅读材料
21、最早的几何学兴起于公元前7年的古埃及，后经古希腊的人传到古希腊的都城，又借毕达哥拉斯学派系统奠基.在欧几里得以前，人们已经积累了许多几何学的知识，然而这些知识当中，存在一个很大的缺点和不足，就是缺乏系统性.大多数是片断、零碎的知识，公理与公理之间、证明与证明之间并没有什么很强的关联性，更不要说对公式和定理进行严格的逻辑论证和说明.因此，随着社会经济的繁荣和发展，特别是随着农林畜牧业的发展、土地开发和利用的增多，把这些几何学知识加以条理化和系统化，成为一整套可以自圆其说、前后贯通的知识体系，已经是刻不容缓，成为科学进步的大势所趋.阅读材料欧几里得早期通过对柏拉图数学思想，尤其是几何学理论系统而周
22、详的研究，已敏锐地察觉到了几何学理论的发展趋势.他下定决心，要在有生之年完成这一工作.为了完成这一重任，欧几里得不辞辛苦，长途跋涉，从爱琴海边的雅典古城，来到尼罗河流域的埃及新埠亚历山大城，为的就是在这座新兴的，但文化蕴藏丰富的异域城市实现自己的初衷.阅读材料在此地的无数个日日夜夜里，他一边收集以往的数学专著和手稿，向有关学者请教，一边试着著书立说，阐明自己对几何学的理解，哪怕是尚肤浅的理解.经过欧几里得忘我的劳动，终于在公元前300年结出丰硕的果实，这就是几经易稿而最终定型的几何原本一书.这是一部传世之作，正是因为有了它，才第一次实现了几何学的系统化、条理化，同时又孕育出一个全新的研究领域欧
23、几里得几何学，简称欧氏几何.阅读材料 几何原本是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作.流传到今天的欧几里得著作并不多，然而我们却可以从这部书详细的写作笔调中，窥见他真实的思想底蕴.全书共分13卷，书中包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个命题.在每一卷内容当中，欧几里得都采用了与前人完全不同的叙述方式，即先提出公理、公设和定义，然后再由简到繁地证明它们，这使得全书的论述更加紧凑和明快.而在整部书的内容安排上，也同样贯彻了他的这种独具匠心的安排.它由浅到深，从简至繁，先后论述了直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何以及穷竭法等内容.阅读材料其中有关穷竭法的讨论，成
24、为近代微积分思想的来源.仅仅从这些卷帙的内容安排上，我们就不难发现，这部书已经基本囊括了几何学从公元前7世纪的古埃及，一直到公元前4世纪前后总共400多年的数学发展历史.这其中，颇有代表性的便是在第1卷到第4卷中，欧几里得对直边形和圆的论述.正是在这几卷中，他总结和继承了前人的思维成果，巧妙地论证了毕达哥拉斯定理，也称“勾股定理”.他的这一证明，从此确定了勾股定理的正确性并延续了2 000多年.几何原本是一部在科学史上千古流芳的巨著.阅读材料它不仅保存了许多古希腊早期的几何学理论，而且通过欧几里得开创性的系统整理和完整阐述，使这些远古的数学思想发扬光大.它开创了古典数论的研究，在一系列公理、定
25、义、公设的基础上，创立了欧几里得几何学体系，成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范.按照欧氏几何学的体系，所有的定理都是从一些确定的、不需证明而礴然为真的基本命题即公理演绎出来的.在这种演绎推理中，对定理的每个证明必须或者以公理为前提，或者以先前就已被证明了的定理为前提，最后做出结论.这一方法后来成了用以建立任何知识体系的严格方式，人们不仅把它应用于数学、科学，而且也应用于神学甚至哲学和伦理学中，对后世产生了深远的影响.阅读材料欧几里得不仅是一位学识渊博的数学家，同时还是一位有着“温和仁慈的蔼然的长者”之称的教育家.在著书育人过程中，他牢记着柏拉图学派自古承袭的严谨、求实的传统学风.
26、他对待学生既和蔼又严格，自己却从来不宣扬有什么贡献.对于那些有志于穷尽数学奥秘的学生，他总是循循善诱地予以启发和教育，而对于那些急功近利、在学习上不肯刻苦钻研的人，则毫不客气地予以批评.阅读材料在柏拉图学派晚期导师普罗克洛斯的几何学发展概要中，就记载着这样一则故事，说的是数学在欧几里得的推动下，逐渐成为人们生活中的一个时髦话题，以至于当时托勒密国王也想赶这一时髦，学点儿几何学.虽然这位国王见多识广，但欧氏几何却在他的智力范围之外.于是，他问欧几里得“学习几何学有没有什么捷径可走？”欧几里得严肃地说：“抱歉，陛下!学习数学和学习一切科学一样，是没有什么捷径可走的.学习数学，人人都得独立思考，就像种庄稼一样，不耕耘是不会有收获的.在这一方面，国王和普通老百姓是一样的.”从此,“在几何学里,没有专为国王铺设的大道”这句话成为千古传诵的学习箴言.阅读材料欧几里得是人类科学思想史上的一盏指路明灯.他第一次使数学理论系统化，并使几何学逐渐成为一门独立发展的正式学科体系.他对数学史上的许多疑难命题和定理做了开创性的论证和解释，为数学的发展打下了坚实的理论基础，而他在理论中存在的缺憾，也成为后人攀越智慧高峰不可缺少的台阶.这一正一反都推动了人类数学思想的进步，从而为后来人类能更好、更深刻地认识自然界提供了更为有效的工具.因此，后人尊称他为“几何学之父”，以铭记他在数学思想发展中的卓越贡献.
