1、第四章 微分中值定理和导数的应用微分中值定理第一节洛必达法则第二节泰 勒 公 式第三节函数的单调性的判定法第四节函数的极值与最值第五节第四章 微分中值定理和导数的应用曲线的凹凸性与拐点第六节函数图形的描绘第七节曲 率第八节导数在经济中的应用第九节微分中值定理微分中值定理第 一节第一节 微分中值定理微分中值定理给出了函数及其导数之间的联系，是导数应用的基础.微分中值定理包括罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理与柯西(Cauchy)中值定理，它们在微分学理论中占有重要地位.一、罗尔定理如图4-1所示，函数y=f(x)(xa，b)是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不垂直于x轴
2、的切线，且两个端点的纵坐标相等，可以发现在曲线弧的最高点或最低点处，曲线有水平的切线.如果用数学语言把这个几何现象描述出来，就可得到下面的罗尔中值定理(简称罗尔定理).图图 4-1 4-1一、罗尔定理定理定理1 1(1)在闭区间a，b上连续；(2)在开区间(a，b)内可导；(3)在闭区间a，b端点的函数值相等，即f(a)=f(b)；那么在(a，b)内至少有一点(a，b)，使得函数f(x)在该点的导数等于零，即 f()=0.值得注意的是，罗尔定理要求f(x)应同时满足三个条件，若函数f(x)满足定理的三个条件，则曲线y=f(x)在开区间(a，b)内，至少有一条水平切线；若函数f(x)不能同时满足
3、定理的三个条件，则曲线y=f(x)在开区间(a，b)内，可能就没有水平切线.一、罗尔定理例如,函数f(x)=|x|，x-1，1,函数在点x=0处不可导,不满足定理中可导的条件,如图4-2所示,显然,曲线没有水平切线.图图 4-2 4-2一、罗尔定理又如函数g(x)=x，x0，2,因为g(0)=0，g(2)=2,如图4-3所示,两个端点处函数值不相等,显然,曲线也没有水平切线.由于罗尔定理的结论相当于确定方程f(x)=0在(a，b)内有根，故常常利用罗尔定理来证明方程的根的存在性.图图 4-3 4-3一、罗尔定理【例例1 1】一、罗尔定理罗尔定理表明，若连接曲线两端的弦是水平的，则曲线上必有一点
4、，该点的切线也是水平的.如果将曲线转一个角度，这时弦与切线的水平性虽被破坏了，但它们相互平行的性质仍保持，进而得到下面的定理.二、拉格朗日中值定理在罗尔定理中，由于f(a)=f(b)，使得弦AB平行于x轴，因此点C处的切线实际上平行于弦AB(见图4-4).现在如果取消f(a)=f(b)这个条件，那么弦AB不平行于x轴，此时，曲线弧AB上是否存在一个点C，使曲线在C处的切线平行于弦AB呢？以下介绍的拉格朗日中值定理回答了这个问题.图图 4-4 4-4二、拉格朗日中值定理定理定理2 2(拉格朗日中值定理)若函数y=f(x)满足：(1)在闭区间a,b上连续.(2)在开区间(a,b)内可导.则在(a,
5、b)内至少存在一点,使得 (4-1)或(4-2)二、拉格朗日中值定理由图4-4可见，为弦AB的斜率，而f()为曲线在点C处切线的斜率.拉格朗日中值定理的几何意义：在满足定理条件的情况下，曲线y=f(x)上至少有一点C，使曲线在点C处的切线平行于弦AB.由图4-4亦可看出，罗尔定理是拉格朗日中值定理在f(a)=f(b)时的特殊情形.通过这种特殊关系，还可进一步联想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理.事实上，因为弦AB方程为二、拉格朗日中值定理而曲线y=f(x)与弦AB在区间端点a,b处相交，故若用曲线方程y=f(x)与弦AB方程的差做成一个新函数，则这个新函数在端点a,b处的函数值相等.由此即
6、可证明拉格朗日中值定理.二、拉格朗日中值定理证构造辅助函数 容易验证F(x)满足罗尔定理的条件，从而在(a,b)内至少存在一点，使得F()=0，即由此得即二、拉格朗日中值定理式(4-1)和式(4-2)均称为拉格朗日中值公式.式(4-2)的左端f(b)f(a)ba表示函数在闭区间a,b上整体变化的平均变化率，右端f()表示开区间(a,b)内某点处函数的局部变化率.于是，拉格朗日中值公式反映了可导函数在a,b上的整体平均变化率与在(a,b)内某点处函数的局部变化率的关系.若从力学角度看，式(4-2)表示整体上的平均速度等于某一内点处的瞬时速度.因此，拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带.拉格朗日
7、中值公式对于ba也成立.注注二、拉格朗日中值定理设x，x+x(a,b)，在以x，x+x为端点的区间上应用式(4-1)，则有 f(x+x)f(x)=f(x+x)x(01),即 y=f(x0+x)x(01).(4-3)式(4-3)精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在该区间内某点处的导数之间的关系，这个公式又称为有限增量公式.拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位，也称这个定理为微分中值定理.已知常数的导数等于零；但反过来，导数为零的函数是否为常数呢？回答是肯定的，现在就用拉格朗日中值定理来证明其正确性.二、拉格朗日中值定理推论推论1 1 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在
8、区间I上是一个常数.证在区间I上任取两点x1，x2(x1x2)，在区间x1,x2上应用拉格朗日中值定理，由式(4-1)得f(x1)f(x2)=f()(x1x2)(x10)、指数函数ex均为当x+时的无穷大，但这三个函数增大的“速度”不一样，幂函数增大的“速度”比对数函数快得多，而指数函数增大的“速度”又比幂函数快得多(从上两例可以看出).注注三、其他类型的未定式【例例1414】三、其他类型的未定式【例例1515】三、其他类型的未定式【例例1717】【例例1616】三、其他类型的未定式分析分析这是“1”型未定式，可以利用重要极限来解，也可转化为“e0”，即“0”型未定式用洛必达法则来解.三、其他
9、类型的未定式解法1利用重要极限来解(过程中用到洛必达法则).三、其他类型的未定式解法2利用洛必达法则来解.三、其他类型的未定式(1)对比两种解法发现洛必达法则简单些.洛必达法则是求未定式的一种简便有效的法则，在使用时，可以与其他求极限的方法综合使用，这样能达到事半功倍的效果.例如，能化简的首先要尽可能化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简捷.注注三、其他类型的未定式(2)使用洛必达法则有严格的条件限制，但有时条件满足时该法则却未必有效，例如，这样循环往复，永远也得不出结果，此时法则失效，可见法则不是万能的.此题用普通变形却能简单求出结果：三、其他类型的未定式【
10、例例1818】三、其他类型的未定式【例例1919】泰泰 勒勒 公公 式式第 三 节第三节 泰 勒 公 式不论在近似计算或理论分析中，人们希望能用一些简单的函数来近似一个比较复杂的函数，这将会带来很大的方便.一般来说，最简单的是多项式，因为多项式是关于变量加、减、乘的运算，因此，多项式经常被用来近似地表达函数，这种近似表达在数学上常称为逼近.由微分概念知,fx在点x0可导，则有 f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+o(xx0),即在点x0附近，用一次多项式f(x0)+f(x0)(xx0)逼近函数f(x)时，其误差为(xx0)的高阶无穷小.然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要
11、用二次或高于二次的多项式去逼近，要求误差为o(xx0)n，其中n为多项式的次数，并且能具体估算出误差大小.第三节 泰 勒 公 式于是有这样的问题：设函数f(x)在含有x0的开区间(a,b)内具有直到n+1阶的导数，问是否存在个n次多项式函数pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n，(4-4)使得f(x)=pn(x)+o(xx0)n，并给出误差估计的具体表达式.第三节 泰 勒 公 式先逐次求pn(x)在点x0处的各阶导数，得而a0=pn(x0).由此可见，多项式pn(x)的各项系数由其在点x0的函数值及各阶导数值所唯一确定.第三节 泰 勒 公 式为此考虑这样一种情形：
12、设pn(x)和f(x)在点x0有相同的函数值和直到n阶导数的各阶导数，即 pn(x0)=f(x0)，p(k)n(x0)=f(k)(x0)(k=1,2,n),因此，将所求系数a0,a1,a2,an代入式(4-4)，有 (4-5)下面的定理表明，多项式(4-5)就是要寻找的n次多项式.第三节 泰 勒 公 式定理定理7 7(泰勒中值定理)若函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到n+1阶的导数，则对任一x(a,b)，有(4-6)(4-7)第三节 泰 勒 公 式证由Rn(x)=f(x)pn(x)，根据题意，只需证明式(4-7)成立.从题设条件知，Rn(x)在(a,b)内具有直到n+1阶的
13、导数，且第三节 泰 勒 公 式按此方法继续做下去，经过n+1次后，可得多项式(4-5)称为函数f(x)按(xx0)的幂展开的n次近似多项式，公式(4-6)称为f(x)按(xx0)的幂展开的带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式，Rn(x)的表达式(4-7)称为拉格朗日型余项.第三节 泰 勒 公 式当n=0时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式f(x)=f(x0)+f()(xx0)(在x0与x之间)，因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.如果对于固定的n，当x(a,b)时，f(n+1)(x)M，则 (4-8)故 当xx0时，误差|Rn(x)|是比(xx0)n高阶的无穷小，即 Rn(x)=o(xx0)n.
14、(4-9)这样，前面提出的问题就得到解决.第三节 泰 勒 公 式在不需要余项的精确表达式时，n阶泰勒公式也可写成Rn(x)的表达式(4-9)称为皮亚诺型余项,公式(4-10)称为f(x)按(xx0)的幂展开的带有皮亚诺型余项的n阶泰勒公式.(4-10)第三节 泰 勒 公 式在泰勒公式(4-6)中，取x0=0，则在0与x之间，因此，可令=x(00，则函数y=f(x)在a,b上单调增加.(2)若在(a,b)内f(x)0，则函数y=f(x)在a,b上单调减少.证任取两点x1,x2(a,b)，设x1x2，由拉格朗日中值定理知，存在(x10，则f()0，所以f(x2)f(x1),即y=f(x)在a,b上
15、单调增加.第四节 函数的单调性的判定法(2)若在(a,b)内，f(x)0，则f()0，所以f(x2)0与fx0换成fx0与fx0(等号只在个别点处成立)，定理8的结论仍成立.注注第四节 函数的单调性的判定法【例例2424】第四节 函数的单调性的判定法根据本节定理不难验证，函数y=x2及y=x在(,0内单调减少，在0,+)内单调增加.分别考察这两个函数在单调区间分界点处的导数，可以发现，y=x2在点x=0处的导数为零，y=x点x=0处不可导(即导数不存在).一般地，函数y=fx在单调区间的分界点处，要么导数等于0，要么导数不存在.由此，可按下述步骤来讨论函数fx的单调性：(1)求出函数的定义域.
16、(2)求出函数的单调区间的所有可能的分界点，即函数的驻点和fx不存在的点.(3)用分界点将定义域分成若干小区间.(4)判断在各小区间内fx的符号，然后确定函数在每个小区间中的单调性.第四节 函数的单调性的判定法【例例2525】第四节 函数的单调性的判定法【例例2626】第四节 函数的单调性的判定法【例例2727】第四节 函数的单调性的判定法【例例2828】函数的极值与最值函数的极值与最值第 五 节第五节 函数的极值与最值理论和生产实践中很多问题都可归结为求某一函数(通常称为目标函数)的最大值和最小值问题，如在一定条件下，怎样使“产品最多”“用料最省”“成本最低”“效率最高”等.要解决这些问题，
17、需先讨论函数的极值.本节主要介绍函数的极值和最值的求法.一、函数的极值及其求法定义定义1 1设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，若对该邻域内任一点x(xx0)，恒有f(x)f(x0),则称f(x)在点x0处取得极大值(或极小值)，而x0称为函数f(x)的极大值点(或极小值点).极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为函数的极值点.一、函数的极值及其求法(1)函数的极值是局部概念，极值不一定是最值.也就是说，如果f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)，那只是就x0邻近的一个局部范围来说，对函数f(x)的整个定义域来说就不一定是最大(或最小)的了.注注一、函数的极值及
18、其求法(2)极值不唯一，极大值不一定比极小值大.如图4-7所示，函数f(x)有两个极大值f(x1)和f(x3)，两个极小值f(x2)和f(x4)，其中极大值f(x1)比极小值f(x4)还小.图图 4-7 4-7一、函数的极值及其求法定理定理9 9(必要条件)如果f(x)在点x0处可导，且在x0处取得极值，那么f(x0)=0.证不妨设x0是f(x)的极小值点，由极小值的定义可知，f(x)在点x0的某个邻域U(x0)内有定义，且对于x0+xU(x0)，恒有 y=f(x0+x)f(x0)0,于是一、函数的极值及其求法因为f(x)在点x0处可导，所以 f(x0)=f-(x0)=f+(x0),从而 f(
19、x0)=0.根据定理9，可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点，但函数的驻点却不一定是极值点.例如，y=x3在点x=0处的导数等于零，但显然x=0不是y=x3的极值点.此外，函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值.例如，函数f(x)=x在点x=0处不可导，但函数在该点取得极小值.一、函数的极值及其求法当求出函数的驻点或不可导点后，还要从这些点中判断哪些是极值点，以及进一步判断极值点是极大值点还是极小值点.由函数极值的定义和函数单调性的判定法易知，函数在其极值点的邻近两侧单调性改变(即函数一阶导数的符号改变)，由此可导出关于函数极值点判定的一个充分条件.一、函数的极值及其求法定理定理1010(
20、第一充分条件)设函数f(x)在点x0处连续，且在x0的某去心邻域内可导.(1)若在点x0的左邻域内，f(x)0；在点x0的右邻域内，f(x)0，则f(x)在x0处取得极大值f(x0).(2)若在点x0的左邻域内，f(x)0，则f(x)在x0处取得极小值f(x0).(3)若在点x0的邻域内，f(x0)不变号，则f(x)在x0处没有极值.一、函数的极值及其求法证(1)由题设条件，函数f(x)在点x0的左邻域内单调增加，在点x0的右邻域内单调减少，又f(x)在点x0处连续，故在点x0的去心邻域内任取一点x，有f(x)f(x0).所以f(x)在x0处取得极大值f(x0).同理可证(2),(3).根据定
21、理9和定理10，若函数f(x)在所讨论的区间内连续，除个别点外处处可导，则可按下列步骤来求函数的极值点和极值:(1)确定函数f(x)的定义域，并求其导数f(x).(2)求出f(x)的全部驻点与不可导点.(3)讨论f(x)在驻点和不可导点左、右两侧邻近范围内符号变化的情况，确定函数的极值点.(4)求出各极值点的函数值，就得到函数f(x)的全部极值.一、函数的极值及其求法【例例2929】一、函数的极值及其求法【例例3030】一、函数的极值及其求法定理定理1111(第二充分条件)设函数fx在点x0处具有二阶导数,且fx0=0,fx00,则(1)当fx00时,函数fx在点x0处取得极小值.一、函数的极
22、值及其求法证对情形(1)，由于f(x0)0，则f(x)在a,b上的图形是凹的.(2)若在(a,b)内，f(x)0,所以在(,0和1,+)内,曲线y=x4-2x3+1是凹的;在(0,1)内,y0,所以在0,1内,曲线y=x4-2x3+1是凸的.点(0,1)和(1,0)是这曲线的拐点.函数图形的描绘第 七 节第七节 函数图形的描绘由函数的单调性、函数的极值、曲线的凹凸性可以描绘出函数图形的基本性态.为了更准确地描绘函数的图形，还须讨论曲线的渐近线.有些函数的定义域和值域都是有限区间，其图形仅局限于一定的范围之内，如圆、椭圆等.有些函数的定义域值域是无穷区间，其图形向无穷远处延伸，如双曲线、抛物线等
23、.为了把握曲线在无限变化中的趋势，先介绍曲线的渐近线的概念.第七节 函数图形的描绘定义定义4 4如果曲线y=f(x)上的一动点沿着曲线移向无穷远时，该点与某条定直线L的距离趋向于零，则直线L就称为曲线y=f(x)的一条渐近线(见图4-12).图图 4-12 4-12第七节 函数图形的描绘渐近线分为水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线三种.(1)水平渐近线.若函数y=f(x)的定义域是无穷区间，且则称直线y=C为曲线y=f(x)的水平渐近线.第七节 函数图形的描绘图图 4-13 4-13第七节 函数图形的描绘【例例4040】第七节 函数图形的描绘【例例4242】第七节 函数图形的描绘【例例4343】
24、第七节 函数图形的描绘【例例4444】第七节 函数图形的描绘注注第七节 函数图形的描绘【例例4545】第七节 函数图形的描绘现将描绘函数y=f(x)的图形的一般步骤归纳如下：(1)确定函数的定义域及函数所具有的某些特性(如奇偶性、周期性等)，并求出函数的一阶导数和二阶导数；(2)利用f(x)=0及其不存在的点将定义域划分为若干区间，判断每个区间上f(x)的单调性并求出极值，利用f(x)=0及其不存在的点将定义域划分为若干区间，判断每个区间上曲线的凹凸性并求出拐点；(3)列表；(4)求出曲线的水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线；(5)取辅助点；(6)作图.第七节 函数图形的描绘【例例4646】第七
25、节 函数图形的描绘第七节 函数图形的描绘(6)描点作图(见图4-14).图图 4-14 4-14第七节 函数图形的描绘【例例4747】第七节 函数图形的描绘函数y=x33x2的图形如图4-15所示.图图 4-15 4-15第七节 函数图形的描绘【例例4848】第七节 函数图形的描绘(2)在0,+)上，f(x)的零点为x=0；f(x)的零点为x=1.用点x=1把0,+)划分成两个区间0,1和1,+).(3)在(0,1)内，f(x)0，f(x)0，所以在0,1上的曲线弧下降而且是凸的.结合f(0)=0以及图形关于y轴对称可知，x=0处函数f(x)有极大值；在(1,+)内，f(x)0，所以在1,+)
26、上的曲线弧下降而且是凹的.上述的这些结果，可以列成下表：第七节 函数图形的描绘图图 4-16 4-16曲曲 率率第 八 节第八节 曲率已知如果两个函数的单调性相同，它们所对应的凹凸性不一定相同.即使两个函数凹凸一致也不能判定它们所对应的函数相等，因为它们图形的弯曲程度不一定相同.在生产实践和工程技术中，常常需要研究曲线的弯曲程度.例如，设计铁路、髙速公路的弯道时，就需要根据最高限速来确定弯道的弯曲程度.所以，引出了曲率，用它来描述曲线的弯曲程度.作为曲率的预备知识，先介绍弧微分的概念.一、弧微分设函数y=f(x)在区间(a,b)内具有连续导数，x0为a,b内一定点，x,x+x为a,b内两个邻近
27、的点，M0,M,M分别为曲线y=f(x)上与x0,x,x+x对应的点，如图4-17 所示.在曲线y=f(x)上取定点M0作为度量弧长的起点，并规定依增大的方向作为弧的正向.图图 4-17 4-17一、弧微分以s表示这条曲线由点M0到点M的一段弧M0M的长度，即s=M0M(有向曲线弧M0M的值也常记为M0M).显然，弧长s是随点Mx,y的确定而确定的，也就是说s是x的函数，记为s=s(x),而且s(x)是x的单调增加函数.下面用已知函数y=f(x)来表示弧长s的微分ds.设对应于x的增量x，弧长s的增量为s，则s=MM(见图4-17).因为弦MM的长度 MM2=x2+y2,一、弧微分一、弧微分上
28、式称为弧s=s(x)关于x的弧微分公式.二、曲率的概念及其计算先从几何图形上分析哪些量与曲线弯曲程度有关.如图4-18所示，弧段M1M2比较平直，当动点沿着这段弧从M1移动到M2时，切线转过的角度为1，而弧段M2M3弯曲得比较厉害，当动点沿着这段弧从M2移动到M3时，切线转过的角度为2.图图 4-18 4-18二、曲率的概念及其计算显然21.然而，从图4-19可以看出，两曲线弧M1M2及N1N2的切线转角相同，但弯曲程度明显不同，短弧段比长弧段弯曲得厉害些.因此，曲线弧的弯曲程度与弧段的长度和切线转过的角度均有关.图图 4-19 4-19二、曲率的概念及其计算由此，引入描述曲线弯曲程度的概念曲
29、率.设M,M是曲线y=f(x)上两点(见图4-20)，设曲线在点M和点M处切线的倾斜角分别为和+，当点从M沿曲线y=f(x)变到M时，切线的转角为，而改变这个角度所经过的路程则是弧长s=MM.图图 4-20 4-20二、曲率的概念及其计算二、曲率的概念及其计算例如，直线的切线就是其本身，当点沿直线移动时，切线的 它表明直线上任一点的曲率都等于零.这与人们的直觉“直线不弯曲”是一致的.又如，半径为R的圆，圆上点M，M处的切线所夹的角等于中心角MOM(见图4-21)，由于 所以 图图 4-21 4-21二、曲率的概念及其计算这表明，圆上各点处的曲率都等于半径的倒数，且半径越小曲率越大，即弯曲得越厉
30、害.下面来推导实际计算曲率的公式.二、曲率的概念及其计算在直角坐标系下，不能直接得到与s之间的关系，但可以得到变量，s与变量x的关系.二、曲率的概念及其计算【例例4949】二、曲率的概念及其计算【例例5050】三、曲率圆前面讲过，圆周函数的任意点的曲率都是相同的，并且等于圆周半径的倒数，这就启发人们对于一般的曲线，都可以定义它的任意一点的曲率的倒数为曲线在这点的曲率半径.显然，这个定义是具有非常直观的意义的，因为根据前面曲率的一般计算公式，可以看到一般曲线在某点的曲率完全由曲线在该点的一阶导数和二阶导数决定，因此如果过曲线上任意一点作一个圆与曲线相切，圆的半径就是该点的曲率半径，那么曲线在该点
31、的曲率只与该点处的一阶导数和二阶导数有关的性质，就完全可以通过研究通过该点的这个圆而得到，因为它们具有同样的凹凸性和曲率，以及共同的切线.称这个圆为曲线在该点的曲率圆，而这个圆的圆心则称为曲线在该点的曲率中心.三、曲率圆根据曲率半径的定义，曲线上某点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率K互为倒数，即上述公式表明，曲线上某点处的曲率半径越大，曲线在该点处的曲率越小，则曲线越平缓；曲率半径越小，曲率越大，则曲线在该点处弯曲得越厉害.三、曲率圆下面求曲率中心的坐标.如图4-22所示，设曲线的方程为y=f(x)，其二阶导数y在点x处不等于零，则曲线在点M(x,y)处的曲率中心O(a,b)的坐标为图图 4-
32、22 4-22三、曲率圆三、曲率圆当点M(x,y)沿着曲线C移动时，它的曲率中心O(a,b)亦将随着移动，数学上把O(a,b)移动的轨迹L称为曲线C的渐屈线，而原曲线C称为曲线L的渐伸线(见图4-22).三、曲率圆【例例5252】导数在经济中的应用导数在经济中的应用第 九 节一、边际分析定义定义5 5设函数y=f(x)是可导函数,则称其导函数f(x)为y=f(x)的边际函数.f(x)在点x0处的函数值f(x0)称为y=f(x)在点x0处的边际函数值.根据微分的定义，当x很小时，有下面的近似公式y=f(x+x)f(x)f(x)x,特别地，当x=1时，有f(x+1)f(x)f(x)1=f(x)，也
33、就是说，当自变量增加1个单位时，函数的增量近似地等于其导数值.一、边际分析所以，边际函数值f(x0)的经济意义为：在点x=x0处，当自变量x改变1个单位时，因变量y将近似地改变f(x0)个单位.解释边际函数值的具体意义时,通常略去“近似”二字.将边际函数的概念具体到不同的经济函数,则常用的有边际成本、边际收益、边际利润.一、边际分析边际成本边际成本1.某商品的成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入(劳力、原料、设备等)的价格或费用总额，可分为固定成本和变动成本两部分.固定成本是指在一定时期内不随产量Q变化的那部分成本，如厂房、设备费等，记为C0；变动成本是指随产量Q变化而变化的那部分
34、成本，如原材料费等，记为C1(Q).于是总成本函数的一般形式是C(Q)=C0+C1(Q).当产量Q=0时，对应的成本函数值C(0)就是产品的固定成本值.一、边际分析称(Q)=C(Q)Q为单位成本函数或平均成本函数.成本函数C=C(Q)(Q是产量)的导数C(Q)称为边际成本函数.由边际函数的定义知,边际成本函数值C(Q0)的经济意义是:当产量为Q0时,多生产一个单位产品增加的成本为C(Q0).一、边际分析【例例5353】已知某商品的总成本函数为C(Q)=0.5Q2+10Q+400(元),求:(1)当Q=20件时的总成本和平均成本.(2)当Q=20件时的边际成本,并解释其经济意义.解(1)当Q=2
35、0件时的总成本为一、边际分析边际收益边际收益2.总收益是指生产者出售一定量产品所得到的全部收入，是销售量的函数.当产品销量为Q，价格为P时，收益函数的一般形式是 R(Q)=PQ.收益函数R=R(Q)的导数R(Q)称为边际收益函数；称 为平均收益.边际收益函数值RQ0的经济意义是：在销售量为Q0的基础上，再多销售一个单位产品所增加的收益.一、边际分析【例例5454】设某产品的需求函数为Q=1 0002P(元/件),求销售量为300件时的总收益、平均收益与边际收益，并说明边际收益的经济意义.解由需求函数可得P=5000.5Q,故产品的收益函数为R(Q)=QP=Q(5000.5Q)=500Q0.5Q
36、2,当Q=300时,总收益为一、边际分析一、边际分析需求函数表示的就是商品需求量和价格这两个经济量之间的数量关系 Q=Q(P)，其中Q表示需求量，P表示价格.注注一、边际分析边际利润边际利润3.如果产销平衡，即产量为Q，销量也为Q时，利润函数的一般形式是L(Q)=R(Q)C(Q).利润函数L=L(Q)的导数L(Q)称为边际利润函数.边际利润函数值LQ0的经济意义是：在产量为Q0的基础上，再多生产一个单位产品所增加的利润.利润函数为L(Q)=R(Q)C(Q),则边际利润函数L(Q)=R(Q)C(Q).一、边际分析【例例5555】某产品的总成本函数为C(Q)=60+50Q+0.5Q2(元),总收益
37、为R(Q)=120Q0.5Q2(元),求Q=10件时的边际利润,并解释其经济意义.解利润函数为L(Q)=R(Q)C(Q)=120Q0.5Q260+50Q+0.5Q2=60+70QQ2,所以边际利润函数为LQ=702Q,当Q=10时的边际利润为L10=70210=50(元),其经济意义是:当产量为10件时,再多生产一件产品所增加的利润为50元.二、弹性分析函数的弹性函数的弹性1.在边际分析中知道,边际函数指的是函数的变化率,这个变化率是绝对的,函数的增量也是绝对的,然而用绝对增量和绝对变化率的概念并不能更深入地分析经济领域的问题.例如，甲商品原价1 000元,乙商品原价10元,现对两种商品都涨价
38、1元.两种商品的绝对增量都是1元,但是哪种商品涨价的幅度更大呢？哪种商品涨价对市场的需求影响大呢？很显然，当用绝对增量去和原价进行比较后，发现甲商品的涨幅为0.1%，而乙商品的涨幅为10%，一般来说可推测甲商品的涨价对它的市场需求影响不大.因此,还有必要来研究函数的相对增量和相对变化率.二、弹性分析定义定义6 6二、弹性分析二、弹性分析【例例5656】二、弹性分析需求弹性需求弹性2.定义定义7 7设商品的需求函数为Q=Q(P),则该商品在价格为P时的需求弹性为一般来说,由于需求函数是单调递减的函数,则Q(P)一般为负值,所以需求弹性也为负值.需求弹性反映了产品的需求量对价格变动反映的强烈程度，
39、其经济意义是:当某商品价格为P时，价格上涨(下降)1%时，需求量近似减少(增加)%.在具体的经济问题解释时，通常略去“近似”二字.二、弹性分析设商品的需求函数为Q=Q(P),则收益函数为R(P)=PQ=PQ(P),所以其关于价格的边际收益函数为由此可知：(1)当0,即R(P)单调增加,即当价格上涨时,总收益增加;价格下跌时,总收益减少.经济学中,这种商品称为缺乏弹性商品.(2)当1时,即当需求的变化幅度大于价格变化的幅度时,R(P)1,所以价格上涨,总收益减少.总收益对价格的弹性函数值其经济意义是:当P=6时,若价格上涨1%,总收益减少0.85%;价格下降1%,总收益增加0.85%.三、最优化
40、问题 在经济生活中，为了达到经济效益的最大化，经常会碰到如何组织生产，使得投入最少、成本最低、利润最大等问题.下面举一些例子进行探讨.三、最优化问题利润最大化问题利润最大化问题1.设某商品的收益函数为R(Q),总成本函数为C(Q),则利润函数为L(Q)=R(Q)C(Q),为了求最大利润，求其一阶导数L(Q)=R(Q)C(Q)，令L(Q)=0，得R(Q)=C(Q).所以当R(Q)=C(Q)时,即当边际收益等于边际成本时,可以实现最大利润.三、最优化问题【例例5858】设某厂生产某种机器的总成本函数为C(Q)=3Q+150(万元),收益函数为R(Q)=9Q0.02Q2(万元),问生产并销售多少台机
41、器时,利润达到最大?解利润函数为L(Q)=R(Q)C(Q)=0.02Q2+6Q150,边际利润函数为L(Q)=0.04Q+6,令L(Q)=0,得唯一驻点Q=150,由于利润必存在最值，所以只要生产并销售150台机器,就可以获得最大利润.三、最优化问题平均成本最小化问题平均成本最小化问题2.三、最优化问题经济批量问题经济批量问题3.某批发零售公司要进行进货销售业务,在总需求量一定的条件下,存在订货费用与存货成本费用的问题.订购批量大,订购次数少,则订购费用小,但是存货保管费就相应增加;而订购次数多,存货保管费用少,但是订购费用就多了.所以就存在一个如何确定订购批量使得总费用最小的问题.三、最优化问题【例例6060】某商店每年销售某种商品5 000件,每次订货的手续费是50元,商品的进价为5元/件,存储费是平均库存商品进价的10%,平均库存量是批量的一半,求最优订货批量.三、最优化问题
