1、 学习目标学习目标掌握位移法的基本原理及解题思路。能够准确分析出基本未知量。能够熟练写出等截面直杆的转角位移方程。能熟练利用位移法计算超静定梁和无侧移刚架的内力。13.113.1位移位移法的法的基本基本原理原理 如图13-1（a）所示，刚架在荷载P作用下，将产生如图中虚线所示的变形。因为结点A是刚结点，所以杆BA与杆AC在A端的转角相同，即均等于结点A的转角Z1；忽略受弯杆件的轴向变形时，结点A的水平线位移和竖向线位移等于零。整个刚架的变形只要用Z1来描述即可。如果能设法求得Z1的值，刚架的内力就可以确定。13.113.1位移位移法的法的基本基本原理原理13.113.1位移位移法的法的基本基本
2、原理原理 用位移法计算超静定结构的基本思路是：把超静定结构的某些结点位移（角位移和线位移）作为基本未知量，在结点位移处假设相应的约束，以单跨超静定梁作为计算单元，然后根据其位移及荷载的叠加作用写出各杆的弯矩的表达式，通过平衡方程求出基本未知数，最后求得结构的内力。13.213.2位移法的基位移法的基本未知量本未知量13.2.1结点角位移13.2.2结点线位移13.213.2位移位移法的法的基本基本未知未知量量 结点角位移数目就等于刚结点的数目。因为在同一刚结点处，各杆端的转角都相等，所以每一个刚结点只有一个角位移未知数。对于铰结点或铰支座处各杆端的转角，因为不独立，所以不选作基本未知量。例如，
3、图13-2所示刚架有一个刚结点1，因此其独立角位移数目为1；而其他结点的杆端角位移不独立，因此不选作基本未知数。又如，图13-3所示刚架有4个角位移未知数，即1，2，3和4。13.213.2位移位移法的法的基本基本未知未知量量13.213.2位移位移法的法的基本基本未知未知量量 确定独立的结点线位移数目时，忽略受弯杆件的轴向变形且弯曲变形也很小，对于一些简单的结构，可直接判断独立的结点线位移数。但对于复杂结构，依靠感观判断独立线位移数是比较困难的，因为各结点的线位移并不都是独立的。例如图13-4（a）所示的刚架，其横梁上的3个结点D，E，F的竖向线位移均为零，水平线位移相等，即只要求出其中某一
4、结点的线位移，其他两个结点的线位移就为已知，因此这3个结点只有一个独立线位移。13.213.2位移位移法的法的基本基本未知未知量量13.213.2位移位移法的法的基本基本未知未知量量 常用的判断独立线位移数目的方法为铰化结点法。首先，设想将结构各刚结点（包括固端支座）都变成铰结点，使整个结构变成一个完全的铰结体系；然后判断此铰结体系是否几何可变。如果此铰结体系为几何不变体系，则说明原结构没有独立的结点线位移。反之，如果铰结体系为几何可变体系（包括瞬变体系），则需添加链杆约束使其成为几何不变体系。所需添加的链杆数目即原结构的独立线位移数目。13.313.3等截等截面直面直杆的杆的转角转角位移位移
5、方程方程1.位移法基本变形假定位移法基本变形假定 为简化位移法的计算并减小误差，通常做如下几点假设。(1)结构的变形是微小的。(2)忽略杆件的轴向变形和剪切变形，即各杆端之间的轴向长度尺寸在变形后保持不变。(3)结点线位移的弧线可用垂直于杆件的切线来代替。13.313.3等截等截面直面直杆的杆的转角转角位移位移方程方程2.内力的正负规定内力的正负规定 位移法中对杆端弯矩和杆端位移正负号作如下规定：杆端弯矩对杆端而言以顺时针转向为正（对结点或支座而言，则以逆时针转向为正）；杆端转角以顺时针转动为正；杆件两端在垂直于杆轴方向上的相对线位移（也称侧移）以使整个杆件顺时针转动为正。13.313.3等截
6、等截面直面直杆的杆的转角转角位移位移方程方程3.转角位移方程转角位移方程 位移法是以单跨超静定梁作为它的计算单元，这些单跨超静定梁的支承情况一般可以分为以下三种：两端固定、一端固定而另一端铰支，以及一端固定而另一端滑动支座，分别如图13-7（a），（b），（c）所示。13.313.3等截等截面直面直杆的杆的转角转角位移位移方程方程3.转角位移方程转角位移方程 一般情况下，当把结构分解为单跨梁时，对于拆开的单根梁，结构的结点位移就是梁的支座位移，即杆端位移。在位移法中，经常需要用到这些超静定梁在荷载、支座位移情况下的杆端弯矩和剪力，杆端弯矩和剪力可用力法分别求出。表13-1给出了一些常用的单跨超
7、静定梁发生不同支座位移及承受不同荷载作用时的杆端内力的计算式，详细图表请参照课本相关内容。13.313.3等截等截面直面直杆的杆的转角转角位移位移方程方程3.转角位移方程转角位移方程 1)两端固定的梁 2)一端固定一端的铰支梁 3)一端固定一端滑动的支承梁13.413.4位移法方程位移法方程13.4.1用平衡条件建立位移法方程13.4.2位移法方程的应用13.413.4位移位移法方法方程程 一般说来，位移法方程都是根据平衡方程得出的。基本未知量中每一个结点转角都有一个相应的刚结点力矩平衡方程，每一个独立的结点线位移都有一个相应的截面投影平衡方程，平衡方程数与基本未知量数目彼此相等，因而可解出全
8、部基本未知量。13.413.4位移位移法方法方程程1.无侧移结构的计算无侧移结构的计算 只有结点角位移而无结点线位移的结构，称为无侧移结构。连续梁和无侧移刚架等属于此类。【例13-2】、【例13-3】的相关问题和解答过程请参照课本相关内容。13.413.4位移位移法方法方程程2.有侧移结构的计算有侧移结构的计算 全部结点或部分结点具有线位移的结构，称为有侧移结构。有侧移结构和无侧移结构相比，在计算的基本思路上并没有什么不同，仅须注意两点：基本未知数中应包含结点的独立线位移；在建立位移法方程时，除了考虑刚结点的平衡条件外（力矩平衡），还要考虑与结点线位移对应的截面平衡条件（投影平衡）。【例13-
9、4】、【例13-5】的相关问题和解答过程请参照课本相关内容。13.513.5位移法的基本位移法的基本结构和典型方结构和典型方程程13.5.1位移法的基本结构13.5.2通过基本结构建立典型方程13.5.3用典型方程求解超静定结构13.513.5位移位移法的法的基本基本结构结构和典和典型方型方程程 位移法以单跨超静定梁作为计算单元。为了将原结构的各杆变成单跨超静定梁，在每个刚结点上加上附加刚臂，以控制结点的转动；同时，在每个产生独立结点线位移的结点上，沿位移的方向加上附加杆件，以控制结点的移动。这样，就得到一个由若干单跨超静定梁组成的组合体，称为原结构位移法计算时的基本结构，而附加刚臂和附加杆件
10、统称为附加约束。13.513.5位移位移法的法的基本基本结构结构和典和典型方型方程程 例如图13-16（a）所示的刚架，在刚结点2处加上附加刚臂，并在结点3处加上一根水平附加杆件，得到的基本结构如图13-16（b）所示。这样，原刚架就变成一个由3个单跨超静定梁所组成的组合体。其中梁1，2为两端固定，梁2，3和梁3，4均为一端固定一端铰支，它们在各种不同情况下的杆端弯矩和剪力均可由表 13-1查得。13.513.5位移位移法的法的基本基本结构结构和典和典型方型方程程13.513.5位移位移法的法的基本基本结构结构和典和典型方型方程程 又如图13-17（a）所示刚架，其刚结点数目为4，独立结点线位
11、移数目为2，共有6个基本未知数。其基本结构如图13-17（b）所示。13.513.5位移位移法的法的基本基本结构结构和典和典型方型方程程 下面以图13-18（a）所示的刚架为例说明如何通过基本结构来建立位移法典型方程。该刚架有一个结点角位移Z1，即结点B转角，还有一个独立的结点线位移Z2，即结点B（或A，C）的水平位移，共两个基本未知数。在结点B处加附加刚臂，在结点C处（或A处）加一水平附加杆件，得基本结构如图13-18（b）所示。13.513.5位移位移法的法的基本基本结构结构和典和典型方型方程程 基本结构中，由于附加刚臂和附加杆件限制了结点B的转动和结点C的移动，因此在荷载作用下附加刚臂上
12、产生了反力矩R1P，附加杆件上产生了反力R2P，如图13-18（c）所示；当结点C产生转角Z1时，在附加刚臂上产生了反力矩R11，附加杆件上产生了反力R21，如图13-18（d）所示；当结点B有移动Z2时，在附加刚臂上产生反力矩R12，附加杆件上产生反力R22，如图13-18（e）所示。13.513.5位移位移法的法的基本基本结构结构和典和典型方型方程程 这样，图13-18（a）所示状态可看成是由图13-18（c），（d），（e）三图叠加而得。设该刚架中附加刚臂上的总反力矩为R1，附加杆件上的总反力为R2，则有 R1=R11+R12+R1P R2=R21+R22+R2P13.513.5位移位移
13、法的法的基本基本结构结构和典和典型方型方程程13.513.5位移位移法的法的基本基本结构结构和典和典型方型方程程13.513.5位移位移法的法的基本基本结构结构和典和典型方型方程程 又因原结构并无附加刚臂和水平附加杆件，故应有R1=0及R2=0，由此可得位移法的基本方程为 R1=R11+R12+R1P=0 R2=R21+R22+R2P=0 （13-4）式中，各Rik表示在附加约束上产生的反力（或反力矩），第一个下标表示发生反力（或反力矩）的位置，第二个下标表示产生此反力（或反力矩）的原因。R21，R22及R2P的意义可以类推，但应注意到它们都是附加杆件上的反力。13.513.5位移位移法的法的
14、基本基本结构结构和典和典型方型方程程 为使用方便，利用叠加原理，将由于Z1和Z2所引起的反力（或反力矩）分解为 R11=r11Z1 R12=r12Z2 R21=r21Z1 R22=r22Z2 式中，r11为基本结构上当Z1=1时在附加刚臂B处引起的反力矩，如图13-18（f）所示；r12为基本结构上当Z2=1时在附加刚臂B处引起的反力矩，如图13-18（g）所示。r21和r22的意义可类推，但它们是附加杆件上的反力。13.513.5位移位移法的法的基本基本结构结构和典和典型方型方程程 将各R值代入式（13-4）得 r11Z1+r12Z2+R1P=0 r21Z1+r22Z2+R2P=0 （13-
15、5）利用式（13-5）即可求出基本未知数Z1和Z2。13.513.5位移位移法的法的基本基本结构结构和典和典型方型方程程 对于具有n个基本未知数的结构，位移法的基本方程可写成如下形式。（13-6）式中，Z是结点的广义位移，可以是线位移或角位移。13.513.5位移位移法的法的基本基本结构结构和典和典型方型方程程 式（13-6）中系数可分为两大类：一类是位于主对角线（自左上方的r11至右下方的rnn）上的系数rii，称为主系数，恒大于零；另一类位于主对角线以外的系数rik（ik），称为副系数，可为正，可为负，也可为零。由反力互等定理可知rik=rki。除了系数外，还有自由项RiP，它表示荷载单独
16、作用在基本结构上时，在附加约束i上产生的反力或反力矩，可为正，可为负，也可为零。13.513.5位移位移法的法的基本基本结构结构和典和典型方型方程程 位移法的方程组与力法典型方程组相似，是按一定规则写出的，具有副系数互等的关系，且不管结构的形式如何，只要具有n个基本位移未知数，位移法方程就有统一的形式，故称为位移法的典型方程。它的物理意义是：原结构无附加约束存在，因此基本结构在荷载等外因和各结点位移的共同影响下所产生的附加约束的约束反力（反力或反力矩）的总和为零。13.513.5位移位移法的法的基本基本结构结构和典和典型方型方程程 位移法典型方程的意义完全不同于力法典型方程，主要表现在以下几方
17、面。（1）基本未知数的性质不同：前者为“位移”，而后者为“力”。（2）系数和自由项的物理意义不同：前者表示附加约束上的反力或反力矩，而后者则表示沿多余未知力方向的位移。（3）典型方程的性质不同：前者为静力平衡方程，而后者为位移协调方程。注注 意意13.513.5位移位移法的法的基本基本结构结构和典和典型方型方程程 综上所述，用位移法典型方程求解超静定结构的步骤可归纳如下。（1）确定基本未知量和基本结构。（2）建立位移法典型方程。（3）利用表 13-1，分别绘制基本结构的单位弯矩图和荷载弯矩图，由静力平衡方程求出各系数和自由项。13.513.5位移位移法的法的基本基本结构结构和典和典型方型方程程 （4）将求出的各系数和自由项代入典型方程中，求出基本未知量。（5）由M=MiZi+MP叠加计算结构各杆端弯矩，绘制出最终弯矩图；利用平衡求杆端剪力和轴力作出剪力图和轴力图。（6）校核。2.32.3平面平面力系力系的简的简化化知知 识识 拓拓 展展位移法
