1、第三章 测度理论注：开集、闭集既是 型集也是 型集；有理数集是 型集，但不是 型集；无理数集是 型集，但不是 型集。GGGFFF有理数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集；通过取余 型集与 型集相互转化（并与交，开集与闭集互换）GFFG注：零集、区间、开集、闭集、型集（可数个开集的交）、型集（可数个闭集的并）、Borel型集（粗略说：从开集出发通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集。证明见书本p66I|ImI 一 可测集的实例即：可测集与开集、闭集只相差一小测度集（可测集“差不多”就是开集或闭集），从而可测集基本上是至多可数个开区间的并。)(,0)1(EGmGEGE且使得
2、，开集可测，则若)(,0)2(FEmEFFE且使得，闭集可测，则若定理：证明：若(1)已证明，由Ec可测可知)(,0ccEGmGEG且，使得开集)()()()()(cccccccEGmEFmFEmFEmFEm且EF 取F=G c，则F为闭集)(,0)1(EGmGEGE且使得，开集可测，则若)(,0)2(FEmEFFE且使得，闭集可测，则若111,|iiiiiiGIGEGmEmGmIImE 令则 为开集，且mEmGEGm)(从而（这里用到mE+）EmIEmIEIiiiii*1*1|,0且使得开区间列，且为开集，则令GEGGGii,112111111)()()()()(iiiiiiiiiiiiii
3、iiEGmEGmEGmEGmEGmiiiiiiEGmGEG2)(且，使得开集对每个Ei应用上述结果)(1iiimEEE(2)当mE=+时，这时将E分解成可数个互不相交的可测集的并：,3,2,1,)()(1nEGmEOmnn1nnOGOG 令，则为型 集，EO且是可测集。，则且，使得开集，若设EEGmGEGREn)(,0()0m OE故()EOOE从而为可测集nnnnEGmGEG1)(且，使得开集证明：对任意的1/n，,321rrrE 开集:(0,1)闭集：),(1,011221iiiiirrF),(11221iiiiirrG开集：闭集：空集GFGF 可测集可由 型集去掉一零集，或 型集添上一零
4、集得到。0)(HEmEH且F(2).若E可测，则存在 型集H,使0)(EOmOE且G(1).若E可测，则存在 型集 O,使定理：0)(ccEOmOEOG且，使得型0)()()()()(cccccccEOmEHmHEmHEmHEm0)(EOmOE且0)(HEmEH且FG(1).若E可测，则存在 型集 O,使 (2).若E可测，则存在 型集H,使证明：若(1)已证明，由Ec可测可知EH F取H=O c，则H为 型集，且0)(EOmOE且G1()(),1,2,3,nnm OEm GEnnnnnEGmGEG1)(且，使得开集()0m OE故OEGO型集，且为则,1nnOG 令GFGF注：上面的交与并不可交换次序),(1,011112211ininiiinrrH型集：F)1,0(型集：G),(11112211ininiiinrrO型集：G空集型集：F证明:由外测度定义知nininiininEmIEmIEI1*1*11|,且使得开区间列1*111,|nninninnininiiGIGEGm EmGmIIm E 令则为 开 集，且1nnOGOGE 令，则为型集，且OE,mO=m，型集，则存在若OGREn的等测包）为（称且使得EOEmmOOEl存在不是Borel集的可测集（利用Cantor函数和不可测集构造）参见：实变函数周民强,p87
