1、第三章 导数与微分导数的基本概念第一节函数的求导法则第二节高 阶 导 数第三节隐函数及由参数方程所确定第四节函数的微分及其应用第五节定积分的概念及性质定积分的概念及性质第 一 节第六章 定积分及其应用一元函数的积分学分为两个部分，一部分是上一章介绍的不定积分；另一部分就是本章将要介绍的定积分，它包括定积分的概念、运算与应用.定积分有着广泛的应用，本章着重介绍如何运用定积分的微元法解决各种实际问题的定积分模型.作为定积分概念的推广，本章还要介绍广义积分.一、定积分的概念实例引入实例引入1.实例1求曲边梯形的面积.设f(x)为闭区间a,b上的连续函数，且f(x)0.由曲线y=f(x)，直线x=a，
2、x=b以及x轴所围成的平面图形，称为曲边梯形，如图6-1所示.那么，这个曲边图形的面积如何计算呢？图图 6-1 6-1一、定积分的概念我们知道，平面图形可以划为若干个曲边梯形之和.为了解决求平面图形面积的问题，先来解决如何求曲边梯形的面积问题.现在，我们所遇到的主要困难是：它的一条边f(x)是曲线，如果f(x)是平行于x轴的直线段，则为矩形，其面积公式为矩形的面积底高.一、定积分的概念但曲边梯形的面积不能用这个公式计算，因为它各处的高是不同的.为了解决上面的困难，我们用一组平行于y轴的直线将曲边梯形分割成若干个小窄曲边梯形.针对每个小窄曲边梯形，由于它的底很窄，高f(x)变化不大，可以近似地看
3、作不变，小窄曲边图形可近似为窄矩形.把这些小窄曲边图形面积的近似值加起来就得到了原曲边梯形面积的近似值.可以想象，把曲边梯形分得越细，所得到的近似值的精确度就越高.因此，当无限细分(每个小矩形的底边长都趋于零)时，所得的近似值如果有极限，就可定义该极限值为曲边梯形的面积.下面分四步具体讨论：一、定积分的概念(1)分割.在a,b区间内任取n1个分点 a=x0 x1xn1xn=b，把区间a,b分成个n小区间 x0,x1,x1,x2,xn1,xn，它们的长度依次为 x1=x1x0，x2=x2x1，xn=xnxn1，过每一个分点作平行于y轴的直线段，把曲边梯形分成n个窄曲边梯形.(2)近似.在每个小区
4、间xi1,xi上任取一点i(xi1ixi)，以xi=xixi1为底，f(i)为高的窄矩形代替第i个小曲边梯形(i=1,2,n)，若记Ai为第i个小曲边梯形面积，则有 Aif(i)xi(i=1,2,n).一、定积分的概念(3)求和.把这样得到的n个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值，即Af(1)x1+f(2)x2+f(n)xn=ni=1f(i)xi.(4)取极限.为了保证每个小区间的长度都趋近于零，就必须要求小区间长度的最大值趋于零，若记=maxx1,x2,xn，则上述条件相当于0.当0时(必然是小区间的个数无限增大，即n)，对上式取极限，就得到曲边图形的面积一、定积分的概念实例2变速
5、直线运动的路程.设某物体做直线运动，已知它的速度v=v(t)是时间间隔T1,T2上的连续函数，且v(t)0.该物体在这段时间内所经历的路程如何计算呢？匀速直线运动中，v(t)=常数，则 路程速度时间，但速度随时间变化的运动就不能用这种方法计算路程了.然而，由于物体运动的速度是连续变化的，在很短的时间间隔内，速度的变化很小，可以把这段时间间隔内变速运动近似看成匀速运动.这就提示了计算变速直线运动路程的方法.一、定积分的概念(1)分割.在时间间隔T1,T2内任意插入n1个分点 T1=t0t1tn1tn=T2，把T1,T2分成n个小段 t0,t1,t1,t2,tn1,tn，各小段的时间长依次为 t1
6、=t1t0,t2=t2t1,tn=tntn1，相应地，物体在各段时间内经过的路程依次为 s1,s2,sn.(2)近似.在时间间隔ti1,ti上任取一时刻i，以i时的速度v(i)作为时间间隔ti1,ti上的平均速度计算si，则 siv(i)ti(i=1,2,n).一、定积分的概念(3)求和.将这n个小段路程相加就得到物体在时间间隔T1,T2上经过的路程的近似值，即(4)取极限.记=maxt1,t2,tn，当0时，对上式取极限，就得到变速直线运动在时间间隔T1,T2内的总路程一、定积分的概念定积分的定义定积分的定义2.前面介绍的两个实例其解决的实际问题虽不同，但其解决问题所用的思想和方法却是相同的
7、，即“分割、近似、求和、取极限”.我们就把这类问题抽象成一个数学概念，称之为定积分.一、定积分的概念定义定义1 1设f(x)是定义在区间a,b上的有界函数，用分点a=x0 x1xn1xn=b把区间a,b分成个n小区间x0,x1,x1,x2,xn1,xn，它们的长度依次为x1=x1x0，x2=x2x1，xn=xnxn1，在每个小区间xi1,xi上任取一点i(xi1ixi)，作n个乘积f(i)xi的和式一、定积分的概念记=maxx1,x2,xn,如果当0时，和式ni=1f(i)xi的极限存在，并且其极限与区间a,b的分割方法以及点i的取法无关，则该极限称为函数f(x)在区间a,b上的定积分，记作b
8、af(x)dx，即其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，a,b称为积分区间，“”称为积分号，是拉丁文Summa一词的字头S拉长.一、定积分的概念可见，定积分本质上就是一个和式的极限.利用定积分的定义，前面讨论的两个实际问题可以分别表述如下：(1)连续曲线y=f(x)f(x)0、x轴及两条直线x=a，x=b所围成的曲边梯形的面积等于函数f(x)在区间a,b上的定积分，即(2)物体以变速v=v(t)(v(t)0)做直线运动，从时刻t=T1到t=T2，该物体经过的路程等于函数v(t)在区间T1,T2上的定积分，即一、定积分的概念关于定积
9、分定义的理解，应注意以下几点：(1)定积分是一个数，它仅与被积函数f(x)和积分区间a,b有关，而与积分变量用哪个字母表示、区间如何分割(采用均匀分割或非均匀分割)及点i的取法(可以取第i个小区间的左端点、右端点或中点，也可以是区间内任意一点)无关，即有 baf(x)dx=baf(t)dt=baf(u)du.一、定积分的概念(2)在上述定义中，我们实际上限定了上限大于下限，即ab，但在实际应用及理论分析中，会用到上限小于下限或等于下限的情况.为此，我们把定积分的定义扩充如下：当a0或xb时，牛顿-莱布尼兹公式仍成立.注注由于f(x)的原函数F(x)一般可通过求不定积分求得，因此，牛顿-莱布尼兹
10、公式巧妙地把定积分的计算问题与不定积分联系起来，转化为求被积函数的一个原函数在区间a,b上的增量问题.定理5通常称为微积分基本定理，牛顿-莱布尼兹公式也称为微积分基本公式.三、牛顿-莱布尼兹公式【例例9 9】【例例1010】三、牛顿-莱布尼兹公式【例例1111】【例例1212】定积分的计算定积分的计算第 三 节一、定积分的换元积分法第二节我们已将计算定积分的问题转化为求原函数或不定积分的问题，而求不定积分已有现成的换元积分法和分部积分法，由于定积分涉及求出的原函数还要代上、下限的问题，所以，本节有必要进一步讲解定积分的换元积分法和分部积分法.一、定积分的换元积分法第一类换元积分法第一类换元积分
11、法(凑微分法凑微分法)1.定理定理6 6设函数u=(x)在区间a,b上有连续导数，y=f(u)在相应的区间上连续，且F(u)=f(u)，则有baf(x)(x)dx=baf(x)d(x)=F(x)ba=F(b)F(a).(6-4)这个定理可由不定积分的换元积分法直接得证.一、定积分的换元积分法【例例1313】【例例1414】一、定积分的换元积分法【例例1515】【例例1616】一、定积分的换元积分法当被积函数含有绝对值符号或根式时，则应先去掉绝对值符号或根号，变为分段函数再积分.这时必须注意被积函数在不同积分区间所取的正负号可能不同，以免导致错误.注注一、定积分的换元积分法第二类换元积分法第二类
12、换元积分法2.定理定理7 7设函数f(x)在区间a,b上连续，函数x=(t)满足下列条件：(1)函数(t)在区间,上单调且有连续的导数(t)；(2)当t在区间,上变化时，x=(t)的值在a,b上变化，且()=a，()=b，则有 baf(x)dx=f(t)(t)dt.(6-5)式(6-5)式称为定积分的换元公式.一、定积分的换元积分法证由于式(6-5)两边的被积函数都是连续的，所以他们都存在原函数.设F(x)是f(x)的一个原函数，即F(x)=f(x)，根据复合函数的求导法则，有一、定积分的换元积分法利用式(6-5)计算定积分时要注意，积分限应随积分变量改变而改变，并且下限a对应的参数值仍应写在
13、下限，上限b对应的参数值仍应写在上限，不论或0)的定积分，应先判别f(x)的奇偶性，如f(x)为奇函数，则aaf(x)dx=0；若f(x)为偶函数，则aaf(x)dx=2a0f(x)dx，然后再计算a0f(x)dx；如f(x)为非奇非偶函数，看是否能化为奇偶函数的代数和形式，然后再计算.注注一、定积分的换元积分法【例例2121】一、定积分的换元积分法【例例2222】一、定积分的换元积分法对于分段函数，可利用定积分的积分区间的可加性逐段积分.这时必须注意不同的积分区间被积函数的表达式不同.注注【例例2323】一、定积分的换元积分法【例例2424】设函数f(x)在0,1上连续，证明一、定积分的换元
14、积分法证明积分等式时，如何选取积分变换是证题的关键.一般要从等式两边的积分限和被积函数的变化情况去考虑.当然也需要一定的技巧，希望读者在平时的做题过程中，不断地积累和摸索其规律.注注二、定积分的分部积分法设函数u=u(x)与v=v(x)在区间a,b上具有连续的导数u(x)与v(x)，则定积分的分部积分公式为bau(x)dv(x)=u(x)v(x)babav(x)du(x)，(6-6)或写成bau(x)v(x)dx=u(x)v(x)babav(x)u(x)dx.(6-7)定理定理8 8二、定积分的分部积分法证由函数乘积的微分公式知du(x)v(x)=u(x)dv(x)+v(x)du(x)，即u(
15、x)dv(x)=du(x)v(x)v(x)du(x)，两边取定积分，积分区间为a,b，则有bau(x)dv(x)=u(x)v(x)babav(x)du(x)或bau(x)v(x)dx=u(x)v(x)babav(x)u(x)dx.二、定积分的分部积分法【例例2525】二、定积分的分部积分法【例例2626】二、定积分的分部积分法【例例2727】二、定积分的分部积分法【例例2828】证明定积分公式(6-8)二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法【例例2929】二、定积分的分部积分法【例例3030】二、定积分的分部积分法【例例3131】设f(x)在0,上具有二阶连续导数，
16、f()=3且0f(x)+f(x)cos xdx=2，求f(0).解0f(x)+f(x)cos xdx=0f(x)dsinx+0cos xdf(x)=sinxf(x)0-0sin xf(x)dx+cos xf(x)0+0sinxf(x)dx=-f()-f(0)=2,因此f(0)=2f()=23=5.二、定积分的分部积分法(1)定积分与不定积分的分部积分法有同样的选择u,dv的原则；注注二、定积分的分部积分法【例例3232】广广 义义 积积 分分第 四 节第四节 广 义 积 分前面介绍的定积分有两个限制条件：积分区间有限和被积函数有界.实际问题中还需要某些函数在无穷区间上的积分以及某些无界函数在有
17、限区间上的积分.因此要求将定积分概念加以推广，这就是广义积分.广义积分包括无穷区间的广义积分和无界函数的广义积分两类.一、无穷区间的广义积分定义定义2 2设f(x)在区间a,+)内连续，任取ba，若极限limb+baf(x)dx存在，则称此极限为f(x)在区间a,+)上的广义积分，记作+af(x)dx，即+af(x)dx=limb+baf(x)dx，(6-9)此时称广义积分+af(x)dx存在或收敛；否则称广义积分+af(x)dx没有意义或发散.类似地，可定义f(x)在区间(,b上的广义积分bf(x)dx=limabaf(x)dx，(6-10)以及bf(x)dx收敛和发散的概念.一、无穷区间的
18、广义积分定义定义3 3f(x)在区间(-,+)上连续，如果广义积分定义为+f(x)dx=af(x)dx+af(x)dx，(6-11)其中a为任意实数.当上式右端两个积分都收敛时，称广义积分+f(x)dx存在或收敛；否则称广义积分+f(x)dx没有意义或发散.+f(x)dx是否收敛和a的取值无关.一、无穷区间的广义积分【例例3333】一、无穷区间的广义积分【例例3434】该题的结论一般要记住，可作为定理使用.注注二、无界函数的广义积分定义定义4 4设f(x)在区间(a,b上连续，而limxa+f(x)=，取0，若极限lim0+ba+f(x)dx存在，将其记作baf(x)dx，即baf(x)dx=
19、lim0+ba+f(x)dx,(6-12)此时称广义积分baf(x)dx存在或收敛；否则称广义积分baf(x)dx没有意义或发散.这种广义积分又称为瑕积分，a为瑕点.类似地，可定义f(x)在区间a,b)上的广义积分baf(x)dx=lim0+baf(x)dx (6-13)以及baf(x)dx收敛和发散的概念.二、无界函数的广义积分定义定义5 5设f(x)在区间a,b上除点c(acb)外连续，而limxcf(x)=，如果两个广义积分caf(x)dx和bcf(x)dx都收敛，则称广义积分baf(x)dx收敛，且有baf(x)dx=caf(x)dx+bcf(x)dx;(6-14)否则，称其没有意义或
20、发散.二、无界函数的广义积分【例例3535】二、无界函数的广义积分【例例3636】二、无界函数的广义积分【例例3737】二、无界函数的广义积分【例例3838】二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分由这个递推公式不难看出该积分收敛.特别地，对任何正整数n，有(n+1)=n!，这是因为(n+1)=n(n)=n(n1)(n1)=n!(1)，而(1)=+0exdx=1，所以(n+1)=n!.假如在概率论中，我们需要计算积分+0 x2exdx，利用函数很容易知道，+0 x2exdx=(3)=2!=2.定积分的应用定积分的应用第 五 节第五节 定积分的应用定积分在几何学、物理学和经济学等方面有着广泛
21、的应用.本节主要介绍利用定积分求面积、体积、弧长、变力做功、水压力、引力、转动惯量等问题.利用定积分解决实际问题，不仅要会解决某一具体问题，更重要的是要学会掌握用定积分解决问题的基本思想和基本方法、步骤.要做到这一点，需把握下面两个问题：一是什么样的问题能用定积分来解决？二是用什么样的方法可以把实际问题转化为定积分问题？下面就这两个问题展开讨论分析.一、定积分的微元法定积分的所有应用问题，一般可按“分割、近似、求和、取极限”这四个步骤把所求量表示为定积分的形式.为更好地说明这种方法，先来回顾第五章中讨论过的求曲边梯形面积的问题.假设一曲边梯形由连续曲线y=f(x)f(x)0，x轴与两条直线x=
22、a，x=b所围成，试求其面积A.一、定积分的微元法(1)分割.用任意一组分点把区间a,b分成长度为xi(i=1,2,n)的n个小区间，相应地把曲边梯形分成n个小曲边梯形，记第i个小曲边梯形的面积为Ai.(2)近似.第i个小曲边梯形面积的近似值 Aif(i)xi(xi1ixi).(3)求和.所求曲边梯形面积A的近似值(4)取极限.所求曲边梯形面积A的精确值其中=maxx1,x2,xn.一、定积分的微元法由上述过程可见，把区间a,b分割成n个小区间时，所求面积A(总量)也被相应地分成n个小曲边梯形(部分量)，而所求总量等于各部分量之和()，这一性质称为所求总量对于区间a,b具有可加性.此外，以f(
23、i)xi近似代替部分量Ai时，其误差是一个比xi更高阶的无穷小.这两点保证了求和、取极限后能得到所求总量的精确值.一、定积分的微元法对上述过程，在实际应用中可略去下标i，改写如下：(1)分割.把区间a,b分割为n个小区间，任取其中一个小区间x,x+dx(区间元素)，用A表示x,x+dx上小曲边梯形的面积，于是，所求面积 A=A.一、定积分的微元法(2)近似.取x,x+dx的左端点x为.以点x处的函数值f(x)为高、dx为底的小矩形的面积f(x)dx(面积元素，记为dA)作为A的近似值(见图6-7)，即 AdA=f(x)dx.图图 6-7 6-7一、定积分的微元法(3)求和.所求曲边梯形面积A的
24、近似值 AdA=f(x)dx.(4)取极限.所求曲边梯形面积A的精确值 A=limf(x)dx=baf(x)dx.由上述分析，可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量U(总量)表示为定积分的方法元素法，这个方法的主要步骤如下：一、定积分的微元法(1)根据具体问题，选取一个积分变量，如x为积分变量，并确定它的变化区间a,b，任取a,b的一个区间元素x,x+dx，求出相应于这个区间元素上的部分量U的近似值，即求出所求总量U的元素 dU=f(x)dx.(2)根据dU=f(x)dx写出表示总量U的定积分 U=badU=baf(x)dx.一、定积分的微元法应用元素法解决实际问题时，用定积分所表示的量U有
25、三个共同特征：(1)所求总量U的大小取决于某个变量x的一个变化区间a,b，以及定义在该区间上的函数f(x).(2)所求总量U关于区间a,b应具有可加性，即区间a,b上的总量U等于各子区间上的部分量之和.(3)部分量U可以求近似值，且有f(x)dx=dUU.在通常情况下，要检验Uf(x)dx是否为dx的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用中要注意dU=f(x)dx的合理性.二、定积分在几何学上的应用平面图形的面积平面图形的面积1.应用定积分，不但可以计算曲边梯形的面积，还可以计算一些比较复杂的平面图形的面积.二、定积分在几何学上的应用1 1）直角坐标情形）直角坐标情形如果一个平面图形D是由曲线y
26、=f(x)，y=g(x)和直线x=a，x=b(ab)围成，并且在a,b上有f(x)g(x)，如图6-8所示.图图 6-8 6-8二、定积分在几何学上的应用穿过区域D内部且平行于y轴的直线与区域D的边界相交不多于两点，此区域D为X型区域.对于这种X型区域，取x为积分变量比较方便，其变化区间为a,b.在a,b上任取一个窄条区间x,x+dx，则区间x,x+dx上所对应的窄曲边梯形的面积可以用高为f(x)g(x)、宽为dx的矩形面积来近似，从而得到面积微元 dA=f(x)g(x)dx.二、定积分在几何学上的应用以该面积微元为被积表达式，在区间a,b上作定积分就得到这种图形的面积A=baf(x)g(x)
27、dx.(6-15)如果一个平面图形D是由曲线x=(y)，x=(y)和直线y=c，y=d(c0)上相应于从0到2的一段弧与极轴所围成的图形(见图6-14)的面积.图图 6-14 6-14解根据式(6-17)得所求面积为二、定积分在几何学上的应用【例例4343】求三叶玫瑰线r=asin3围成的全面积A(见图6-15).图图 6-15 6-15二、定积分在几何学上的应用【例例4444】如图6-16所示，圆r=3cos 被心脏线r=1+cos 挖去一部分，求留下的图形面积.图图 6-16 6-16二、定积分在几何学上的应用二、定积分在几何学上的应用体积体积2.1 1）旋转体的体积）旋转体的体积旋转体是
28、由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而成的立体，这条定直线称为旋转轴.圆柱、圆锥、圆台、球体都是旋转体.由曲线y=f(x)(该函数在区间a,b内保持同号)，直线x=a，x=b(ab)及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周得到旋转体，如图6-17所示.下面推导这种旋转体体积的计算方法.图图 6-17 6-17二、定积分在几何学上的应用取x为积分变量，其变化区间为a,b.在a,b上任取一个子区间x,x+dx，则区间x,x+dx对应的旋转体薄片的体积可以用底面积半径为f(x)、高为dx的圆柱体的体积来近似，从而得到体积微元 dV=f(x)2dx.以该体积微元为被积表达式，在区间a,b上作定积分就
29、得到这种旋转体的体积 V=baf(x)2dx.(6-18)用类似的方法可以推导出由曲线y=(x)(该函数在区间c,d内保持同号)，直线y=c，y=d(cd)及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周得到的旋转体的体积 V=dc1(y)2dy.(6-19)二、定积分在几何学上的应用【例例4545】图图 6-18 6-18二、定积分在几何学上的应用【例例4646】图图 6-19 6-19求由连接坐标原点O及P(h,r)的直线段、x轴及x=h围成的直角三角形绕x轴旋转而成的旋转体(见图6-19)的体积.二、定积分在几何学上的应用二、定积分在几何学上的应用2 2）平行截面面积已知的立体体积）平行截面面积已知
30、的立体体积计算旋转体体积的分析过程，实际上可以用来分析平行截面面积已知的立体体积的计算.如图6-20所示，有一立体被垂直于x轴的平面相截，被截体积位于x=a和x=b的两平面之间，而且它被垂直于x轴的平面所截的截面积是x的已知连续函数A(x).图图 6-20 6-20二、定积分在几何学上的应用这时，取x为积分变量，则积分区间为a,b.在a,b上任取一个小区间x,x+dx，则区间x,x+dx对应的薄片的体积可以用底面积为A(x)、高为dx的扁圆柱体的体积来近似代替，从而得到体积微元 dV=A(x)dx.以该体积微元为被积表达式，在区间a,b上作定积分就得到所求立体的体积 V=baA(x)dx.(6
31、-22)二、定积分在几何学上的应用【例例4747】图图 6-20 6-20一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面的交角为，截得一楔形立体，如图6-21所示，求该立体的体积.二、定积分在几何学上的应用解取该平面与圆柱体的底面交线为x轴，在底面上过圆心且垂直于x轴的直线为y轴，那么底圆的方程x2+y2=R2.过点(x,0)且垂直于x轴的平面截该立体所得的截面是直角三角形.它的两条直角边的长度分别为y及ytan，因而截面面积为二、定积分在几何学上的应用平面曲线弧长平面曲线弧长3.我们知道直线段的长度是通过直接测量来确定的，但一条曲线段的长度却不能直接测量.那么，我们怎么计算曲线的弧长呢？已知
32、圆周的长度l=2r(其中r为圆的半径)，那么，这个公式是怎么推导出来的呢？一般的曲线弧长又该如何计算呢？下面通过建立平面光滑曲线弧长的概念来揭示此问题.二、定积分在几何学上的应用1 1）弧长的概念）弧长的概念设有一条以A和B为端点的曲线弧(见图6-22)，在其上任取分点 A=M0,M1,M2,Mn1,Mn=B，图图 6-22 6-22二、定积分在几何学上的应用依次连接分点成折线，则折线的长度为 当分点数目无限增加，即=max|Mi1Mi|0(i=1,2,n)时，如果Ln的极限存在，则称其极限值为该曲线弧的长度，即二、定积分在几何学上的应用2 2）弧长的计算公式）弧长的计算公式如果曲线弧由直角坐
33、标方程y=f(x)给出，其中f(x)在a,b上有一阶连续导数，求曲线弧的长度s(见图6-23).图图 6-23 6-23二、定积分在几何学上的应用取x为积分变量，它的变化区间为a,b，在其上任取小区间x,x+x，在该小区间上的弧长可用M点处相应的一小段切线长来近似，即用弧微分来近似，故有 sds=1+y2dx，从而有 s=ba1+y2dx，(6-23)这就是直角坐标系下曲线弧长的计算公式.如果曲线弧由参数方程二、定积分在几何学上的应用给出，其中(x)，(x)在,上具有连续导数，,分别为曲线的两个端点所对应的参数值，这时将弧长微分公式作如下变换 ds=1+y2dx=(dx)2+(dy)2 =2(
34、t)(dt)2+2(t)(dt)2=2(t)+2(t)dt，则该曲线弧长s为 s=2(t)+2(t)dt.(6-24)如果曲线由极坐标方程 r=r()()给出，类似条件下可得弧长微分公式为 s=r2()+r2()d.(6-25)式(6-25)的推导从略.二、定积分在几何学上的应用弧长的计算公式中的下限一定要小于上限.注注二、定积分在几何学上的应用【例例4848】二、定积分在几何学上的应用【例例4949】图图 6-24 6-24二、定积分在几何学上的应用三、定积分在物理学上的应用变力沿直线所做的功变力沿直线所做的功1.由初等物理知识知，一个与物体位移方向一致而大小为F的常力，将物体移动了距离s时
35、所做的功为W=Fs.如果物体在运动过程中受到变力的作用，则可利用定积分元素法来计算物体受变力沿直线所做的功.一般地，假设F(x)是a,b上的连续函数，下面讨论在变力F(x)的作用下，物体从x=a移动到x=b时所做的功W(见图6-25).图图 6-25 6-25三、定积分在物理学上的应用取x为积分变量，其变化区间为a,b.在a,b上任取一小区间x,x+dx，物体由点x移动到x+dx的过程中受到的变力近似视为物体在点x处受到的常力F(x)，则功元素为 dW=F(x)dx，于是，物体受变力F(x)的作用从x=a移动到x=b时所做的功为 W=badW=baF(x)dx.在实际应用中，许多问题都可以转化
36、为物体受变力作用沿直线所做的功的情形.下面通过具体例子来说明.三、定积分在物理学上的应用【例例5050】半径为r的球沉入水中,球的上部与水面相切,球的密度为1,现将球从水中取出,需做多少功?解建立如图6-26所示的坐标系，将半径为r的球取出水面,在整个运动过程中,球所受的力F(x)为F(x)=GF浮,图图 6-26 6-26三、定积分在物理学上的应用三、定积分在物理学上的应用【例例5151】设40 N的力使弹簧从自然长度0.1 m拉长到0.15 m,问需要做多大的功才能克服弹性恢复力,将伸长的弹簧从0.15 m处再拉长0.03 m?解根据胡克定律在弹性限度内，拉伸(或压缩)弹簧所需的力与伸长量
37、(或压缩量)成正比，如图6-27所示建立坐标系，F(x)=kx.图图 6-27 6-27三、定积分在物理学上的应用又因为40 N的力使弹簧从自然长度0.1 m拉长到0.15 m时，其伸长量为0.05 m,因而F(0.05)=40,即0.05k=40,可得k=800,则F(x)=800 x,故弹簧从0.15 m拉长到0.18 m，所做的功为W=0.080.05800 xdx=400 x20.080.05=1.56(J).三、定积分在物理学上的应用水压力水压力2.由物理学知,在距水面深为h处的压强为p=gh(其中为水的密度，g为重力加速度),并且在同一点处的压强在各个方向是相等的.若一面积为A的平
38、板水平地放置在距水面深度为h处,则平板一侧所受到的水压力为P=pA=ghA.若平板垂直地放在水中,由于深度不同的点处压强不相同，平板一侧所受压力就不可用上述方法计算.但由于整个平板所受的压力对深度具有可加性，因此可以用定积分的元素法来计算.三、定积分在物理学上的应用如图6-28所示，假设平板的形状为一曲边梯形，它是由y=f(x)与直线x=a,x=b及x轴所围成的.将其垂直地放置在密度为的水中,两腰与水面平行,且距水面的高度分别为a与b(ab),求平板一侧所受水的压力.图图 6-28 6-28三、定积分在物理学上的应用选x为积分变量,其变化区间为a,b.在a,b上任取一小区间x,x+dx,若dx
39、很小,该小区间对应的小曲边梯形所受到的压强可以近似地用深度为x处的压强代替,因此所受到的压力元素为dP=gxfxdx,在a,b上积分,便得整个平板一侧所受到的压力为P=bagxfxdx.下面通过具体例子来说明.三、定积分在物理学上的应用【例例5252】将直角边分别为a及2a的直角三角形薄板垂直地浸入水中,斜边朝下,边长为2a的直角边与水面平行,且该边到水面的距离恰等于该边的边长,求薄板一侧所受水的压力(设水的密度为).解如图6-29建立坐标系,取x为积分变量，它的变化范围为0,a,在0,a上任取一小区间x,x+dx,则小矩形片的面积为2(ax)dx,小矩形片上各处的压强近似为 p=g(x+2a
40、)，三、定积分在物理学上的应用图图 6-29 6-29三、定积分在物理学上的应用引力引力3.根据初等物理学知识，质量分别为m1，m2，相距r的两个质点间的引力的大小为引力的方向为两质点的连线方向.如果要计算一根细棒或一平面对一个质点的引力，由于细棒或平面上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，那么此时应如何计算呢？下面通过具体例子来说明该问题的计算方法.三、定积分在物理学上的应用【例例5353】设有一半径为R,中心角为(0)的圆弧形细棒,其线密度为常数,在圆心处有一质量为m的质点M,试求这细棒对质点M的引力.解如图6-30建立坐标系,质点M位于坐标原点,x轴平分该圆弧
41、的圆心角,由于此图形关于x轴对称,而圆弧形细棒又是均匀的,故细棒对质点M的引力在y轴上的分力Fy=0,只计算引力在x轴上的分力Fx即可.图图 6-30 6-30三、定积分在物理学上的应用四、定积分在经济学中的应用由边际函数求总量函数由边际函数求总量函数1.已知边际函数F(x)，可由牛顿莱布尼兹公式求得经济函数(原函数)F(x)=x0F(t)dt+F(0)；产量由a变到b时，经济函数的增量F=baF(x)dx.四、定积分在经济学中的应用【例例5454】生产某产品的边际成本函数为C(x)=3x2-14x+100,固定成本C(0)=1 000,求总成本函数.解总成本函数C(x)=C(0)+x0C(t
42、)dt=1 000+x0(3t2-14t+100)dt=1 000+x3-7x2+100 x.四、定积分在经济学中的应用【例例5555】已知某产品销售量为x时边际收益为R(x)=100 x.求：(1)销售量为10时的收益.(2)销售量从20增加到30时，收益是多少？四、定积分在经济学中的应用消费者剩余与生产者剩余消费者剩余与生产者剩余2.在经济管理中,一般说来,商品价格低,需求就大;反之,商品价格高,需求就小,因此需求函数Q=f(P)是价格P的单调减少函数.同时商品价格低,生产者就不愿生产,因而供给就少;反之,商品价格高,供给就多,因此供给函数Q=g(P)是价格P的单调增加函数.由于函数Q=f
43、(P)与Q=g(P)都是单调函数,所以分别存在反函数P=f1(Q)与P=g1(Q),此时函数P=f1(Q)也称为需求函数,而P=g1(Q)也称为供给函数.四、定积分在经济学中的应用需求曲线(函数)P=f1(Q)与供给曲线(函数)P=g1(Q)的交点C(P,Q)称为均衡点.在此点供需达到均衡.均衡点的价格P称为均衡价格,即对某商品而言,顾客愿买、生产者愿卖的价格.如果消费者以比他们原来预期的价格低的价格(如均衡价格)购得某种商品,由此而节省下来的钱的总数称为消费者剩余，即 消费者剩余=愿意付出的金额-实际付出的金额.四、定积分在经济学中的应用假设消费者愿意为某商品所付出的价格为P=f1Q，那么消
44、费者所愿意为Q*个单位商品所付出的金额可用由直线Q=0,Q=Q*,P=0和曲线P=f1Q所围成的图形(曲边梯形OQ*CP1)的面积A来度量，如图6-31所示.由定积分的几何意义知 A=Q*0f1QdQ.图图 6-31 6-31四、定积分在经济学中的应用如果商品是以均衡价格P出售,那么消费者为Q*个单位商品所实际付出的金额为P*Q*,因此,消费者剩余为 Q*0f-1(Q)dQP*Q*，它是曲边三角形P*CP1的面积.如果生产者以均衡价格P*出售某商品,而没有以他们本来计划的以较低的售价P=g1(Q)出售该商品,由此所获得的额外收入,称为生产者剩余.四、定积分在经济学中的应用同理分析可知，P*Q*是生产者实际出售Q*个单位商品的收入总额,Q*0g1(Q)dQ是生产者按原计划以较低价格售出Q*个单位商品所获得的收入总额,故生产者剩余为P*Q*Q*0g1(Q)dQ，它是曲边三角形P0CP*的面积.四、定积分在经济学中的应用【例例5757】设某产品的需求函数是P=183Q.如果价格固定在每件12元,试计算消费者剩余.解令18-3Q=12,得Q*=2.于是消费者剩余为
