1、第十章 曲线积分与曲面积分第一类曲线积分第一节第二类曲线积分第二节格林公式平面曲线积分与路径无关的条件第三节第十章 曲线积分与曲面积分第一类曲面积分第四节第二类曲面积分第五节高斯公式斯托克斯公式空间曲线积分与路径无关的条件第六节第一类曲线积分第一类曲线积分第 一节一、第一类曲线积分的概念引列引列设有一曲线形物体所占的位置是xOy面内的一段曲线L，它的端点是A，B，它的质量分布不均匀，其线密度为(x,y)，试求该物体的质量M(见图10-1).图图 10-1 10-1一、第一类曲线积分的概念分析分析如果该物体的线密度为常量，那么它的质量可用公式 质量=线密度长度来计算.由于该物体上各点处的线密度是
2、变量，所以不能用上述公式来计算.下面采用以下几个步骤来解决这个问题.(1)分割.在L上任意插入一点列M1,M2,Mn-1,把L分成n个小段，相应地，曲线形物体也分成n个小段，每一小段的质量为Mi(i=1,2,n)，则该曲线形物体的质量一、第一类曲线积分的概念(2)近似.取其中一小段物体Mi1Mi(其长度记为si)来考虑,当si很小时，其上的线密度可以近似看成是不变的常数，它近似等于该小段上任一点i,i处的线密度(i,i)，于是，该小段的质量Mi可近似表示为Mi(i,i)si(i=1,2,n).(3)求和.该曲线形物体的质量一、第一类曲线积分的概念(4)取极限.设=maxs1,s2,sn，当0时
3、取上述和的极限，于是整个曲线形物体的质量这种和的极限在研究其他问题时经常用到，于是将其抽象出来，得到第一类曲线积分的定义.一、第一类曲线积分的概念定义定义1 1设L为xOy面内的一条光滑曲线弧，函数fx,y在L上有界.在L上任意插入一点列M1,M2,Mn-1把L分成n个小段.设第i个小段的长度为si，又i,i为第i个小段上任意取定的一点.如果当小弧的长度的最大值0时，ni=1fi,isi的极限是存在的，则称此极限为函数fx,y在曲线弧L上的第一类曲线积分或对弧长的曲线积分，记为Lfx,yds，即 (10-1)其中fx,y称为被积函数，L称为积分弧段，ds称为弧长元素.一、第一类曲线积分的概念函
4、数fx,y在闭曲线L上的第一类曲线积分记为Lfx,yds.注注式(10-1)中和式的极限存在的一个充分条件是函数f(x,y)在曲线L上连续.因此，以后总假定f(x,y)在曲线L上是连续的，在此条件下，第一类曲线积分Lfx,yds总是存在的.根据第一类曲线积分的定义，引例中曲线形物体的质量当线密度(x,y)在L上连续时，就等于(x,y)在L上的第一类曲线积分，即 M=L(x,y)ds.一、第一类曲线积分的概念二、第一类曲线积分的性质性质性质1 1设，为常数，则Lf(x,y)+g(x,y)ds=Lf(x,y)ds+Lg(x,y)ds.二、第一类曲线积分的性质性质性质2 2设L由L1和L2两段光滑曲
5、线组成(记L=L1+L2)，则Lf(x,y)ds=L1f(x,y)ds+L2f(x,y)ds.二、第一类曲线积分的性质性质性质3 3设在L上有f(x,y)g(x,y)，则Lf(x,y)dsLg(x,y)ds.二、第一类曲线积分的性质性质性质4 4(中值定理)设函数f(x,y)在曲线L上连续，则在L上必存在一点(,)，使Lf(x,y)ds=f(,)s，其中s是曲线L的长度.二、第一类曲线积分的性质性质性质5 5(奇、偶对称性)设函数f(x，y)在曲线L上连续.若曲线L关于y轴对称，则二、第一类曲线积分的性质性质性质6 6(轮换对称性)设函数f(x，y)在曲线L上连续，若曲线L中将x与y互换后，L
6、变为L,则Lf(x,y)ds=Lf(y,x)ds.特别地，若L关于y=x对称，则Lf(x,y)ds=Lf(y,x)ds.对于积分f(x,y,z)ds也有相应的性质，读者可自行写出.三、第一类曲线积分的计算定理定理1 1设有曲线三、第一类曲线积分的计算【例例1 1】图图 10-2 10-2三、第一类曲线积分的计算三、第一类曲线积分的计算【例例2 2】图图 10-3 10-3三、第一类曲线积分的计算三、第一类曲线积分的计算【例例3 3】第二类曲线积分第二类曲线积分第 二 节一、第二类曲线积分的概念与性质在xOy面内，质点M在变力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)jP(x,y),Q(x,y)
7、在L上连续的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B，试计算变力F(x,y)所做的功W(见图10-4).引列引列图图 10-4 10-4一、第二类曲线积分的概念与性质分析分析如果力F是常力，且质点从A沿直线移动到B，那么常力F所做的功W可用式 W=FAB来计算.现在F(x,y)是变力，且质点沿曲线L移动，功W不能直接按以上公式计算.可采用以下几个步骤来解决这个问题.(1)分割.在L上沿L的方向插入一点列M1x1,y1,M2x2,y2,Mn-1xn-1,yn-1，与A=M0(x0，y0)，B=Mn(xn，yn)把L分成n个有向小弧段Mi-1Mii=1,2,n.设有向小弧段Mi-1Mi的弧长为si，力
8、F(x,y)沿有向小弧段Mi1Mi所做的功为Wi.一、第二类曲线积分的概念与性质(2)近似.在Mi1Mi上任意取定的一点(i,i)处的力F(i,i)=P(i,i)i+Q(i,i)j，若si充分小，可用有向线段Mi-1Mi来代替小弧段Mi-1Mi，而Mi-1Mi在x轴与y轴上的投影分别为xi=xixi1与yi=yiyi1，故Mi1Mi=(xi)i+(yi)j.因此，力F(x,y)在小弧段Mi1Mi上所做的功近似地等于常力F(i,i)沿Mi1Mi所做的功WiF(i,i)Mi1Mi=P(i,i)xi+Q(i,i)yi.一、第二类曲线积分的概念与性质(3)求和.变力F对物体沿曲线所做的总功(4)取极限
9、.用表示n个小弧段的最大长度，令0取上述和式的极限，得到变力F沿有向曲线弧所做的功，即这种和式的极限在研究其他问题时也会遇到，将其抽象出来得到下面的定义.一、第二类曲线积分的概念与性质定义定义2 2设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧，函数Px,y,Qx,y在L上有界.在L上沿其方向任意插入一点列M1x1,y1,M2x2,y2,Mn-1xn-1,yn-1，把L分成n个有向小弧段Mi-1Mii=1,2,n，其中M0=A,Mn=B.记各小弧段Mi1Mi的弧长为si，=maxs1,s2,sn.设xi=xixi1，yi=yiyi1，点i,i为Mi-1Mi上任意取定的点.若极限一、第二类曲线
10、积分的概念与性质存在，则称此极限为函数Px,y，Qx,y在有向曲线弧L上的第二类曲线积分或对坐标的曲线积分，记为LPx,ydx+Qx,ydy或LPx,ydx+LQx,ydy，(10-3)其中Px,y,Qx,y称为被积函数，L称为积分弧段.函数fx,y在闭曲线L上的第二类曲线积分记为LPx,ydx+Qx,ydy.注注一、第二类曲线积分的概念与性质一、第二类曲线积分的概念与性质性质性质1 1设,为常数，则LP1x,y+P2x,ydx+Q1x,y+Q2x,ydy=LP1x,ydx+Q1x,ydy+LP2x,ydx+Q2x,ydy.一、第二类曲线积分的概念与性质性质性质2 2若有向弧段L可分成两段光滑
11、的有向弧段L1,L2，则LPx,ydx+Qx,ydy=L1Px,ydx+Qx,ydy+L2Px,ydx+Qx,ydy.一、第二类曲线积分的概念与性质性质性质3 3设L是有向光滑的曲线弧，L-是L的反向曲线弧，则L-Px,ydx+Qx,ydy=-LPx,ydx+Qx,ydy.一、第二类曲线积分的概念与性质第二类曲线积分与曲线的方向有关.注注二、第二类曲线积分的计算定理定理2 2设有向曲线弧L的参数方程为当参数t单调地由变到时，点Mx,y从L的起点沿L运动到终点,t与t在,(或,)上具有一阶连续导数，且2t+2t0.又设Px,y与Qx,y为L上的连续函数，则曲线积分LPx,ydx+Qx,ydy=P
12、t,tt+Qt,ttdt.二、第二类曲线积分的计算(10-4)二、第二类曲线积分的计算二、第二类曲线积分的计算(10-5)定积分的下限对应于L的起点,上限对应于L的终点，下限不一定小于上限.注注二、第二类曲线积分的计算二、第二类曲线积分的计算【例例4 4】图图 10-5 10-5二、第二类曲线积分的计算二、第二类曲线积分的计算【例例5 5】图图 10-6 10-6二、第二类曲线积分的计算二、第二类曲线积分的计算【例例6 6】二、第二类曲线积分的计算【例例7 7】二、第二类曲线积分的计算【例例8 8】二、第二类曲线积分的计算三、两类曲线积分的联系指向与有向曲线弧的方向一致的切向量称为这条有向曲线
13、弧的切向量.若有向光滑曲线L由参数方程x=(t)y=(t)给出，其起点A、终点B分别对应参数，.L上一点(对应参数t)处的切向量为=(t)i+(t)j，它的指向与参数t增大时该点移动的走向一致，当时，是有向曲线弧L的切向量.的方向余弦为三、两类曲线积分的联系三、两类曲线积分的联系其中，为有向曲线弧在点(x,y,z)处的切向量的方向角.两类曲线积分之间的联系也可用向量的形式表达.例如，空间曲线上的两类曲线积分之间的联系可写成Adr=Ads，其中Ax,y,z=Px,y,zi+Qx,y,zj+R(x,y,z)k，=cos i+cos j+cos k为有向曲线弧L在点(x,y,z)处的单位切向量，dr
14、=ds=dxi+dyj+dzk.格林公式平面曲线积分格林公式平面曲线积分与路径无关的条件与路径无关的条件第 三 节一、格林公式本节介绍的格林公式建立了平面闭区域D上的二重积分与D的边界曲线L上的第二类曲线积分之间的联系.这种联系不论在理论上还是实际计算中，对曲线积分都有着重要作用.在给出格林公式之前，先介绍单(复)连通平面区域的概念.设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域.例如,平面上的圆形区域(x,y)|x2+y20都是单连通区域；圆环形区域(x,y)|1x2+y22和去心圆盘(x,y)|0 x2+y21都是复连通区域.一、格林公式
15、规定区域D的边界曲线L的正向:当观察者沿L的某个方向行进时，区域D总在它的左侧，则该方向即为L的正向，称该方向的边界曲线L为D的正向边界曲线.例如，对于区域(x,y)|x2+y21，逆时针方向的圆周x2+y2=1是它的正向边界曲线；对于区域(x,y)|1x2+y20，所以(Si)xy=(i)xy.又因为(i,i,i)是上的一点，故i=z(i,i)，所以三、第二类曲面积分的计算公式(10-11)的曲面积分是取在曲面上侧的；如果曲面积分取在的下侧，则有注注三、第二类曲面积分的计算类似地，当Px,y,z在光滑曲面：x=xy,z,y,zDyz上连续时，有这里取积分曲面的前侧.当Qx,y,z在光滑曲面：
16、y=yz,x,z,xDzx上连续时，有这里取积分曲面的右侧.三、第二类曲面积分的计算【例例1717】三、第二类曲面积分的计算【例例1818】三、第二类曲面积分的计算四、两曲面积分的联系与曲线积分一样，当曲面的侧确定之后，可以建立两种曲面积分的联系.设光滑曲面由方程z=zx,y给出，在xOy面上的投影区域为Dxy，函数z=zx,y在Dxy上具有一阶连续偏导数，R(x,y,z)在上连续.当取上侧时，有四、两曲面积分的联系(10-12)四、两曲面积分的联系其中Ax,y,z=Px,y,zi+Qx,y,zj+Rx,y,zk，n=cos i+cos j+cos k为有向曲面在点x,y,z处的单位法向量，d
17、S=ndS=dydzi+dzdxj+dxdyk.四、两曲面积分的联系【例例1919】高斯公式斯托克斯公式高斯公式斯托克斯公式空间曲线空间曲线积分与路径积分与路径无关的条件无关的条件第 六 节一、高斯公式平面上封闭曲线的曲线积分与其围成的平面区域上的二重积分之间的关系可用格林公示来表示.下面要介绍的高斯公式则揭示了封闭曲面上的曲面积分与其所围成的空间闭区域上的三重积分之间的关系.可以认为高斯公式是格林公式在三维空间中的推广.一、高斯公式定理定理7 7设空间区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数Px,y,z，Qx,y,z，Rx,y,z在上具有一阶连续偏导数，则有 (10-13)这里是的整个边界曲面的
18、外侧，式(10-13)称为高斯公式.证先证明一、高斯公式设闭区域在xOy面上的投影区域为Dxy.假设穿过内部且平行于z轴的直线与的边界曲面的交点恰好是两个，即其边界曲面由曲面1：z=z1x,y,x,yDxy，2：z=z2x,y,x,yDxy及以垂直于Dxy边界的柱面3组成(见图10-14)，其中1取下侧，2取上侧，3取外侧，z1x,yz2x,y.于是按三重积分的计算方法，有图图 10-14 10-14一、高斯公式一、高斯公式一、高斯公式对于一般的空间有界闭区域高斯公式均成立.若曲面与平行于坐标轴的直线的交点多于两个，则用有限个光滑的曲面将分为有限个满足条件的小闭区域来讨论.注注一、高斯公式【例
19、例2020】一、高斯公式【例例2121】二、斯托克斯公式平面上封闭曲线的曲线积分与其围成的平面区域上的二重积分之间的关系可用格林公示来表示，沿空间封闭曲面的曲面积分与其所围成的空间闭区域上的三重积分之间的关系可用高斯公式来表示，而斯托克斯公式则建立了沿空间曲面的曲面积分与沿的边界曲线的曲线积分之间的联系.在给出斯托克斯公式之前，先对有向曲面的侧与其边界曲线满足右手法则规定如下：当右手除拇指外的四指依的绕行方向时，拇指所指的方向与上法向量的指向相同，这时称是有向曲面的正向边界曲线.二、斯托克斯公式定理定理8 8设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则
20、，函数Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z在曲面(连同边界)上具有一阶连续偏导数，则有式(10-14)称为斯托克斯公式.斯托克斯公式还可写为其中n=cos i+cos j+cosk为有向曲面在点(x,y,z)处的单位法向量.(10-14)二、斯托克斯公式证先证明 (10-15)假定与平行于z轴的直线相交不多于一点，并设为曲面z=fx,y的上侧，的正向边界曲线在xOy面上的投影为平面有向曲线C，C所围成的闭区域为Dxy.由第二类曲线积分的定义及格林公式,有(10-16)二、斯托克斯公式(10-17)二、斯托克斯公式如果取下侧，也相应地改成相反的方向，那么式(10-15)两端同时改变符号，因此
21、式(10-15)仍成立.同样可证将式(10-15)、式(10-18)和式(10-19)相加即得式(10-14).若曲面与平行于z轴的直线交点多于一个，则可用一些光滑曲线把分成若干小块，使每小块能用这种形式来表示，因而这时式(10-14)也成立.(10-18)(10-19)三、空间曲线积分与路径无关的条件在第三节中，得到了平面曲线积分与路径无关的一些等价条件，在这里可借助于斯托克斯公式得到空间曲线与路径无关的等价条件.三、空间曲线积分与路径无关的条件定理定理9 9设空间区域G是一维单连通区域，函数Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z在G内具有一阶连续偏导数，则下列条件等价：(1)在G内处处成
22、立.(2)对G内任一分段光滑的封闭曲线，有空间曲线积分Pdx+Qdy+Rdz=0.(3)对G内任一分段光滑的曲线，曲线积分Pdx+Qdy+Rdz与路径无关，仅与起点、终点有关.(4)Pdx+Qdy+Rdz在G内成为某一函数ux,y,z的全微分,即du=Pdx+Qdy+Rdz.证明略.三、空间曲线积分与路径无关的条件G为空间一维单连通区域是指G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面.注注三、空间曲线积分与路径无关的条件当条件(4)满足时，函数u(不计一常数之差)可用下式求出：或用定积分表示为(按图10-15取积分路径)M0 x0,y0,z0为G内某一定点，点Mx,y,zG.三、空间曲线积分与路径无关的条件图图 10-15 10-15
