1、西南民族大学经济学院 毛瑞华 微积分(20072008下)1 7.4 多元复合函数与隐函数微分法多元复合函数与隐函数微分法一、多元复合函数微分法一、多元复合函数微分法定理定理7.3 设设 z=f(u,v)在在(u,v)处可微处可微,u=u(x,y),v=v(x,y)在在(x,y)处的偏导数存在处的偏导数存在,则复合函数则复合函数 z=f u(x,y),v(x,y)在在(x,y)处的偏导数也存在处的偏导数也存在,且具有以下的链式法则且具有以下的链式法则:zzuzvxuxvxzzuzvyuyvy zuvxy西南民族大学经济学院 毛瑞华 微积分(20072008下)2情形情形1 z=f(u),u=u
2、(x,y),则对则对z=f u(x,y)有链式法则有链式法则(),()zuzufufuxxyy情形情形2 z=f(u,v),u=u(t),v=v(t),对对z=f u(t),v(t)有链式法则有链式法则ddddddzfufvtutvt.dd称为全导数称为全导数其中的其中的tz西南民族大学经济学院 毛瑞华 微积分(20072008下)3例例1 设设z=f(u,v)可微可微,求求z=f(x-y,xy)的偏导数的偏导数.解解:令令u=x-y,v=xy,则则 z=f(u,v),且且1,1,xyuu,xyvy vx由链式法则可得由链式法则可得zfufvxuxvx 12(,)(,),f xy xyy f
3、xy xyzfufvyu yvy 12(,)(,),f xy xyx f xy xy西南民族大学经济学院 毛瑞华 微积分(20072008下)4例例2 设设z=f(x+x2y2),且且f(u)可微可微,求求.zzxy,解解:令令u=x+x2y2,则则z=f(u),且且221 2,2,xyuxy ux y由链式法则可得由链式法则可得()zuf uxx222(12)(),xyfxx y()zuf uyy2222(),x y fxx y西南民族大学经济学院 毛瑞华 微积分(20072008下)5(,)(,)(,).xyxfx yyfx ykf x y证明证明:令令u=tx,v=ty,则则z=f(u,
4、v),其中其中x,y相对于相对于t是常数是常数,ytytxfxtytxf),(),(21 tvvftuuftzdddddd 则由链式法则可得则由链式法则可得又又z=tk f(x,y),则则),(dd1yxftktzk 例例3 若若f(x,y)满足满足 f(tx,ty)=tk f(x,y)(k为正整数为正整数),则称则称f(x,y)是是k次齐函数次齐函数.证明证明:k次齐函数次齐函数f(x,y)是满足是满足西南民族大学经济学院 毛瑞华 微积分(20072008下)6因此对任何因此对任何 t,有有112(,)(,)(,)kftx ty xftx ty yktf x y取取 t=1,有有(,)(,)
5、(,).xyx fx yy fx yk f x y西南民族大学经济学院 毛瑞华 微积分(20072008下)7二、一阶全微分的形式不变性二、一阶全微分的形式不变性设函数设函数z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)都可微都可微,则复合函数则复合函数z=f u(x,y),v(x,y)的全微分为的全微分为yyzxxzzddd xxvvzxuuzd yyvvzyuuzd uz vz uz yyuxxudd yyvxxvddudvz ,dv西南民族大学经济学院 毛瑞华 微积分(20072008下)8结论结论:无论无论 u,v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量,其全微分表达形式都一样
6、其全微分表达形式都一样,这性质叫做这性质叫做 全微分形式不变性全微分形式不变性.yyzxxzzddd .ddvvzuuz ),(vufz ),(,),(yxvyxufz 西南民族大学经济学院 毛瑞华 微积分(20072008下)9例例4 求下列函数的偏导数和全微分求下列函数的偏导数和全微分:);2ln(1yxxz ）（解解:ln(2),2zxxyxxy2,2zxyxy dddzzzxyxy2ln(2)dd22xxxyxyxyxy西南民族大学经济学院 毛瑞华 微积分(20072008下)1022arctan,zyxyxxxy222,zxyxydddzzzxyxy22222arctandd.yxy
7、xxyxxyxy2arctan.yzxx（）西南民族大学经济学院 毛瑞华 微积分(20072008下)11三、隐函数微分法三、隐函数微分法定理定理7.4.0),(,0),(,),(),(0000000 yxFyxFyxPyxFy且且数数一邻域内具有连续偏导一邻域内具有连续偏导的某的某在点在点设二元函数设二元函数且有且有件件它满足条它满足条数的函数数的函数一地确定一个有连续导一地确定一个有连续导的某一邻域内能唯的某一邻域内能唯在点在点则由方程则由方程,)(,)(),(0),(0000 xfyxfyyxyxF )157(),(),(dd yxyxFFyxFyxFxy西南民族大学经济学院 毛瑞华 微
8、积分(20072008下)12例例5 求由方程求由方程2e0 x yx y 解解:则则令令,e),(2yxyxyxF ,e1,e21222yxyyxxxFxyF 因此因此yxFFxy dd.e1e21222yxyxxxy 确定的隐函数确定的隐函数y=f(x)求的导数求的导数.西南民族大学经济学院 毛瑞华 微积分(20072008下)13定理定理7.50),(,0),(,),(),(0000000000 zyxFzyxFzyxPzyxFz且且具具有有连连续续偏偏导导数数的的某某一一邻邻域域内内在在设设且且有有满满足足连连续续偏偏导导数数的的函函数数内内唯唯一一地地确确定定一一个个具具有有的的某某
9、一一邻邻域域在在点点则则由由方方程程,),(,),(),(0),(0000000yxfzyxfzzyxPzyxF )167(,zyzxFFyzFFxz西南民族大学经济学院 毛瑞华 微积分(20072008下)14例例6 设方程设方程 sinz=xyz 确定的隐函数为确定的隐函数为z=f(x,y),求求zx,zy.解解:方程方程 sinz=xyz 两边分别关于两边分别关于 x,y 求偏导数求偏导数,有有 yzxyxzyzzxzxyyzxzzcoscos,.coscoszyzzxzxzxyyzxy西南民族大学经济学院 毛瑞华 微积分(20072008下)15例例6 设方程设方程 sinz=xyz
10、确定的隐函数为确定的隐函数为z=f(x,y),求求zx,zy.得得两边求全微分两边求全微分在在,sinxyzz zxyyxzxyzzzddddcos yxyzxzxxyzyzzdcosdcosd ,cosxyzyzxz .cosxyzxzyz 另解另解因此因此所以所以西南民族大学经济学院 毛瑞华 微积分(20072008下)16222222,.zzzzxxxyxx yzzzzxyy xyyy 7.5.1 高阶偏导数高阶偏导数称称z=f(x,y)的偏导数的偏导数f x(x,y),fy(x,y)的偏导数为的偏导数为f(x,y)的二阶偏导数，共有四个的二阶偏导数，共有四个:(,),(,),(,),(
11、,).xxxyyxyyfx yfx yfx yfx y西南民族大学经济学院 毛瑞华 微积分(20072008下)17.,),(,),(则它们相等则它们相等连续时连续时当混合偏导数当混合偏导数yxfyxfyxxy 例例1 求求 z=x3y2-2xy3-xy-3 的二阶偏导数的二阶偏导数.解解:一阶偏导数为一阶偏导数为2233232,26,zzx yyyx yxyxxy因此因此2226,zxyx222661,zx yyx y 222661,zx yyy x 232212.zxxyy西南民族大学经济学院 毛瑞华 微积分(20072008下)18例例2 设设z=f(xy,x2-y2),且且f(u,v)
12、有二阶连续偏导有二阶连续偏导数数,求求z xx,z xy.解解:令令 u=xy,v=x2-y2,12xxxzf uf v 122,yfxf11122212222xxxxxzy f uf vfx f uf v 111221222222 2y yfxffx yfxf222111222244,fy fxyfx f则则ux=y,vx=2x,uy=x,vy=-2y,西南民族大学经济学院 毛瑞华 微积分(20072008下)191111221222 xyyyyyzfy f uf vx f uf v 11112212222 2fy xfyfx xfyf2211112222()4.fxyfxyfxyf西南民族
13、大学经济学院 毛瑞华 微积分(20072008下)20例例3 设由方程设由方程 x+2y+z=ex-y-z 确定的隐函数为确定的隐函数为z=z(x,y),求求zxy.解解:方程方程 x+2y+z=ex-y-z 两边分别关于两边分别关于x,y求偏导数求偏导数,有有1e(1)xy zxxzz 2e(1)x y zyxzz (2(1)xxyzz1)(2)yxyzz21211212xxyzzxyzxyz 从而从而232(2).(12)zxyzx yxyz 西南民族大学经济学院 毛瑞华 微积分(20072008下)217.5.2 高阶全微分高阶全微分函数函数z=f(x,y)的二阶全微分的二阶全微分d2z
14、可表示为可表示为 d2z=fxx dx2+2fxy dxdy+fyy dy2 (7.17)函数函数u=f(x,y,z)的二阶全微分的二阶全微分d2u可表示为可表示为 d2u=fxx dx2+fyy dy2+fzz dz2 +2fxy dxdy+2fyz dydz+2fxz dxdz (7.18)西南民族大学经济学院 毛瑞华 微积分(20072008下)22例例4 求求 z=arctan(xy)的二阶全微分的二阶全微分.解解:22,1()1()xyyxzzxyxy22 21(),1()xyxyzxy 223)(12xyyxzyy 32 22,1()xxxyzxy222dd2d ddxxxyyyzzxzx yzy3222322 22d2(1)d d2d.1()xy xx yx yx y yxy
