1、推广推广第九章 一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意:善于类比善于类比,区别异同区别异同多元函数微分学多元函数微分学 第一、二节一、区域一、区域二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的概念多元函数的概念 )(0oPPU 00PP一、一、区域区域1.邻域邻域点集点集 ,),(0PPU 称为点称为点 P0 的的 邻域邻域.例如例如,在平面上在平面上,),(),(0yxPU(圆邻域圆邻域)在空间中在空间中,),()(0zyxPU ,(球邻域球邻域)说明
2、：说明：若不需要强调邻域半径若不需要强调邻域半径 ,也可写成也可写成.)(0PU点点 P0 的的去心邻域去心邻域记为记为 0PP 2020)()(yyxx 202020)()()(zzyyxx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在讨论实际问题中也常使用方邻域在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为平面上的方邻域为 ),(),U(0yxP。0P因为方邻域与圆因为方邻域与圆邻域可以互相包含邻域可以互相包含.,0 xx0 yy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.区域区域(1)内点、外点、边界点内点、外点、边界点设有点集设有点集 E 及一点及
3、一点 P:若存在点若存在点 P 的的某邻域某邻域 U(P)E,若存在点若存在点 P 的的某邻域某邻域 U(P)E=,若对点若对点 P 的的任一邻域任一邻域 U(P)既含既含 E中的内点也含中的内点也含 EE则称则称 P 为为 E 的的内点；内点；则称则称 P 为为 E 的的外点外点;则称则称 P 为为 E 的的边界点边界点 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 的外点的外点,显然显然,E 的内点必属于的内点必属于 E,E 的外点必不属于的外点必不属于 E,E 的的边界点可能属于边界点可能属于 E,也可能不属于也可能不属于 E.(2)聚点聚点若对若对任意给定的任意给定的
4、,点点P 的去心的去心机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ),(PUE邻域邻域内总有内总有E 中的点中的点,则则称称 P 是是 E 的的聚点聚点.聚点可以属于聚点可以属于 E,也可以不属于也可以不属于 E(因为聚点可以为因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为所有聚点所成的点集成为 E 的的导集导集.E 的边界点的边界点)D(3)开区域及闭区域开区域及闭区域 若点集若点集 E 的点都是的点都是内点内点，则称，则称 E 为为开集开集；若点集若点集 E E,则称则称 E 为为闭集闭集；若集若集 D 中任意两点都可用一完全属于中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连的折线相连
5、,开区域连同它的边界一起称为开区域连同它的边界一起称为闭区域闭区域.则称则称 D 是是连通的连通的;连通的开集称为连通的开集称为开区域开区域,简称简称区域区域;机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 。E 的边界点的全体称为的边界点的全体称为 E 的的边界边界,记作记作 E;例如，例如，在平面上在平面上 0),(yxyx 41),(22 yxyx 0),(yxyx 41),(22 yxyx开区域开区域闭区域闭区域 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xyo21xyoxyoxyo21 整个平面整个平面 点集点集 1),(xyx是开集，是开集，是最大的开
6、域是最大的开域,也是最大的闭域；也是最大的闭域；但非区域但非区域.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 11oxy 对区域对区域 D,若存在正数若存在正数 K,使一切点使一切点 P D 与某定点与某定点 A 的距离的距离 AP K,则称则称 D 为为有界域有界域,界域界域.否则称为否则称为无无3.n 维空间维空间n 元有序数组元有序数组),(21nxxx),(21nxxx的全体称为的全体称为 n 维空间维空间,Rnn 维空间中的每一个元素维空间中的每一个元素称为空间中的称为空间中的kx数数称为该点的第称为该点的第 k 个个坐标坐标.记作记作即即机动机动 目录目录 上页上页
7、 下页下页 返回返回 结束结束 RRRR n nkxxxxkn,2,1,R),(21 一个一个点点,当所有坐标当所有坐标时，时，0 kx称该元素为称该元素为 nR中的零元中的零元,记作记作 O.的的距离距离记作记作2222211)()()(),(nnyxyxyxyx 中点中点 a 的的 邻域邻域为为),(21nyyyy 与点与点 ),(,R),(axxxaUn机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ),(R21nnxxxx 中的点中的点,),(yxyx 或或规定为规定为),(R21nnxxxx 中的点中的点与零元与零元 O 的距离为的距离为22221nxxxx .,3,2,
8、1xxn通常记作通常记作时时当当 0R axaxn满足满足与定元与定元中的变元中的变元.ax 记作记作nR二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例:圆柱体的体积圆柱体的体积 定量理想气体的压强定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式三角形面积的海伦公式,2hrV ,(为常数）为常数）RVTRp )2(cbap cba 0,0),(hrhr 0,0),(TTVTV cbacbacba ,0,0,0),()()(cpbpappS 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 hr定义定义1.设非空点集设非空点集,RnD DPPfu ,)(或或点集点集 D 称为函数的称为函数的定
9、义域定义域;数集数集 DP,Pfuu )(称为函数的称为函数的值域值域 .特别地特别地,当当 n=2 时时,有二元函数有二元函数2R),(),(Dyxyxfz当当 n=3 时时,有三元函数有三元函数3R),(),(Dzyxzyxfu映射映射R:Df称为定义称为定义在在 D 上的上的 n 元函数元函数,记作记作),(21nxxxfu 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xzy例如例如,二元函数二元函数221yxz 定义域为定义域为 1),(22 yxyx圆域圆域说明说明:二元函数二元函数 z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面图形为中心在原点的上半球面.
10、,)sin(,yxz 又又如如机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 的图形一般为空间曲面的图形一般为空间曲面 .12R),(yx三元函数三元函数)arcsin(222zyxu 定义域为定义域为 1),(222 zyxzyx图形为图形为4R空间中的超曲面空间中的超曲面.单位闭球单位闭球xyzo三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义定义2.设设 n 元函数元函数,R),(nDPPf 点点,),(0PUDP,-)(APf则称则称 A 为函数为函数(也称为也称为 n 重极限重极限)当当 n=2 时时,记记20200)()(yyxxPP 二元函数的极限可写作：二元函数的极限可写作
11、：Ayxf ),(lim0APfPP)(lim0P0 是是 D 的聚的聚若存在常数若存在常数 A,对一对一记作记作，时的极限时的极限当当0)(PPPfAyxfyyxx ),(lim00都有都有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 对任意正数对任意正数 ,总存在正数总存在正数 ,切切例例1.设设)0(1sin)(),(222222 yxyxyxyxf求证：求证：.0),(lim00 yxfyx证证:01sin)(2222 yxyx故故0),(lim00 yxfyx,0 0),(yxf,时时当当 220yx22yx 2 22yx ,总有总有 机动机动 目录目录 上页上页 下页
12、下页 返回返回 结束结束 要证要证 例例2.设设 0,00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求证：求证：.0),(lim00 yxfyx证：证：0),(yxf故故0),(lim00 yxfyx,0 20),(22yxyxf yx 222 yx ,2 时，时，当当022 yxxyyx11sinsin 总有总有 2 要证要证机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 若当点若当点),(yxP趋于不同值或有的极限不存在，趋于不同值或有的极限不存在，解解:设设 P(x,y)沿直线沿直线 y=k x 趋于点趋于点(0,0),22),(yxyxyxf 222200lim),(l
13、imxkxxkyxfxkxyx 在点在点(0,0)的极限的极限.),(yxf故故则可以断定函数极限则可以断定函数极限则有则有21kk k 值不同极限不同值不同极限不同!在在(0,0)点极限不存在点极限不存在.以不同方式趋于以不同方式趋于,),(000时时yxP不存在不存在.例例3.讨论函数讨论函数函数函数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例4.求求22222200)()cos(1limyxyxyxyx 解解:因因,)(2224122yxyx 222222)()cos(1yxyxyx 而而620)cos1(4limrrr 此函数定义域此函数定义域不包括不包括 x,y
14、轴轴,222yxr 令令则则62)cos1(4rr 6402limrrr 2cos1r 24r故故 22222200)()cos(1limyxyxyxyx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 仅知其中一个存在仅知其中一个存在,推不出其它二者存在推不出其它二者存在.二重极限二重极限),(lim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy及及不同不同.如果它们都存在如果它们都存在,则三者相等则三者相等.例如例如,),(22yxyxyxf 显然显然),(limlim00yxfyyxx与累次极限与累次极限),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0
15、,0 但由但由例例3 知它在知它在(0,0)点二重极限不存在点二重极限不存在.例例3 3 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 四、四、多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义3.设设 n 元函数元函数)(Pf定义在定义在 D 上上,)()(lim00PfPfPP 0)(PPf在点在点如果函数在如果函数在 D 上上各点处各点处都连续都连续,则称此函数则称此函数在在 D 上上,0DP 聚点聚点如果存在如果存在否则称为否则称为不连续不连续,0P此时此时称为称为间断点间断点.则称则称 n 元函数元函数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 连续连续.连续连续,例如例
16、如,函数函数 0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点在点(0,0)极限不存在极限不存在,又如又如,函数函数11),(22 yxyxf上间断上间断.122 yx 故故(0,0)为其间断点为其间断点.在圆周在圆周机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 结论结论:一切多元初等函数在定义区域内连续一切多元初等函数在定义区域内连续.定理：定理：若若 f(P)在有界闭域在有界闭域 D 上连续上连续,则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,0)1(K)()2(Pf,Mm *(4)f(P)必在必在D 上一致连续上一致连续.;,)(DPKPf 使使在
17、在 D 上可取得最大值上可取得最大值 M 及最小值及最小值 m;(3)对任意对任意，DQ ;)(Qf使使(有界性定理有界性定理)(最值定理最值定理)(介值定理介值定理)(一致连续性定理一致连续性定理)闭域闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略证明略).11lim00yxyxyx 解解:原式原式)11(1)1(lim200 yxxyyxyx21 例例5.求求222)3arcsin(),(yxyxyxf 1322 yx4222 yx例例6.求函数求函数的连续域的连续域.解解:02 yx2yx 111lim00 yxyx机动机动 目录目录 上页
18、上页 下页下页 返回返回 结束结束 2oyx2内容小结内容小结1.区域区域 邻域邻域:,),(0PU),(0PU 区域区域连通的开集连通的开集 空间空间nR2.多元函数概念多元函数概念n 元函数元函数),(21nxxxf 常用常用二元函数二元函数(图形一般为空间曲面图形一般为空间曲面)三元函数三元函数DP)(Pfu nR 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 APfPP)(lim0,0 ,0 时，时，当当00 PP有有)(APf3.多元函数的极限多元函数的极限4.多元函数的连续性多元函数的连续性1)函数函数连续连续在在0)(PPf)()(lim00PfPfPP 2)闭域上
19、的多元连续函数的性质闭域上的多元连续函数的性质:有界定理有界定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续一切多元初等函数在定义区域内连续机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 练习练习:1.设设,),(222yxyxfxy 求求.),(2yxfxy解法解法1 令令uyx vxy 23vuy 3vuux ),(vuf32)(2vuu32)(vu,2xyu yxv ),(2yxxyf2)(2xy2y2y 222yxy 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1.设设,),(222yxyxfxy求求.),(2yxfxy解法解法2
20、 令令uvyx2 vuxy 2vy uvx ),(2xyyxf),(2vuuvf 22vuv 即即),(2yxxyf222yxy),(2vuuvf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 yxyxxx 200lim xxxx320lim)(lim320 xxx,1 2.yxxyxyx )1ln(lim00是否存在？是否存在？解：解：xxy 取取所以极限不存在所以极限不存在.3 3 3 ,0,)1ln(yxyx 利用利用yxxyxyx )1ln(lim00机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3.证明证明),(yxf)0,0(),(,22 yxyxyx)0
21、,0(),(,0 yx在全平面连续在全平面连续.证证:,)0,0(),(处处在在 yx),(yxf为初等函数为初等函数,故连续故连续.又又220yxyx yxyx222 222221yxyx 2221yx 2200limyxyxyx 0)0,0(f 故函数在全平面连续故函数在全平面连续.由夹逼准则得由夹逼准则得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 若点若点),(yx沿着无数多条平面曲线趋向于沿着无数多条平面曲线趋向于点点),(00yx时，函数时，函数),(yxf都趋向于都趋向于 A，能否，能否断定断定Ayxfyxyx),(lim),(),(00？思考题思考题思考题解答思考
22、题解答不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0,0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因为若取原因为若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41练练 习习 题题 6 6、函数、函数yxz 的定义域是的定义域是_.7 7、函数、函数xyzarcsin 的定义域是的定义域是_.8 8、函数、函数xyxyz2222 的间断点是的间断点是_.二二、求求下下列列各各极极限限:1 1、xyxyyx42lim00 ；2 2、xxyyxsinlim00；3 3、222222
23、00)()cos(1limyxyxyxyx .三、三、证明：证明：0lim2200 yxxyyx.四、四、证明极限证明极限yxxyyx 11lim00不存在不存在.练习题答案练习题答案解答提示解答提示:P11 题题 2.),(),(2yxftytxtf 称为二次齐次函数称为二次齐次函数.P11 题题 4.xyxyxyxyxyxyxf2)()(),(P11 题题 5(3).定义域定义域 0:yyxDP11 题题 5(5).定义域定义域22222:RzyxrD 2xy DyxoRxyoDr机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 P12 题题 8.间断点集间断点集 02),(2
24、xyyxP72 题题 3.定义域定义域 104:222yxxyD240422001limlimxkxkyxyxxyx )0,21(),(lim021fyxfyx 43ln2 P72 题题 4.令令 y=k x，0 若令若令xy 42200limyxyxyx 21 2202limxxx Dxy42 yx1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ,则则 可见极限可见极限不存在不存在第三节第三节机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、偏导数的定义及其计算偏导数的定义及其计算二二、高阶偏导数、高阶偏导数 偏 导 数 三三 、小结、小结 思考题思考题一、偏导数的定义及其计算法一、
25、偏导数的定义及其计算法00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 例例 2 2 设设yxz )1,0(xx，求求证证 zyzxxzyx2ln1 .证证 xz,1 yyx
26、 yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx .|22yxy|)|(2yy yz yyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx yyxx1sgn22 )0(y00 yxyz不存在不存在例例 4 4 已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程RTpV （R为常数），求证：为常数），求证：1 pTTVVp.证证 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV.1 pVRT 偏导数偏导数xu 是
27、一个整体记号，不能拆分是一个整体记号，不能拆分;).0,0(),0,0(,),(,yxffxyyxfz求求设设例例如如 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解xxfxx0|0|lim)0,0(0 0).0,0(yf.),()0,0(),(0)0,0(),(),(22的偏导数的偏导数求求设设yxfyxyxyxxyyxf 例例 5 5解解,)0,0(),(时时当当 yx22222)(2)(),(yxxyxyxyyxfx ,)()(22222yxxyy 22222)(2)(),(yxxyyyxxyxfy ,)
28、()(22222yxyxx ,)0,0(),(时时当当 yx按定义可知：按定义可知：xfxffxx )0,0()0,(lim)0,0(0,00lim0 xxyfyffyy )0,0(),0(lim)0,0(0,00lim0 yy,)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222 yxyxyxxyyyxfx.)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222 yxyxyxyxxyxfy、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系例如例如,函数函数 0,00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在依定义知在)0,0(处，处，0)0,0()0,0(yxff.但函数
29、在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，4.二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:00 xxyyxx)y,x(fxddxf00 0yy)y,x(fzx0TM00 xxyyyy)y,x(fyddyf00 是曲线是曲线 0 xx)y,x(fzy0TM在点在点 M0 处的切线处的切线对对 x 轴的斜率轴的斜率.在点在点M0 处的切线处的切线斜率斜率.是曲线是曲线yxz0 xyToxT0y0M机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回
30、 结束结束 对对 y 轴的轴的),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.二、高阶偏导数二、高阶偏导数例例 6 设设13323 xyxyyxz，求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz .解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz
31、2.19622 yyxyxz 2,19622 yyx例例 7 7 设设byeuaxcos，求二阶偏导数，求二阶偏导数.解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 问题：问题：混合偏导数都相等吗？混合偏导数都相等吗？.),()0,0(),(0)0,0(),(),(223的二阶混合偏导数的二阶混合偏导数求求设设yxfyxyxyxyxyxf 例例 8 8解解,)0,0(),(时时当当 yx2223222)(2)(3),(yxyxxyxyxyxfx ,)(2322
32、24222yxyxyxyx ,)(2),(22223223yxyxyxxyxfy ,)0,0(),(时时当当 yx按定义可知：按定义可知：xfxffxx )0,0()0,(lim)0,0(0,00lim0 xxyfyffyy )0,0(),0(lim)0,0(0,00lim0 yyyfyffxxyxy )0,0(),0(lim)0,0(0,0 xfxffyyxyx )0,0()0,(lim)0,0(0.1).0,0()0,0(yxxyff 显然显然定理定理 如果函数如果函数),(yxfz 的两个二阶混合偏导数的两个二阶混合偏导数xyz 2及及yxz 2在区域在区域 D D 内连续，那末在该区域
33、内这内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等两个二阶混合偏导数必相等例例 9 9 验证函数验证函数22ln),(yxyxu 满足拉普拉满足拉普拉斯方程斯方程.02222 yuxu问题：问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 2222yuxu.0 2222222222)()(yxyxyxxy 证毕证毕偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的
34、几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数（偏增量比的极限）（偏增量比的极限）纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）三、小结三、小结1.偏导数的概念及有关结论偏导数的概念及有关结论 定义定义;记号记号;几何意义几何意义 函数在一点偏导数存在函数在一点偏导数存在函数在此点连续函数在此点连续 混合偏导数连续混合偏导数连续与求导顺序无关与求导顺序无关2.偏导数的计算方法偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法求一点处偏导数的方法先代后求先代后求先求后代先求后代利用定义利用定义 求高阶偏导数的方法求高阶偏导数的方法逐次求导法逐次求导法(与求导顺序无关时与求导顺序无关时,
35、应选择方便的求导顺序应选择方便的求导顺序)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 若函数若函数),(yxf在 点在 点),(000yxP连连续，能否断定续，能否断定),(yxf在点在点),(000yxP的偏导数必定存在？的偏导数必定存在？思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.,),(22yxyxf 在在)0,0(处处连连续续,但但 )0,0()0,0(yxff 不存在不存在.例如例如,)(xuuf 提高题提高题:设设,)(ufz 方程方程 )(uu xytdtp)(确定确定 u 是是 x,y 的函数的函数,)(,)(可微可微其中其中uuf)(),(utp 连续连续,且且
36、,1)(u求求.)()(yzxpxzyp 解解:xzyuufyz )(xuuxu )()(xp yuuyu )()(yp xu)(1)(uxp yu)(1)(uyp )(uf yzxpxzyp)()(yuxpxuyp )()(0 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一一、填填空空题题:1 1、设设yxztanln,则则 xz_ _ _ _ _ _ _ _ _;yz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.2 2、设设 xzyxezxy则则),(_ _ _ _ _ _ _ _;yz_ _ _ _ _ _ _ _ _.3 3、设设,zyxu 则则 xu_ _ _ _ _ _
37、_ _ _ _ _;yu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _;zu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.4 4、设设,arctanxyz 则则 22xz_ _ _ _ _ _ _ _ _;22yz_ _ _ _ _ _ _ _;yxz2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.练练 习习 题题 5 5、设、设zyxu)(,则则 yzu2_.一、一、1 1、yxyxyxy2csc2,2csc22；2 2、)1(2 yxyexy,)1(2 xxyexy；3 3、xxzxzyzyzyln1,1,xxzyzyln2；4 4、22222222222)(,)(2,)(2yxx
38、yyxxyyxxy ；5 5、)ln1()(yxyzyyxz .二、二、1 1、xyxyxyxyyzxyyxzyy1)1ln()1(,)1(12;练习题答案练习题答案 2 2、zzyxyxzxu21)(1)(,)(1)(21zzyxyxzyu zyxyxyxzu2)(1)ln()(.三、三、4.四、四、,)1(,ln222222 xxyxxyzyyxz )1ln(12 yxyyxzx.五、五、223231,0yyxzyxz .七、七、0,0;0,00,0,0,arctan2yxyxyxyxyyxyxfx,0,0,10,0,12222yxxyyxyxxfxy.*三、全微分在数值计算中的应用三、全
39、微分在数值计算中的应用 应用应用 第四节第四节一元函数一元函数 y=f(x)的微分的微分)(xoxAy xxfy )(d近似计算近似计算估计误差估计误差机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 本节内容本节内容:一、全微分的定义一、全微分的定义 全微分及其应用全微分及其应用二、全微分的条件二、全微分的条件),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),(二二元元函函数数对对x和和对对y的的偏偏微微分分 二二元元函函数数对对x和和对对y的的偏偏增增量量由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得一、全微分的定
40、义一、全微分的定义全增量的概念全增量的概念 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示为可以表示为)(oyBxAz ，其中，其中BA,不依赖于不依赖于yx ,而仅与而仅与yx,有关，有关，22)()(yx ，则称函数则称函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分，可微分，yBxA 称为函数称为函数),(yxfz 在点在点),(yx的的全微分全微分，记为，记为dz，即，即 dz=yBxA .全微分的定义全微分的定义 函函数数若若在在某某区区域域 D 内内各各点点处处处处可可微微分分，则则称称这这函函数数在在 D 内内可可微微分分.
41、如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分可微分,则则函数在该点连续函数在该点连续.事实上事实上),(oyBxAz ,0lim0 z),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(yx处处连连续续.二、可微的条件二、可微的条件证证如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yxP可可微微分分,)(oyBxAz 总成立总成立,当当0 y时，上式仍成立，时，上式仍成立，此时此时|x ,),(),(yxfyxxf|),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 一元函数在某点
42、的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf在点在点)0,0(处有处有0)0,0()0,0(yxff)0,0()0,0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 如如果果考考虑虑点点),(yxP 沿沿着着直直线线xy 趋趋近近于于)0,0(，则则 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 说说明明它它不不能能随随着着0 而而趋趋于于 0,0 当当 时，时，),()0,0()0,0(oyfxfzyx 函数在点函数在点)0,0(处不可微处不可微.说明说明：
43、多元函数的各偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，微分存在，定理定理（充分条件）如果函数（充分条件）如果函数),(yxfz 的偏的偏导数导数xz 、yz 在点在点),(yx连续，则该函数在点连续，则该函数在点),(yx可微分可微分证证),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf ),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1)10(1 在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理xxyxfx 1),(（依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）且且当当0,0 yx时时，01.其中
44、其中1 为为yx ,的函数的函数,xxyxfx 1),(yyyxfy 2),(z 2121 yx,00 故函数故函数),(yxfz 在点在点),(yx处可微处可微.同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy 当当0 y时，时，02,习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为.dyyzdxxzdz 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理也适用于二元以上函数的情
45、况叠加原理也适用于二元以上函数的情况例例 1 1 计算函数计算函数xyez 在点在点)1,2(处的全微分处的全微分.解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1,2(exz ,22)1,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分例例 2 2 求函数求函数)2cos(yxyz ，当，当4 x，y，4 dx，dy时的全微分时的全微分.解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4().74(82 例例 3 3 计计算算函函数数yzeyxu 2sin的的全全微微分分.解解,1 xu,2cos21yzzeyyu ,y
46、zyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导三、全微分在近似计算中的应用三、全微分在近似计算中的应用都较小时，有近似等式都较小时，有近似等式连续，且连续，且个偏导数个偏导数的两的两在点在点当二元函数当二元函数yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可写成也可写成.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 例例 5 5 计算计算02.2)04.
47、1(的近似值的近似值.解解.),(yxyxf 设函数设函数.02.0,04.0,2,1 yxyx取取,1)2,1(f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy,2)2,1(xf,0)2,1(yf由公式得由公式得02.0004.021)04.1(02.2 .08.1 多元函数全微分的概念；多元函数全微分的概念；多元函数全微分的求法；多元函数全微分的求法；多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）小结小结 函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx处可微的充分条件是处可微的充分条件是:（1）),(yxf在点
48、在点),(00yx处连续；处连续；（2）),(yxfx、),(yxfy 在点在点),(00yx的的 某邻域存在；某邻域存在；（3）yyxfxyxfzyx ),(),(，当当0)()(22 yx时是无穷小量；时是无穷小量；（4）22)()(),(),(yxyyxfxyxfzyx ,当当0)()(22 yx时是无穷小量时是无穷小量.思考题思考题在点在点(0,0)可微可微.提高题：提高题：在点在点(0,0)连续且偏导数存在连续且偏导数存在,续续,),(yxf而而证证:1)因因221sinyxxy 0),(lim00 yxfyx)0,0(f 故函数在点故函数在点(0,0)连续连续;但偏导数在点但偏导数
49、在点(0,0)不连不连 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明函数证明函数xy 222yx 所以所以 )0,0(),(,0)0,0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf),(yxf)0,0(),(,1sin22yxyxxy)0,0(),(,0yx),(yxfx,)0,0(),(时时当当 yx,)0,0(),(时时趋于趋于沿射线沿射线当点当点xyyxP,0)0,(xf;0)0,0(xf.0)0,0(yf同理同理y 221sinyx 3222)(yxyx 221cosyx ),(lim)0,0(),(yxfxxx极限不存在极限不存在,),(yxfx在点在点(0
50、,0)不连续不连续;同理同理,),(yxfy在点在点(0,0)也不连续也不连续.xx(lim0|21sinx 33|22xx)|21cosx 2)3)题目题目 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ),(yxf)0,0(),(,1sin22yxyxxy)0,0(),(,0yx,)()(22yx 4)下面证明下面证明)0,0(),(在点yxf可微可微:yfxffyx)0,0()0,0(1sinyxx 00.)0,0(),(可微在点yxf说明说明:此题表明此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件偏导数连续只是可微的充分条件.令令则则题目题目 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结
