1、线性代数下页结束返回第第7节节 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 线性组合与线性表示线性组合与线性表示线性相关与线性无关线性相关与线性无关线性相关性判定定理线性相关性判定定理极大线性无关组的概念极大线性无关组的概念下页一些重要方法一些重要方法3月20日作业：29（2）30（2）3233（2）（3）线性代数下页结束返回7.1 7.1 线性组合与线性表示线性组合与线性表示 例例1设设 a a1=(1,0,0)，a a2=(0,1,0)，a a3=(0,0,1)，b b=(2,-1,1)，则则b b=(2,-1,1)是向量组是向量组a a1，a a2，a a3的线性组合的线性组合.即即 b b=
2、(2,-1,1)是向量组是向量组a a1，a a2，a a3的线性组合，也就是说的线性组合，也就是说b b可由可由a a1，a a2，a a3线性表示线性表示.因为因为 2a a1-a a2+a a3=2(1,0,0)-(0,1,0)+(0,0,1)=(2,-1,1)=b b，定义定义1 给定给定n维向量维向量b b，a a1，a a2，a am，如果存在一组数，如果存在一组数k1，k2，km，使，使 b b=k1a a1+k2a a2+kma am，则称向量则称向量b b是向量组是向量组a a1，a a2，a am的线性组合，或称的线性组合，或称b b可由向量可由向量组组a a1，a a2，
3、a am线性表示线性表示.下页线性代数下页结束返回 例例2任何一个任何一个n维向量维向量a a=(a1,a2,an)都是都是n维单位向量组维单位向量组 e e 1=(1,0,0)，e e 2=(0,1,0)，e e n=(0,0,1)的线性组合的线性组合.这是因为这是因为a a=a1 e e 1+a2 e e 2+an e e n.注：注：向量组向量组 e e 1，e e 2，e e n称为称为 n 维单位（或维单位（或基本基本）向量组）向量组.下页7.1 7.1 线性组合与线性表示线性组合与线性表示 定义定义1 给定给定n维向量维向量b b，a a1，a a2，a am，如果存在一组数，如果
4、存在一组数k1，k2，km，使，使 b b=k1a a1+k2a a2+kma am，则称向量则称向量b b是向量组是向量组a a1，a a2，a am的线性组合，或称的线性组合，或称b b可由向量可由向量组组a a1，a a2，a am线性表示线性表示.线性代数下页结束返回 例例3零向量是任何一组向量的线性组合零向量是任何一组向量的线性组合.这是因为这是因为 o=0 a a1+0 a a2+0 a am.例例4向量组向量组a a1，a a2，a am中的任一向量中的任一向量a ai(1 i m)都是此都是此向量组的线性组合向量组的线性组合.这是因为这是因为 a ai=0 a a1+1 a a
5、i+0 a am.下页7.1 7.1 线性组合与线性表示线性组合与线性表示 定义定义1 给定给定n维向量维向量b b，a a1，a a2，a am，如果存在一组数，如果存在一组数k1，k2，km，使，使 b b=k1a a1+k2a a2+kma am，则称向量则称向量b b是向量组是向量组a a1，a a2，a am的线性组合，或称的线性组合，或称b b可由向量可由向量组组a a1，a a2，a am线性表示线性表示.线性代数下页结束返回注：注：（1 1）并非每一个向量都可以表示成某几个向量的线性组合）并非每一个向量都可以表示成某几个向量的线性组合（2 2）一个向量可以由一组向量线性表示，但
6、表示式未必唯一）一个向量可以由一组向量线性表示，但表示式未必唯一(1,0,0)0100 01不是（，）（，）的线性组合1234(1,2,3)(1,1,4)(3,3,2)(4,5,5)aaaa=-=，41234123300aaaaaaaa=-+=+，下页线性代数下页结束返回例例5线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示(向量方程向量方程)a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm=+-+下页a11a21am1x1a12a22am2x2+xna1na2namn+b1b2bm=1122,nnxxxbaaa+=1122.nnxxxbaaa+=
7、或或即即其中其中,12,1,2,.,;jjjmjaajnaa=12.mbbbb=线性代数下页结束返回 定义定义2 设有设有n维向量组维向量组a a1，a a2，a am，如果存在一组如果存在一组不全为零的数不全为零的数 k1，k2，km，使使 k1a a1+k2a a2+kma am=o 成立成立，则称向量组则称向量组a a1，a a2，a am线性相关线性相关，否则否则，即只有即只有当当k1，k2，km全为全为0时时 k1a a1+k2a a2+kma am=o才成立才成立，则称向量组则称向量组a a1，a a2，a am线性无关线性无关.下页7.2 7.2 线性相关与线性无关线性相关与线性
8、无关线性相关性判定方法线性相关性判定方法 一般方法，用于一般方法，用于m 个个n维向量组的情形维向量组的情形.一般可通过定义一般可通过定义、判定定理及、判定定理及后面向量组的秩后面向量组的秩等内容进行判定，特别当利用等内容进行判定，特别当利用定义时可使用观察法定义时可使用观察法.特殊方法，用于特殊方法，用于n 个个n维向量组的情形维向量组的情形.可通过行列式判定可通过行列式判定.线性代数下页结束返回例例6.6.讨论下列向量组的线性相关性讨论下列向量组的线性相关性.123102124,113135 =解解:对于向量组，显然有对于向量组，显然有 12321(1),o+-=即存在一组不全为零的数即存
9、在一组不全为零的数 练习：练习：讨论下列向量组的线性讨论下列向量组的线性 相关性，其中：相关性，其中：下页3122,=+即即1232,1,1,kkk=-使得使得112233,kkko+=所以向量组所以向量组a a1 1,a a2 2,a a3 3,线性相关线性相关.12341026,.0126 =一般方法（举例）一般方法（举例）线性代数下页结束返回 对于对于n个个n维向量组成的向量组维向量组成的向量组a a1，a a2，a an，设有一组数设有一组数 k1，k2，kn，使使 k1a a1+k2a a2+kna an=o 成立成立.由向量的运算性质可得由向量的运算性质可得 k1a a1+k2a
10、a2+kn a an=o，即即1112112222121200.0nnnnnnnaaaaaakkkaaa +=从而得向量组从而得向量组a a1，a a2，a an 线性无关线性无关(相关相关)的充分必要条件是的充分必要条件是:11 1212112 122221122000nnnnnnnnna ka ka ka ka ka ka ka ka k+=+=+=下页特殊方法（推导）特殊方法（推导）112112122212()0.nnnnnnaaaaaaDaaa=线性代数下页结束返回设有一组数设有一组数k1，k2，kn，使使 k1a a1+k2a a2+kna an=o 成立成立.(1)通过向量的线性运
11、算通过向量的线性运算,将将(1)式化为如下齐次方程组式化为如下齐次方程组(2)11 1212112 122221122000nnnnnnnnna ka ka ka ka ka ka ka ka k+=+=+=下页特殊方法（解题步骤）特殊方法（解题步骤）判断上面关于判断上面关于k1,k2,kn方程组方程组(2)(2)有无有无非零解非零解?若方程组若方程组(2)(2)有非零解有非零解，则则a a1,a a2,a an线性相关；否则线性相关；否则,线性无关线性无关.1121121222120?nnnnnnaaaaaaDaaa=即行列式即行列式1112112222121200.0nnnnnnnaaaa
12、aakkkaaa +=或或核心问题核心问题！线性代数下页结束返回例例7.7.讨论下列向量组的线性相关性讨论下列向量组的线性相关性.123410321214,11032317 -=-11223344,kkkko+=即方程组即方程组 因该方程组的系数行列式因该方程组的系数行列式103212140,11032317-=-所以，线性方程组有非零解所以，线性方程组有非零解，从而从而，向量组向量组a a1 1,a a2 2,a a3 3,a a4 4,线性线性 相关相关.下页特殊方法（举例）特殊方法（举例）解解:对于向量组对于向量组a a1 1,a a2 2,a a3 3,a a4 4,设有设有一组数一组
13、数k1,k2,k3,k4,使得下式成立使得下式成立12341032012140,1103023170kkkk -+=-亦即方程组亦即方程组12341032012140.1103023170kkkk -+=-解题要点：解题要点：找向量方程的找向量方程的非零解非零解.线性代数下页结束返回 例例8设向量组设向量组a a1，a a2，a a3线性无关线性无关，令令 b b1=a a1+a a2，b b2=a a2+a a3，b b3=a a3+a a1.试证向量组试证向量组b b1，b b2，b b3也线性无关也线性无关.证明：证明：设有一组数设有一组数k1,k2,k3,使使 k1b b1+k2b b
14、2+k3 b b3=o，即即 k1(a a1+a a2)+k2(a a2+a a3)+k3(a a3+a a1)=o，整理得整理得 (k1+k3)a a1+(k1+k2)a a2+(k2+k3)a a3=o.因为向量组因为向量组a a1，a a2，a a3线性无关线性无关，所以必有所以必有，k1k1k1x2k2k2k3x3k3000=+1 1 0 0 1 1 1 0 1由于由于=20，从而从而b b1，b b2，b b3线性无关线性无关.所以方程组只有零解所以方程组只有零解 k1=k2=k3=0，下页即代数方程组只有零即代数方程组只有零解：解：k1=k2=k3=0.亦即向量方程只有零亦即向量方
15、程只有零解：解：k1=k2=k3=0.线性代数下页结束返回讨论：讨论：3.3.仅有两个向量构成的向量组线性相关的条件仅有两个向量构成的向量组线性相关的条件.1.1.含有零向量的向量组是否线性相关含有零向量的向量组是否线性相关.2.2.仅有一个向量构成的向量组线性相关的条件仅有一个向量构成的向量组线性相关的条件.结论：结论：1.1.含有零向量的向量组一定线性相关含有零向量的向量组一定线性相关.2.2.仅有一个向量构成的向量组线性相关当且仅当该仅有一个向量构成的向量组线性相关当且仅当该向量为零向量向量为零向量.（一个非零向量线性无关）（一个非零向量线性无关）3.3.仅有两个向量构成的向量组线性相关
16、当且仅当仅有两个向量构成的向量组线性相关当且仅当这两个向量的分量对应成比例这两个向量的分量对应成比例.5.向量组向量组a a1，a a 2，a a n线性无关，其部分向量组是线性无关，其部分向量组是否也线性无关否也线性无关.4.单位向量组单位向量组1，2，n线性无关线性无关.下页 4.单位向量组单位向量组1，2，n是否线性相关是否线性相关.5.线性无关向量组的部分向量组也线性无关线性无关向量组的部分向量组也线性无关.线性代数下页结束返回定理定理1 1 向量组向量组a a1，a a2，a am线性相关的充要条件是：向量线性相关的充要条件是：向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示组中至少有一
17、个向量可以由其余向量线性表示.定理定理3 3 如果向量组中有一部分向量如果向量组中有一部分向量(称为部分组称为部分组)线性相关线性相关,则整个向量组线性相关则整个向量组线性相关.定理定理2 2 设向量组设向量组 a a1，a a2，a am，b b 线性相关线性相关，而而a a1，a a2，a am线性无关线性无关，则则b b 可可由由a a1，a a2，a am线性表示，且表线性表示，且表示式是唯一的示式是唯一的.定理定理5 5 若向量组若向量组 a ai=(a ai i1 1,a ai i2,a ai in)(i=1,2,m)线性无关，则向线性无关，则向量组量组 b b i=(a ai i
18、1 1,a ai i2,a ai in,a ai in+1)(i=1,2,m)也线性无关也线性无关.下页7.3 7.3 线性相关性判定定理线性相关性判定定理定理定理4 4 由由n个个n维向量组成的向量组，其线性无关的充分必要维向量组成的向量组，其线性无关的充分必要条件是矩阵条件是矩阵A=(a a1 1,a a2 2,.,.,a an)可逆可逆.线性代数下页结束返回 证明：证明：必要性必要性.因为因为a a1，a a2，a am线性相关，故存在线性相关，故存在不全为零的数不全为零的数l l1，l l2，l lm，使使 l l1a a1+l l2a a2+l lma am=o.不妨设不妨设l l1
19、 0，于是于是 mm)()()(13132121llllll-+-+-=，即即a a1为为a a2，a a3，a am的线性组合的线性组合.充分性充分性.不妨设不妨设a a1可由其余向量线性表示可由其余向量线性表示,即即 a a1=l l2a a2+l l3a a3+l lma am，则存在不全为零的数则存在不全为零的数-1，l l2，l l3，l lm，使使 (-1)a a1+l l2a a2+l l3a a3+l lma am=o，即即a a1，a a2，a am线性相关线性相关.下页定理定理1 1 向量向量组组a a1，a a2，a am线性相关的充要条件是：线性相关的充要条件是：向量组
20、中至少有一个向量可以由其余向量线性表示向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示.线性代数下页结束返回 先证明先证明b b可由向量组可由向量组a a1，a a2，a am线性表示线性表示.因为向量组因为向量组a a1，a a2，a am，b b线性相关，因而存在一线性相关，因而存在一组不全为零的数组不全为零的数l l1，l l2，l lm及及l l，使使 l l1a a1+l l2a a2+l lma am+lblb=o，这里必有这里必有l l 0，否则，上式成为否则，上式成为 l l1a a1+l l2a a2+l lma am=o，且且l l1，l l2，l lm不全为零，这与线性无关矛
21、盾不全为零，这与线性无关矛盾.因此因此l l 0.故 mm)()()(2211llllll-+-+-=，即即b b可由向量组可由向量组a a1，a a2，a am线性表示线性表示.证明：证明：下页定理定理2 2 设向量组设向量组 a a1，a a2，a am，b b 线性相关线性相关，而而a a1，a a2，a am线性无关线性无关，则则b b 可可由由a a1，a a2，a am线性表线性表示，且表示式是唯一的示，且表示式是唯一的.线性代数下页结束返回 再证表示法唯一再证表示法唯一.设设b b可表示成以下两种形式，可表示成以下两种形式，b b=l l1a a1+l l2a a2+l lma
22、am，及及 b b=m m1a a1+m m2a a2+m mma am，两式相减得两式相减得 (l l1-m m1)a a1+(l l2-m m2)a a2+(l lm-m mm)a am=o，由由a a1，a a2，a am线性无关可知线性无关可知 l l1-m m1=l l2-m m2=l lm-m mm=0，从而从而 l l1=m m1，l l2=m m2，l lm=m mm，所以，表示法是唯一的所以，表示法是唯一的.证明：证明：下页定理定理2 2 设向量组设向量组 a a1，a a2，a am，b b 线性相关线性相关，而而a a1，a a2，a am线性无关线性无关，则则b b 可
23、可由由a a1，a a2，a am线性表线性表示，且表示式是唯一的示，且表示式是唯一的.线性代数下页结束返回 设向量组设向量组a a1，a a2，a am中有中有r个向量的部分组个向量的部分组 线性相关线性相关，不妨设不妨设a a1，a a2，a ar线性相关，则存在一组线性相关，则存在一组 不全为零的数不全为零的数l l1，l l2，l lr使使 l l1a a1+l l2a a2+l lra ar=o，因而存在一组不全为零的数因而存在一组不全为零的数 l l1，l l2，l lr，0，0，0使使 l l1a a1+l l2a a2+l lra ar+0 a ar+1+0 a am=o，即即
24、a a1，a a2，a am线性相关线性相关.证明：证明：下页定理定理3 3 如果向量组中有一部分向量（称为部分组）线性如果向量组中有一部分向量（称为部分组）线性相关，则整个向量组线性相关相关，则整个向量组线性相关.定理定理4 4 由由n个个n维向量组成的向量组，其线性无关的充分必要维向量组成的向量组，其线性无关的充分必要条件是矩阵条件是矩阵A=(a a1 1,a a2 2,.,.,a an)可逆可逆.证明证明 略略.线性代数下页结束返回证明：证明：（反证反证）若向量组若向量组 b b1,b b2,b bm线性相关线性相关，则存在一组不全为零的数则存在一组不全为零的数k1,k2,km,使得使得
25、 k1 b b1+k2 b b2+km b bm=o （1 1）即即（2 2）显然显然，方程方程(2)的前的前 n 行就是行就是 k1a a1+k2a a2+kma am=o，从而得从而得，a a1，a a2，a am线性相关，矛盾线性相关，矛盾.证毕证毕.下页+11112111nnaaaak+12222212nnaaaak+121mnmnmmmaaaak=0000定理定理5 5 若向量组若向量组 a ai=(a ai i1 1,a ai i2,a ai in)T(i=1,2,m)线性无关，线性无关，则向量组则向量组 b b i=(a ai i1 1,a ai i2,a ai in,a ai
26、in+1)T(i=1,2,m)也线性无也线性无关关.线性代数下页结束返回例例9.讨论下列向量组的线性相关性讨论下列向量组的线性相关性(要求用要求用“观察法观察法”).)3,2,1(1=a)6,4,2(,2=a)9,8,7(,3=a(1)下页(2)=680011b=33010,2b=33100,3b解：解：对于对于(1)组，显然有组，显然有31202aaa+=,由定理由定理1知知(1)组相关组相关.(2)组中每一个向量的前组中每一个向量的前3个分量构成无关组，由定理个分量构成无关组，由定理5知知(2)组无关组无关.线性代数下页结束返回等价向量组等价向量组定义定义3 3 设有两个向量组设有两个向量
27、组(I)12,ra aa(II)sbbb,21 如果如果(I)(I)中每一个向量都可由向量组中每一个向量都可由向量组(II)(II)线性表示，则称线性表示，则称(I)(I)可由可由(II)(II)线性表示；如果向量线性表示；如果向量(I)(I)与向量组与向量组(II)(II)可以相互线性表示，则称可以相互线性表示，则称向量组向量组(I)(I)与向量组与向量组(II)(II)等价等价.例例10.10.(I)a a=(1,0),a a 2=(0,1)(II)b b=(1,),b b 2=(,-1),b b 3=(,5)两组等价两组等价.因为因为,321102121bbba+=321202121,b
28、bba+-=b b=a aa a所以所以(I)(I)和和(II)(II)可以相互线性表示，可以相互线性表示，,b b 2=a aa a,b b 3=a aa a,即向量组即向量组(I)(I)与向量组与向量组(II)(II)等价等价.下页7.4 7.4 极大线性无关组极大线性无关组线性代数下页结束返回等价向量组的性质等价向量组的性质（1 1）自反性：向量组与其自身等价；）自反性：向量组与其自身等价；（2 2）对称性：若向量组）对称性：若向量组(I)(I)等价于等价于(II)(II)，则向量组，则向量组(II)(II)等价于等价于(I)(I)；（3 3）传递性：若向量组）传递性：若向量组(I)(I
29、)等价于等价于(II)(II)，向量组，向量组(II)(II)等价于等价于(III)(III)，则向量组则向量组(I)(I)等价于等价于(III).(III).引例引例.向量组向量组a a=(1,1,1),a a2=(0,2,5),a a3=(1,3,6),等价于其部分向等价于其部分向量组量组a a a a2.事实上，事实上，a a，a a，a a3中的每一个向量可由中的每一个向量可由a a，a a线性表示线性表示,即即1122123120,0,.=+=+=+而而 a a，a a中的每一个向量可由中的每一个向量可由a，a，a3线性表示，即线性表示，即1123212300,00.=+=+下页向量
30、组的极大无关组向量组的极大无关组线性代数下页结束返回 例例11在向量组在向量组a a1=(0,1)，a a2=(1,0)，a a3=(1,1)，a a4=(0,2)中中，向量组向量组a a1=(0,1)，a a2=(1,0)线性无关线性无关，且有且有 同样同样a a2，a a4也是一个极大无关组也是一个极大无关组.所以所以a a1，a a2是向量组是向量组a a1，a a2，a a3，a a4的一个极大无关组的一个极大无关组.a a4=(0,2)=2(0,1)=2a a1 1+0+0a a2，a a3=(1,1)=(0,1)+(1,0)=a a1+a a2，定义定义4 如果向量组如果向量组a
31、a1，a a2,am的一个部分向量组的一个部分向量组a aj1，a aj2,ajr (rm)满足：满足：(1)aj1，aj2,ajr 线性无关；线性无关；(2)向量组向量组a a1，a a2,am中的任一向量可由中的任一向量可由 aj1，aj2,ajr 线线性表示，性表示，则称则称aj1，aj2,ajr为向量组为向量组a a1，a a2，,am的一个极大线性的一个极大线性无关组无关组.下页线性代数下页结束返回 定义定义4 如果向量组如果向量组a a1，a a2,am的一个部分向量组的一个部分向量组 a aj1，a aj2,ajr(rm)满足：满足：(1)aj1，aj2,ajr线性无关；线性无关
32、；(2)向量组向量组a a1，a a2,am中的任一向量可由中的任一向量可由aj1，aj2,ajr线性表示，线性表示，则称则称aj1，aj2,ajr为向量组为向量组a a1，a a2，,am的一个极大的一个极大线性无关组线性无关组.下页 例例12全体全体n维列向量构成的向量组记作维列向量构成的向量组记作Rn，则，则n维单位向维单位向量组量组1=(1,0,0)T，2=(0,1,0)T，n=(0,0,1)T是它是它的一个极大无关组。的一个极大无关组。线性代数下页结束返回 定义定义4 如果向量组如果向量组a a1，a a2,am的一个部分向量组的一个部分向量组 a aj1，a aj2,ajr(rm)
33、满足：满足：(1)aj1，aj2,ajr线性无关；线性无关；(2)向量组向量组a a1，a a2,am中的任一向量可由中的任一向量可由aj1，aj2,ajr线性线性表示，表示，则称则称aj1，aj2,ajr为向量组为向量组a a1，a a2，,am的一个极大线性的一个极大线性无关组无关组.下页注：注：1)一个向量组的极大无关组不一定唯一；一个向量组的极大无关组不一定唯一；(见例见例11)2)一个向量组与它的极大无关组等价；（显然）一个向量组与它的极大无关组等价；（显然）问题问题:一个向量组不同的极大无关组所含向量个数是否相等一个向量组不同的极大无关组所含向量个数是否相等 3)一个线性无关向量组
34、的极大无关组就是向量组本身一个线性无关向量组的极大无关组就是向量组本身.线性代数下页结束返回sbbb,21线性表示线性表示，则则rs.定理定理6 设向量组设向量组线性无关，并且可由向量组线性无关，并且可由向量组raaa,21 推论推论4 4 一个向量组的极大线性无关组之间彼此等价并与向量组本一个向量组的极大线性无关组之间彼此等价并与向量组本身等价，而且一个向量组的所有极大线性无关组所含向量的个数相等身等价，而且一个向量组的所有极大线性无关组所含向量的个数相等.下页向量组的秩向量组的秩raaa,21推论推论1 设向量组设向量组可由向量组可由向量组sbbb,21线性表示线性表示，且且r s,则则
35、线性相关线性相关.raaa,21 推论推论2 2 任意任意n+1个个n维向量一定线性相关维向量一定线性相关.推论推论3 3 等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量.线性代数下页结束返回下页向量组的秩向量组的秩 定义定义5 向量组向量组a a1，a a2，a am的极大无关组所含向量的个数称的极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩为向量组的秩.记作记作r(a a1，a a2，a am).规定，只含零向量的向量组的秩为规定，只含零向量的向量组的秩为0.推论推论5 5 等价的向量组有相同的秩等价的向量组有相同的秩.向量组向量组a a1=(0,1)，a a2=
36、(1,0)，a a3=(1,1)，a a4=(0,2)的一个极大的一个极大无关组为无关组为a a1，a a2，所以向量组，所以向量组a a1，a a2，a a3，a a4 的秩为的秩为2.单位向量组单位向量组1，2，n 是是Rn的一个极大无关组，所以的一个极大无关组，所以r(Rn)=n。由于向量组的极大线性无关组与向量组等价，由等价的传递性，由于向量组的极大线性无关组与向量组等价，由等价的传递性，等价向量组的极大线性无关组等价，所以，等价向量组的极大线性无关组等价，所以，若若r(a a1，a a2，a am)m，则向量组，则向量组a a1，a a2，a am必线性相关必线性相关.(线性相关性新
37、的判定方法！线性相关性新的判定方法！)重要结论重要结论线性代数下页结束返回 定义定义6 矩阵矩阵A的行向量组的秩称为矩阵的行向量组的秩称为矩阵A A的行秩的行秩，列向量组的秩列向量组的秩称为矩阵称为矩阵A A的列秩的列秩.即即下页7.5 7.5 向量组方面的一些重要方法向量组方面的一些重要方法111212122212nnmmmnaaaaaaaaa=A12,maaa=111212122212nnmmmnaaaaaaaaa=A行向量组行向量组a a1，a a2，a am的秩，称为矩阵的秩，称为矩阵A的的行秩行秩.()12,nbbb=列向量组列向量组b b1，b b2，b bn的秩，称为矩阵的秩，称
38、为矩阵A的的列秩列秩.定理定理7 7 矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.线性代数下页结束返回求向量组的秩的方法求向量组的秩的方法下页把向量组的向量作为矩阵的把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量列（或行）向量组成矩阵组成矩阵A；对矩阵对矩阵A进行进行初等行变换初等行变换化为阶梯形矩阵化为阶梯形矩阵B；阶梯形阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩中非零行的个数即为所求向量组的秩例例1313.求下列向量组求下列向量组a a=(1,2,3,4)，a a2 2=(2,3,4,5)，a a3 3=(3,4,5,6)的秩的秩.解解1：以以a a,a a,a a为为
39、列向量列向量作成矩阵作成矩阵A，用初等变换将，用初等变换将A化为化为阶梯形矩阵后可求阶梯形矩阵后可求.324223rrrr-因为阶梯形矩阵的秩为因为阶梯形矩阵的秩为2，所以向量组的秩为，所以向量组的秩为2213141234rrrrrr-123234345456123012024036-123012000000-线性代数下页结束返回例例1313.求下列向量组求下列向量组a a=(1,2,3,4)，a a2 2=(2,3,4,5)，a a3 3=(3,4,5,6)的秩的秩.解解2：以以a a,a a,a a为为行向量行向量作成矩阵作成矩阵A，用初等变换将，用初等变换将A化为化为阶梯形矩阵后可求阶梯
40、形矩阵后可求.-642032104321-000032104321232rr-因为阶梯形矩阵的秩为因为阶梯形矩阵的秩为2，所以向量组的秩为，所以向量组的秩为2131232rrrr-求向量组的秩的方法求向量组的秩的方法654354324321下页把向量组的向量作为矩阵的把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量列（或行）向量组成矩阵组成矩阵A；对矩阵对矩阵A进行初等进行初等行变换行变换化为阶梯形矩阵化为阶梯形矩阵B；阶梯形阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩中非零行的个数即为所求向量组的秩问题：问题：n维单位向量组的秩是多少？它们相关维单位向量组的秩是多少？它们相关/无关？无关？线性代数下页结束
41、返回 定理定理8 8 矩阵矩阵A经初等经初等行行变换化为变换化为B，则，则B的的列列向量组与向量组与A对应对应的的列列向量组有相同的线性向量组有相同的线性相关性相关性.证明从略证明从略,下面通过例子验证结论成立下面通过例子验证结论成立.123111(,)226306 -=-603440111-330440111线性关系线性关系:2132aaa+=2132bbb+=2132+=122rr-133rr-矩阵矩阵A矩阵矩阵A1矩阵矩阵A2求向量组的极大线性无关组的方法求向量组的极大线性无关组的方法下页线性代数下页结束返回把向量组的向量作为矩阵的把向量组的向量作为矩阵的列向量列向量组成矩阵组成矩阵A；
42、对矩阵对矩阵A进行进行初等初等行变换行变换化为阶梯形矩阵化为阶梯形矩阵B；A中的与中的与B的每阶梯首列对应的向量组，即为极大无关组的每阶梯首列对应的向量组，即为极大无关组如果向量组线性相关，将如果向量组线性相关，将A化成行最简形，易得其他向量可由化成行最简形，易得其他向量可由极大无关组表示的形式。极大无关组表示的形式。由上可得，求向量组的极大线性无关组的方法：由上可得，求向量组的极大线性无关组的方法：下页-3304401112132+=矩阵矩阵A22)4/1(r-330110111-000110111233rr-2132+=2132+=矩阵矩阵A3矩阵矩阵B00011020121rr+A的行最
43、简形线性代数下页结束返回例例14.求下列向量组的一个极大无关组，其中：求下列向量组的一个极大无关组，其中：()3,0,2,11-=a()6,3,5,2,2-=a(),0,3,1,0,3=a()7,4,1,24-=a().2,1,8,5,5-=a解解：以给定向量为列向量作成矩阵以给定向量为列向量作成矩阵A，用初等行变换将，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵化为阶梯形矩阵-=27063143308115252021A-1313000143302311052021-11000550002311052021B=-00000110002311052021 矩阵矩阵B已是阶梯形矩阵已是阶梯形矩阵,B的每阶梯的
44、每阶梯首列所在的列是首列所在的列是1，2，4列，所以列，所以A的第的第1，2，4列就是列就是A的列向量组的极大线性的列向量组的极大线性无关组，即无关组，即a a,a a,a a是向量组的一个是向量组的一个极大线性无关组极大线性无关组.下页线性代数下页结束返回 行最简形矩阵行最简形矩阵 一个矩阵是行最简形矩阵一个矩阵是行最简形矩阵(或称行最简式或称行最简式)是指它为是指它为阶梯形矩阵阶梯形矩阵,且它的每一行的第一个非零元素均为且它的每一行的第一个非零元素均为1,第一个非零元第一个非零元素所在的列其余元素均为素所在的列其余元素均为0 例如例如,利用初等行变换将利用初等行变换将A先化为阶梯形矩阵先化
45、为阶梯形矩阵B，再化成行最简形，再化成行最简形矩阵矩阵C.-=27063143308115252021AB=-00000110002311052021-00000110001011030021C=-00000110001011010201-00000110001011030021用极大线性无关组表示其它向量的方法用极大线性无关组表示其它向量的方法下页 即列向量组的一个即列向量组的一个极大无关组化为了单极大无关组化为了单位向量组位向量组.线性代数下页结束返回用极大线性无关组表示其它向量的方法为：用极大线性无关组表示其它向量的方法为：把向量组的向量作为矩阵的把向量组的向量作为矩阵的列向量列向量组成
46、矩阵组成矩阵A；对矩阵对矩阵A进行初等进行初等行变换行变换化为阶梯形矩阵化为阶梯形矩阵B；把阶梯形把阶梯形B进行初等进行初等行变换行变换化为行最简形矩阵化为行最简形矩阵C；根据行最简形矩阵列向量的分量，用极大无关组表示其它向量根据行最简形矩阵列向量的分量，用极大无关组表示其它向量下页线性代数下页结束返回例例15.求下列向量组的一个极大无关组，并用极大无关表示其它向量求下列向量组的一个极大无关组，并用极大无关表示其它向量:()3,0,2,11-=a(),6,3,5,2,2-=a(),0,3,1,03=a()7,4,1,24-=a().2,1,8,5,5-=a-=27063143308115252021A解解：以给定向量为列向量作成矩阵以给定向量为列向量作成矩阵A，用初等行变换将，用初等行变换将A化为行最化为行最简形简形:B=-00000110002311052021-00000110001011030021C=-00000110001011010201 根据行最简形矩阵根据行最简形矩阵C可知可知a a,a a,a a是是向量组的一个极大无关组向量组的一个极大无关组，且且 a a3 3=2=2a a1 1-a a+0+0a a,a a5 5=a a1 1+a a+a a.下页3560假设第假设第5列为，列为，该如何表示？该如何表示？
