1、1.如图所示如图所示,均质圆轮质量为均质圆轮质量为m,半径为半径为R,放在粗糙水平面上放在粗糙水平面上,均质杆均质杆BC质量质量亦为亦为m,长为长为2R,二者固结如图示二者固结如图示.开始时系统静止开始时系统静止,杆杆BC位于铅锤位置位于铅锤位置.设杆设杆BC受小的扰动后倒下受小的扰动后倒下,圆盘在地面上作纯滚动圆盘在地面上作纯滚动,求当杆求当杆BC运动到水平位置时运动到水平位置时,(1)杆杆BC的角速度的大小的角速度的大小;(2)圆轮心圆轮心C的速度的大小的速度的大小;(3)圆轮心圆轮心C的加速度的的加速度的大小大小;(4)杆上杆上B点的加速度的大小点的加速度的大小;(5)地面对圆轮的法向反
2、力和摩擦力的大地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小小.CBCB解解:(1)由动能定理由动能定理:AWTT12 mgRmRRmmR 02212121232122222 Rg23122 Rg2332 (2)2332gRRVC (3)轮杆组合体运动到任意位置时由机械能轮杆组合体运动到任意位置时由机械能守恒可得守恒可得:CVT CcosmgRRmsinRcosRRmmR 22222222212121212321选过选过C水平面为重力势能零点水平面为重力势能零点,对任意位置对任意位置,系统有系统有CcosmgRJmVJOOD 222212121CBmgR R ODCcosmgRmRcosmRmRmR 22
3、2222226143CcosmgRcosmRmR 22221223两边对时间两边对时间t求导数求导数026233222 sinmgRsinmRcosmRmR 026232222 sinmgRsinmRcosmRmR 当当 =900 时时Rg231222 上式为上式为0231262322 mgRRgmRmR xyOCB CaCanBCatBCaNFFmgCBmgR R OD上式为上式为0231262322 mgRRgmRmR Rg529210 轮心轮心C加速度大小加速度大小529210gRaC (4)杆上杆上B点的加速度的大小点的加速度的大小RRaBx22 Rg231222 Rg529210 5
4、293422324529210ggg 5294202gRaBy CB CaeanratraNFFmgO(5)求地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小求地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小.xy先求先求BC杆中心杆中心O点的加速度点的加速度RRaOx2 529662312529210ggg 529210gRaOy 轮心轮心C加速度大小加速度大小529210gRaC (5)求地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小求地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小.RRaOx2 529210gRaOy xy由动量定理由动量定理:eiiiFamx 方向方向:y 方向方向:FmamaOxC mgmgmgF52914452966
5、529210 52966g mgFmaNOy2 mgmaFOyN2 mgmgmgFN5298485292102 CB CaeanratraNFFmgOmg另解另解:求解某时刻的加速度和约束力求解某时刻的加速度和约束力,还可用达朗伯原理还可用达朗伯原理.CarOyarOxaeOaCBOgOMgCMmgmgrgOxFrgOyFegOFgCFRmFgC RmFegO RmFrgOy RmFrgOx2 221mRMgC 231mRMgO NFFDRg231222 0 Dm0 mgRRFRFRFRFMMrgOxrgOyegOgCgOgC031212222222 mgRRmRmRmRmmRmR mgRRm
6、RmRm 2222365 Rg529210 0 X0 YmgF529144 mgFN529848 BCBCOgm2解解:系统有两个自由度系统有两个自由度,选选 x、为广义坐标为广义坐标2.如图所示如图所示,均质圆轮质量为均质圆轮质量为m1,半径为半径为R,放在粗糙水平面上放在粗糙水平面上,均质杆均质杆BC质量为质量为m2,长长为为2R,用铰链连接于轮心用铰链连接于轮心C.开始时系统静止开始时系统静止,杆杆BC位于铅锤位置位于铅锤位置.杆杆BC受小的扰动后受小的扰动后倒下倒下,设圆盘在地面上作纯滚动设圆盘在地面上作纯滚动,求当杆求当杆BC运动到水平位置时运动到水平位置时,(1)杆杆BC的角速度的
7、大小的角速度的大小;(2)圆轮心圆轮心C的速度的大小的速度的大小;(3)杆杆BC的角加速度的大小的角加速度的大小;(4)圆轮心圆轮心C的加速度的大小的加速度的大小;(5)地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小.xx R FNFFNFx CCxFCyF由动量定理的水平方向投影由动量定理的水平方向投影取系统分析取系统分析:tFdtcosRxmxm0210 取圆轮分析取圆轮分析:由对质心的动量矩定理由对质心的动量矩定理dtFRORxRmt 02121 tFdtcosRxmxm0210 dtFRORxRmt 02121BCOgm2x R tFdtcosRmxmxm0221
8、 dtFxmt 0121两式联立可得两式联立可得:023221 cosRmxmxm(1)210322143222222221 cosgRmcosRxmRmxmxm 由系统的动能定理由系统的动能定理:AWTT12BC x 当当 =900由由(1)式式:0 x 即即VC=0.(2)式可化作式可化作:gRmRm222232 Rg23 Rg232 即是即是即即BCBCOx gm2R 1023221 cosRmxmxm 2cos1cos322143222222221 gRmRxmRmxmxm 0 x Rg23 x BCx 将将(1)式两边对式两边对t 求导求导 30sincos23222121 RmRm
9、xmxm 302323221gmxmxm 当当BC杆水平时杆水平时2 Rg232 212233mmgmx 将将(2)式两边对式两边对t 求导求导 4sinsincoscos3423222222221 gRmxmRxmRxmRmxxmxxm 当当BC杆水平时杆水平时2 Rg232 0 x 434222gRmRm 上式化简成上式化简成:Rg43 BCO 212233mmgmx Rg43 aRg232 212233mmgma Rg43 Rg232 noatoagm1gm2NFFBC杆质心杆质心O的加速度为的加速度为:211212232323233mmgmgmmgmaaanoox 43gRaatooy
10、 由质点系的动量定理由质点系的动量定理:5 iiiFam水平方向有水平方向有:Famamox 21 21212112212123232323233mmgmmmmgmmmmgmmF 铅垂方向有铅垂方向有:gmgmFamNoy212 44321221221gmgmgmgmmamgmmFoyN x 另解另解:速度及角速度问题同前速度及角速度问题同前,加速度问题另解如下加速度问题另解如下:(3)杆杆BC的角加速度的大小的角加速度的大小;(4)圆轮心圆轮心C的加速度的大小的加速度的大小;(5)地面对圆轮的法向反力地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小和摩擦力的大小.解解:BC系统有两个自由度系统有两个自由度
11、,选选 x、为广义坐标为广义坐标 xBCOgm2x R 2222222221212121sincos212321 RmRxRmxmT cos32214322222221RxmRmxmxmT 选过选过C的水平线为重力势能零点的水平线为重力势能零点 cos2gRmV CcosgRmcosRxmRmxmxm 222222221322143运动过程中机械能守恒运动过程中机械能守恒CVT 将上式两边对时间将上式两边对时间t求导数求导数:03423222222221 sinRgmsinRxmcosRxmcosRxmRmxxmxxm 03423222222221 singRmcosRxmRmxsinRmco
12、sRmxmxmBCOgm2x R 03423222222221 singRmcosRxmRmxsinRmcosRmxmxm广义速度必不为零广义速度必不为零,所以有所以有 IsinRmcosRmxmxm02322221 IIsingmcosxmRm034222 当当BC杆水平时杆水平时2 Rg232 0 x 由由(I)式式212233mmgmx 由由(II)式式Rg43 BCODgm1gm2另解另解:速度问题同前速度问题同前(动能定理及广义动量守恒动能定理及广义动量守恒),加速度及约束力的问题可用达朗贝尔原理加速度及约束力的问题可用达朗贝尔原理.求求:(3)杆杆BC的角加速度的大小的角加速度的大
13、小;(4)圆轮心圆轮心C的加速度的大小的加速度的大小;(5)地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小.当当BC杆水平时杆水平时2 Rg232 0 x NFF设图示瞬时设图示瞬时,C点的加速度为点的加速度为 a,BC杆杆的角加速度为的角加速度为.a 圆盘及圆盘及BC杆分别为平面运动杆分别为平面运动,将各自的将各自的惯性力系向各自的质心简化惯性力系向各自的质心简化ICFICMnOCatOCaIOMamFIC1 RamRaJMCIC121 tIOFnIOF amgmamRmaamFnOCnIO22222223 RmamFtOCtIO 22 取系统为研究对象取系统为研究对象
14、:0 iDFm02 gRmRFRFMMRFnIOtIOIOICIC 2231RmJMOIO 0233121222222211 gRmRamgmRmRmRamaRm tIOFCOBCxFnIOFIOMgm2CyF0233121222222211 gRmRamgmRmRmRamaRm 602534232221 gmRmamm 再取再取BC杆为研究对象杆为研究对象 :0 iCFm02 gRmRFMtIOIO03122222 gRmRmRm Rg43 代入代入(6):212233mmgma 取整体分析取整体分析BCODgm1gm2NFFa ICFICMnOCatOCaIOMtIOFnIOF 0X0 F
15、FFnIOICamFIC1 amgmFnIO2223 0Y021 gmgmFFtIONRmFtIO 2 21212323mmgmmF 421gmgmFN AB R x x3.小球的重量为小球的重量为P,小车的重量为小车的重量为W,系统开始静止系统开始静止.已知小车上四分之一圆弧面的已知小车上四分之一圆弧面的半径半径R,圆弧底端处圆弧底端处B距光滑水平地面的高度为距光滑水平地面的高度为h.设小球自圆弧顶端设小球自圆弧顶端A沿圆弧面落下沿圆弧面落下.求求:(1)小球将要离开小车时小球将要离开小车时,小球及小车的速度的大小小球及小车的速度的大小;(2)自初始时刻到小球将要自初始时刻到小球将要离开小车
16、的这段时间内离开小车的这段时间内,小车移动的距离和小球运动的水平距离小车移动的距离和小球运动的水平距离;(3)自小球离开小自小球离开小车到落地的这段时间内车到落地的这段时间内,小车移动的距离和小球运动的水平距离小车移动的距离和小球运动的水平距离;(4)小球将要离开小球将要离开小车时小车时,圆弧面对小球的法向约束力圆弧面对小球的法向约束力.ABRh解解:两个自由度两个自由度选广义坐标选广义坐标(变量变量)x、系统水平方向动量守恒系统水平方向动量守恒 0 sinRxgPxgW当小球在当小球在B点时点时 0 RxgPxgW 由动能定理由动能定理 sinPRcosRsinRxgPxgW 0212122
17、222当小球在当小球在B点时点时PRRxgPRgPxgPxgW 2222212121 0 RxgPxgW PRRxgPRgPxgPxgW 2222212121联立求解联立求解:WPRWgWPx 2WPRWg2)WP1(R (1)小球将要离开小车时小球将要离开小车时,小球及小车的速度的大小小球及小车的速度的大小;(2)自初始时刻到小球将要离开小车自初始时刻到小球将要离开小车的这段时间内的这段时间内,小车移动的距离和小球运动的水平距离小车移动的距离和小球运动的水平距离;(3)自小球离开小车到落地的这自小球离开小车到落地的这段时间内段时间内,小车移动的距离和小球运动的水平距离小车移动的距离和小球运动
18、的水平距离;(4)小球将要离开小车时小球将要离开小车时,圆弧面对小圆弧面对小球的法向约束力球的法向约束力.(1)(2)由质心坐标守恒由质心坐标守恒(水平方向水平方向)PWRxbPxaWPWPbWaxC PWPRx小车移动的距离小车移动的距离:小球移动的距离小球移动的距离:PWPRRs (3)ght2 小车移动的距离小车移动的距离:WPhRWWPWPRWgWPght xx 222WPhRWWPRWgght)xR(s 222 小球移动的距离小球移动的距离:ABR x xR(1)小球将要离开小车时小球将要离开小车时,小球及小车的速度的大小小球及小车的速度的大小;(2)自初始时刻到小球将要离开小车自初
19、始时刻到小球将要离开小车的这段时间内的这段时间内,小车移动的距离和小球运动的水平距离小车移动的距离和小球运动的水平距离;(3)自小球离开小车到落地的这自小球离开小车到落地的这段时间内段时间内,小车移动的距离和小球运动的水平距离小车移动的距离和小球运动的水平距离;(4)小球将要离开小车时小球将要离开小车时,圆弧面对小圆弧面对小球的法向约束力球的法向约束力.ABR x xR(4)取小球分析运动及受力取小球分析运动及受力由由gcgerFFFam 此题中此题中0 gcF此题此时此题此时0 geFNFR P由由Famr PFRgPN 2 P2W3WPRgPPF2N WPRWg2)WP1(R )()(WP
20、RWg2WP1 WRgPW22 4.可在地面上滚动而不滑动的均质细圆环管质量为可在地面上滚动而不滑动的均质细圆环管质量为m1,半径为半径为R,管内装有质量为管内装有质量为m的小珠的小珠,管的内壁光滑管的内壁光滑.开始时圆环和小珠静止不动开始时圆环和小珠静止不动,小珠位于圆环的最右边的小珠位于圆环的最右边的地方地方(如图示如图示).释放系统使小珠下落释放系统使小珠下落.求小珠到达最低位置时求小珠到达最低位置时,圆环管的角速度的圆环管的角速度的大小大小.Om解解:由动能定理由动能定理设圆环的角速度为设圆环的角速度为,小珠相对于圆环中心小珠相对于圆环中心O的速度为的速度为Vr.mgRVRmRmr 0
21、212212221 1212212221mgRRVmmVRmmrr 由动量定理由动量定理:(水平方向投影水平方向投影)2001dtFVRmRmtr 取圆环分析取圆环分析NFtFgm1nFOR RdtFRmt 0210 301dtFRmt 由由(2)、(3)可得可得:4021 rmVRmm 由对其质心的动量矩定理由对其质心的动量矩定理:Ogm1mg rVOVNFtFOm 1212212221mgRRVmmVRmmrr 4021 rmVRmm(1)、(4)联立可得联立可得:Rmmmgm121222 Rmmmgm12122 mO1m mgOx Om取广义坐标取广义坐标 x、.sin21221coss
22、in2122122212222221RxmRmxmmRRxmRxRmT R 取过取过O水平面为重力势能零点水平面为重力势能零点 sinmgRV sinsin212212221mgRRxmRmxmmVTL x 为循环坐标为循环坐标0 xLxLdtd由由得得:常数常数CxL CRmxmm sin21由初始条件由初始条件,C=0当当 =900,4021 Rmxmm 另解另解:其中其中,Rx rVR (其余同前其余同前)0sin21 Rmxmm解解:5.图示质量为图示质量为m2的均匀圆柱轮在质量为的均匀圆柱轮在质量为m1的斜面上作纯滚动的斜面上作纯滚动,斜面可在光滑斜面可在光滑水平面上运动水平面上运动
23、,试求系统在运动时圆柱轮心及斜面的加速度试求系统在运动时圆柱轮心及斜面的加速度.分别取圆柱、斜面分析运动及受力分别取圆柱、斜面分析运动及受力.2x 2y Cgm2 A2NF2F1x gm1 1NF2NF2F.1x gm1gm22x 2y CA对圆柱对圆柱由质心运动定理由质心运动定理由对质心的动量矩定理由对质心的动量矩定理rFrm22221 由于圆柱在运动的斜面上只滚不滑由于圆柱在运动的斜面上只滚不滑,上式化为上式化为对斜面对斜面由牛顿第二定律由牛顿第二定律 sinFcosFxmN 2222 (1)gmcosFsinFymN22222 (2)212221Fcosrxxrm (3)sinFcosF
24、xmN 2211 (4)对圆柱对圆柱,以以A为基点分析为基点分析C点的加速度点的加速度tCAnCAACaaaa 沿斜面方向投影有沿斜面方向投影有:rcosxcosx 12 .1x gm1gm22x 2y CA sinFcosFxmN 2222 (1)gmcosFsinFymN22222 (2)212221Fcosrxxrm (3)sinFcosFxmN 2211 (4)由两个物体间运动学关系由两个物体间运动学关系:取取C为动点为动点,斜面为动系斜面为动系rCaaa 1ra 水平方向水平方向:cosaxxr 12 铅垂方向铅垂方向:sinayr 2 联立消去联立消去ar.sinxcosysinx
25、122 (5)(1)、(2)、(3)、(4)、(5)式联立可得式联立可得 221212132sinmmsingmx 解解:双自由度双自由度,选广义坐标选广义坐标 x1、Sr.m1g m2gsrC1x rrsa cossxmsmxmmrsmrcossxsxmxmJsinscossxmxmTrrrrrCrr1222432121212221211221221211212212221221211212选初始时圆柱的选初始时圆柱的C 点处为重力势能零点点处为重力势能零点 singsmVr2 CsingsmcossxmsmxmmVTrrr 21222432121215.图示质量为图示质量为m2的均匀圆柱轮
26、在质量为的均匀圆柱轮在质量为m1的斜面上作纯滚动的斜面上作纯滚动,斜面可在光滑斜面可在光滑水平面上运动水平面上运动,试求系统在运动时圆柱轮心及斜面的加速度试求系统在运动时圆柱轮心及斜面的加速度.运动过程中机械能守恒运动过程中机械能守恒两边对时间两边对时间t求导数求导数 0232121221121 sinsgmcossxmcossxmssmxxmmrrrrr 0232121221121 sinsgmcossxmcossxmssmxxmmrrrrr 023212212121 rrrssingmcosxmsmxcossmxmm 1x rs 不会为零不会为零 102121 cossmxmmr 2023
27、2122 singmcosxmsmr 所以有所以有 221212132sinmmsingmx 联立可得联立可得:解解:双自由度双自由度,选广义坐标选广义坐标 x1、Sr.m1g m2gsrC1x rrsa cossxmsmxmmrsmrcossxsxmxmJsinscossxmxmTrrrrrCrr1222432121212221211221221211212212221221211212选初始时圆柱的选初始时圆柱的C 点处为重力势能零点点处为重力势能零点 singsmVr2 singsmcossxmsmxmmVTLrrr2122243212121 100212111 cossmxmmxLxL
28、dtdr 由由 200212223 singmcosxmsmsLsLdtdrrr 由由 22121213221sinmmsingmx,式得式得联立联立5.图示质量为图示质量为m2的均匀圆柱轮在质量为的均匀圆柱轮在质量为m1的斜面上作纯滚动的斜面上作纯滚动,斜面可在光滑斜面可在光滑水平面上运动水平面上运动,试求系统在运动时圆柱轮心及斜面的加速度试求系统在运动时圆柱轮心及斜面的加速度.6.均质杆质量为均质杆质量为m,长为长为3R,固结在半径为固结在半径为R质量为质量为M的均质圆柱体上的均质圆柱体上,杆的杆的一端与圆柱体的中心重合一端与圆柱体的中心重合.设圆柱体在水平面上只滚不滑设圆柱体在水平面上只
29、滚不滑,求系统的运动微求系统的运动微分方程分方程.mgOAC cos23243312121sin49cos23214321212321222222222222222222mRmRMRRmRRRmMRJmVMRTCC解解:选过选过O点的水平面为重力势能零点点的水平面为重力势能零点 cos23mgRVCcosmgRcosmRmRMR 2323243222222 R23 R R 一个自由度一个自由度,选广义坐标选广义坐标 运动过程中系统的机械能守恒运动过程中系统的机械能守恒CVT mgOAC R23 R R 0336832 sinRgmsinmcosmmM CcosmgRcosmRmRMR 2323
30、243222222两边同时对时间两边同时对时间t求导数求导数02323342332222 sinmgRsinmRcosmRmRMR 消去消去 可得可得:02323342322222 sinmgRsinmRcosmRmRMR AB1V030n 7.在一水平面上在一水平面上,小球小球A的速度的速度V1=6m/s,方向与静止的方向与静止的B球相切球相切,如图示如图示.两两球的大小相同球的大小相同,质量相等质量相等,不计摩擦不计摩擦.设碰撞的恢复系数设碰撞的恢复系数k=0.6,试求碰撞后两试求碰撞后两球的速度各是多少球的速度各是多少?解解:s/mcosVVn3330011 602112.VVuuknn
31、nn 138112.uunn 02 nV碰撞前后总动量守恒碰撞前后总动量守恒2110umumVm 法向投影有法向投影有nnmumum2133 23321 nnuu切向投影有切向投影有 33300121 sinVuutt由由(1)、(2)可得可得:s/m.un3601 s/m.un3422 AB1V030n s/m.un3601 s/m.un3422 切向二球不受力作用切向二球不受力作用,各自动量守恒各自动量守恒s/msinVut330011 02 tu碰撞后两球的速度碰撞后两球的速度A球球s/m.uuutn17321211 B球球s/m.uun34222 3464011.uutantn 019
32、 1u019AB2u8.一均质球半径为一均质球半径为R=0.1m,以质心以质心10m/s 的速度沿图示斜面向下作纯滚动的速度沿图示斜面向下作纯滚动.并与一水平面相撞并与一水平面相撞.设球与水平面的碰撞是完全弹性的设球与水平面的碰撞是完全弹性的.试求试求:碰撞后瞬时碰撞后瞬时,球球心的速度和球的角速度心的速度和球的角速度.Cs/m100 34 Cs/m100 R解解:ACVACV1 AnAnVukAnuCnu053)s/m(.cosVVCAn66010530 s/muAn6 s/mcosVVVCACAt2370 s/mVuAtAt2 Atu碰撞前后碰撞前后,对质心的动量矩守恒对质心的动量矩守恒角
33、速度不变角速度不变而而 s/muCn6(AC方向上速度投影相等方向上速度投影相等)由由CAACuuu CAAtAnCtCnuuuuu 即即在切向投影可得在切向投影可得:s/mRuuoAtCt8 (方向如图方向如图)CtuCov0 C0 r9.均质实心球半径为均质实心球半径为r,沿斜面滚下如图示沿斜面滚下如图示,当角速度为当角速度为 0时碰到水平面连滚带时碰到水平面连滚带滑滑,最后重新变成纯滚动最后重新变成纯滚动.设碰撞时球未从水平面回跳设碰撞时球未从水平面回跳,求球在水平面上纯滚动求球在水平面上纯滚动的角速度的角速度.ov 解解:碰撞为塑性碰撞为塑性 k=0I设纯滚动时质心速度为设纯滚动时质心
34、速度为V 角速度为角速度为 rV 由动量定理由动量定理 1IcosmVmVo v由动量矩定理由动量矩定理IrJJoCC 2525222Irmrmro 由由(1)可得可得:32IrcosrmVrmo 联立联立(2)、(3)coscosrVooo2577572 10.刚度均为刚度均为k(N/m)的两个弹簧的两个弹簧,一端固定一端固定,另一端装在相互平行的两块刚性板平另一端装在相互平行的两块刚性板平板板A和和B上上,其间距为其间距为 =W/2k.当重为当重为W的物体突然加在平板的物体突然加在平板A上时上时,求平板求平板B的的位移位移.平板和弹簧的质量略去不计平板和弹簧的质量略去不计.解解:设平板设平
35、板B的位移为的位移为 kk整个过程整个过程,可用能量原理描述成可用能量原理描述成 222121 kkW 222 kW 224 整理后得整理后得:032222 274244222 取取kWkW 471227111.一个踩高跷的人一个踩高跷的人,在高跷倾斜的过程中在高跷倾斜的过程中,仍直立地站在上面仍直立地站在上面.这可简化成图示这可简化成图示的模型的模型:不计重量的杆不计重量的杆AB(即高跷即高跷)由静止开始绕由静止开始绕A点转动点转动;一个代表人的均质杆一个代表人的均质杆支承在支承在D点点,当当AB转动时转动时,其仍保持在铅垂位置其仍保持在铅垂位置.若设高跷在由静止开始运动时若设高跷在由静止开
36、始运动时,其其A端具有微小的初位移端具有微小的初位移d,试写出人体质心试写出人体质心C水平加速度的表达式水平加速度的表达式.ClDBAd解解:mgAF由质心运动定理由质心运动定理 cosFxmAC 又又mgsinFymAC 0 sinmgFA cotmgxmC lgddlgdcotgxC 22 12.质量均为质量均为m 的两块板的两块板m1 和和 m2 由刚度系数为由刚度系数为k 的弹簧连接的弹簧连接,放在地板上放在地板上,如图示如图示.今今在在 其上方掉下一质量为其上方掉下一质量为m 的泥块的泥块m3.问问:泥块的高度为多少时泥块的高度为多少时,方能使上面的板跳起时方能使上面的板跳起时带动下
37、面的板带动下面的板?m3km1m2vhkm1m2m3m1m3m2kam1m3m2ka0 0 x解解:本问题有两个力学过程本问题有两个力学过程,(碰撞和功能原理碰撞和功能原理)应分开考虑应分开考虑.由碰撞过程的动量守恒由碰撞过程的动量守恒(忽略重力冲量忽略重力冲量)vmmghm 3132mvghm22 22ghv kmgkgmx 20kmgkgm 10m1m3m2kam1m3m2ka0 0 xm3km1m2v22ghv 设弹簧压缩的最大限度为设弹簧压缩的最大限度为a,则由动能定理可得则由动能定理可得:Iakagmmvmm2020312312210 在尔后至刚使地面对在尔后至刚使地面对m2 的反力
38、为零时的反力为零时,由动能定理得由动能定理得:IIxakxgmmagmm2020003131200 :得得III 20200031231221xkxgmmvmm 003123121xgmmvmm 由已知条件可得由已知条件可得:kgmvm2224 kmgh8 m3km1m2vhkm1m2m3m1m2m3kv考虑运动过程的机械能守恒考虑运动过程的机械能守恒,还可有如下的思路还可有如下的思路:m1m3m20 0 xm3m1k由动能定理由动能定理:202000312312210 xkxgmmvmm 将已知条件代入可得将已知条件代入可得:kgmvm2224 kmgh8 及及0VAMmO13.质量为质量为
39、m的小环可沿质量为的小环可沿质量为M半径为半径为R的大圆环运动的大圆环运动.开始时开始时,系统静止于系统静止于光滑的水平面上光滑的水平面上,如图所示如图所示.现在突然给小环一初速度现在突然给小环一初速度V0,试证明试证明:大环将作平动大环将作平动,并求大圆环中心相对于系统的质心的运动轨迹并求大圆环中心相对于系统的质心的运动轨迹.不计大环和小环之间的摩擦不计大环和小环之间的摩擦.由于小环在运动以后对大环的力始终指向大环的质由于小环在运动以后对大环的力始终指向大环的质(中中)心心,大环所受的力对其质心的矩始终为零大环所受的力对其质心的矩始终为零.初始大初始大环又无角速度环又无角速度,因而大环对其质
40、心的动量矩始终为零因而大环对其质心的动量矩始终为零(即守恒即守恒),所以所以 大环的角速度为零大环的角速度为零.如此如此,大环只作平动大环只作平动.CVC由系统的动量守恒可得系统质心的运动由系统的动量守恒可得系统质心的运动:CVmMVm 0OCVmMmV 运动过程中运动过程中,系统的质心到大环的质心系统的质心到大环的质心O的距离及到小环的距离及到小环m的距离始终都的距离始终都是不变的是不变的,所以所以,大环中心及小环相对系统的质心大环中心及小环相对系统的质心C的运动轨迹都是圆弧的运动轨迹都是圆弧.大环中心大环中心O相对于系统质心相对于系统质心C的轨迹是以的轨迹是以 为半径的圆弧为半径的圆弧.m
41、MmROC 由质心坐标公式可得由质心坐标公式可得:mMmROC 14.设有两个重物设有两个重物W0和和W1,以柔软而不可伸长的轻绳相连以柔软而不可伸长的轻绳相连,绳长为绳长为l.若将重物若将重物W0自自W1的上面以初速的上面以初速V0 竖直上抛竖直上抛(开始时图中的开始时图中的x=0),W1放在地面上放在地面上.求重物求重物W0上抛的最大的距离上抛的最大的距离H.W0W1x解解:由于初速以字母表示由于初速以字母表示,据题意而分情况讨论据题意而分情况讨论.当当glV20 gVH220 则则当当glV20 在绳子拉直时有在绳子拉直时有:glVV22021 在二物具有共同速度在二物具有共同速度V2时
42、有时有21010VgWWVgW glVWWWVWWWV22010011002 此后上升高度为此后上升高度为 210202022222WWgglVWgVy 210020210021 WWWgVWWWlylH总高度为总高度为:210202022WWgglVWlH 或为或为:tCaAO CIOM15.均质杆均质杆OA=l,质量为质量为m,可绕可绕O作定轴转动作定轴转动.图示瞬时其角速度等于零图示瞬时其角速度等于零,角加速度角加速度为为 .若将杆的惯性力系向若将杆的惯性力系向A点简化点简化,则主矩的大小应为多少则主矩的大小应为多少?AO CIFIOM解解:先将惯性力系向先将惯性力系向O点简化点简化.2
43、lmmaFtCI 231mlJMOIO 再将此惯性力系向再将此惯性力系向A点简化点简化IF22lmlFMIIOA OAIM最后结果应为最后结果应为:tCaAO CIFIAM2lmmaFtCI 261mlMIA tCa16.质量为质量为M倾角为倾角为 =300 的三棱柱放在光滑的水平面上的三棱柱放在光滑的水平面上.一根自然长度为一根自然长度为l,刚度系数刚度系数为为k=2mg/l 的弹性轻绳系于光滑斜面上端的的弹性轻绳系于光滑斜面上端的A点点,另一端系有质量为另一端系有质量为m的质点的质点.初始时初始时质点位于质点位于A点处点处,系统由静止而释放系统由静止而释放.试写出系统的能量方程和水平动量方
44、程试写出系统的能量方程和水平动量方程,并且证并且证明明:(1)质点的速度再次为零时它离质点的速度再次为零时它离A点的距离为点的距离为2l.(2)当质点离当质点离A点的距离为点的距离为5l/4 时时,三棱柱的速度达到最大值三棱柱的速度达到最大值.(3)求绳子拉直瞬时质点相对于三棱柱的速度求绳子拉直瞬时质点相对于三棱柱的速度.Am CBM解解:当小球当小球A运动到运动到 s l ,由动能定理由动能定理选广义坐标选广义坐标 x、s sinsincos21212222mgssxsmxM 当小球当小球A运动到运动到 s l ,由动能定理由动能定理x s 222222sinsincos2121lskmgs
45、sxsmxM 222sincos2121lslmgmgssxmsmxmM 系统的动量在水平方向守恒系统的动量在水平方向守恒:0cos xsmxM cossmxmM 1sincos2121222lslmgmgssxmsmxmM 2cos smxmM 证明证明:(1)质点的速度再次为零时它离质点的速度再次为零时它离A点的距离为点的距离为2l.(2)当质点离当质点离A点的距离为点的距离为5l/4 时时,三棱柱的速度达到最大值三棱柱的速度达到最大值.(3)求绳子拉直瞬时质点相对于三棱柱的速度求绳子拉直瞬时质点相对于三棱柱的速度.Am CBMx s(1)将将 00 xs030 代入代入(1)式式化简后得
46、化简后得:022 lssl，2221lsls 舍去舍去(2)将将(2)式代入式代入(1)式消去式消去s 可得可得:2222223221lslmgmgsxmMxmMxmM lMmmMlsgmglsmx5463222222 令令 02 dsxd 可得驻点方程可得驻点方程:lsl 12345ls lMmmMlsgmglsmx5463222222 Am CBMx s 02 dsxd 可得驻点方程可得驻点方程:lsl 12345ls 令令.452时有极大值时有极大值在在lsx 由物理过程的分析或由物理过程的分析或 0541222222 lMmmMdsxd可知可知(3)当小球当小球A运动到运动到 s =l ,230cos0smxmM 130sin30cos21210022mglsxmsmxmM 联立联立(1)、(2)消去消去x mMglmMs 442 243218322222mglsmMmsmsmMm
