1、)a(ba=ba0b0，1.1.二次根式的除法有两种常用方法：二次根式的除法有两种常用方法：（1 1）利用公式：）利用公式：（2 2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算。理化运算。2.2.在进行分母有理化之前，可以先观察把能化在进行分母有理化之前，可以先观察把能化简的简的二次根式先化简二次根式先化简(能开出来的先开出来或分能开出来的先开出来或分子和分母先因式分解约分子和分母先因式分解约分),),再考虑如何化去分母再考虑如何化去分母中的根号。中的根号。3.分母有理化分母有理化把分母中的根号化去，叫做分母有理化。把分母中的根号化去，叫做分母有理化。分
2、母有理化的方式分母有理化的方式:1.将分子与分母将分子与分母乘以同一个代数式乘以同一个代数式2.分子与分母中的因式分解分子与分母中的因式分解直接约分直接约分新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！?31)1(什么方法让分母不带根号你会用333331我们发现只要?352)2(什么方法分母不带根号你又会用352)35(2)35)(35()35(2我们把上面的过程叫做分母有理化，如果我们把上面的过程叫做分母有理化，如果分母是分母是一个一个正实数的算术根只要分子，分母同时乘上正实数的算术根只要分子，分母同时乘上这这个二次根式个二次根式即可，如果是即可，如果是一个二项式一个二项式只要只要乘上一乘上一个二
3、项式个二项式使分母变成使分母变成平方差平方差即可。即可。把分母中的根号化去，叫做分母有理化。把分母中的根号化去，叫做分母有理化。思考：如何将下列思考：如何将下列 进行分母有理化？进行分母有理化？2ab-ab-乘以什么式子才能不含有根号呢？乘以什么式子才能不含有根号呢？22aaabbbab-+=-=-（）（）（）（）22(a)2(a)a(a)(a)bbabbbb+=-+平方差公式平方差公式两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说不含有二次根式，我们就说这两个二次根式互为有理这两个二次根式互为有理化因式化因式aabb-+（
4、）的有理化因式是（）aabb+-（）的有理化因式是（）分母有理化的过程即是分子分母同时乘以分母的有分母有理化的过程即是分子分母同时乘以分母的有理化因式理化因式22aaabbbab-+=-=-（）（）（）（）m的有理化因式是的有理化因式是m的有理化因式是的有理化因式是ababx ay b的有理化因式是的有理化因式是x ay b1ac-acac-=-123=+23(23)(23)-=+-23-巧妙地利用公式（平方差）找分母的有理化因式巧妙地利用公式（平方差）找分母的有理化因式cacaca对有理化因式的认识对有理化因式的认识的有理化因式为的有理化因式为 (1)如单独一项 的有理化因式就是它本身；(2
5、)如出现和、差形式的：ba aba ba 的有理化因式为的有理化因式为 ba，331_2_3_4_5_6_aaban babm an bab、的有理化因式为；、的有理化因式为；、的有理化因式为；、的有理化因式为；、的有理化因式为；、的有理化因式为；aaban babm an b33223aabb找出下列各式的有理化因式找出下列各式的有理化因式(1)ab(2)12(3)52(4)52(5)710(6)3 26(7)2 38 1122(8)()axaxaba325 251076231143 22axa例将下列各式分母有理化因式例将下列各式分母有理化因式31123()314332mnmn+m-n（）
6、（）（）解：解：33(31)(1)31(31)(31)-=+-332-=221433224332(43)(32)-=+-（）4 33 230-=()()3mnmnmnmn+-=+m-n（）()mn=-nmnm22)()(-yxyxyxyxyxyxyxyxyxyx22)()()()()(甲：yxyxyxyxyxyxyxyx)()()()()(22乙：A.两个解法都对 B.甲错乙对 C.甲对乙错 D.两个都错分析：甲利用分数的基本性质来进行分母有理化，但忽略了条件中只隐含了x0,y0,而没有条件xy,即x与y可能相等，.0可能为yx 正解：选B解答如下：时，甲，乙两位同学的在化简yx y-x()将
7、下列各式分母有理化将下列各式分母有理化 2511 2312 262325 23 3514226 235(15)(15)1515(15)(15)解：315221515计算：22212 5(5)1(5)1 2 5 51 562544)53(2分子计算好以后分子计算好以后,应该应该因式分解与分母约分因式分解与分母约分把下列各式的分母有理化：把下列各式的分母有理化：22)3(2)32(2622)12)(12(1212 分子分子不要过早的打开不要过早的打开,估计分母估计分母算好后算好后能否与它能否与它约分约分,不能约分再把分子打开不能约分再把分子打开.分子分子,分母分母先因式分解先因式分解,约分约分)3
8、2)(32()32(2:原式解)12(66:原式解)1)(1()1(:2aaaaaa原式解2222)1()()1(12)(aaaaaa)1(122aaaaaa1222aaaababba22)()(:原式解abbaab)(ba23(1)23xyxy+-23(23)(23)(1)23(23)(23)xyxyxyxyxyxy+=-+解：222(23)(2)(3)xyxy+=-491249xyxyxy+=-练习：把下列各式分母有理化练习：把下列各式分母有理化例、化简例、化简100991431321211 分析分析:当分母里二次根式的被开方数都相差当分母里二次根式的被开方数都相差1 1时，如果分母时，如
9、果分母有理化后则变为有理化后则变为1 1或或-1-1，就可将原式变为不含分母的二次根式，就可将原式变为不含分母的二次根式.解：原式解：原式=1991001341231121100 9110)99100)(10099()99100(1)34)(43()34(1)23)(32()23(1)12)(21()12(1例：计算例：计算2210411(1)(2)55111xxxx-+-+-+10 54(51)5(51)(51)+-+解：(1)原式=5(51)-+=251=-222(11)xxxxx=+-+(2)原式)(222(1)xxx=-+2x=-两个或多个分母中两个或多个分母中含有根含有根号的式子相加
10、减号的式子相加减既可以既可以通通分分,也可以各自也可以各自分母有理分母有理化化,哪个简便用哪个哪个简便用哪个）（计算236.322636错解：原式)23)(23()2-36236（原式错解分析：除法没有分配律，本题应分母有理化。32231218231218正解：计算：6252)1(53323253)2(有关二次根式的除法，可先写成分式的形式，有关二次根式的除法，可先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算然后通过分母有理化进行运算11(3)15()3211(3)15()3223615156323 103232323 306 5xxxxxx2122)11)(11(112）（xxxxx212)1
11、(1)1(121例例 计算计算12221111xxxxx解：原式xxxxx212212xx2总结：二次根式的混合运算，要根据算总结：二次根式的混合运算，要根据算式的形式特征安排计算程序，使得计算式的形式特征安排计算程序，使得计算过程相对简便。过程相对简便。练习练习 化简化简babababbababababababbaba原式解:bababbaba11)(2babbaa11baba110)11()(xyxyyx)()(:yxyxyxxyyx原式解xyyxyxyyxyxx)(yxxyxyyx22)()(yxyxyx)(yx 例：计算例：计算2162,332 2xxxx-+=-+已知求132 232
12、 2xx=+=-解：2373xx-=-（）原式22 272 2-=-（）12 2=-24=-(默默7)化简既有化简既有数据数据的化的化简简,也有也有式式子子的化简的化简新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！123a 2221 2211a aaaaaa已知已知，求代数式，求代数式的值。的值。3321321101)1(11)1(,32321:2aaaaaaaaa原式原式解新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！3 2 2 3,3 2 2 3ab223aab b.已知已知，求，求78672)(,6,262abbaabba.b ba aa ab bb ba a,3 32 23 32 2b b,3 3
13、2 23 32 2a a2 22 22 22 2的的值值求求若若 解解:(1).1 13 32 23 32 23 32 23 32 2a ab b,1 14 4)3 32 2()3 32 2(3 32 23 32 23 32 23 32 2b ba a2 22 2 原式原式abab2 2)b ba a()b ba a(abab2 2 2 21 14 41 14 42 2977解不等式解不等式233xx-233xx-解：233x-（）3(23)1x+-3 23 3x-原不等式的解集是原不等式的解集是3 23 3x-1、混合运算的顺序：、混合运算的顺序：二次根式的混合运算顺序与实数运算类二次根式的
14、混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的括号先算括号里面的二次根式的运算二次根式的运算混合运算混合运算2、对于二次根式混合运算，原来学过的所、对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用三、二次根式的运算（混合运算）例、例、计算计算6)5048)(1(650648.原式解310212把二次根式看成把二次根式看成“单项式单项式”，它类似于单项式乘多项式它类似于单项式乘多项式典型例题)6227()2762)(2(22(7 2)2 6)解.原式（742498例、
15、例、计算计算它类似于特殊的多项式它类似于特殊的多项式乘法，可利用平方差公式。乘法，可利用平方差公式。1)109(200520092009(7)(310)(310)2009(310)(310)解.原式例、例、计算计算这里包含了二次根式的这里包含了二次根式的乘方、乘法和加减运算乘方、乘法和加减运算2)5423)(3(22(3 22 3 24 54 5 解.原式）（）80102418102498例、例、计算计算可利用完全平方公式。可利用完全平方公式。)532)(532)(4(222(35)解.原式1524)1528(4例、例、计算计算这要利用平方差和这要利用平方差和完全平方两个公式。完全平方两个公式
16、。(5)5 4806 27320 182例、例、计算计算它类似于多项式除以单项式它类似于多项式除以单项式5 48036 273解.原式5 166 9点评：点评：当被除式与除式的被开方数恰好能整除时，当被除式与除式的被开方数恰好能整除时，这样计算很方便这样计算很方便10 34 66例、例、计算计算它也类似于它也类似于多项式除以单项式多项式除以单项式(6)5 64 33 25 64 325 64 3.3 23 22解原式523633 一样的类型，不一样的解法，应学会选择。一样的类型，不一样的解法，应学会选择。点评：点评：有关二次根式的除法，通常是先写成分式有关二次根式的除法，通常是先写成分式的形式
17、，然后通过化去分母中的根号进行运算的形式，然后通过化去分母中的根号进行运算二次根式的混合运算，要注意：二次根式的混合运算，要注意：1 1、运算顺序；、运算顺序；2 2、灵活运用运算法则；、灵活运用运算法则；3 3、灵活运用运算律和乘法公式简便运算；、灵活运用运算律和乘法公式简便运算；4 4、结果一定要化到最简。、结果一定要化到最简。方法小结方法小结 在二次根式混合运算中，如能结合题在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍恰当的解题途径，往往能事半功倍注意隐含条件注意隐含条件:a、b同为负数同为负数.,
18、1,3的值求已知baababba.311311.0,0,01,03ababbaabbababaabbaabba解解(默默11)babaabbabaab22原式原式原式点评：点评：题目没有直接给出题目没有直接给出a和和b的取值范围，但它隐的取值范围，但它隐含在条件中，不易发现所以在化简二次根式时，挖含在条件中，不易发现所以在化简二次根式时，挖掘隐含在题目中的条件是关键掘隐含在题目中的条件是关键.,1,3的值求已知baababbaabbaabaabbbaabbaab2222)(22)(:解时当1,3abba91)3()(22baab39 baab遇到遇到两个倒数两个倒数的和与差的和与差,要想到要想
19、到完全平方完全平方,因为倒因为倒数的积为数的积为1,中间项是常数中间项是常数，、已知314aa.12的值求代数式aa aaaa112解：71,719213122aaaaaaaa即两边平方，得：将解法212)1()(22aaaa2)1(2aa7232反思提升反思提升若若x2-4x+1=0，求，求 的值的值.5 5x x1 1x x2 22 2 39514原式14242)1(12222xxxxx1x+-4=0 x1x+=4由由x2-4x+1=0已知已知 ，0132 xx求求的值的值.2122xx013:2 xx解013xx31xx2)1(1222xxxx72)3(1222xx5272122xx若若
20、 ，0132 xx求求的值的值.2122xx013:2 xx解013xx31xx2)1(1222xxxx112)3(1222xx132112122xx思想方法思想方法2、类比、类比类比整式运算学习二次根式的运算类比整式运算学习二次根式的运算3、转化、转化灵活运用二次根式的性质进行化简与灵活运用二次根式的性质进行化简与 运算运算1、分类、分类二次根式、最简二次根式、同类二次二次根式、最简二次根式、同类二次 根式的识别根式的识别二次根式二次根式0a a 概念概念最简二次根式最简二次根式同类二次根式同类二次根式性质性质0,0aaabbb0,0abab ab0,0abab ab0,0aaabbb2aa
21、20aa a0a a 0a a运算运算加减，合并同类二次根式加减，合并同类二次根式乘法：乘法：除法：除法：，分母有理化，分母有理化1.1.知识小结：知识小结：1.(2004年年南京市南京市)计算：计算：3.(2004年年山西省山西省)观察下列各式：观察下列各式：请你将猜想到的规律用含自然数请你将猜想到的规律用含自然数n(n1)的代数式表示出来：的代数式表示出来：12123 32 22 2,4 41 13 34 41 12 2,3 31 12 23 31 11 1 2.(2004年年上海市上海市)化简：化简：8 81 14 41 12 21 12 21 18 834 42 2n n1 1)1 1
22、n n(2 2n n1 1n n 5 51 14 45 51 13 3 4.(2004年年沈阳沈阳)下列各式属于最简二次根式的下列各式属于最简二次根式的是是()A.B.C.D.5.(1)化简化简(a-1a-1)的结果是的结果是 .(2)当当x5时，化简时，化简 .(3)(2002年年天津市天津市)若若1x4时，则时，则 =。3 3y y1 1x x2 2 a a1 11 1 a a1 1 4 4x xx xx x8 81 16 62 22 22 2)1 1x x()4 4x x(32x-82x-88 82 21 1B6.（2004 陕西）计算：陕西）计算：3 31 16 627273 32 2
23、1 1 2 23 32 23 33 33 32 23 33 36 63 33 33 32 23 32 23 32 2 ）（）（解：原式解：原式7.(2004年年南昌南昌)化简化简8.直接写出下列各题的计算结果：直接写出下列各题的计算结果：(1)=；(2)；(3)=；(4)(3+)2002(3 )2003=.2 2)2 21 1()9 9()1 16 6(2 22 21 14 45 50 0 1010 10101 10 03 3 11248 5 55 55 55 51 1 9.在在 、中与中与 是同类二次根式的是是同类二次根式的是 、.50501 12 27 71 175756 61 12 21
24、 12 22 27 71 1757510 计算：计算：(1)(2)2 22 2)6 63 32 2()6 63 32 2()632()632(解：解：(1)原式原式=(4)原式原式=)6 63 32 26 63 32 2)(6 63 32 26 63 32 2(22464)1232(22)63(2)6 63 3(2 2 2 22 2)6 63 3()2 2(3 31 12 23 37 7)3 36 63 31 12 23 3(2 2 11.计算：计算：3151545 21 2 3 33 3 23 23 245 3 25 3 4 3333 6 3 6 5 33222312252 5 3 23 2
25、 25 30 3 184330 3 2131 2322323 13 13 16222323232322314 4 3 3 7 4 3 将下列各式分母有理化将下列各式分母有理化7 57(1)5 75()(3)()x xyyxy(22)(33)(2)(21)(31)把下列各式分母有理化把下列各式分母有理化,从结果中找出规律从结果中找出规律,并并利用规律计算利用规律计算的值的值.3 34 41 13 3;2 23 31 12 2;1 12 21 11 11 12 20 01 11 1)2 20 01 10 02 20 01 11 11 13 34 41 12 23 31 11 12 21 1(把下列
26、各式分母有理化把下列各式分母有理化,从结果中找出规律从结果中找出规律,并利用规律计算并利用规律计算 1 12 20 01 11 1)2 20 01 10 02 20 01 11 11 13 34 41 12 23 31 11 12 21 1(3 34 41 13 3;2 23 31 12 2;1 12 21 11 1 解：解：同理可得：同理可得：11(21)211212 121(21)(21)11(32)322323232(32)(32)11(43)433434343(43)(43)把下列各式分母有理化把下列各式分母有理化,从结果中找出规律从结果中找出规律,并利用规律计算并利用规律计算 1 1
27、2 20 01 11 1)2 20 01 10 02 20 01 11 11 13 34 41 12 23 31 11 12 21 1(3 34 41 13 3;2 23 31 12 2;1 12 21 11 1 解：解：213243201120102011 12011 12010 1 12 20 01 11 1)2 20 01 10 02 20 01 11 11 13 34 41 12 23 31 11 12 21 1(方法提炼方法提炼：本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的分母有理化后就可以达到化简的目的 化去分母中
28、的根号的关键是选择一个适当化去分母中的根号的关键是选择一个适当的的数数(或或代数式代数式),),用这个数用这个数(或代数式或代数式)去去乘乘分分式的分子和分母式的分子和分母,可以使分母不含根号可以使分母不含根号.这个这个数数(或或代数式代数式)叫叫有理化因式有理化因式.分母的有理化因式不是唯一的分母的有理化因式不是唯一的,应学会选应学会选择最简单的择最简单的.思路启迪：思路启迪：计算计算:2244314321aaaaaaa 计算计算:2244314321aaaaaaa.2(0)(0)aaaaa a方法提炼：方法提炼：(1)(1)注意二次根式的基本性质要由注意二次根式的基本性质要由a a的取值范
29、围确定的取值范围确定,即即(2)00ababab成立的条件是,因此因此,在应用这些性质化简含二次根式的式子时在应用这些性质化简含二次根式的式子时,要注要注意上述条件意上述条件,并要阐述清楚是怎样满足这些条件的并要阐述清楚是怎样满足这些条件的 10,30,1,aaa22(2)313122113113aaaaaaaaaaaa解解:注意字母的范围注意字母的范围,从而从而达到化简的目的。达到化简的目的。231112131110aaaaaaaa 2224431(2)3143213211aaaaaaaaaaaaa22,(1)(3)0aaaa点评：点评：题目没有直接给出题目没有直接给出字母字母 a 的取值范
30、围，的取值范围，但它隐含在条件中，不易发现所以在化简二但它隐含在条件中，不易发现所以在化简二次根式时，挖掘隐含在题目中的条件是关键次根式时，挖掘隐含在题目中的条件是关键32233(5);2232221、计算：、计算：132(1)9 45 32;52321(2)18 4;22 1(3)3 3 263 3 26;(4);mmmnnn45 6;22;96 2;1;n13623;222、化简：、化简：222(1)7546;9bb xaa xa3(2)23 88;4xxx22(3).babaabab7452;abaabxa132;42x4.新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！巩固提高：巩固提高：22
31、12125420.2551.计算下列各式计算下列各式(1)22(31)(31)(31)(31)(2)22(21),(21)xy22xyxy3.已知已知，求，求的值。的值。554551552525解原式62324324解原式1733462)(61,6,223,223222xyyxyxyxxyyxyx解解解:22200420042004xxyy2222004(2004)(2004)(2004)yyyyyy22222004(2004)2004yyyy22004(2004)2004yy22004yy 22004xx22004yy 22200420040 xyxy即即已知已知求求22(2004)(200
32、4)2004xxyy22567764xxyyxy解解:22200420042004yyxx2222004(2004)(2004)(2004)xxxxxx22222004(2004)2004xxxx22004(2004)2004xx22004xx 22004yy22004xx 22200420040yxyx即即已知已知求求22(2004)(2004)2004xxyy22567764xxyyxy22200420040 xyxy已知已知求求22(2004)(2004)2004xxyy22567764xxyyxy22200420040yxyx+得得220 xy0 xy2267764xxyyxy(6)()7()64xy xyxy=64
