1、 几何学：第5公设公理化方法 欧几里得与原本 第五公设 从欧几里得到兰伯特 非欧几何学的创立 罗氏几何学与黎氏几何学 公理化方法的发展 欧几里得与原本一欧几里得二原本 欧几里得与原本 一欧几里得：Euclid （约 BC330 BC275）生于雅典，曾为柏拉图的门徒，B.C.300年左右来到亚历山大里亚，后来成为当时“艺术宫”的主持。两则传说：“国王在几何学的国度里无专道”；“给他三个钱币，他要的就是这！”十部著作：原本，数据，二次曲线，辩伪术，论剖分，衍论，曲面轨迹，光学，镜面反射，现象。二原本：（Elements ）版本：888年希腊文抄本，1294年拉丁文手抄本，1350年阿拉伯文手抄本
2、，1480年最早拉丁文印刷本，1570年英译本，1607年、1857年、1990年中译本，1655年Barrow拉丁文译本，1925年T.LHeath英译本。内容：巴比伦 古埃及 泰勒斯 毕达哥拉斯 厄利亚学派 毕达哥拉斯学派 希波克拉底 欧多克索 西艾泰德斯 1 3 4 6 5 7 12 10 11 13 2 8 9 卷 内容 定义 公设 公理 命题 1 直线形 23 5 5 48 2 几何代数法 2 14 3 圆 11 37 4 多边形 7 16 5 比例论 18 25 6 相似形 4 33 7 数论 22 39 8 数论 0 27 9 数论 0 36 10 不可公度比 4 47 6 37
3、 6 31 11 立体图形 28 39 12 求积术 0 18 13 正多面体 0 18 特征：1大量引用古希腊古典时期数学家的数学成就；2采用独特的编写方式：先给出定义，公设，公理，再由简到繁，由易到难地证明一系列命题；首次用公理化方法建立数学知识逻辑演绎体系，成为后世西方数学的典范。公理：1等于同量（thing）的量彼此相等。2等量加等量，其和相等。3等量减等量，其差相等。4彼此能重合的物体（thing）是全等的。5整体大于部分。公设：1由任意一点到任意一点可作直线。2一条有限直线可以继续延长。3以任意点为心任意距离可以画圆。4凡直角都相等。5平面内一条直线与另外两条直线相交，若在某侧的两
4、个内角和小于二直角，则这二直线延长后在该侧相交。第五公设从欧几里得到兰伯特 用现代数学公理化方法的标准来衡量，原本的公理体系存在严重缺陷。例如：原本第1卷 命题16：在任意三角形中，若延长一边，则外角大于任何一个内对角。鉴于此，有人把第 5 公设也作为一个缺陷，试图用其他公理，公设或定理证明它，以至将它取消。例1Proclus（4世纪）证明第5公设。已知：直线 c 与直线 a、b相交，且直线 c右侧内角和小于两直角。求证：直线 a、b在直线 c 的右侧必然相交。证明：过 P 作 a使 =，可以证明 a b，在直线 a 上任取一点 M，当 M 无限远离 P，M 到直线 a 的距离 h 无限增大；
5、若两平行线间距离有限；则当 h 等于两平行线间距离时，a 与 b 必然相交。设 a，b 与 c相交，且 c 右侧有：2+3 2d 1+4 2d 2+3=2d 1+4=2d 3+4=2d 1=3 2=4 假设 a 与 b 相交于 c 的右侧或左侧,均与以上等式矛盾,a b，由 Playfair 公理，过直线外一点，只能做一条直线与已知直线平行。所以,a 与 b 相交；假设 a，b 相交于 c 的左侧，则 3 1 与 31矛盾，故 a，b 相交于 c 的右侧。例2Playfair(1795)公理第5公设例3Legendre(17521833)的工作：定义：对于三角形ABC，内角和 ()=A+B+C
6、，偏差()=-()；证明：（）=Playfair公理 第 5 公设。Pash公理：设直线 a 不通过不在一条直线上的三点A，B，C，当 a 与 AB 相交时；a 与 AC 或 BC 相交，二者必居其一。引理：1任意 ABC的两个内角和小于 2对于 ABC的B，DBC，能使(ABC)=(DBC)，且存在一个内角 (1/2)B.3 ()，()0 4若 ABC=ABD+BDC,则(ABC)=(ABD)+(BDC).5若 ABC=ABC+BCCB，则(ABC)(ABC)6若 Rt ABC,Rt ABC,满足AB AB,AC AC,且(RtABC)=，则 (RtABC)=思路：1若 Rt*，(Rt*)=
7、，则 Rt，(Rt)=2若 Rt，(Rt)=，则 *，(*)=3若 *，(*)=，则 ，()=4若 ，()=，则 第 5 公设成立。任取锐角AOB，在OA上任取一点A1，作A1B1 OA，交OB 于B1；再取A1A2=OA1，作A2B2OA，交OB于B2；最后取An-1An=OAn-1，作AnBn OA，交 OB 于 Bn；由引理3(RtA1OB1)0，假设(RtA1OB1)=0，则(A2A1B1)=0，由引理4(A2OB2)2，(A3OB3)2 (AnOBn)2n-1，当n充分大，(AnOBn)，而(AnOBn)=-(AnOBn)，矛盾。故=0，即(RtA1OB1)=0，(RtA1OB1)=
8、。Playfair公理：过直线外一点，只能做一条直线与已知直线平行。设 A 是直线 a 外任一点，作 AB a，过 A 作 a AB，则 aa，过 A 作 ba，不妨设 ()。以下欲证 b 与 a不平行：作AB=BB1，AB1=B1B2，AB2=B2B3，ABn-1=Bn-1Bn，()=，BB1A=/4,，B1B2A=(1/2)/2，B2B3A=(1/2)/2 Bn-1BnA=(1/2)n /2 故 BABn=/2-(1/2)n /2 由于/2，0，使=/2-，而 n 充分大时(1/2)n/2。BABn，即 b 夹在BABn的两边AB，Abn之间。假设在AABn中，DAB=BABn+BnAD
9、BABn。在 BABn中，b过AB上的A，但不会过ABn上的点。否则，b交ABn于D点，=BAD=BABn+BnADBABn，与BABn矛盾。由Pasch公理，b不过ABn，必过BBn，即b与a交于AB右侧。例4Saccheri（16671733）Lambert（17281777）结论：1）Sa /2 La /2 2）Sa =/2 第5公设 La =/2 第5公设 3）Sa /2()La /2()4）若 Sa使Sa /2 若 La使 La /2 则 Sa有Sa /2 则 Sa有 La /2 非欧几里得几何的创立一、先兆二、创立 非欧几里得几何的创立 一先兆：受 Saccheri，Lambert
10、 的影响；Schawikart，Ferdinad Karl(1780 1859)1818年给Gauss征求意见备忘录提出：星空几何()，非欧几何；Taurinus，Franz Adolf(1794 1874)研究星空几何学,著有平行线论（1825），几何学原理初阶（1826）；承认第5公设不可以被证明，只能建立起逻辑上相容的几何学，但是不敢否定“空间几何学唯有欧几里得几何学”的观点，只是为了完善欧几里得几何学。二创立：Gauss，Carl Friedrich（1777 1855）德国哥廷根大学 1799年12月17日给Bolyai，Wolfgang（1775 1856）写信 认为第5公设不能被
11、证明；1813年称自己研究的几何学为非欧几里德几何学；1817年给Olbers，HWM 写信：我越来越深信，我们不能证明当前的几何学具有必然性，至少不能用人类理智，也不能给予人类理智以这种证明。或许在另一个世界中我们可以洞察空间的性质，而现在这是不能达到的。直到那时我们决不能把几何与算术相提并论，因为算术是纯粹先验的。但可以把几何与力学相提并论，几何公理、公设与力学定律一样，是经验的总结。1824年给 Taurinus 的信：三角形内角和小于 ，这个假定引向一种特殊的与我们的几何学是完全不同的几何学。但是这种几何学是完全相容的，当我发展它的时候，结果完全令人满意。除了某个常数的值不能先验地定义
12、而外，在这种几何学中我能解决任何问题。这个常数值越大，则越接近欧几里得几何学，而它的无穷大值会使双方系统合而为一。Bolyai，Johann（18021860）匈牙利人，维也纳工学院学习。1823年11月23日给父亲的信：“我发现了一个乌有的世界”1825年关于一个与欧几里得第5公设无关的空间和绝对真实的学说（26页）；1832年作为其父亲著作的附录发表。Lobaceviskii，Nikolai Ivanovic(1792 1856)俄国 喀山大学 1816 1817 年证明第 5 公设不成，致力于新几何学创立；1826年2月12日宣读论文平行线理论和几何学原理概论及证明的概要，但未公开发表；
13、1829年第一次公开发表几何学原理载喀山通报；1835年发表平行线理论的几何学探讨虚几何学；1855年发表泛几何学。Beltrami，Eugenio(1835 1900)意大利 罗马大学 1868(一说1863)年非欧几里得几何学解释尝试：0 球面 黎氏几何学 常曲率曲面 0 伪球面 罗氏几何学 =0 平面 欧氏几何学 高斯，1777年4月30日出生在德国布伦斯威克的一个贫穷的自来水工人家庭。高斯的舅舅很有才能，经常尽其所能地教高斯各种知识，对幼年的高斯影响很大。高斯的父亲原本不打算让高斯上学，由于童年的高斯表现出非凡的数学才华，在高斯7岁时还是上了小学。1787年高斯上四年级，有一次数学老师
14、要求全班学生计算从1到100的正整数的和。当老师刚刚解释完题目，年仅10岁，班上年龄最小的高斯就把写有答案5050的石板交给老师。其他学生虽然陆续交了卷，但是全都错了。这个故事被广泛流传着。1791年经校长推荐，14岁的高斯得到一位公爵的赏识和资助，被送到布鲁林学院学习。这个学院的教师巴尔特斯发现了高斯的数学天才，就与高斯一起研读牛顿、拉格朗日、欧拉等著名数学家的著作。高斯的发展势头很好，那位公爵又资助高斯于1795年进入哥廷根大学学习，1798年转入赫尔姆什塔特大学，在那里受到老师帕夫的器重，后来他们成了好朋友。1807年起，高斯成为哥廷根大学常任教授和天文台台长，直到1855年2月23日去
15、世。高斯是一位科学天才，他勤奋努力，刻苦钻研，治学严谨，所以他的成果涉及几乎所有的数学领域，并且他还是许多数学分支学科的开创者和奠基人。比如，他证明的代数基本定理，奠定了方程论的理论基础；1801年出版的算术研究，开启了数论研究的新时代；1827年著述的曲面的一般研究，是近代微分几何学的开端；他建立的正态分布曲线和最小二乘法，统计学广为应用；他是非欧几何学的创立者之一。在天文学、测地学、电磁学领域也作出不朽贡献。高斯对人类科学事业的贡献，不仅在于他的论著数量之多，更重要的是他的工作为19世纪数学发展奠定了基础。他既是一位卓越的古典数学家，又是一位杰出的现代数学家。1796 年3月30日，19岁
16、的高斯发现用直尺和圆规作正17 边形的可能性，非常得意，从此坚定了他研究数学的信心。1799年高斯给出代数学基本定理的第一个证明，因此而获得博士学位。但他并不满足，又于1815、1816和1850年相继给出更漂亮的证明。可见高斯的科学态度和执着精神。罗氏几何学与黎氏几何学一、罗氏几何学举例二、黎氏几何学模型 罗氏几何学与黎氏几何学 一罗氏几何学举例：公理：过直线外一点至少可以引两条直线与已知直线不相交。1AE 与 a 没有公共点。否则，假设交于 P，可在a 上 P 的右边再取一点M*，连AM*：*=DAP DAM*=，矛盾。2*/2。否则，假设*=/2，AEAD，AE是AD上过A唯一垂线，除
17、AE 之外过 A 的任意一条射线与 AD 构成的角 *都不是 极限值，AE成为过A唯一与a不相交直线，矛盾。单调递增有界，/2，当DM时，*AE 为割线AM的极限位置。二黎氏几何学模型：1854年 Riemann，Geog Friedrich(1826 1866)在高斯的安排下，向哥廷根大学全体教授作了题为 关于作为几何学基础的假设的讲演，1868年正式出版成书。假设球半径无限大，则球面成平面，球面上的大圆为直线：1同一平面内两条直线必相交；2直线无限但长度有界；3()。公理化方法的发展一、公理化方法二、历史发展三、欧几里得几何学的希尔伯特公理体系 公理化方法的发展 一公理化方法：选取少数不加
18、定义的原始概念和无条件承认的相互制约的规定，再以严格的逻辑演绎，使某一个数学分支成为一个逻辑整体。基本概念 本质内涵和相互关系；公理体系 相容，独立，完备。二历史发展：1实体公理体系的产生：公元前3世纪，以亚里士多德逻辑为基础，按三段论式的演绎方法，欧几里得在原本中，建立了第一个数学知识的公理体系。欧几里得的公理，是建立在直观经验的基础上而自明的，其研究的对象及其性质和相互关系是唯一的，并且先于公理而具体给定的，所以称之为实体公理体系。2抽象公理体系的完善：19世纪中叶，非欧几里得几何学的创立，动摇了公理是自明的传统观念。人们认识到，直观经验并不能作为数学的依据，只有合乎逻辑的正确思维的结论就
19、是可信的。人们还认识到，在一个数学系统中一定存在不可判断真伪的命题。3形式公理体系的形成：形式公理体系的研究对象及其性质和相互关系不是唯一的，其公理系统要满足相容性，独立性，完备性，而且它们表述的也是研究对象及其性质和相互关系。希尔伯特的几何基础（1899年），给出欧几里得几何学的公理体系，是第一个形式公理体系的代表作。4纯粹形式系统的发展：形式公理体系的进一步发展是形式系统，这是希尔伯特首先提出并建立起来的。所谓纯粹形式系统，是由初始的逻辑符号、函数符号以及个体变项，形成项和公式的规则，公理规则和变形规则，即用形式语言和公式集合构成完全符号化、抽象化的公理体系。20世纪，“元数学”的产生就是纯粹形式系统发展的标志。三欧几里得几何学的希尔伯特公理体系：希尔伯特公理体系基本概念基本元素（点，直线，平面）基本关系（结合，顺序，合同）公 理结合公理（1 8）顺序公理（1 4）合同公理（1 5）平行公理（1）连续公理（1 2）
