1、第四节一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点函数的单调性与 曲线的凹凸性 第四四章 二、函数的极值二、函数的极值二、最值问题二、最值问题一、一、函数单调性的判定法函数单调性的判定法若定理定理 1.设函数)(xf0)(xf则 在 I 内单调递增)(xf,)0)(xf(递减).证证:无妨设,0)(Ixxf任取)(,2121xxIxx由拉格朗日中值定理得)()()(1212xxfxfxf),(21xxI0故.)()(21xfxf这说明 在 I 内单调递增.)(xf在开区间 I 内可导,机动 目录 上页 下页 返回 结
2、束 证毕注意：()(,)()0()0),()0()(,)f xa bfxfxfxf xa b若在内连续，而且使的点是一些离散的点，则在内单调增加（单调减少）sin1yxx证 明是 单例调 增 函 数.2()yxkkN且仅 在 离 散 点等 于 0,sinyxx是 单 调 增 函 数,sin(,)1cos0,(,)yxxxyxx ,证 明例例2.确定函数31292)(23xxxxf的单调区间.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)(xf得2,1xxx)(xf)(xf)1,(2001)2,1(),2(21故)(xf的单调增单调增区间为,)1,();,2()(xf的单调减单调减区间
3、为).2,1(12xoy12机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxo说明说明:1)单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,),(,32xxy332xy 0 xy32xy 2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,),(,3xxy23xy 00 xyyox3xy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 确定函数单调区间的方法和步骤确定函数单调区间的方法和步骤:(1)确定函数确定函数)(xfy 的定义域的定义域;的点的点(驻点驻点)和和(2)求求),(xf 找使找使0)(xf)(xf 不存在的点不存在的点;(3)以以(2)中所找点为分界点中所找点为分界点,将定义域分
4、割成部分区间将定义域分割成部分区间,判断在每一区间上导数的符号，由定理得出结论。判断在每一区间上导数的符号，由定理得出结论。解解 (1)定义域定义域 ,32)25()(xxxf例例3 确定函数确定函数的单调区间的单调区间.(2)(xf 332132)25(xxx3135xx 0)(xf令令,11x,得得当当02x时时,)(xf 不存在不存在,(3)列表列表:x)(xf)(xf)0,()1,0(),1(增增减减增增函数函数)(xf的单增区间为的单增区间为:0,().,1(单减区间为单减区间为:.1,0(例例4.证明20 x时,成立不等式.2sinxx证证:令,2sin)(xxxf,2,0()(上
5、连续在则xf，上可导在)2,0(2sincos)(xxxxxf)tan(cos2xxxx1xtanx0,)2,0()(内单调递减在因此xf从而2,0(,2sinxxx0)2()(fxf,2)(处左连续在又xf因此且证证证明 目录 上页 下页 返回 结束*证明0tanxx令,tan)(xxx则xx2sec1)(x2tan),0(,02x,),0()(2上递减在x从而0)0()(x即),0(,0tan2xxx例例5 证明不等式证明不等式)1(132 xxx证明证明 令令1()2(3)f xxx)(xf)1(12xxx)1()(fxfxxx132 1 时，即211xx0)(xf),1,即即)(xf在
6、在上单增上单增,当当1x时时,0,当当1x时时,5xxe证明:方程=2在(0,1)内有且仅例有一个实根.()()0,1(0)20,(1)20.()0,()0 xfxxefxffeffx 设-2,因在上 连 续，且由 零 值 定 理，在(0,1)内 至 少 存 在 一 点使即在(0,1)内 至 少 有 一证 明个 实 根.()(1)0(01),()()xfxexxfxfx又因为所以因在(0,1)内单调增加，于是在(0,1)内至多有一个零点.()()2xfxfxxe综上,在(0,1)内只有一个零点，即方程=0,亦即在(0,1)内仅有一个实根.(),(,)()0,()()(,6)f xa ba bf
7、xf xf aa bxa设在上连续，且在内证明在例内单调增加.()()(),(,)f xf aF xxa bxa设证明2()()()()()()fxxaf xf aFxxa(),f xa b在上满足拉格朗日中值定理,()()()()f xf afxaax,(,)()0 xa bfx又当时，()(,)fxa b在内单调递增.()()bxafxf故 当时，2()()()()()()()()0,fxxafxaFxxafxfxa而()()()(,)f xf aF xa bxa在内单调递增.AB定义定义.设函数)(xf在区间 I 上连续,21Ixx(1)若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称
8、的)(xf图形是凹凹的;(2)若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称的)(xf连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点拐点.图形是凸凸的.yox2x1x221xx yox1x221xx 2xyox二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2.(凹凸判定法)(xf(1)在 I 内,0)(xf则 在 I 内图形是凹的;)(xf(2)在 I 内,0)(xf则 在 I 内图形是凸的.)(xf证证:,21Ixx利用一阶泰勒公式可得)()(1fxf221xx!2)(1f 21)(x221xx)()(2fxf221xx)(f 221xx)(2x221xx!2
9、)(2f 22)(x221xx 两式相加两式相加)(2)()(21fxfxf221xx 22!21)(12xx)()(21ff ,0)(时当 xf),(2)()(21fxfxf221xx 说明(1)成立;(2)(f 221xx)(1x221xx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数在区间I 上有二阶导数证毕推论推论 (,)()0()0).()0()(,)a bfxfxfxyf xa b如果在区间内恒有或且使得的点只是一些离散的点，则函数曲线在区间内上凹（或下凹）)1(ln(1)fxxx判 定 曲 线例的 凹 向.211()1()0,1(1)fxfxxx因,所以函数曲线在定义解域-1,+内
10、上凹.例例2.判断曲线4xy 的凹凸性.解解:,43xy 212xy 时，当0 x;0 y,0时x,0 y故曲线4xy 在),(上是向上凹的.说明说明:1)若在某点二阶导数为 0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线)(xfy,0连续在点x0)(0 xf或不存在,但)(xf 在 两侧异号异号,0 x则点)(,(00 xfx是曲线)(xfy 的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,xyo机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.求曲线3xy 的拐点.解解:,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在0因此点(0,0)为曲线3xy 的拐点.o
11、xy凹凸机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxy24362)(3632xx例例4.求曲线14334xxy的凹凸区间及拐点.解解:1)求y,121223xxy2)求拐点可疑点坐标令0 y得,03221xx对应3)列表判别271121,1yy)0,(),0(32),(32y xy0320012711故该曲线在)0,(),(32及上向上凹,向上凸,点(0,1)及),(271132均为拐点.上在),0(32凹凹凸机动 目录 上页 下页 返回 结束 32)1,0(),(271132)0,5/1()5/1,()(0,0 5/1xyy 0上凹上凹下凹下凹上凹上凹有拐点有拐点无拐点无拐点 综上综上,曲线在曲
12、线在)5/1,(上为下凹上为下凹;点点32556,51是拐点是拐点.),(yy 0 y 令令,5/11x得得32)1(xxy的拐点及凹凸区间的拐点及凹凸区间.例例5 求曲线求曲线解解 定义域为定义域为:,32353132xx343192910 xx341592xx 02x当当时时,y 不存在不存在.不存在不存在在在上为上凹上为上凹.)(-1/5,内容小结内容小结1.可导函数单调性判别Ixxf,0)()(xf在 I 上单调递增Ixxf,0)()(xf在 I 上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别Ixxf,0)(上向上凹在曲线Ixfy)(Ixxf,0)(+上向上凸在曲线Ixfy)(拐点 连续曲线上有切
13、线的凹凸分界点机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、函数的极值及其求法函数的极值及其求法定义定义:,),()(内有定义在设函数baxf,),(0bax，的一个邻域若存在0 x在其中当0 xx 时,)()(0 xfxf(1)则称 为 的极大点极大点,0 x)(xf称 为函数的极大值极大值;)(0 xf,)()(0 xfxf(2)则称 为 的极小点极小点,0 x)(xf称 为函数的极小值极小值.)(0 xf极大点与极小点统称为极值点极值点.注意注意:3x1x4x2x5xxaboy41,xx为极大点52,xx为极小点3x不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.1)函数的
14、极值是函数的局部性质.31292)(23xxxxf1x为极大点,2)1(f是极大值 1)2(f是极小值 2x为极小点,12xoy12机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 1(极值第一判别法极值第一判别法),)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,0时由小到大通过当xx(1)(xf“左左正正右右负负”,;)(0取极小值在则xxf(2)(xf“左左负负右右正正”,.)(0取极大值在则xxf(自证)点击图中任意处动画播放暂停例例1.求函数求函数32)1()(xxxf的极值.解解:1)求导数32)(xxf3132)1(xx35235xx2)求极值可疑点令,0)(xf得;521x
15、令,)(xf得02x3)列表判别x)(xf)(xf0520033.0)0,(),0(52),(520 x是极大点，其极大值为0)0(f是极小点，其极小值为52x33.0)(52f定理定理2(极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数,且处具有在点设函数0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)()1(0 xf若则 在点 取极大值;)(xf0 x,0)()2(0 xf若则 在点 取极小值.)(xf0 x证证:(1)(0 xf 00)()(lim0 xxxfxfxx0)(lim0 xxxfxx,0)(0知由 xf存在,0,00时当xx0)(0 xxxf时，故当00 xxx;0)(xf时，当00
16、xxx,0)(xf0 x0 x0 x由第一判别法知.)(0取极大值在xxf(2)类似可证.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求函数1)1()(32 xxf的极值.解解:1)求导数,)1(6)(22xxxf)15)(1(6)(22 xxxf2)求驻点令,0)(xf得驻点1,0,1321xxx3)判别因,06)0(f故 为极小值;0)0(f又,0)1()1(ff故需用第一判别法判别.,1)(左右邻域内不变号在由于xxf.1)(没有极值在xxf1xy1定理定理3(判别法的推广判别法的推广)阶导点有直到在若函数nxxf0)(,0)()()(0)1(00 xfxfxfn,0)(0)(xfn则:
17、数,且1)当 为偶数时,n,0)(0)(时xfn0 x是极小点;,0)(0)(时xfn0 x是极大点.2)当 为奇数时,n0 x为极值点,且0 x不是极值点.)()()(000 xxxfxfxfnnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0 xfxf)(0nxxonnxxnxf)(!)(00)(当 充分接近 时,上式左端正负号由右端第一项确定,0 xx故结论正确.证证:利用 在 点的泰勒公式,)(xf0 x可得例如例如,例2中1)1()(32 xxf,)35(24)(2 xxxf0)1(f所以1x不是极值点.极值的判别法(定理1 定理3)都是充分的.说明说明:当这些充分条件不满足时,
18、不等于极值不存在.例如例如:)(xf,)sin2(212xx,20 x0 x2)0(f为极大值,但不满足定理1 定理3 的条件.xy11机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题,)(上连续在闭区间若函数baxf则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到.求函数最值的方法求函数最值的方法:(1)求 在 内的极值可疑点)(xf),(bamxxx,21(2)最大值 maxM,)(1xf,)(2xf,)(,mxf,)(af)(bf最小值 minm,)(1xf,)(2xf,)(,mxf,)(af)(bf特别特别:当 在 内只有一个极值可疑点时,)(xf,ba 当 在
19、上单调单调时,)(xf,ba最值必在端点处达到.若在此点取极大 值,则也是最大 值.(小)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点.(小)1292(2 xx1224)9(209681012922xx )(xxf041x250 x041x250 x例例3.求函数xxxxf1292)(23在闭区间,2541上的最大值和最小值.解解:显然,)(2541Cxf且)(xf,)1292(23xxx,129223xxx)(xf121862xx121862xx内有极值可疑点在,)(2541xf2,1,0321xxx,3)(321941f,0)0(f,5)1(f,4)2(f5)(
20、25f故函数在0 x取最小值 0;在1x及25取最大值 5.,)2)(1(6xx,)2)(1(6xx251241机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此也可通过例例3.求函数说明说明:)()(2xfx)(x求最值点.)(xf与最值点相同,由于)(x令(自己练习)xxxxf1292)(23在闭区间,2541上的最大值和最小值.(k 为某一常数)例例4.铁路上 AB 段的距离为100 km,工厂C 距 A 处20AC AB,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5,为使货D 点应如何选取?20AB100C解解:设,(km)xAD x则,2022xCD)1
21、00(320522xkxky)1000(x,)34005(2xxky23)400(40052xky 令,0 y得,15x又,015 xy所以 为唯一的15x极小点,故 AD=15 km 时运费最省.总运费物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点,问DKm,公路,清楚(视角 最大)?观察者的眼睛1.8 m,例例5.一张 1.4 m 高的图片挂在墙上,它的底边高于x4.18.1解解:设观察者与墙的距离为 x m,则x8.14.1arctan,8.1arctanx),0(x222.32.3x228.18.1x)8.1)(2.3()76.5(4.122222xxx令,0得驻点),0(4.2x根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚.问观察者在距墙多远处看图才最
