1、多面体外接球的半径的求法多面体外接球的半径的求法一、直棱柱与球一、直棱柱与球球与正方体的球与正方体的“切切”“”“接接”问题问题正方体的内切球直径正方体的外接球直径与正方体所有棱相切的球直径 若正方体的棱长为a，则中截面中截面球的外切正方体的棱长等于球直径。球的外切正方体的棱长等于球直径。ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O中截面中截面正方形的对角线等于球的直径。正方形的对角线等于球的直径。.ABCDD1C1B1A1OA1AC1CO对角面对角面2R球的内接正方体的对角线等于球直径。球的内接正方体的对角线等于球直径。正方体的内切球直径正方体的外接球直径与正方体所有棱相切的球直径
2、若正方体的棱长为a，则 a3a2a 有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.多面体外接球的半径的求法多面体外接球的半径的求法 方法一：直接法直接法 方法二：构造直角三角形构造直角三角形 方法三：补形补形一、直接法一、直接法A1AC1CO2010 年文(7)设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（A）3a2（B）6a2（C）12a2（D）24a2直
3、接法的使用技巧2222abclabcR设长方体的长、宽、高分别为、，则,23aRa设正方体的边长为则有变式变式1：小结小结1如何求直棱柱的外接球半径呢？（1）先找外接球的球心：）先找外接球的球心：它的球心是连接上下两个多边形的它的球心是连接上下两个多边形的外心外心 的线段的中点；的线段的中点；（2）再构造直角三角形，勾股定理求解。再构造直角三角形，勾股定理求解。二、构造直角三角形二、构造直角三角形2211OBOOO B构造直角三角形使用技巧构造直角三角形使用技巧22,r,2llRr设柱体的高为 底面外接圆的半径为 则有任意直棱柱的外接球任意直棱柱的外接球圆柱的外接球圆柱的外接球构造直角三角形使
4、用技巧构造直角三角形使用技巧圆锥的外接球圆锥的外接球22,r,hRrhR设椎体的高为底面外接圆的半径为 则有正棱椎的外接球正棱椎的外接球构造直角三角形使用技巧构造直角三角形使用技巧22,r,hRrhR设椎体的高为底面外接圆的半径为 则有球心在几何体外部球心在几何体外部ACBPO O a 例3：若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是三、三、补形法补形法,DAABCABBC DAABBCOABCDaO变式：已知球 的面上四点、，则球 的体积等,于平面，三、三、补形法补形法226.4Ra将正四面体放到正方体中，得正方体的棱长为a,且正四面体的外接球即正方体的外接球，所以 -a
5、P ABC例4：求棱长为 的正四面体的外接球的表面积。三、三、补形法补形法ABCDOABCDO正四面体外接球的半径正四面体外接球的半径正方体外接球的半径正方体外接球的半径难点突破：如何求正四面体的难点突破：如何求正四面体的外接球半径外接球半径法法2.补成正方体补成正方体222222222123322bbcabcR将正四面体放到长方体中，边长为a,b,c,则有：aca ABCDAB=CD=2AC=BD=3AD=BC=1变式：四面体，求其外接球体积三、三、补形法补形法三、三、补形法补形法 5P-ABCABCPA=8PB=PC=73AB=3例：已知三棱锥中，三角形为等边三角形，且，则其外接球的体积为
6、补形法的使用技巧补形法的使用技巧根据题中给出的线面位置关系，将其放到特殊的几何体中，转化为直接法或构造直角三角形法。直接法的使用技巧Rcbalcba2222，则、分别为设长方体的长、宽、高a,23Ra设正方体的边长为则有构造直角三角形使用技巧构造直角三角形使用技巧22,r,2llRr设柱体的高为 底面外接圆的半径为 则有任意直棱柱的外接球任意直棱柱的外接球圆柱的外接球圆柱的外接球构造直角三角形使用技巧构造直角三角形使用技巧椎体的外接球椎体的外接球22,r,hRrhR设椎体的高为底面外接圆的半径为 则有补形法的使用技巧补形法的使用技巧根据题中给出的线面位置关系，将其放到特殊的几何体中，转化为直接法或构造直角三角形法。
