1、2.4.1 2.4.1 函数微分的概念函数微分的概念2.4.2 2.4.2 微分的计算微分的计算2.4.3 2.4.3 微分形式的不变性微分形式的不变性2.4.4 2.4.4 微分的应用微分的应用)(xfy x若给定函数在点处可导若给定函数在点处可导,根据根据导数定义有导数定义有)(lim0 xfxyx.由定理由定理1.21.2知，其中是当知，其中是当 时的无穷小量，上式可写作时的无穷小量，上式可写作)(xfxyxxxfy)(.(2.4.1).(2.4.1)0 x2.4.12.4.1 函数微分的概念函数微分的概念返回返回1/16上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页(2.4.1)(2
2、.4.1)式表明函数的增量可以表示为两项之式表明函数的增量可以表示为两项之和第一项和第一项 是的线性函数，第是的线性函数，第二项，二项，当当 时是比时是比 高阶的无穷高阶的无穷小量因此，当小量因此，当 很小时，我们称第一项很小时，我们称第一项 为为 的线性主部，的线性主部，并叫做函数并叫做函数的微分的微分xxa0 xxxxxf)(xxf)(y)(xf2.4.12.4.1 函数微分的概念函数微分的概念返回返回2/16上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页定义定义2.32.3设函数在点设函数在点 处有处有导数，则称为在点导数，则称为在点处的微分，记作，即处的微分，记作，即)(0 xf x
3、xf)(0)(xfy)(xfy 0 x0 xydxxfy)(d0，(2.4.2)(2.4.2)此时，称此时，称 在点在点 处是可微的处是可微的.)(xfy 0 0 x例如，函数例如，函数 在点处的微分为在点处的微分为3xy 2xxxxxxyxx123)(d22232.4.12.4.1 函数微分的概念函数微分的概念返回返回3/16上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页函数在任意点的微分，叫做函数在任意点的微分，叫做函数的微分，记作函数的微分，记作)(xfy xxxfy)(d(2.4.3)(2.4.3)如果将自变量当作自己的函数，如果将自变量当作自己的函数，则有则有xxy xxxyx)(
4、dd，说明自变量的微分就等于它的改变量，说明自变量的微分就等于它的改变量，于是函数的微分可以写成于是函数的微分可以写成xdx2.4.12.4.1 函数微分的概念函数微分的概念返回返回4/16上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页xxfyd)(d，(2.4.4)(2.4.4)即即xyxfdd)(，(2.4.5)(2.4.5)也就是说，函数的微分与自变量的微也就是说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数，因此，导数又分之商等于该函数的导数，因此，导数又叫叫微商微商xdyd2.4.12.4.1 函数微分的概念函数微分的概念返回返回5/16上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下
5、一页解解221)01.01(y11020.11020.0；xyy)1(d01.01202.0.可见可见yyd.2.4.12.4.1 函数微分的概念函数微分的概念返回返回6/16上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页例例1 1求函数在，求函数在，时的改变总量及微分时的改变总量及微分2xy 1x01.0 x2.4.12.4.1 函数微分的概念函数微分的概念返回返回7/16上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页曲线坐标的改变量曲线坐标的改变量)()(00 xfxxfy0dxxyNMNMNT0tanxxf)(0微分的几何意义示意图微分的几何意义示意图动画演示动画演示函数微分的函数微
6、分的几何意义几何意义就是：在曲线上某就是：在曲线上某一点处当自变量取得改变量时，曲线一点处当自变量取得改变量时，曲线在该点处切线纵坐标的改变量在该点处切线纵坐标的改变量x2.4.12.4.1 函数微分的概念函数微分的概念返回返回8/16上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页例例2 2 求下列函数的微分：求下列函数的微分：(1)(1)；xxy23exy1arctan(2)(2)解解(1)(1)23(ee2e3222322xxxxyxxxxxxxyyxd)23(edd22所以所以 (2)(2)22211111xxxy，21ddxxy2.4.2 2.4.2 微分的计算微分的计算返回返回9/
7、16上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页xxufxyyd)()(dduufdxxufd)()()(，无论是自变量还是中间变量，无论是自变量还是中间变量，的微分总可以用与的乘积来表示的微分总可以用与的乘积来表示函数微分的这个性质叫做函数微分的这个性质叫做微分形式的不变性微分形式的不变性u)(ufy ydud)(uf 2.4.3 2.4.3 微分的形式的不变性微分的形式的不变性返回返回10/16上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页以为中间变量的复合函数以为中间变量的复合函数 y)(xu)(xf的微分的微分利用微分可以进行近似计算利用微分可以进行近似计算.这个公式可以直接用来
8、计算函数增量的这个公式可以直接用来计算函数增量的近似值近似值由微分的定义知，当很小时，有近由微分的定义知，当很小时，有近似公式似公式xxxfyy)(d)()(xfxxfy，xxfxfxxf)()()(，2.4.4 2.4.4 微分的应用微分的应用返回返回11/16上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页xxfxfxxf)()()(即即这个公式则可以用来计算函数在某一点附这个公式则可以用来计算函数在某一点附近的函数值的近似值近的函数值的近似值2.4.4 2.4.4 微分的应用微分的应用返回返回12/16上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页解解令，因为相对令，因为相对于较小，可
9、用上面的近似公式来求值于较小，可用上面的近似公式来求值1000 x05.0 xx0 x2.4.4 2.4.4 微分的应用微分的应用返回返回13/16上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页例例3 3设某国的国民经济消费模型为设某国的国民经济消费模型为2101.04.010 xxy其中：为总消费其中：为总消费(单位：十亿元单位：十亿元)；为可支；为可支配收入单位：十亿元配收入单位：十亿元).).当时，问总当时，问总消费是多少？消费是多少？yx05.100 x05.0)201.04.0(1.50100 xx025120.50(十亿元十亿元)2.4.4 2.4.4 微分的应用微分的应用返回返
10、回14/16上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页xxfxfxxf)()()(000)10001.01004.010(21xxxx10021)01.04.010(2.4.4 2.4.4 微分的应用微分的应用 例例4 418301830年代后期，法国生理学家普瓦年代后期，法国生理学家普瓦泽伊（泽伊（Jean Poiseuille）发现了今天我们仍在用来）发现了今天我们仍在用来预测必须扩张部分受阻塞的动脉半径多少才能恢预测必须扩张部分受阻塞的动脉半径多少才能恢复正常的血液流动他的公式为复正常的血液流动他的公式为 4krV 即流体以固定的压力在单位时间内流过的细管即流体以固定的压力在单位时
11、间内流过的细管的体积的体积V等于一个常数乘以管半径的四次幂等于一个常数乘以管半径的四次幂问问：半径半径r增加增加10%10%对对V的影响有多大？的影响有多大？返回返回15/16上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页解解 因为因为 34ddkrrV所以，所以，r 的微分和的微分和V的微分之间的关系为的微分之间的关系为rkrrrVVd4dddd3V 的相对变化为的相对变化为rrkrrkrVVd4d4d43即即V的相对变化为的相对变化为4 4倍的倍的r 的相对变化，故的相对变化，故10%10%的的r 增加将产生增加将产生40%40%的流量增长的流量增长返回返回16/16上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页2.4.4 2.4.4 微分的应用微分的应用返 回
