1、第二章第二章 六方各向异性介质本构方六方各向异性介质本构方程程 各向异性介质的物性是通过物性矩阵来刻画的。沉积型地层中普遍存在的基本类型是六方各向异性介质，六方各向异性中主要有 TI、EDA 和 PTL 三种形式。六方各向异性介质中存在一个对称主轴，本章讨论的六方各向异性介质，其主轴皆为 Z 轴；与主轴正交的平面为各向同性面。在各向同性面上，介质的速度是同性即相同的。对称主轴空间分布的任意性可以引出方位各向异性介质。坐标旋转是各向异性介质研究中的一个特殊的问题。坐标旋转的核心问题是构造 6 阶邦德变换矩阵。本章主要内容本章主要内容六方介质三种典型的物性矩阵六方介质三种典型的物性矩阵应力应变和物
2、性矩阵的坐标变换应力应变和物性矩阵的坐标变换方位六方各向异性介质方位六方各向异性介质2.1 2.1 六方介质三种典型的物性矩阵六方介质三种典型的物性矩阵六方各向异性介质本构方程和物性矩阵:1、横向各向同性介质的物性矩阵2、扩张型裂隙各向异性介质的物性矩阵3、薄互层各向异性介质的物性矩阵2.1.1 2.1.1 六方各向异性介质本构方程六方各向异性介质本构方程 和物性矩阵和物性矩阵均匀弹性六方各向异性介质本构方程取单双角标关系：6 16 66 1De123456,IIIxxyyzzyz zyzx xzxy yx说明：说明：1.1.独立的分量共独立的分量共5 5个个2.Z2.Z轴为主轴的柱状对称介质
3、，是六方介质的普轴为主轴的柱状对称介质，是六方介质的普遍特性遍特性3.3.规定规定Z Z轴垂直向下轴垂直向下1112131211131313336 6444466000000000000000000000000dddddddddDddd661112()/2ddd物性矩阵物性矩阵6 6D1112131211131313336 6444466000000000000000000000000dddddddddDddd11126 62122DDDDD是3阶零矩阵12213 3DDO11D和 分别是 左上和右下三阶子矩阵22D6 6D的分块矩阵形式为的分块矩阵形式为6 6D2.1.2 2.1.2 横向各
4、向同性介质的物性矩阵横向各向同性介质的物性矩阵（1）VTI介质11222D22000000D另外，是3阶零矩阵，上式Z轴为对称主轴.因此，也称其为VTI介质(Vertical Transversely Isatmpical)，即对称轴是垂向的横向各向同性介质，简称为垂向横向各向同性介质;或垂向六方各向异性介质。分别是与介质水平性质和垂向性质有关的拉梅系数。12213 3DDO式中，是介质的密度；是qP波垂直于对称轴即在各向同性面传播的速度；是qP波平行于对称轴传播的速度；是与qP波有关的过渡速度；是qS波垂直于对称轴传播的速度；是qS波平行于对称轴传播的速度。为了与各向同性介质中的纵波和横波区
5、别，这里用qP和qS分别表示视纵波和视横波,也称为准纵波准纵波和准横波准横波。上述五个速度称为本构方程的初态速度。且有用这5个参数可以引出5个速度222220(2)/,(2)/()/,/,/PPPSSVVVVVPVPVSV0PV,PPSSVVVVSV（2）HTI介质 这种介质的对称轴是水平的，现在取对称轴主轴为X轴，这时介质的物性矩阵 中，是3阶零矩阵，另外，6 6D12213 3DDO11222D22000000D （3）VTI介质+HTI介质组成单斜各向异性介质 1 1）VTIVTI介质与介质与XOZXOZ倾斜倾斜HTIHTI介质组成的单斜介质介质组成的单斜介质11121315212223
6、25313233356 644465152535564660000000000000000ddddddddddddDdddddddd弹性矩阵中有13个弹性参数。初态时，若介质A即HTI介质对称主轴是水平X轴，其各向同性面是YOZ，该对称面含有VTI介质的对称主轴；因此，这时的介质具有一个垂向的XOZ对称面。当XOZ面绕Y轴旋转角度时，则介质的对称主轴已不再是水平，且其对称面内不再包含VTI介质的对称主轴，从而使介质表现为单斜各向异性。2 2）各向同性与微褶皱表面的垂直裂隙组合）各向同性与微褶皱表面的垂直裂隙组合 这种模型是Schoenberg等（1989，1995）根据线性滑动理论建立的。裂隙
7、的法向与X轴平行，具有一个垂直对称面。微褶皱的含义是指裂隙表面在小于地震波波长尺度上观测是不规则的。这种不规则性可以视为一个锯齿状的剖面，裂隙表面的小褶皱之间相互有一定的错动，从侧面看呈锯齿状。裂隙表面的不规则性是相对于垂向而言的，这种不规则性使得裂隙受到外力的作用时，在法向和切向上位移之间产生相互的联系，从而使介质表现为单斜各向异性。1112131521222325313233356 64451525355646600000000000000000ddddddddddddDddddddd弹性矩阵中有12弹性参数。介质的物性矩阵如下：3 3）各向同性与两组非正交的垂直裂隙组合）各向同性与两组非
8、正交的垂直裂隙组合 在各向同性介质背景下，存在两组非正交的HTI介质（据Grechka等，2000）。弹性矩阵中有13个弹性参数，矩阵如下1112131621222326313233366 644455455616263660000000000000000ddddddddddddDdddddddd六方介质三种典型的物性矩阵六方介质三种典型的物性矩阵六方各向异性介质本构方程和物性矩阵横向各向同性介质的物性矩阵扩张型裂隙各向异性介质的物性矩阵薄互层各向异性介质的物性矩阵（1 1）流体型）流体型EDAEDA介质介质 这种模型介质裂隙内充填物质是流体。其物这种模型介质裂隙内充填物质是流体。其物性矩阵性
9、矩阵 中，子矩阵中，子矩阵6 6D222()22221111222222222fSDDV2()222222100010001ffSfvDDVv2.1.3 2.1.3 扩张型裂隙各向异性介质的物性矩阵扩张型裂隙各向异性介质的物性矩阵其中，和 是均匀弹性各向同性介质中纵波和横波的传播相速度。是裂隙参数；是裂隙密度，它表示半径为b的球体内所含裂隙的数目；是单位球体内裂隙的数目。是是3阶零矩阵阶零矩阵1221DD222223216/,()1332PSfVVvQbPVSV2fvQ（2 2）气体型）气体型EDAEDA介质介质()()111111fdDDD222()222211222222222fSDV22
10、22()2222221122224(2)2(2)2(2)(2)(2)(2)dSdDV V2()222222100010001ffSfvDDVv是3阶零矩阵1221DD2222224,/31dPSvVV六方介质三种典型的物性矩阵六方介质三种典型的物性矩阵六方各向异性介质本构方程和物性矩阵六方各向异性介质本构方程和物性矩阵横向各向同性介质的物性矩阵横向各向同性介质的物性矩阵扩张型裂隙各向异性介质的物性矩阵扩张型裂隙各向异性介质的物性矩阵薄互层各向异性介质的物性矩阵薄互层各向异性介质的物性矩阵薄互层各向异性介质即薄互层各向异性介质即PTLPTL（Periodic Thin-Periodic Thin
11、-LayersLayers）介质，这种介质模型首先由帕斯特玛）介质，这种介质模型首先由帕斯特玛（PostmanPostman，19551955）提出，怀特（）提出，怀特（WhiteWhite，19831983）指出其物性矩阵是指出其物性矩阵是11126 62122DDDDD111213441112111322441313336600,0000ddddDdddDddddd12213 3DDO是是3 3阶零矩阵阶零矩阵2.1.4 2.1.4 薄互层各向异性介质的物性矩阵薄互层各向异性介质的物性矩阵113324()1,2(2)2dd 1344661211662,1/,(2)dddddd2.2 2.2
12、 应力应变和物性矩阵的坐标变换应力应变和物性矩阵的坐标变换三阶和六阶变换矩阵邦德矩阵及其变换三阶和六阶变换矩阵邦德矩阵及其变换六阶矩阵变换的结构和构造方法六阶矩阵变换的结构和构造方法应变矩阵的六阶变换矩阵应变矩阵的六阶变换矩阵物性矩阵的坐标变换物性矩阵的坐标变换令变换前老坐标系下的应力矩阵是 或 ，变换后新坐标系下的应力矩阵是 或 。按照第一篇应力和应变矩阵单双角标关系，有3 36 13 36 11653 3624543xxxyxzyxyyyzzxzyzz总是存在下面的3阶正交变换矩阵2.2.1 2.2.1 三阶和六阶变换矩阵邦德矩阵及其变换三阶和六阶变换矩阵邦德矩阵及其变换使得：111213
13、3 3212223313233aaaaaaaaaa1133 33 33 33 3Iaaaa13 33 33 33 3aa展开165111213165112131624212223624122232543313233543132333aaaaaaaaaaaaaaaaaa于是有22211111221331213411 13511 126222aaaa aa aa a21234566123456同理然后把应力分量按单角标形式整理成,(,1,2,6)IIJJMI J或6 16 66 1M等价等价13 33 33 33 3aa6 16 66 1M应力应变和物性矩阵的坐标变换应力应变和物性矩阵的坐标变换三
14、阶和六阶变换矩阵邦德矩阵及其变换六阶矩阵变换的结构和构造方法应变矩阵的六阶变换矩阵物性矩阵的坐标变换1112133 3212223313233aaaaaaaaaaa把把 对应的对应的6 6阶阶M M变换矩阵划分成变换矩阵划分成 四个四个3 3阶子块矩阵。阶子块矩阵。3 3a11122122MMMM、11122122MMMMM2.2.2 2.2.2 六阶变换矩阵的结构和构造方法六阶变换矩阵的结构和构造方法（1 1）六阶变换矩阵）六阶变换矩阵M M的结构和构造方法的结构和构造方法子矩阵的构造11M22211121322211212223222313233aaaMaaaaaa子矩阵的构造12M121
15、311 1311 12122223212321223233313331322a aa aa aMa aa aa aa aa aa a子矩阵的构造21M2131223223332131 1132123313112112221323a aa aa aMa aa aa aa aa aa a子矩阵的构造22M22332332213323312132223122123313321133133111321231122313321123132111221221a aa aa aa aa aa aMa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa a1M16 16 66 1M是正交矩阵11
16、3Iaaa a1Taa13 33 33 33 3aa13 33 33 33 3aa3 3aa（2 2）六阶变换矩阵）六阶变换矩阵 的结构和构造方法的结构和构造方法采用构造采用构造M的方法可以得到的方法可以得到6阶变换矩阵阶变换矩阵 ，它满足它满足6 6K,(,1,2,6)IIJJKI J把把 式代入上式，得到式代入上式，得到6 16 66 66 1KM6 16 66 1M同理得到同理得到6 16 66 66 1MK于是得到关系于是得到关系1616IMKMMKMIMKKM 由由 派生而来，方法和派生而来，方法和M的构造等同的构造等同。1M13 3a三阶和六阶变换矩阵邦德矩阵及其变换六阶矩阵变换的
17、结构和构造方法应变矩阵的六阶变换矩阵物性矩阵的坐标变换应力应变和物性矩阵的坐标变换应力应变和物性矩阵的坐标变换科西方程 有两种表示形式，做应力矩阵变换时也有同样的问题6 16 33 1eLu第一种情况：应力矩阵的非对角线元素表达式系数为“1/2”时，即23311212yzxzyxuuzyeuuexzeuuyx应变的变换满足6 16 6 6 116 16 6 6 1eNeeNe111211126 621222122122NNMMNNNMM只要把矩阵 中元素 的角标对换就可以得到6 6Nija16 6N2.2.3 2.2.3 应变矩阵的六阶变换矩阵应变矩阵的六阶变换矩阵第二种情况第二种情况：应变矩
18、阵的非对角线元素表达：应变矩阵的非对角线元素表达式中系数为式中系数为“1”时，即时，即233112yzxzyxuuzyeuuexzeuuyx应变的变换满足应变的变换满足6 16 6 6 116 16 6 6 1eMeeMe应力应变和物性矩阵的坐标变换应力应变和物性矩阵的坐标变换三阶和六阶变换矩阵邦德矩阵及其变换六阶矩阵变换的结构和构造方法应变矩阵的六阶变换矩阵物性矩阵的坐标变换6 16 6 6 1De,MeMe,MeNeDe11DMDMDMDM11DMDNDMDN2.2.4 2.2.4 物性矩阵的坐标变换物性矩阵的坐标变换2.3 2.3 方位六方各向异性介质方位六方各向异性介质直角坐标系中绕三
19、个坐标轴的旋转变换直角坐标系任意方向的旋转变换绕绕Z Z轴的旋转变换轴的旋转变换3 3cossin0sincos0001a 直角坐标系下物性矩阵为D，有3阶变换矩阵是：绕绕Y Y轴的旋转变换轴的旋转变换3 3cos0sin010sin0cosa直角坐标系下物性矩阵为D，有3阶变换矩阵是：绕绕X X轴的旋转变换轴的旋转变换3 31000cossin0sincosa直角坐标系下物性矩阵为D，有3阶变换矩阵是：一般情况下，变换前后物性矩阵中的元素表一般情况下，变换前后物性矩阵中的元素表达形式不同了，原先为零的矩阵元素，有一些元达形式不同了，原先为零的矩阵元素，有一些元素现在不是零了。对各向同性介质而
20、言，变换前素现在不是零了。对各向同性介质而言，变换前后的物性矩阵是相等的；由此可以知道，研究各后的物性矩阵是相等的；由此可以知道，研究各向同性介质中地震波传播规律时，与坐标系的选向同性介质中地震波传播规律时，与坐标系的选择没有关系。对各向异性介质，变换前后的物性择没有关系。对各向异性介质，变换前后的物性矩阵是不相同的；研究各向异性介质中地震波传矩阵是不相同的；研究各向异性介质中地震波传播规律时，与坐标系的选择有密切关系；波的传播规律时，与坐标系的选择有密切关系；波的传播特点与波传播方向有关系。播特点与波传播方向有关系。方位六方各向异性介质方位六方各向异性介质直角坐标系中绕三个坐标轴的旋转变换直
21、角坐标系任意方向的旋转变换 由空间解析几何知识可以知道，凡是直角坐标系的任意转动都能通过绕不同坐标轴的相继旋转来完成，下面说明其中的两种实现方式。第一种方式。第1步，绕原坐标系的 Z 轴逆时针旋转 角度。第2步，绕第一步变换后得到的 Y 轴逆时针旋转 角。第3步，再绕第二步后得到的 X 轴逆时针旋转 角度。三次坐标系的转动依次使用了、三个角度。坐标系转动需要 3 个 6 阶变换矩阵。第二种方式。第1步，绕原坐标系的 Z 轴逆时针旋转 角度。第2步，绕第一步变换后得到的 Y 轴逆时针旋转 角度。第3步，再绕第二步后得到的 Z 轴逆时针旋转 角度。坐标系的所有转动能用 、三个角度来表示。由此坐标系转动需要两个 6 阶变换矩阵。
